方程与不等式题型分析和复习策略

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数学中的方程与不等式知识点解析及解题技巧

数学中的方程与不等式知识点解析及解题技巧在数学学科中，方程和不等式是两个重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学理论中起到了关键作用。

本文将对方程与不等式的知识点进行详细解析，并介绍解题的技巧。

一、方程的定义和解析方程是一个等式，其中包含未知数和已知数，通过求解未知数的值，使得等式成立。

方程可以用于解决各种实际问题，例如物理、经济和工程等领域。

在数学中，方程的解可以是一个数值、一个值的集合或一个函数。

方程的类型包括线性方程、二次方程、多项式方程等。

线性方程是最简单的一种方程形式，其一般表示形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解线性方程的常用方法是移项和消元法。

二次方程是一种形式更复杂的方程，其一般表示形式为ax^2 + bx +c = 0。

解二次方程可以使用求根公式或配方法。

求根公式为x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a，其中a、b、c均为已知数。

多项式方程是包含多个项的方程，其中每个项都是未知数的幂和系数的乘积。

多项式方程的解可以是一个数值或一个值的集合。

二、不等式的定义和解析不等式是一个包含不等号的数学表达式，用于比较两个数的大小关系。

不等式的解集是满足不等式成立的数的集合。

在数学中，不等式常被用于描述范围、概率和不确定性等问题。

不等式的类型包括线性不等式、二次不等式和绝对值不等式等。

线性不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解线性不等式的方法包括图解法和区间判断法。

二次不等式的形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

解二次不等式可以使用求根公式或判别式等方法。

绝对值不等式的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| < c。

解绝对值不等式需要考虑绝对值的两个取值情况，分别得到不等式的解集。

三、解题技巧1. 方程和不等式通常需要化简。

方程与不等式教学复习建议

方程与不等式教学复习建议首先，在复习方程与不等式之前，学生们应该回顾一下相关的基本知识和概念。

包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、一元一次不等式和一元二次不等式的定义、性质和解法。

这些基础知识是学习方程与不等式的基础，是深入理解和应用方程与不等式的前提。

其次，在复习方程与不等式的解法时，学生们可以采用多种方法进行巩固。

比如，可以通过代入法、消元法、配方法等来解一元一次方程；通过公式法、配方法等来解一元二次方程；通过加减消元法、代入法等来解二元一次方程；通过分析法、套值法等来解一元一次不等式；通过图像法、套值法等来解一元二次不等式。

通过练习不同的解法，学生们可以更灵活地运用方程与不等式的解法，增加解题的思路和方法。

接下来，学生们可以通过大量的例题进行巩固。

在解题过程中，学生们应注意先理解题意，将问题转化为方程或不等式，然后运用相应的解法来求解。

并注意求解过程中的合理性和解的判定条件。

通过解题，学生们可以增加对方程与不等式的熟悉程度，掌握题型的套路和解题的技巧。

此外，学生们应该注重分析问题和归纳总结。

在解题过程中，学生们应该注意思考解题的思路和步骤，总结规律和特点。

通过分析问题，学生们可以更好地理解方程与不等式的含义和应用场景。

通过归纳总结，学生们可以总结解题方法和技巧，为以后的学习和应用打下基础。

最后，做好习题和试卷的复习是巩固和提高的重要方式。

学生们可以针对方程与不等式的知识点，选择一些经典的习题和试题进行练习。

可以选择一些基础的题目进行巩固，也可以选择一些较难的题目进行拓展。

通过做题，学生们可以更全面地巩固和应用方程与不等式的知识，发现和解决问题，提高解题和思考的能力。

总之，方程与不等式是高中数学中的重要内容，学生们在复习时应该注意巩固基础知识，多种解法的掌握，大量习题的练习，问题的分析和总结。

通过不断地复习和实践，学生们可以更好地理解和应用方程与不等式，提高解题和思维的能力。

希望以上建议能对学生们的方程与不等式的复习有所帮助。

方程与不等式的解法例题和知识点总结

方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。

一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。

1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。

例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。

2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。

例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。

3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。

例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。

二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。

1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。

例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。

专题2：方程和不等式(组)常见题型和解题方法(终稿)

2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题2：方程和不等式（组）常见题型和解题方法一、热点再练：1. 方程36x =的解为 .2. 关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有一个根为1，则a +b +c = . 3．方程0532=++px x 的一个根为5，另一个根为______、p =_______.4．如果关于x 的方程(m –2)x 2–2x +1=0有解，则m 的取值范围是_______.5．已知关于x 的方程a (1–x 2)+2bx +c (1+x 2)=0有两个相等的实数根且a 、b 、c 均为正数，以a 、b 、c 为边围成一个三角形，则该三角形是________三角形.6．方程)2()2(2-=-x x 的根是________.方程组⎩⎨⎧=+=-1435y x y x 的解为________. 7．若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是________. 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【】A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩， C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 9．下列方程中，两实数根之和是2的是【】A ．x 2–2x +5=0B ．x 2+2x –5=0C ．x 2+2x +5=0D ．x 2–2x –5=010．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且10x <，2130x x -<，则【】A ．1,2m n >⎧⎨>⎩B ．1,2m n >⎧⎨<⎩C ．1,2m n <⎧⎨>⎩D ．1,2m n <⎧⎨<⎩11．已知直线y =2x －b 经过点（－2，0），则关于x 的不等式2x －b ≥0的解集为__________．12．设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两根分别为α、β，且a <β，则a ，β满足【】A ．1<a <β<2B ．1<a <2<βC ．a <1<β<2D ．a <1且β>2（第9题）13．关于x 、y 的二元一次方程组5323x y x y p +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，则整数p 的值为__________． 14．解分式方程225103x x x x-=+-．二、规律剖析例1. 解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪---⎩，≤并在数轴上把解集表示出来．例2.已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，求k 的取值范围．例3. 已知关于x 的一元二次方程mx 2－（3m ＋1）x ＋2m ＋2＝0的两实根为x 1，x 2．（1）请用含m 的代数式表示x 1，x 2；（2）且n ＝x 2－x 1－1，求在直角坐标系xOy 中动点P （m ，n ）所形成的曲线解析式．三、变式训练1. 若关于x 的不等式组10,233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．2. 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是．3．已知关于x 的一元二次方程2(41)330mx m x m -+++=的两个实数根分别为1x ，2x ，212n x x =--，设点A （1，a ），B （b ，2）两点在动点P （m ，n ）所形成的曲线上，求直线AB 的解析式．四、分层作业1．一元二次方程(2x －1)2＝(3－x )2的解是．2．关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是【】A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了张．4．设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝． 5. 下列关于x 的方程有实数根的是【】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝06．若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0有两个相等的实数根，则m = ．7．下列一元二次方程两实数根和为－4的是【】A ．x 2＋2x －4=0B ．x 2－4x ＋4=0C ．x 2＋4x ＋10=0D ．x 2＋4x －5=08．已知关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A ．－2B ．0C ．1D ．29．若关于x 的一元一次不等式组10,0x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ≤－1D ．a ＜－1 10．关于x 的不等式x －b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（）A ．―3＜b ＜―2B ．―3＜b ≤―2C ．―3≤b ≤―2D ．―3≤b ＜―211．求不等式组364,213(1)x x x x --⎧⎨+>-⎩≥的解集，并写出它的整数解．12.已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？14. 关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根都在0和1之间（不包括0和1），求a的取值范围．★15.已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，求整数a的值．★16.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。

方程与不等式复习策略

方程与不等式的复习策略北门乡中心校胡文明一.考点分析1.不等式与不等式组这节，最近几年在南充中考中考题的难度适中，多数是以列方程（组）或不等式解决实际问题出现的，重点考查利用等量关系或不等式关系建立方程（组）或不等式的数学建模思想的应用能力。

2.一元一次方程与二元一次方程组这部分内容近几年在南充中考中难度不大，一般是基础题，多数是作为分式方程、一元二次方程的解法基础出现的，单独又以应用题、一元一次不等式的综合应用出现次数居多。

3.一元二次方程这章近几年的南充中考题中一般是选择、解答题型，考查一元二次方程及其解法，重点考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，分值约占8%~11%二.复习的策略与方法1. 宏观把握，整体规划对课程内容的宏观把握上，要依纲（数学课程标准）靠本（教材），熟悉课程理念，明确课程目标及内容要求.对中考考试的宏观把握上，要认真研究中考说明，明确考试的范围、侧重点、每一个考点的具体要求，做到：①以中考考试说明为指导，以近年来中考命题的稳定性风格为导向；②以课标为大纲，以教材为依据，又不拘泥于教材；③以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年中考试题为基本素材.2. 构建网络，加强联系(1) 加强数学知识内容之间的联系数与式之间的联系. 数与形之间的联系.方程、不等式、函数之间的联系.(2) 加强知识、方法与数学观念及数学能力之间的联系(3) 加强数学知识与现实生活的联系在中考复习中，要充分利用已有的生活经验和熟知的生活实例，通过比较、分析、猜想、归纳、综合等思维训练，使之完成各知识之间的正迁移；通过抽象、概括、数学建模来增强应用数学的意识，提高分析问题和解决问题的能力.3. 夯实双基，凸现思想方法中考试卷重视“双基”的考查，更重视数学核心知识和基本能力考查，因此，必须重视“双基”的复习。

那种盲目地做大量的综合题而忽视“双基”的行为是不可取案例1. 一元一次不等式（组）单元的“双基”复习第一环节，出示问题1：关于一元一次不等式（组）这一单元的内容，你还记得哪些？学生先回顾、交流，再对照课本整理，然后师生构建知识网络，使学生储存的知识条理化、系统化.第二环节，出示问题2：你还记得以这一单元知识为载体的例习题的类型吗（不等式的基本性质、不等式的解集、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式（组）的应用）？完成具有代表性的例题，并解决相应的变式练习.教师针对学生完成的情况进行有针对性的讲评,突出易错点.第三环节，出示问题3：在不等式这一单元学习中，你积累了哪些经验？你认为有哪些注意事项？你感到困难的问题是什么？学生自我反思、总结.第四环节，出示问题4：编拟有典型性、代表性、覆盖面广（要求有一元一次不等式（组）的应用题——突破难点，增强应用意识，提高解决问题的能力）的测试题，与同伴们互测互批，教师查阅评价，反馈矫正，夯实双基.数学思想方法是数学的精髓，初中“数与代数”部分蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化的思想、待定系数法、配方法、消元法等.在中考复习中，结合基础训练，显化数学思想方法，突出数学思想方法的运用，把学生的经验积累上升为思想方法并内化.4. 合作探究，提高综合素质复习课的总目标是通过学生的再认识、再实践，进一步提高学生的学习能力、解决问题的能力及综合素质。

初中数学复习解方程与不等式的常见方法

初中数学复习解方程与不等式的常见方法一、方程的解法在初中数学中，解方程是一个重要的内容。

解方程的基本思想是通过找到未知数的取值，使得等式两边成立。

下面介绍几种常见的解方程方法。

1.1 代入法代入法是解一元一次方程的简单有效方法。

首先将方程中的一边用已知数值替代，然后求解未知数的值。

例题：求解方程2x + 3 = 7。

解法：将7代入方程，得到2x + 3 = 7，然后解得x = 2。

1.2 消元法消元法是解一元一次方程的常用方法。

通过加减或乘除等运算，将方程中的未知数系数相消，最终求得未知数的值。

例题：求解方程3x + 2 = 5x - 1。

解法：将5x-1减去3x+2，得到2x=-3，然后解得x=-1.5。

1.3 因式分解法因式分解法适用于一些特殊的多项式方程。

通过因式分解，将方程化简为两个乘积等于零的方程，然后求解未知数的值。

例题：求解方程x^2 - 4 = 0。

解法：将方程进行因式分解，得到(x+2)(x-2) = 0，然后解得x=-2或x=2。

二、不等式的解法解不等式与解方程类似，不同之处在于不等式的解集通常是一个区间。

下面介绍几种常见的解不等式方法。

2.1 图解法图解法是解不等式的直观方法。

首先画出不等式的图像，然后确定满足不等式条件的区域。

例题：求解不等式2x + 3 > 5。

解法：将不等式化简，得到2x > 2，然后画出2x=2的直线，由于不等式为大于号，所以直线右侧的区域满足条件。

因此，解集为x>1。

2.2 代入法代入法也可以用于解不等式。

通过代入不同的数值，确定满足不等式条件的数值范围。

例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 <= 0。

解法：将不等式中的不等号改为等号，得到x^2 - 4x + 3 = 0，然后解得x=1或x=3。

代入数值x=2，得到2^2 - 4*2 + 3 = -1；代入数值x=0，得到0^2 - 4*0 + 3 = 3。

由于题目要求的是小于等于0的解，所以解集为x<=1或x>=3。

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2.注重应用，重视对解决实际问题能力的考察
“解决问题能力”是数学考查的主要内容,关注数学与生活的联系，培养学生应用与解决问题的能力是新课标所倡导的基本理念之一。体现在应用题比例普遍较大，保持了较高分值，涉及的知识面较广,背景广泛、取材丰富,重视考查学生从简单的实际问题中抽象出数学模型的能力与应用意识。突出了试题的教育价值而且具有较好的信度和效度。
一、新课标下的“方程与不等式”分析
1．考点课标要求：
（1)根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
(2)经历用观察、画图或计算器手段估计方程解的过程。
（3)会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）
（4)理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
降低的方面:(1）没有可化为一元二次方程的分式方程，可化一元一次的有要求(分式不超过2个);（２）没有高次方程、根式方程、二元二次方程组;（３)没有韦达定理；(4）没有用求根法分解二次三项式．
不等式与不等式组
加强的方面:(1）重视对不等式意义的理解——根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义；（２)重视不等式基本性质的探索过程;（３）重视用数轴确定解集．
在每年的中考中都会出现一些让人耳目一新的题,它们精巧的构思、生机盎然的呈现形式让人注目。这些题常中见拙，拙中见巧,为不同程度的学生提供了展示自己才华的平台。
（2００8年贵阳市)利用图象解一元二次方程时,我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线ｙ=x2和直线y＝-x＋3,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
降低的方面:(1）一元一次不等式组限２个不等式;（２)对不等式的整数解没有明确要求,但解决实际问题中要用到.

中考宝典：初中数学不等式和方程解题技巧和例题分析

中考宝典：初中数学不等式和方程解题技巧和例题分析
方程和不等式是中学数学的重要组成部分，也是函数学习的基础，在各地中考试题中，方程和方程组、不等式和不等式组往往作为填空题、选择题和解答题出现，重点都是要求学生掌握方程的概念和解法，不等式解集概念和解集在数轴上表示出来。

这个版块作为考试的重点，往往导致很多考生丢分，还有很多考生看见不等式的题目就望而却步。

今天，小编分享一下各地中考的方程和不等式的题型和解法，家长们可以收藏起来，让孩子多加练习，一定能让数学成绩提高！
技巧与方法：
一、能根据实际问题列出不等式组，通过求解不等式而解决实际问题；用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式组的知识解答应用题和方案设计型试题
二、一方面注重不等式组解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重对其与现实生活的联系，加强对解决简单实际问题的数学考查
重难点：利用不等式、方程解决实际问题中，在解题过程中审题要细致，题中所求的未知量的特定意义要全部挖掘出来，增设辅助未知数，给我们利用等量、不等量关系带来很大的便利，能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用。

方程与不等式复习建议

方程与不等式复习建议一、考点内容：1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，其中配方法还可用于考察非负性4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用5、一元二次方程根的判别式及应用6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集7、不等式的基本性质8、一元一次不等式（组）的解法及应用二、考点及考题形式分析：近四年资阳市的中考试题中，考查方程与不等式知识的分值平均占到15%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法，以选择题为主；分式方程的解法一般作为解答题，一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用，常见题型为选择题和填空题，难度一般不大；一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主（重后者）；方程和方程组的应用主要有两个方面：一是建立方程模型解直角三角形，二是列二元一次方程组及一元一次不等式组解方案设计类及决策类问题．方程，不等式贯穿在函数知识的考察中作解答题（难点）。

三、易错点分析：1、一元二次方程的取值范围（二次项系数不为0）例：已知关于x 的二次方程（1－2K ）x 2－201=-x k 有实数根，则K 的取值范围是解析：此题有两处易错，一是：忽视二次项系数1－2K ≠0，二是：有实数根是ac b 42-≥0，而不是ac b 42-＞0. 答案：2110≠≤≤k k 且 2、关于一元一次不等式组有解无解的条件或已知整数解求字母系数的取值范围（考虑是否相等）.例：如果一元一次不等式组3x x a>⎧⎨>⎩的解集为3x >.则a 的取值范围是: （）A .3a >B .3≥aC .3≤aD .3 a解析:利用同大取大可以得到a <3易忽视a =3时解集也为3x >这种情况，导致错选D 答案：C3、解分式方程（验根）例：解方程x x-=-22482 解析：解分式方程时易忘记检验，导致结论出错.答案：两边同时乘以（4－x 2）并整理得8=2（2+x ），解之得x =2经检验x =2是增根，原方程无解.4、换元法、用整体代入解方程或不等式（理解整体的非负性或整体是否有解）. 例：已知5)3)(1(2222=-+++y x y x , 则22y x +的值等于解析：学生解题时易直接换元令a y x =+22，解得42=-=a a 或然后直接填答案，易忽视a 不能为负数这个隐含条件.答案：45、方程的解、函数的性质、函数图象、不等式的解集之间的转换（理清联系，多用图形分析法）。

初中数学关于方程与不等式的解法分析

初中数学关于方程与不等式的解法分析在初中数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们不仅是解决数学问题的有力工具，也是进一步学习高中数学和其他学科的基础。

方程和不等式的解法有其独特的规律和技巧，掌握这些方法对于提高数学解题能力至关重要。

一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的过程就是找到使等式成立的未知数的值。

初中阶段我们主要学习一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程等。

1、一元一次方程一元一次方程的一般形式为＄ax ＋ b ＝ 0$（其中＄a ＼neq 0$），其解法主要是通过移项、合并同类项和系数化为 1 来求解。

例如，对于方程＄3x ＋ 5 ＝ 14$，首先将 5 移到等号右边得到＄3x ＝ 14 5$，即＄3x ＝ 9$，然后将系数 3 化为 1，得到＄x ＝ 3$。

2、二元一次方程组二元一次方程组通常有两种解法：代入消元法和加减消元法。

代入消元法是将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。

比如方程组＄＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y＝ 1\end{cases}＄，由第一个方程可得＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得到＄5 y y ＝ 1$，解得＄y ＝ 2$，再将＄y ＝ 2$ 代入第一个方程可得＄x ＝ 3$。

加减消元法是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数。

例如对于方程组＄＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 8 ＼＼ 3x 2y ＝ 7\end{cases}＄，将第一个方程乘以 2，第二个方程乘以 3，然后相加，可以消去＄y$，从而求得＄x$ 的值，再代入求出＄y$ 的值。

3、一元二次方程一元二次方程的一般形式为＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中＄a ＼neq 0$），解法有配方法、公式法和因式分解法。

配方法是通过在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式。

[精品]华东版《方程与不等式》复习建议.doc

《方程与不等式》复习建议“方程与不等式”是初屮数学最重要的内容之一，是贯穿初屮数学教学的一条主线，是学生解决实际问题的一种工具。

在近年屮考屮考察该部分知识约占20-30分。

一、课程标准的要求（1）方程与方稈组%1能够根据具体问题屮的数量关系，列出方稈，体会方程是刻慚现实世界的一个有效的数学模型。

%1经历用观察、tai图或计算器等手段佔计方程解的过程。

%1会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

%1理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方稈。

%1能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

（2）不等式与不等式组%1能够根据具体问题屮的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基木性质。

%1会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。

会解由两个一元一次不等式成的不等式组，并会用数轴上确定解集。

%1能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。

二、考试标准的要求知识要点知识技能目标过稈性目标了解理解掌握灵活运用经历体验探索根据具体问题屮的数最关系出列出方程（组）7估计方程的解V7解一元一次方稈7解简单的二元一次方程（组）7解可化为一元一次方程的分式方程7配方法7用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程V列方程（组）解应用题，要检验结果是否合理7解分式方程必须验根7不等式的意义7不等式的基木性质77解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集7解由两个一元一次不等式成的不等式组7根据具体问题屮的数量关系，列出一元一次不等式（组）7三、复习重点能正确、熟练的解一元一次方稈、简单的二元一次方程组，理解配方法，并熟练的用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；掌握简单分式方程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程屮的分式不超过两个）并会验根；能根据具体问题屮的数量关系，列出方程（组），并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解

中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解方程和不等式是数学中的重要内容，也是中考数学考试中经常出现的题型。

掌握方程和不等式的解法和应用，对于提高中考数学成绩至关重要。

下面将对方程和不等式的知识进行讲解，帮助同学们更好地复习和理解。

一、一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。

解一元一次方程的基本步骤如下：1. 移项：将方程中的常数项移到方程的另一侧，得到ax = -b。

2.化简：将方程中的系数和常数进行运算和化简，得到x的系数为1，b的相反数为其常数项。

3.消元：将方程两边同时除以系数a，得到x=-b/a。

二、一元二次方程一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b 和 c 是已知数，x 是未知数。

解一元二次方程的基本步骤如下：1. 判别式：计算判别式D = b² - 4ac。

2.判断解的情况：a.当D>0时，方程有两个不相等的实根。

b.当D=0时，方程有两个相等的实根。

c.当D<0时，方程没有实数解。

3.求解实根：根据判别式的情况，应用二次根式公式x=(-b±√D)/2a求得方程的实根。

三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0 或 ax + b < 0的不等式，其中a、b 是已知数，x 是未知数。

解一元一次不等式的基本步骤如下：1.移项：根据不等式的符号，将常数项移到不等式的另一侧。

2.化简：将不等式中的系数进行运算和化简。

3.计算不等号的符号：根据不等式的规则，计算出x的取值范围。

四、一元一次不等式组一元一次不等式组是形如{ax + by > 0, cx + dy < 0}的不等式组，其中a、b、c、d 是已知数，x、y 是未知数。

解一元一次不等式组的基本步骤如下：1.分别解出两个不等式的解集。

2.将解集进行交集操作，得到不等式组的解集。

2024中考备考热点02 方程(组)与不等式(组)(12大题型+满分技巧+限时分层检测)(原卷版)

热点02 方程（组）与不等式（组）中考数学中《方程（组）与不等式（组）》部分主要考向分为四类：一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~4道，8~14分）二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）三、分式方程（每年1~3题，3~12分）四、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。

其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有1题，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。

一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。

分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。

不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。

虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。

考向一：一元一次方程与二元一次方程组【题型1 实际问题抽象出一元一次方程】行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得()A．12240150x x+=B．12240150x x=-C．240(12)150x x-=D．240150(12)x x=+2．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．3．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【题型2 二元一次方程组的解法相关】满分技巧解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。

版高考数学一轮总复习解方程与不等式的技巧与策略

版高考数学一轮总复习解方程与不等式的技巧与策略高考数学一轮总复习解方程与不等式的技巧与策略在高考数学中，解方程与不等式是一项重要的内容，也是考查学生解决实际问题能力和逻辑思维能力的常见方式。

本文将为大家介绍一些解方程与不等式的常用技巧与策略，希望能够帮助大家提高解题效率。

一、解一元一次方程一元一次方程是高考数学中最基础的方程类型，其求解过程相对简单。

一般可以通过正反合理性检验或代数解法来求解。

1. 正反合理性检验法正反合理性检验法是一种常用的解一元一次方程的方法。

具体步骤如下：（1）设定未知数，列出方程；（2）解出未知数的值；（3）将解代入原方程，检验是否满足。

例如，解方程3x + 5 = 20，我们可以按照以下步骤进行求解：（1）设定未知数x，列出方程3x + 5 = 20；（2）解出未知数的值x = (20 - 5) / 3 = 5；（3）将解代入原方程3 * 5 + 5 = 20，满足方程，因此解为x = 5。

2. 代数解法代数解法是通过代数运算的方式求解一元一次方程。

常用的代数解法包括等式两侧运算、两侧消元法等，具体策略根据方程的形式灵活运用。

二、解一元二次方程一元二次方程是高考数学中较为复杂的方程类型，其求解过程需要运用二次根式的求解方法。

1. 求解一元二次方程的基本步骤（1）设定未知数，列出方程；（2）通过配方法化简等方式，将方程化为标准形式（即去掉二次项系数）；（3）利用求根公式或配方法求解方程；（4）检验解的合理性。

需要注意的是，在应用求根公式求解一元二次方程的过程中，注意判别式的正负与根的关系，以及特殊情况下解的形式。

2. 化简方程的配方法对于一些无法直接利用求根公式求解的一元二次方程，可以通过配方法进行化简。

常见的配方法包括完全平方公式、提取公因式法等。

具体策略根据方程的具体形式采用。

三、解一元二次不等式一元二次不等式是高考数学中较为复杂的不等式类型，其求解过程需要利用一元二次函数的图像性质和不等式的性质。

五年级数学下册期末测中的方程与不等式题攻略

五年级数学下册期末测中的方程与不等式题攻略方程与不等式是数学中重要的概念和工具，对于五年级的学生来说，理解和掌握方程与不等式的求解方法至关重要。

本文将为大家分享一些在五年级数学下册期末测中解答方程与不等式题的攻略。

第一部分：方程题方程是一个等式，其中包含有未知数。

解方程就是找到未知数的值，使得等式成立。

五年级的方程题主要包括一次方程和二次方程两种类型。

在解一次方程时，首先要观察等式两边的数字和符号，通过逆运算将未知数的系数和常数项分别带到等式两边，最终求得未知数的值。

例如，对于方程3x + 5 = 14，我们可以通过逆运算得到 x = (14 - 5) ÷ 3= 3。

在解二次方程时，常用的方法是配方法和因式分解。

配方法适用于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程。

我们通过构造出一个完全平方形式的三项式，将二次项和常数项的系数进行变换，使得方程可以通过因式分解或开平方的方式求解。

第二部分：不等式题不等式是数学中表示两个数之间关系的一种符号。

与解方程不同，解不等式要找到使得不等式成立的解集。

五年级数学中，常见的不等式包括一元一次不等式和一元一次绝对值不等式。

在解一元一次不等式时，我们需要注意到不等式两边的符号，然后通过符号的变换来确定解的范围。

例如，对于不等式2x - 3 > 7，我们首先将常数项移动到不等式的另一边，得到2x > 10，然后将不等号旋转，并将解表示为区间形式，即x > 5。

解一元一次绝对值不等式时，我们需要将绝对值不等式转化为两个不等式，并找到两个不等式交集的解集。

例如，对于不等式|3x - 4| ≤ 10，我们将其转化为两个不等式，即3x - 4 ≤ 10和-(3x - 4) ≤ 10。

然后通过求解这两个不等式，得到解集 -2 ≤ x ≤ 4。

第三部分：解题技巧与注意事项除了理解方程和不等式的概念，还有一些解题技巧和注意事项可以帮助我们更好地解答这些题目。

方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（空集）（大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

初中数学方程与不等式学习技巧

初中数学方程与不等式学习技巧学习初中数学方程与不等式时，以下是一些有效的学习技巧：1.理解定义和基本概念：首先确保你清楚方程与不等式的定义和基本概念。

方程是一个包含未知数的数学语句，通过等号连接；而不等式则使用不等号（如大于、小于或等于）来连接表达式。

2.学习方程的解法：掌握解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程等不同类型方程的解法。

了解移项、合并同类项、去括号、配方等基本步骤和技巧。

3.学习不等式的解法：理解不等式解集的概念，并学习如何求解一元一次不等式、一元二次不等式等。

注意不等式的解法与方程有所不同，特别是在处理不等号时要特别小心。

4.利用图形辅助理解：方程和不等式的解往往可以在数轴上表示。

学会利用数轴来直观地理解方程的解和不等式的解集。

5.进行大量的练习：通过做大量的练习题来巩固对方程与不等式概念和解法的理解。

从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，提升自己的解题能力。

6.关联和对比：将方程与不等式进行关联和对比，理解它们之间的联系和区别。

例如，一元一次方程和一元一次不等式在解法上有一定的相似性，但不等式的解集通常是一个区间而不是一个具体的数。

7.掌握实际问题的建模：方程与不等式常常用于解决实际问题。

学会将实际问题转化为数学模型（即方程或不等式），然后求解。

8.总结归纳：将学习到的方程与不等式的知识和技巧进行归纳整理，形成自己的知识体系。

这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。

9.参加讨论和求助：与同学或老师讨论方程与不等式相关的问题，通过交流和分享来加深对它们的理解。

遇到难以解决的问题时，及时向老师或同学求助。

10.持续复习：定期复习方程与不等式的概念和解法，确保你能够长期记忆和应用它们。

在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。

遵循这些学习技巧，你将能够更好地掌握初中数学中的方程与不等式知识，提高解题能力。

高中数学方程与不等式的相关题型与解答方法

高中数学方程与不等式的相关题型与解答方法在高中数学中，方程与不等式是重要的内容之一。

掌握了方程与不等式的相关题型和解答方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的逻辑思维和数学运算能力。

本文将从常见的方程与不等式题型入手，详细介绍解题方法，并通过具体例子进行说明。

一、一元一次方程一元一次方程是高中数学中最基础的方程之一。

其一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的方法有很多，常用的有等式两边加减法、等式两边乘除法和移项法。

例如，解方程2x + 3 = 7：首先，我们可以使用等式两边加减法将3移到等式右边，得到2x = 7 - 3 = 4；然后，再使用等式两边乘除法将2移到x的一侧，得到x = 4 / 2 = 2。

二、一元二次方程一元二次方程是高中数学中较为复杂的方程之一。

其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的方法有多种，常用的有配方法、因式分解法和求根公式法。

例如，解方程x² - 5x + 6 = 0：首先，我们可以使用配方法将方程进行分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0；然后，根据零乘法，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0；最后，解得x = 2或x = 3。

三、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中常见的不等式之一。

其一般形式为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，可以使用等式两边加减法和等式两边乘除法。

例如，解不等式2x - 3 > 5：首先，使用等式两边加减法将-3移到不等式右边，得到2x > 5 + 3 = 8；然后，再使用等式两边乘除法将2移到x的一侧，得到x > 8 / 2 = 4。

四、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式之一。

中考数学复习如何应对解方程与不等式的题目

中考数学复习如何应对解方程与不等式的题目解方程与不等式是中考数学中重要的考点之一，它是数学运算与推理能力的结合，也是检验学生数学基础的重要手段。

面对这类题目，学生们可以采取以下几个方面的复习方法，以应对中考中的解方程与不等式题目。

一、掌握解一元一次方程的基本方法解一元一次方程可以通过移项、合并同类项以及借助等式的性质等步骤进行。

在复习过程中，学生们应该熟练掌握这些基本方法，并通过大量练习加深理解。

可以通过列方程、代入法、消元法等方式解题，灵活应用不同的解法。

例如，对于题目“某数的三倍与4的和等于16，求这个数”，学生可以设这个数为x，列出方程式3x+4=16，然后通过移项和化简的步骤得到x的值。

二、分析理解二元一次方程组的解法解二元一次方程组是解方程与不等式题目中的一种常见类型，学生们需要通过联立或代入的方法，找到方程组的解。

在复习中，要掌握如何通过联立或代入的方式解题，并注意解方程组时要注意消元法的运用。

例如，对于题目“求解方程组2x + 3y = 103x - 2y = 7”，学生可以通过联立解法或代入解法，找到x和y的值。

三、深入理解一元二次方程的解题思路一元二次方程是考察学生应用解方程与不等式的能力的重要内容。

学生们需要掌握用配方法、公式法或图像法求解一元二次方程的方法，并能应用到不同的题目中。

例如，在解方程题目“求解方程x^2-2x+1=0”时，学生可以通过配方法、公式法或图像法，得到方程的解。

四、练习解一元一次不等式的方法解一元一次不等式也是中考复习中的一部分内容。

学生们应该通过代数方法和图像法来解决不等式问题。

通过练习不等式的真假性、绝对值不等式等题目，能够提高解决不等式题目的能力。

例如，在解不等式题目“-3x>9”时，学生需要通过翻转不等号的方法得出不等式的解。

综上所述，中考数学复习中，学生们需要重点关注解方程与不等式的题目。

通过掌握解一元一次方程的基本方法，分析理解二元一次方程组的解法，深入理解一元二次方程的解题思路，以及练习解一元一次不等式的方法，能够提高解方程与不等式的能力，应对中考数学试卷上的相关题目。