由三视图判断几何体或几何体组成的小正方体个数

由三视图判断小正方体个数问题

通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小正方体的个数，在中考或竞赛中经常会遇到。解决这类问题如果没有掌握正确的方法，仅仅依赖空间想象去解决，不仅思维难度很大，还很容易出错。

通过三视图计算组合图形的小正方体的个数，关键是要弄清楚这个小正方体组合图形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，小正方体的个数就迎刃而解了。在三视图中，通过主视图、俯视图可以确定组合图形的列数；通过俯视图、左视图可以确定组合图形的行数；通过主视图、左视图可以确定行与列中的最高层数。

以上方法可简要地概括为：“主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人。”

一、结果唯一的计数

例1在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（）。

A．9箱B．10箱C．11箱D．12箱

分析：由三视图可知，这堆货箱共有从前到后3行，从左到右3列。由左视图：第一行均为1层，第二行最高2层，第三行最高3层；由主视图：第一列、第三列均为1层，第二列（中间列）最高为3层。故第二行、第二列为2层，第三行第二列为3层，其余皆为1层。各行、各列小正方体的个数如俯视图中所表示。这堆货箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。

二、结果不唯一的计数

例2（“希望杯”数学邀请赛试题）如图2，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（）。

分析：由给出的主视图、俯视图可以看出，该几何体共有2行，3列。第1列均为1层，第2列最高2层，第3列最高3层。

左视图为A时，第1行、第2行最高均为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行、第2行均可为1层或2层，，但不能同时为1层；第3列两行均为3层。此时，小正方体的个数如俯视图A所示，最少为1+2+1+3+3=10（个），最多为1+2+2+3+3=11个。

左视图为B时，第一行均为1层，第二行最高为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行为1层，第2行均可为2层；第3列第1行为1层，第2行为3层。此时，小正方体的个数如俯视图B所示。小正方体个数为1+1+1+2+3=8（个）。

左视图为C时，第1行最高为2层，第2行最高为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行为1层或2层，第2行均为1层或2层，但不能同时为1层；第3列第1行为1层或2层（不能与第2列第1行同时都为1层），第2行为3层。此时，小正方体的个数如俯视图C所示。小正方体最少为1+2+1+1+3=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。

左视图为D时，第1行最高为3层，第2行最高为2层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行为1层或2层，第2行均为1层或2层，但不能同时为1层；第3列第1行为3层，第2行为1层或2层（不能与第2列第2行同时为1层）。此时，小正方体的个数如俯视图C所示。小正方体最少为1+1+3+2+1=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。

三、根据两种视图确定计数范围

例3（江阴市中考题）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为。

分析：题设中给出了主视图、俯视图，可知这个几何体有3列，2行。第1列均为1层，第2列最高2层，第3列最高3层。

几何体小正方形块数最少的情况是：第1列只有1行，共1个小正方体；第2列两行，至少有一行为2层，最少有2+1=3个小正方体，第3列两行中至少有一行为3层，最少有1+3=4个正方体。因此几何体最少块数为1+3+4=8块。

几何体小正方形块数最多的情况是：第1列只有1行，共1个小正方体；第2列两行，均为2层，共有2+2=4个小正方体，第3列两行均为3层，共有3+3=6个正方体。因此几何体最少块数为1+4+6=11块。

练习：

故n的所有可能值为8，9，10，11，所有可能值之和为8+9+10+11=38。

1.（2010•河南）如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为7 。

分析：易得这个几何体共有2层，3行，2列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．

解答： 3行，2列，最底层最多有3×2=6个正方体，第二层有1个正方体，那么共有6+1=7个正方体组成．

最少5个。

故答案为：7．点评：主视图和左视图确定组合几何体的层数，行数及列数．2. 如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图（1）请你画出这个集合体的一种左视图

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值

主视图俯视图左视图

分析：由主视图和俯视图可知该几何体共有3层，2行，3列，那么左视图有2行3列，层数是3层。

解答：底层（俯视图）5个，由主视图知第2层第一行第2、3列各1个，第3层第一行第3列1个，相加为8个（最少）；也可以是第2层第一行、第2行各1个，则为9个；也可以第2层第2行第3列1个，为10个；也可以第2层第2行第3列1个，第3层第一行第3列1个，则为11个（最多）。

答案：n=8、9、10、11

3.由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图：（1）请你画出这个几何体的其中两种左视图；

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．

分析：（1）由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列，由主视图可得共有3层，那么其中一列必为3个正方形，另一列最少是1个，最多是3个；（2）由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第二列第二层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3列第2层，最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能的值．

解：（1）

（2）∵俯视图有5个正方形，

∴最底层有5个正方体，