递推数列特征方程的发现
(完整版)递推数列特征方程的发现(必修5).10
递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推（迭代）是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。
在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出,这个数列有通项公式吗?如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生,带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …），求通项公式n a 。
参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为12+=x x 即012=--x x ，解得251±=x ， 设此数列的通项公式为nn n c c a )251()251(21-++=, 由初始条件121==a a 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==515121c c , 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n a )251(251(55）。
这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”.换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸,但由于现行教材只字未提特征方程,我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来,或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。
面对一头雾水的数学尖子,我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时,也在苦苦寻觅解答这一问题的良策.其后不久，一次偶然的数学探究活动,竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。
二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ,令d t c =-)1(，即1-=c dt ，当1≠c 时可得 )1(11-+=-++c da c c d a n n ,知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列，11)1(1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理,得()11---+=-c d c b d bc a n n n 。
特征方程解数列递推关系
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+xA n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。
然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。
数列特征根法原理
数列特征根法原理数列特征根法是一种常见的数列求解方法，通过寻找数列的特征根，可以得到数列的通项公式，从而方便进行数列的求和、递推关系等操作。
本文将介绍数列特征根法的原理及其应用。
数列特征根法的原理主要基于数列的递推关系。
对于一个线性递推数列，其通项公式可以表示为：\[a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + \cdots + c_kr_k^n\]其中，\(c_1, c_2, \cdots, c_k\)为常数，\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)为数列的特征根。
特征根法的核心就是求解特征根\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)，进而得到数列的通项公式。
对于线性递推数列，其递推关系可以表示为：\[a_n = p_1a_{n-1} + p_2a_{n-2} + \cdots + p_ka_{n-k}\]其中，\(p_1, p_2, \cdots, p_k\)为常数。
为了求解特征根，可以将递推关系转化为特征方程：\[r^k p_1r^{k-1} p_2r^{k-2} \cdots p_{k-1}r p_k = 0\]解特征方程得到的根就是数列的特征根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明数列特征根法的应用。
假设有一个线性递推数列，其递推关系为：\[a_n = 3a_{n-1} 2a_{n-2}\]我们可以将其转化为特征方程：\[r^2 3r + 2 = 0\]解特征方程得到特征根为\(r_1 = 2, r_2 = 1\)，因此数列的通项公式为：\[a_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 1^n\]通过给定的初始条件，我们可以求解出常数\(c_1, c_2\)，进而得到数列的具体形式。
除了求解数列的通项公式，数列特征根法还可以应用于求解数列的前n项和。
通过数列的通项公式，我们可以方便地计算出前n项和的表达式，从而简化求和运算。
此外，数列特征根法还可以应用于解决递推关系的问题。
递推通项公式的特征根法
递推通项公式的特征根法递推通项公式是数列中常用的求解方法，它可以通过求解特征根来快速得到数列的通项公式。
下面我将通过一篇内容生动、全面、有指导意义的文章来介绍特征根法的使用。
特征根法是求解递推通项公式的一种常用方法，它的核心思想是通过求解数列的特征根，求得通项公式的表达式。
首先，什么是特征根呢？在线性代数中，特征根是指矩阵与一个非零向量乘积的结果等于该向量乘以一个常数。
而在数列中，我们可以将数列看作是线性代数中的矩阵，即将数列的每一项视为向量的一个分量，通过特征根法可以求解数列的通项公式。
具体而言，假设我们有一个递推数列{a1, a2, a3, ...}，其中ai 表示第i项，且满足递推公式：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + ... + pk * an-k为了找到数列的通项公式，我们假设数列的通项公式为：an = xn将这个假设代入递推公式中，可以得到：xn = p1 * xn-1 + p2 * xn-2 + ... + pk * xn-k进一步整理，可以将上述公式转化为：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0通过移项，得到：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0注意观察上述公式，我们可以发现这是一个特征根方程，因为xn 是数列的通项公式，它和特征根之间存在着一定的关系。
接下来，我们要求解上述特征根方程的解，即特征根。
求解特征根的过程可以通过特征方程来实现。
将特征根方程改写为：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0可以进一步化简为：xn - (p1 * xn-1 + p2 * xn-2 + ... + pk * xn-k) = 0注意观察上述公式，我们可以发现它可以看作是关于xn的一元齐次线性方程。
而一元齐次线性方程的特征方程是：x^k - p1 * x^(k-1) - p2 * x^(k-2) - ... - pk = 0因此，求解特征根就是解特征方程的过程。
递推数列特征方程的来源探究及应用
递推数列特征方程的来源探究及应用
递推数列（recurrence sequence）是一类是由一个数列反复递推式生成的数列，它由当前项序列和初始值共同决定，可以用下面的递推式来描述：un = f(un-1, un-2, un-3, … , u1)，其中u1, u2, u3, … 是当前项序列，及该数列的上一项，上两项，上三项等。
因此可以总结出来，递推数列的特征方程可以写成：un = f(un-1, un-2, un-3, … , u1) ，其中f为函数，un是当前项，而u1、u2、u3、…等则是这一数列的初始值。
递推数列的来源主要有以下几个方面：一是根据物理过程而提出的递推关系式；二是对自然现象和社会现象的数学建模而得出的递推关系式；三是从线性代数及空间角度出发而推出的递推关系式；四是从数论和计算机科学等学科出发而推出的应用领域。
递推数列特征方程在数学上有着重要的应用。
首先，它可以用来分析和解决与数列相关的问题；其次，它可以用来分析和解决数学模型问题；第三，它可以用来分析和解决统计分析问题；第四，它可以用来分析和解决机器学习问题；最后，它可以被用来分析和解决图像处理问题。
总之，递推数列特征方程是一种描述数字特征的强大方法，它可以用来分析和解决许多数学上的问题，它可以帮助我们更清楚地认识数字，从而更深入地了解数字的性质及其本质。
数列的递推 特征方程法
考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵对于都有（2）∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.（3）∵∴∴令则∴对于∴（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.数列特征方程式.一个数列:设有r，s使∴得消去s就导出特征方程式∴。
数列三项递推求通项特征方程
数列三项递推求通项特征方程数列是我们日常生活中非常常见的数学模型，它们可以描述一种事物或现象的变化规律。
在数列中，常常需要计算出第 n 项，而有些数列可以通过递推关系式来求解第 n 项。
其中，三项递推是一种常见的递推方式。
在这篇文章中，我们将介绍如何利用三项递推求解数列的通项公式，以及如何使用特征方程来解决数列的求解问题。
一、数列三项递推求通项公式对于数列 {a1，a2，a3，…，an}，如果它们之间存在递推关系式：an = f(an-1，an-2，an-3)，n ≥ 4那么我们可以通过这个递推关系式来求解数列的通项公式。
具体来说，我们可以通过迭代使用递推关系式，通过已知的前三项（a1、a2、a3），逐个求出数列的每一项。
当我们求得第 n 项时，我们就可以得到数列的通项公式。
例如，我们考虑这样一个数列：{1，1，2，3，5，8，13，…}我们发现这个数列的特点是，每一项都是前两项之和。
我们可以用以下递推关系式来描述这个数列：an = an-1 + an-2，n ≥ 3利用这个递推关系式，我们可以求出数列中的每一项，如下所示：a1 = 1a2 = 1a3 = a2 + a1 = 2a4 = a3 + a2 = 3a5 = a4 + a3 = 5a6 = a5 + a4 = 8a7 = a6 + a5 = 13…我们发现，这个数列的通项公式可以写成：an = fib(n)，n ≥ 1其中，fib(n) 表示斐波那契数列的第 n 项。
这个数列是一个非常著名的数列，每一项都是前两项之和，它的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…二、特征方程的应用除了使用递推关系式来求解数列的通项公式之外，我们还可以使用特征方程的方法来解决这个问题。
特征方程是什么呢？它可以帮助我们求出数列的通项公式。
对于一个递推关系式：an = c1an-1 + c2an-2 + … + cm an-m，n ≥ m我们可以构造一个特征方程：x^m - c1x^(m-1) - c2x^(m-2) - … - cm = 0其中，x 是未知数。
数列递推公式的特征方程
数列递推公式的特征方程数列递推公式的特征方程，这个听上去就有点高大上的东西，实际上是数学中的一块“蛋糕”。
咱们平时生活中，也许没太注意，但它就像是你身边那块潜力巨大的蛋糕，稍微用心一挖，就能挖出不少甜蜜来。
嘿，想想啊，数列不就是一个个数字排成的队伍吗？有时候它们像是跟随在老师后面的小学生，个个都得听话；有时候又像是在比赛的运动员，拼命想超越前面的选手，特别刺激。
咱们先从简单的数列说起。
比如斐波那契数列，那可是数学界的明星。
你看看，前两个数加起来就能得到第三个数，简直是合作无间。
数列的每一步都是在遵循某种规则，就像是舞蹈的每一个动作，得配合得当，才能跳得美丽。
可要是跳错了，那可真是“丢人现眼”了。
数列的递推公式就是帮助我们找到这些规则的钥匙，它帮我们搞清楚，下一步应该怎么走。
说到特征方程，别急，听我慢慢来。
它就像是你在玩拼图，拼出一个完整的画面。
你需要先找到每一块的形状和位置，才能把它们完美组合。
特征方程就是这种形状的指引，让你知道如何去把数列的每一个部分都组合起来。
用点数学术语来说，就是把数列的递推关系转化成一个多项式，之后再寻找它的根，这样一来，数列的行为就一目了然了，真是个“聪明”的方法。
特征方程也不是随便就能搞定的。
就像你想要吃到那块蛋糕，首先得知道它在哪。
首先要搞清楚方程的形式，得把数列的递推关系整理成标准的形式，这可是一门“艺术”。
有些方程可能比较简单，像是1、2、3，直接就能找出规律；而有些方程可就复杂了，像是“九九乘法表”那样，得花些功夫才行。
不过，没关系，努力总是会有回报的，对吧？再说了，解特征方程就像是解谜游戏，找出根的过程充满了惊喜和挑战。
每当你找到一个根，心里那种成就感，简直就像是找到藏在沙发缝里的硬币，嘿嘿，那种感觉太妙了！找到所有根之后，咱们就可以写出数列的通项公式了，简直像是打开了宝藏的门，里面全是金灿灿的数字和规律，闪闪发光。
不过呀，有些数列的特征方程可能还涉及到复数，听起来有点吓人，其实也没啥大不了的。
递推关系的特征方程
递推关系的特征方程
递推关系是一种数学关系，通常用来描述一个数列中的元素如何由前面的元素推导出来。
特征方程是用来求解递推关系的一种方法。
当我们有一个递推关系形如an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k时，其中c1, c2, ..., ck是常数，我们可以通过引入新的变量x，将递推关系转化为特征方程。
特征方程的一般形式为x^k c1x^(k-1) c2x^(k-2) ... ck = 0。
特征方程的根对应着递推关系的解。
具体来说，如果特征方程有k个互不相同的实根或共轭复根，那么递推关系的通解可以表示为an = A1r1^n + A2r2^n + ... + Akrk^n，其中r1, r2, ..., rk 是特征方程的根，A1, A2, ..., Ak是常数。
另外，特征方程的根还可以帮助我们求解递推关系的特解。
如果特征方程的根为r1, r2, ..., rk，而递推关系右侧的非齐次项为P(n)，那么递推关系的特解可以表示为特解可以表示为an =
Q(n)r1^n + Q(n)r2^n + ... + Q(n)rk^n，其中Q(n)是关于n的多项式，其具体形式取决于P(n)的形式。
总之，特征方程是求解递推关系的一种重要方法，通过求解特
征方程，我们可以得到递推关系的通解和特解，进而深入理解数学模型中的数列规律。
递推数列特征方程的来源与应用
递推数列特征方程的来源与应用递推数列特征方程，也叫递推公式，是一种根据数列成员的已知情况来确定未知情况的数学方法。
它具有数学表达式的特点，可以用来快速解决一个系统的数据求解问题。
一．来源1、等比数列：它是指各项之比既定而相等的数列，一般记为：a1、a2、a3、……、an，他的递推公式可以表示为：an=an-1×q（q为常系数）。
2、等差数列也称单调数列：它是指各项之差既定且相等的数列，一般记为：a1、a2、a3、……、an，他的递推公式可以表示为：an=an-1+d （d为常差）。
3、三项等比数列：它是指连续三项之比均为常数的等比数列，记为a1、a2、a3、……、an，它的递推公式可以表示成：an/an-1=an-1/an=2;4、平方等差数列：它是指连续元素构成平方和的等差数列，一般表示为：a1、a2、a3、……、an，其递推公式可用：an=2an-1–an-2;二．应用1、解决经济问题：递推数列特征方程能够帮助人们解决一些经济问题，例如通过对给定一个经济数据分析及递推，可以快速计算出未来某一时刻的经济增长情况。
2、解决物理问题：当需要确定一个物理实验系统的物理解决方案时，大多数时候都需要用到递推数列特征方程来求解。
例如用于计算温度比较两个测量之间的物理变化层面。
3、解决图论问题：图论是将图形学和抽象代数，数论等学科结合起来的学科。
递推数列特征方程能够有效的应用于解决图论的方面，来计算求解复杂的问题，例如最小生成树算法中的kruskal算法。
4、解决统计问题：统计数据的分析和统计学的应用过程中，也需要用到递推数列特征方程。
例如对于时间序列的分析，必须对各频率调整确定下一个时刻的数据值，这都采用递推方式处理。
特征方程解数列递推关系
特征方程解数列递推关系数列递推关系是指由已知的一些项推导出后续项的关系，通常用特征方程解决数列递推问题。
特征方程是一个代数方程，其解决了递推关系的数学性质，因此能够推导出数列的通项公式。
在讨论特征方程解数列递推关系之前，首先让我们来了解一下数列和递推关系的概念。
数列是一列有序的数的集合，其中每个数都有其对应的位置，称为项。
数列通常用a1,a2,a3,...,an表示，其中ai表示数列的第i项。
数列是离散的，即项之间没有连续性。
递推关系是指通过已知的一些项，推导出后续项之间的关系。
数列递推关系一般具有以下的形式：an = f(an-1, an-2, ..., an-k)，其中f是一个函数，表示通过前面的k个项来推导出当前项。
解决数列递推关系的一种常用方法是利用特征方程。
特征方程是通过将递推关系转化为代数方程，并求解该方程得到的根来得出通项公式。
接下来，我们将详细介绍如何通过特征方程解数列递推关系。
首先，考虑一个简单的数列递推关系 an = k * an-1，其中k是一个常数。
我们希望通过已知的一些项，推导出后续项之间的关系。
将an-1代入递推关系中得到 an = k * (k * an-2) = k^2 * an-2，依次类推，可以得到 an = k^n * an-n。
这是一个简单的等比数列，通项公式为 an= a1 * k^(n-1)，其中a1为初始项。
下面，我们通过特征方程解决一个稍复杂一些的数列递推关系。
考虑递推关系 an = an-1 + 2an-2，其中n > 2、假设已知a1和a2，我们可以通过这两个初始项来推导出后续项之间的关系。
首先，我们猜测通项公式为 an = r^n，其中r为待确定的常数。
将该通项公式代入递推关系中得到 r^n = r^(n-1) + 2r^(n-2)。
我们希望将递推关系转化为一个代数方程，从而求解r的值。
将r^(n-2)整体提取出来，得到r^(n-2)(r^2-r-2)=0。
递推数列的特征方程的原理
递推数列的特征方程的原理递推数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项都是前几项的某种函数关系。
而递推数列的特征方程是求解递推数列的关键步骤之一，它可以通过分析数列的递推规律，建立递推数列的数学模型，并通过特征方程来求解数列中的任意项。
特征方程的原理可以用来解决许多实际问题，例如在计算机科学中，递推数列可以用来描述算法的时间复杂度；在经济学中，递推数列可以用来预测市场的走势；在物理学中，递推数列可以用来描述粒子的运动轨迹等等。
为了更好地理解特征方程的原理，我们先来看一个简单的例子：斐波那契数列。
斐波那契数列的定义是：第一项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
数列的前几项为1、1、2、3、5、8、13、21、34……我们可以用递推关系式来表示斐波那契数列：Fn = Fn-1 + Fn-2。
我们可以将递推关系式转化为特征方程。
假设递推数列的前n项满足一个特征方程anFn + an-1Fn-1 + … + a1F1 + a0 = 0，其中Fn 是数列的第n项，a0、a1、…、an是特征方程的系数。
对于斐波那契数列，特征方程为：Fn = Fn-1 + Fn-2。
我们可以将特征方程转化为：Fn - Fn-1 - Fn-2 = 0。
因此，斐波那契数列的特征方程为：Fn - Fn-1 - Fn-2 = 0。
通过解特征方程，我们可以得到特征方程的根。
对于斐波那契数列的特征方程，我们可以得到根为φ和-φ-1，其中φ是黄金分割比例。
因此，斐波那契数列的通项公式可以表示为：Fn = Aφ^n + B(-φ-1)^n，其中A和B是常数，可以通过初始条件来确定。
特征方程的原理不仅适用于斐波那契数列，还适用于其他形式的递推数列。
通过分析递推数列的递推关系，我们可以建立递推数列的特征方程，并通过解特征方程来求解数列中的任意项。
特征方程的原理为我们解决递推数列问题提供了一种有效的方法。
通过分析数列的递推规律，建立特征方程，并通过解特征方程来求解数列中的任意项，我们可以更好地理解和应用递推数列的概念。
特征方程法求递推数列的通项公式
特点方程法求解递推关系中的数列通项一.（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项知足d ca a b a n n +==+11,,个中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采取数学归纳法可以求解这一问题,然而如许做太甚繁琐,并且在猜测通项公式中轻易出错,本文提出一种易于被学生控制的解法——特点方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特点方程;借助这个特点方程的根快速求解通项公式.下面以定理情势进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特点方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,个中}{n b 是认为c 公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-. 证实：因为,1,0≠c 由特点方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是认为c 公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例,解释定理1的运用.例1．已知数列}{n a 知足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是认为31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 知足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 个中i 为虚数单位.当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360ix +-=要使n a 为常数,即则必须.53601ix a +-== 二.（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式nn n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特点方程.若21,x x 是特点方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A.B的方程组）;当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A.B 的方程组）. 例3：已知数列{}n a 知足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式.解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ,得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12.则数列{}n n a a -+1是认为a b -首项,32为公比的等比数列,于是11)32)((-+-=-n n n a b a a .把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入,得a b a a -=-12,)32()(23⋅-=-a b a a ,234)32()(⋅-=-a b a a ,21)32)((---=-n n n a b a a .把以上各式相加,得])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-.a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--.解法二（特点根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++,b a a a ==21,的特点方程是：02532=+-x x .32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A . 又由b a a a ==21,,于是 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三.(分式递推式)定理3：假如数列}{n a 知足下列前提：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra q pa a n n n ++=+1（个中p.q.r.h 均为常数,且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）,那么,可作特点方程hrx qpx x ++=.（1）当特点方程有两个雷同的根λ（称作特点根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a nn λ个中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特殊地,当消失,N 0∈n 使00=n b 时,无限数列}{n a 不消失.（2）当特点方程有两个相异的根1λ.2λ（称作特点根）时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n个中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3.已知数列}{n a 知足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特点方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特点方程有两个相异的根,运用定理2的第（2）部分,则有∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 知足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时,无限数列}{n a 不消失？ 解：作特点方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特点方程有两个雷同的特点根.5=λ依定理2的第（1）部分化答.(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11 令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开端都不消失, 当n ≤4,N ∈n 时,51751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ(4).显然当31-=a 时,数列从第2项开端便不消失.由本题的第（1）小题的解答进程知,51=a 时,数列}{n a 是消失的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （个中N ∈n 且N ≥2）时,数列}{n a 从第n项开端便不消失.于是知：当1a 在聚集3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无限数列}{n a 都不消失. 演习题：求下列数列的通项公式：1、 在数列}{n a 中,,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ,求n a .（key ：21)1(32---+⋅=n n n a ）2、 在数列}{n a 中,,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ,求n a .（key ：)14(31-=n n a ）3、 在数列}{n a 中,,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ,求n a .（key ：121-=+n n a ）4、 在数列}{n a 中,,2,321==a a n n n a a a 313212+=++,求n a .（key ：2)31(4147--⋅+=n n a ）5、 在数列}{n a 中,,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++,求n a .（key ：1321-+=n n a ）6、 在数列}{n a 中,,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12,且1=+q p .求n a .（key ：1=q 时,))(1(a b n a a n --+=;1≠q 时,qq a b b aq a n n +---+=-1))((1）7、 在数列}{n a 中,,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （qp ,长短0常数）.求n a .（key ：bpq q p p a a n n )](1[1---+= (qp ≠);b n a a n )1(1-+=）(q p =)8.在数列}{n a 中,21,a a 给定,21--+=n n n ca ba a .求n a .(key:122211)(a c a a n n n n n ⋅--+⋅--=----αβαβαβαβ)(βα≠;若βα=,上式不克不及运用,此时,.)2()1(1122----⋅-=n n n a n a n a αα附定理3的证实定理3(分式递推问题)：假如数列}{n a 知足下列前提：已知1a 的值且对于N∈n ,都有hra qpa a n n n ++=+1（个中p.q.r.h 均为常数,且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）,那么,可作特点方程hrx qpx x ++=.（1）当特点方程有两个雷同的根λ（称作特点根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a nn λ个中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特殊地,当消失,N 0∈n 使00=n b 时,无限数列}{n a 不消失.（2）当特点方程有两个相异的根1λ.2λ（称作特点根）时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 个中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证实：先证实定理的第（1）部分. 作交流N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11λλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2① ∵λ是特点方程的根,∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rp x =代入特点方程可整顿得,qr ph =这与已知前提qr ph ≠抵触.故特点方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ③ 当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ当01≠d 即λ≠1a 时,由②.③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变更：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程hrx qpx x ++=的两个雷同的根可以求得.2rhp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr hp h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b nn 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是认为rp r λ-公役的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ个中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时,.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当消失,N 0∈n 使00=n b 时,λλ+=+=01n n n b d a 无意义.故此时,无限数列}{n a 是不消失的.再证实定理的第（2）部分如下：∵特点方程有两个相异的根1λ.2λ,∴个中必有一个特点根不等于1a ,无妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ,将hra qpa a n n n ++=+1代入再整顿得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ⑤由第（1）部分的证实进程知rp x =不是特点方程的根,故.,21rp rp ≠≠λλ故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ⑥∵特点方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ.2λ⇒方程)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ.2λ,而方程xrp xhq x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有当01=c 即11λ=a 时,上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕) 注:当qr ph =时,hra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.。
递推数列的特征方程法探究
递推数列的特征方程法探究作者：蔡军军来源：《中小学教学研究》2014年第04期数列问题在高考中有着非常重要的地位，其中数列求通项公式，通常作为各省市的高考压轴题出现。
而递推数列的通项公式求解，往往令师生最为头疼。
那么，什么是递推数列，包含哪些类型.一般而言，数列求通项公式，都有哪些方法策略？下面，我对这几方面做些研究、探索不足之处，敬请同行批评指正。
一、递推数列的分类递推数列，顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。
用通俗的一句话来解释“递推”就是：知道他的过去，就知道他的现在.知道他的过去和现在，就知道他的将来。
根据递推式不同，一般可将递推数列分为以下4类：■二、递推数列的特征方程法引理（一）一阶线性递推数列引理1.已知数列{an}满足a1=b，an+1=pan+q（p≠0且p≠1，p，q是常数），称方程x=px+q为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x0，则①当x0=a1时，数列{an}为常数列；②当x0≠a1时，数列{an-x0}是以p（p≠0）为公比的等比数列.简证：设特征方程x=px+q，得根为x0=■，又an+1=pan+q （1）x0=px0+q （2），由（1）-（2）得，an+1-x0=p（an-x0），若a1=x0=■，则a1=a2=a3=……=an=■，即数列{an}为常数列；若a1≠x0，则■=■=p（非零常数），即数列{an-x0}是以p为公比的等比数列，证毕。
（二）二阶线性递推数列引理2.已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常数），a1=a，a2=b，称方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x1，x2。
则①当x1≠x2时，数列{an}的通项为an=c1x1n+c2x2n，其中c1，c2由初始值决定；②当x1=x2时，数列{an}的通项为an=（c1+c2n）x1n，其中c1，c2由初始值决定。
简证：设特征方程x2=px+q有两个根为x1，x2，则x1+x2=px1·x2=-q，故由an+2=pan+1+qan得，an+2=（x1+x2）an+1-（x1·x2）an，即an+2-x1an+1=x2（an+1-x1an）。
数列特征根的工作原理
数列特征根的工作原理
特征根的概念是线性代数中的重要内容之一，它在数列中的应用也非常广泛。
数列特征根的工作原理可以通过以下几个步骤来解释。
首先，数列特征根的概念是从方程特征根的概念推导而来的。
在数列中，假设有一个线性递推关系：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中an表示第n个项，c1、c2、...、ck 为常数。
我们可以把这个递推关系转换成一个特征方程：x^k - c1 * x^(k-1) - c2 * x^(k-2) - ... - ck = 0，其中x表示未知数。
这个特征方程的解，也就是方程的特征根，与数列的特征根是一一对应的。
其次，数列的特征根可以用来求解数列的通项公式。
假设数列的特征根是α1、α2、...、αk，那么数列的通项公式可以表示为：an = A1 * α1^n + A2 * α2^n + ... + Ak * αk^n，其中A1、A2、...、Ak为常数。
这个通项公式可以通过数列的初值条件来确定。
最后，数列的特征根还能够反映数列的性质。
例如，当数列的特征根都是实数且小于1的时候，数列会趋向于稳定；当数列的特征根中存在复数的时候，数列会出现振荡；当数列的特征根有重根的时候，数列的通项公式会包含多项式的因子。
通过分析特征根，我们可以了解数列的长期趋势和振荡情况，有助于理解数列的规律和性质。
总结起来，数列特征根的工作原理可以归纳为三个步骤：建立
特征方程，求解特征根，应用特征根求解数列的通项公式。
通过这个过程，我们可以从数列的递推关系和初值条件中推导出整个数列的性质和规律。
数列的递推特征方程法
数列的递推特征方程法特征方程法是通过构造特征方程，然后求解特征方程得到通解的一种方法。
下面我们将详细介绍特征方程法在数列递推中的应用。
首先，让我们来回顾一下数列的一般形式。
一个数列可以表示为：aₙ=c₁aₙ₋₁+c₂aₙ₋₂+...+cₙaₙ₋ₙ其中aₙ表示数列的第n项，c₁,c₂,...,cₙ为常数，k为递推阶数。
为了求解递推关系，我们首先要确定数列的特征方程。
特征方程的核心思想是假设数列的n项与前面的k项有关，然后构造一个特征方程来描述这个关系。
假设数列的特征方程为：xₙ-c₁xₙ₋₁-c₂xₙ₋₂-...-cₙ₋₁x₁-cₙ=0其中x₁,x₂,...,xₙ为变量。
我们可以通过观察数列的递推关系来确定特征方程中的系数。
具体方法如下：1.观察递推关系中的系数c₁,c₂,...,cₙ；3.求解特征方程，得到特征根。
特征方程的解，也称为特征根，是特征方程的根，通常由它的重根个数决定数列的通解形式。
当特征根都是互不相等的实数时，数列的通解可以表示为：aₙ=A₁r₁ⁿ+A₂r₂ⁿ+...+Aₙrₙⁿ其中A₁,A₂,...,Aₙ为常数，r₁,r₂,...,rₙ为特征根。
当特征根中存在共轭复根时，数列的通解可以表示为：aₙ = (A₁r₁ⁿ + A₂r₂ⁿ + ... + Aₙrₙⁿ)cos(ωn) + (B₁r₁ⁿ + B₂r₂ⁿ+ ... + Bₙrₙⁿ)sin(ωn)其中A₁,A₂,...,Aₙ,B₁,B₂,...,Bₙ为常数，r₁,r₂,...,rₙ为特征根，ω为共轭复根的辐角。
通过特征方程法，我们可以求解出数列的通解。
在实际问题中，根据已知的数列前几项，我们可以构造数列的递推关系并使用特征方程法求解出数列的通解。
然后根据题目给出的条件，我们可以求解出具体的系数，从而得到数列的具体形式。
总结起来，特征方程法是通过构造特征方程来求解数列的递推关系的一种方法。
通过特征方程的解，我们可以得到数列的通解，并根据题目给出的条件得到数列的具体形式。
数列的递推公式历史与应用
数列的递推公式历史与应用数列是数学中的一种基本概念，它在我们日常生活和学习中无处不在。
数列递推公式是一种用来描述数列中各项之间关系的公式，它可以帮助我们找出数列中任意一项的值。
本文将介绍数列递推公式的历史发展以及在实际应用中的重要性。
一、数列的历史数列的概念可以追溯到古代数学。
早在公元前6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯就研究了一些特殊的数列，例如著名的毕达哥拉斯数列。
数列的研究在古希腊和古印度的数学中得到了广泛的应用。
随着数学的发展，数列的研究逐渐成为一门独立的学科。
17世纪，法国数学家斯特林提出了斯特林数列的递推公式，成为数列递推公式研究的重要里程碑。
此后，欧洲的许多数学家纷纷投身于数列的研究中。
二、递推公式的定义与性质递推公式是用来求解数列中各项之间关系的公式。
一般而言，递推公式表示数列中的第n项与前面的若干项之间的关系。
数列递推公式的性质多种多样。
常见的递推公式包括线性递推公式、二次递推公式、等差递推公式等等。
这些递推公式都有各自的特点和应用范围。
三、递推公式的应用递推公式在实际应用中具有广泛的用途。
以下是其中的几个应用领域举例：1. 自然科学领域：递推公式可以用来描述各种自然现象，例如天体运动、物理实验中的数据等。
科学家们常常通过观察数据并建立递推公式，预测未来的趋势和结果。
2. 金融领域：递推公式在金融领域中起着重要的作用。
例如，复利计算中的递推公式可以用来计算投资收益、贷款利息等。
金融机构和个人投资者都需要掌握递推公式的运用。
3. 统计学领域：递推公式在统计学中被广泛运用。
例如，在人口统计、经济增长预测等领域，递推公式可以帮助我们分析并预测数据的变化趋势。
四、递推公式的举例1. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）：斐波那契数列是一个经典的递推数列。
它的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，例如植物的分枝规律、蜂房的构造等。
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递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。
在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …)，求通项公式n a 。
参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为12+=x x 即012=--x x ，解得251±=x ， 设此数列的通项公式为nn n c c a )251()251(21-++=， 由初始条件121==a a 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==515121c c ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n a )251(251(55）。
这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。
换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。
面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。
其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。
二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1-=c dt ，当1≠c 时可得 )1(11-+=-++c da c c d a n n ，知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1(1--+=-+∴n n c c da c d a 将b a =1代入并整理，得()11---+=-c d c b d bc a n n n .将上述参数法类比到二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a 能得到什么结论？ 仿上，我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征： 不妨设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ， 则11)(-++-=n n n sta a t s a , 令⎩⎨⎧==-qst pt s ①（1） 若方程组①有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a ,)(12221-++=+n n n n a t a s a t a ,即{}n n a t a 11++、{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列， 由等比数列性质可得1111211)(-++=+n n n s a t a a t a , 1212221)(1-++=+n n n s a t a a t a ,∵,21t t ≠由上两式消去1+n a 可得()()()n n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=.（2） 若方程组①有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11s t -=，则())(2112111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a =…)(11211a t a s n +=-，211121111s a s a s a s a nn n n -=-∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列， 由等差数列性质可知()21112111.1s a s a n s a s a nn --+=， 所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=．（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t 即得02=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程q px x +=2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为022=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根1s 、2s ，则n nn s c s c a 2211+=； 2、 若方程有两等根21s s =，则nn s nc c a 121)(+=.其中1c 、2c 可由初始条件确定。
这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令1==q p ，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d cb a ），看看又会有什么发现？仿照前面方法，等式两边同加参数t ，则da c ct a dtb a ct a t d ac b a a t a n n n n n +⋅++++=++⋅+⋅=++)(1 ② 令cta dtb t ++=，即 0)(2=--+b t d a ct ③ 记此方程的两根为21,t t ，（1） 若21t t ≠，将21,t t 分别代入②式可得 da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(da c t a ct a t a n n n +⋅++=++2221)(以上两式相除得21212111t a t a ct a ct a t a t a n n n n ++⋅++=++++， 于是得到⎭⎬⎫⎩⎨⎧++21t a t a n n 为等比数列，其公比为21ct a ct a ++， 数列{}n a 的通项n a 可由121211121)(-++⋅++=++n n n ct a ct a t a t a t a t a 求得；（2）若21t t =，将1t t =代入②式可得da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(,考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11t a ct d t a c ct a t a n n n +-++⋅+=++ ④ 由于21t t =时方程③的两根满足cda t --=12，∴11ct d ct a -=+ 于是④式可变形为111111t a ct a c t a n n +++=++∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11t a n 为等差数列，其公差为1ct a c+， 数列{}n a 的通项n a 可由1111)1(11ct a cn t a t a n +⋅-++=+求得． 这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。
如果我们引入分式线性递推数列da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d cb a ）的特征方程为dcx b ax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列da cb a a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c Rd c b a ），其特征方程为d cx bax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，1、若方程有两相异根1s 、2s ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21s a s a n n 成等比数列，其公比为21cs a cs a --； 2、若方程有两等根21s s =，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11s a n 成等差数列，其公差为1cs a c-. 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。
如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。
三、应用举例例1、 已知数列,5,121==a a 且)2(4411≥-=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。
解 设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，∴11)(-++-=n n n sta a t s a 令⎩⎨⎧-==-44st t s 可得⎩⎨⎧-==22t s 于是=-=-=----+)2(2)2(2221211n n n n n n a a a a a a (1121)23)2(2--⋅=-=n n a a ，∴432211=-++n n n n a a ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn a 2是以21211=a 为首项、43为公差的等差数列， ∴43)1(212⋅-+=n a nn ，从而22)13(-⋅-=n n n a . 例2、设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7245,211++==+.解： 对等式两端同加参数t 得()(),7252475272475272451++++⋅+=++++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a 令5247++=t t t ，解之得1-=t ，2，代入上式 得,72292,7213111++⋅=++-⋅=-++n n n n n n a a a a a a两式相除得,21312111+-⋅=+-++n n n n a a a a即31,41212111公比为是首项为=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-a a a a n n 的等比数列， ∴134234,34121111-⋅+⋅=⋅=+----n n n n n n a a a 从而． 四、收获与反思随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实施课堂教学改革。
如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。
由于数学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭教材的能力，“用好教材”、“超越教材”而不拘泥于教材，根据学生的实际情况，因材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式，“授人以鱼不如授之以渔”，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。