导数在函数求最大值和最小值中的应用解读
导数在函数求最大值和最小值中的应用
导数在函数求最大值和最小值中的应用例1．求函数f (x )＝5x ＋234x x +--的值域. 解析：由3040x x +⎧⎨-⎩≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。
∵ y ’＝f ’(x )＝5324x x +++-, 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增．∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27，∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27].例2．设32<a <1，函数f (x )＝x 3－23ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－6,求a , b 的值。
解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下：当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1)<f (1)，∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小，∵ f (0)－f (1)＝23a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=21(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－23a =－6, ∴ a =6，b =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求()f x x 在(0，a ]上的最大值。
解析：2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0，∴ 2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=>0，∴ ()f x x在(0，a ]上是增函数。
如何用函数导数解决函数最值问题
如何用函数导数解决函数最值问题导数是微积分中的基本概念之一，是描述函数变化率的一个量。
在许多实际问题中，我们需要找到函数的最值，即函数取得最大或最小值的点。
函数的最值问题是微积分中的基础应用之一，而函数的导数在解决函数最值问题中发挥着重要的作用。
一、局部最值存在的条件函数在一个区间内有最大值或最小值，就称该函数在这个区间内有一个局部最值。
为了找到函数的最值，我们首先需要判断函数是否在特定的区间内有最值。
一般来说，函数在一个区间内有最值的条件有两个：1. 导数存在且为0当函数在一点导数存在且为0时，该点可能是函数的极值点。
但是，这里需要注意的是，导数为0并不一定意味着该点是极值点。
因此，我们需要结合二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
具体来说，若该点二阶导数存在且为正，则该点为函数局部最小值点；若二阶导数存在且为负，则该点为函数局部最大值点；若二阶导数不存在，则需要进一步对函数进行分析。
2. 导数不存在的间断点或者端点当函数在区间的端点或者间断点处时，可能存在局部最大值或最小值。
因此，我们需要将函数在这些点附近的值进行比较，在这些点的右侧和左侧都要进行比较。
其中，函数在这些点附近的值可以用左右极限来表示，从而更好地判断该点是否为最值点。
二、求解函数最值的步骤在确定了函数有局部最值的区间后，我们可以通过以下步骤来求解函数的最值：1. 求出函数的导数和二阶导数首先，我们需要求出函数的导数和二阶导数，以确定函数在导数为0的点周围的变化趋势。
2. 求出导数为0的点接着，我们需要使用一些方法求出函数导数为0的点，也就是可能的最值点。
这里我们介绍几种常用的方法：（1）解方程：将函数的导数设置为0，解出方程，求出相应的导数为0的点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，观察某些点的几何性质，然后判断是否为导数为0的点。
（3）牛顿法：用牛顿迭代法求出导数为0的点。
3. 判断极值点类型当我们求出了导数为0的点后，我们需要判断这些点是否为极值点。
导数的应用(二)最大值与最小值-5页word资料
导数的应用（二） 最大值与最小值一. 教学内容导数的应用（二） 最大值与最小值一般地，在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值，例如x x f 1)(=在),0(∞+内的图象连续，但无最大值和最小值。
设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求)(x f 在],[b a 上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在),(b a 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f ，)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【典型例题】[例1] 求函数5224+-=x x y 在区间]2,2[-上的最大值与最小值。
解：x x y 443-='，令0='y ，有0443=-x x 1,0,1-=x当x 变化时，y '，y 的变化情况如下表：从上表可知，函数5224+-=x x y 在区间]2,2[-上最大值为13，最小值为4，利用此表可画出函数的图象如下：[例2] 已知b ax ax x f +-=236)(，]2,1[-∈x 的最大值为3，最小值29-，求a 、b 的值。
解：依题意0≠a ，否则b x f =)(与已知矛盾。
令0)(='x f 解得0=x 或4=x（1）当0>a 时，由⎩⎨⎧≤≤->'210)(x x f 解得01<≤-x令0)(<'x f ，解得20≤<x ，列表如下：由)(x f 连续，则当0=x 时，)(x f 有最大值，即3)0(==b f ，又由b a f b a f +-=>+-=-16)2(7)1(，则)2(f 为最小值，故229316=⇒-=+-a a所以，当0>a 时，2=a ，3=b （2）当0<a 时，列表如下：故)(x f 最小值为29)0(-==b f ，)(x f 最大值为232916)2(-=⇒=--=a a f 所以，当0<a 时，2-=a ，29-=b[例3] 已知两个函数k x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=，其中R k ∈ （1）对任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围。
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
导数在求值(极值、最值)中的应用
导数在求值(极值、最值)中的应用一、预备知识1．若函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，根据闭区间连续函数的性质，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上必取到最大值与最小值．而最大点或最小点可能在区间端点a或b 上；也可能取在开区间(a，b)内部某点上，此时的最大点即为极大点；最小点即为极小点．因此，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，在开区间(a，b)内可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)内的所有驻点(隐定点)，则函数值f(a)，f(x1)，f(x2)，…f(x n)，f(b)中最小者就是函数f(x)的最小值；最大者就是函数f(x)的最大值．2．若函数f(x)在有界开区间(a，b)或无界开区间(a，+∞)(或(－∞，b))上可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)或(a，+∞)(或(－∞，b))的所有驻点(隐定点)，设：存在；f(x i)=max{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}，f(x j)=min{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}．则f(x i)为最大值，则f(x j)为最小值．二、应用例题f(x)=(x+b+c)3－(x+b－c)3－(b+c－x)3－(c+x－b)3．f′(x)=3〔(x+b+c)2－(x+b－c)2+(b+c－x)2－(c+x－b)2〕=24bc．对上式求原函数，有.f(x)=∫24bcdx=24xbc+c则c1=f(0)=(b+c)3－(b－c)3－(b+c)3+(b－c)3=0，从而f(x)=24xbc或f(a)=24abc．为定值．证明设M(x，y)是星形线上任一点，将星形线方程对x求导，得过点M的切线l方程为令Y=0，则得l在x轴上截距令X=0，则得l在y轴上截距于是，二坐标轴所截线段长为例3已知p1，p2，…，p n∈N，a1，a2，…，a n∈R+，且p1a1+p2a2+…解不失一般性，令a1=min{a1，a2，…，a n}，a n=max{a1，a2，…，a n}，p=p1+p2+…+p n，则将a2，a3，…，a n看作常量，a1看作变量，设函数(将a1用x表示)则为所求的最小值．例6从半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形(如图)，将剩余部分围成一个圆形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？解设剪后剩余部分的圆心角是x(θ≤x≤2π)．圆锥形漏斗的斜高是R，圆是圆锥的底面积S是于是，圆锥的体积是下面求函数V(x)在〔0，2π〕上的最大值．例7测量某个量A，由于仪器的精度和测量的技术等原因，对量A做了n次测量，测量的数值分别为a1，a2，…，a n取数x作为量A的近似值，问x取何值才能使x与a i(i=1，2，…，n)之差的平方和为最小？解由题意，求函数f(x)=(x－a1)2+(x－a2)2+…+(x－a n)2的最小值．f′(x)=2(x－a1)+2(x－a2)+…+2(x－a n)=2〔nx－(a1+a2+…+a n)〕f″(x)=2n＞0，值作为量A的近似值，才能使函数f(x)取最小值．例8一个容器，下半部是圆柱，上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等，设容器表面积为S，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容积最大．解设圆柱的高为h，底面半径为r，则容器的容积为将(*)式代入上式，整理得例9设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其总面积为最小，问底边的长应为多少？等边三角形的直柱体总面积为例10求内接于半径为R的球的体积最大的圆柱体的高．解设球的内接圆柱体的高为h(如图)，则圆柱体底面半径圆柱体体积为例11要使内接于一个半径为R的球内的圆锥体的侧面积为最大，问圆锥体的高应为多少？解设球的内接锥体的高为h(如图)，则锥体底面的圆半径所以圆锥体的侧面积为例12平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这直线的方程．解过点p(1，4)且斜率为k的直线方程为设两截距之和为S，则所以极小值即为最小值，故所求的直线方程为例13求内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长．例14要做一个圆锥形漏斗，其母线长20厘米，要使其体积为最大，问其高应为多少？漏斗的体积为例15 三个点A、B和C不在同一直线上，∠ABC=60°，汽车以80公里/小时的速度由A向B行驶，同时火车以50公里/小时的速度由B向C行驶．如果AB=200公里，问运动开始几小时后汽车与火车的距离为最短？解设运动t小时后，汽车行至D点，火车行至E点，两车的距离为DE=S(如图)，则例16在一半径为R的圆形广场中心挂一灯，问要挂多么高，才能使广场周围的路上照得最亮？(灯光的亮度与光线投射角的余弦成正比，与光源距离的平方成反比，而投射角是经过灯所作垂直于地面的直线与光线所夹的角)．解设灯位于Q点离地面的高度为h(如图)，则广场周围的路上，灯光的亮度为例17有甲乙两城，甲城位于一直线形的河岸，乙城离岸40公里，乙城到岸的垂足与甲城相距50公里，两城在此河边合建一水厂供水，从水厂到甲城与乙城安装水管费用分别为每公里500元与700元，问此水厂建在河边何处，才能使安装水管费最省？解设水厂建在离甲城x公里(如图)，则安装水管费为令S′(x)=0，即渔站．如果送信人步行每小时5公里，船速每小时4公里，问应在何处登岸再走，才可使抵达渔站的时间最省？解设渔艇停泊在A处，海岸渔站位于B处(如图)，过A且垂直于海岸线交于C，令T′(x)=0，即于是登岸处距渔站3公里时，所需的时间最省．。
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
高一数学导数的应用于最值问题
高一数学导数的应用于最值问题导数是数学中的重要概念，它不仅在微积分中应用广泛，而且在各个学科中都有重要的作用。
在高一数学中，导数的应用主要体现在最值问题上。
最值问题涉及到在一定条件下，如何找到函数的最大值或最小值。
通过运用导数的概念和定理，我们可以轻松地解决这类问题。
1. 极值点的求解在寻找函数的最大值或最小值时，首先需要找到函数的极值点。
极值点是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
根据导数的定义，当函数的导数为零或不存在时，可能存在极值点。
例如，考虑函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，我们可以求出它的导数 f'(x)= 3x^2 - 6x。
为了找到函数的极值点，我们需要解方程 f'(x) = 0。
3x^2 - 6x = 0通过因式分解或求根公式，我们可以得到 x = 0 或 x = 2。
这两个点就是函数的极值点。
我们还可以通过二阶导数来判断这些极值点是最大值还是最小值。
2. 极值点的判定为了确定极值点是最大值还是最小值，我们需要利用二阶导数的正负性来判定。
二阶导数的正负性可以告诉我们在极值点的附近，函数是凹还是凸的。
设函数 f(x) 在极值点处的二阶导数为 f''(x)，若 f''(x) > 0，则函数 f(x) 在该点附近是凹的，说明极值点是最小值；若 f''(x) < 0，则函数 f(x) 在该点附近是凸的，说明极值点是最大值。
对于前面的例子函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，我们可以求得二阶导数f''(x) = 6x - 6。
然后，我们将极值点 x = 0 和 x = 2 代入 f''(x)。
当 x = 0 时，f''(0) = -6，小于零，说明 x = 0 是函数的最大值点。
当 x = 2 时，f''(2) = 6，大于零，说明 x = 2 是函数的最小值点。
利用导数研究函数的极值和最值问题
利用导数研究函数的极值和最值问题１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（１）确定函数的定义域．（２）求)(x f '．（３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解．２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤：（１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值；（２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京,18,13分)设函数()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ;(2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围.解析 (1)因为()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[]x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a .此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1.(2)由(1)得()[]()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21<a ,则()2,0∈x 时,02<-x ,01211<-≤-x ax ,所以0)(>'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点.综上可知,a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21。
用导数研究函数的性质单调性极值和最大最小值
y ex x 1
下降
上升
单调区间
函数在整个定义域内不是单调的，但在子区间 上单调．
如何求函数的单调区间？
函数的驻点和不可导点，可能是函数 单调区间的分界点.
求单调区间的方法：
用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的 点来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断 区间内导数的符号.
x0是驻点
驻点中哪些是极值点呢？
x0 f ( x 0 ) 0
f ( x)
下面我们来介绍两种判别方法
判 别 法 则 I( 第 一 充 分 条 件 ) 设函数f ( x )满足
(1)在点x0的邻域内可导； (2) f ( x0 ) 0, 那么， 1。 若在x0左侧附近f ( x ) 0, 在x0右侧附近 f ( x ) 0, 则f ( x0 )为极大值； 2 若在x0左侧附近f ( x ) 0, 在x0右侧附近
解 设 房 租 每 月 为 x元 ，
x 1000 那么租出去的房子有50 ( )套， 50 每月总收入为
x 1000 ) R ( x ) ( x 100) (50 50
x R( x ) ( x 100)(70 ), 50
x x 1 , R( x ) (70 ) ( x 100)( ) 72 50 50 25 R( x ) 0 x 1800, （唯一驻点）
例3 求 函 数 y ( x 1) 2 4的 单 调 区 间 .
解
y 2( x 1)，D ( , ).
在( ,1)内, y 0， 函数单调减少；
在(1, )内, y 0， 函数单调增加.
故函数 y ( x 1) 4的单调区间为
10导数在研究函数在的应用(最大值与最小值)
x导数在研究函数在的应用（最大值与最小值）【学习任务】1、使学生掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值；2、使学生掌握用导数求函数的最大值与最小值的方法【课前预习】1、观察右面一个定义在区间[]b a ,上的函数)(x f y =的图象。
发现图中 是极小值， 是极大值，在区间[]b a ,上的函数)(x f y =的最大值是 ，最小值是2、设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在x ＝1处取得极大值－2，则a ＝ 。
2、函数xx y ln =的最大值为 3、函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 。
4、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是 。
【合作探究】知识点一：求函数在给定区间的最值例1、求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。
例2、（1）求函数25(25),(0)2y x x x =-<<的最大值；（2）已知221x y +=，求函数2x y =的最值。
知识点二：利用导数求解字母的取值的问题 例3、设f(x)=52223+--x x x , (1)求函数的单调区间；(2)当x ∈［-1,2］时，f(x)<m 恒成立，求实数m 的取值范围.【自我检测】1、函数x x x f sin 21)(+=在区间]2,0[π上的最大值为 ，最小值为 。
2、已知函数d cx x x x f ++-=23)(，若存在21,x x ，使b x x a <<<21，且0)()(21='='x f x f ，)()(),()(12x f b f x f a f >>，则)(x f 在区间],[b a 上的最大值与最小值分别是 。
3、求下列函数的极值和最值：（1）642+-=x x y ， （2）59323+--=x x x y ，x ∈[－4,4]4、设]2,1[,5221)(23-∈+--=x x x x x f 当时0)(<-m x f 恒成立，求实数m 的取值范围。
函数的最值问题与导数的应用
函数的最值问题与导数的应用函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们常常需要找到函数的最值，即函数取得的最大值和最小值。
这时就需要借助导数的应用来解决这类问题。
本文将介绍函数的最值问题与导数的应用，并给出相应的数学推导和实例分析。
一、函数的最值问题函数的最值问题是指在一定条件下，求函数取得的最大值和最小值。
对于一个函数 f(x)，我们需要确定其最大值和最小值的 x 值以及对应的函数值 f(x)。
1.1 最大值和最小值的定义最大值和最小值是指函数在定义域上取得的最大和最小的函数值。
如果在某个区间中，函数取得了最大值或最小值，我们称之为局部最值。
如果在整个定义域上取得最大值或最小值，我们称之为全局最值。
1.2 寻找函数最值的方法要寻找函数的最值，我们可以通过数学推导或者图像分析来进行。
尤其是在连续函数的情况下，我们可以使用导数的概念和性质来简化计算。
二、导数的应用2.1 导数的定义导数是一个函数在某一点上的变化率，可以理解为函数图像在该点的切线斜率。
对于函数 y=f(x)，其导数记为 f'(x) 或 dy/dx。
2.2 导数的性质根据导数的性质，我们可以通过导数来判断函数在某一点上的单调性、极值和凹凸性。
具体性质如下：- 函数在某一点上递增或递减，取决于导数的正负；- 函数在极值点处导数为零，即 f'(x0) = 0；- 函数凹凸性由二阶导数来描述，f''(x) > 0 为函数凹，f''(x) < 0 为函数凸。
2.3 导数在最值问题中的应用通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
由于极值点处导数为零或不存在，所以我们可以将求最值的问题转化为求解方程的问题。
三、实例分析考虑一个实例，求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x+1 在定义域 [-2, 3] 上的最大值和最小值。
首先，我们求解函数的导数：f'(x) = 6x^2 - 6x - 12然后，令导数 f'(x) = 0，并解得：6x^2 - 6x - 12 = 0x^2 - x - 2 = 0(x-2)(x+1) = 0得到 x1 = 2 和 x2 = -1然后，我们求解二阶导数：f''(x) = 12x - 6我们计算得到 f''(2) = 18 > 0，f''(-1) = -18 < 0。
利用导数解决最值问题
利用导数解决最值问题导数是微积分中一个非常重要的概念，它不仅可以用来求函数的斜率，还可以用来解决最值问题。
利用导数求函数的最大值和最小值是微积分中一个常见的应用。
本文将介绍如何利用导数来解决最值问题，包括求函数的极值点和边界点，以及判断最值是否存在的条件。
在解决最值问题前，我们首先需要了解什么是导数。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，表示函数在该点的斜率。
通过求导数，我们可以知道函数的变化趋势，从而得出函数的最值。
首先，我们来看一下求函数的极值点的方法。
极值点包括最大值和最小值。
为了求函数的极值点，我们需要先求出函数的导数，然后再求得导数为零的点，即导数的零点。
这些点就是原函数的极值点。
设函数为f(x)，则其导数为f'(x)。
假设我们要求函数f(x) = x^2的极值点。
我们首先计算出它的导数f'(x) = 2x。
然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 0。
因此，函数f(x)的极值点为x = 0。
接下来，让我们来看一下如何求函数的边界点。
边界点是函数定义域的端点。
对于一个闭区间[a, b]上的函数，其边界点就是a和b。
我们需要将这些边界点与函数的极值点进行比较，找出最大值和最小值。
举一个例子，假设我们要求函数f(x) = x^2在闭区间[-1, 1]上的最值。
我们首先计算出函数的导数f'(x) = 2x。
然后，我们将闭区间的边界点a = -1和b = 1代入导数，得到f'(-1) = -2和f'(1) = 2。
因此，函数的最小值为f(-1) = (-1)^2 = 1，最大值为f(1) = 1^2 = 1。
所以在闭区间[-1, 1]上，函数f(x)的最值都是1。
除了求得导数为零的点和边界点之外，我们还需要考虑最值是否存在的条件。
最值存在的条件有两个：一是函数在这些点上有定义，二是函数在这些点的左侧和右侧的导数符号相反。
举一个例子来说明这个条件。
2023年新高考数学一轮复习4-3 应用导数研究函数的极值、最值(知识点讲解)解析版
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的极值 1．函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.特别提醒：(1)函数f (x)在0x 处有极值的必要不充分条件是f ′(0x )＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如()3f x x ＝，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．（二）导数与函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．（三）利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x)．(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答． （四）常用结论1．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a ，b]上一定有最值．2．若函数f (x)在[a ，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f (x)在区间(a ，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的极值例1.（2017·全国高考真题（理））若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．例2．（2012·重庆·高考真题（理））设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f 【答案】D 【解析】 【详解】()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增； ()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.例3.（2008·福建·高考真题（文））已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值.【答案】（1）m =-3, n =0. f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；f (x )的单调递减区间是（0，2）（2）当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值. 【解析】 【详解】（Ⅰ）利用条件的到两个关于m 、n 的方程，求出m 、n 的值，再找函数y=f （x ）的导函数大于0和小于0对应的区间即可．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，分情况讨论区间（a -1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论．(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分则g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2623m+⨯＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………………………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．………………………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2. ………………7分当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：增函数增函数…………………………………9分由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………………………12分【总结提升】 1.两点说明：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x 0处取极小值．3.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值. 题型二：根据函数极值（点）求参数的值或范围例4.（2021·全国高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立. 故选：D例5.（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】解：()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>， 若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾， 故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ， 即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， ∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=， 则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， 所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.例6.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.【法案】－7【解析】由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值， 而a ＝2，b ＝9满足题意， 故a －b ＝－7.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()32f x =x x 1(0,)a bx a b R +++>∈有极值，且导函数()fx ，的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b²>3a; （3）若()f x ，()fx ，这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a 的取值范围．【答案】（1）2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）见解析（3）(36]，. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1，构造函数23()=9t g t t +，利用导数研究函数单调性，可得(g g 2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．试题解析：解：（1）由()321f x x ax bx =+++，得()22232333a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭'.当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()23127039a b a a-=-≤，即3a ≥.3a =时，()>0(1)f x x ≠-'，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x 2x . 列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1设23()=9t g t t +，则22223227()=99t g t t t --='.当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增.因为3a >，所以>，故(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >.因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤. 因此a 的取值范围为(]36，. 【总结提升】由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．题型三：利用导数研究函数的最值例8．（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知12f ，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.例9．（2021·全国·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______. 【答案】1【解析】 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.例10.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 例11.（2017·北京·高考真题（文））已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000yf f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x xh x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 【规律方法】1.求函数f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．3. 二次求导！当导函数y ＝f ′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f ′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f ′(x)的单调性，再根据单调性确定y ＝f ′(x)的正负号．题型四：利用导数解决生活中的优化问题例12．（2020·江苏省高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米 【解析】 【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 【总结提升】实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值． 题型五：函数极值与最值的综合问题例13.（2016·天津·高考真题（理））设函数3()(1)f x x ax b =---，x∈R ，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或313ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a -∞-，3(1,)3a ++∞. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max (2),(0)max 12,1M f f a b b==----，所以.（2）当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a af f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， (0)(1(1f f f <=，(2)(1(1f f f >=， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.例14．（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x -'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=； （2）因为()232xf x x a-=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x xa xa -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <. 所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．。
导数与函数的函数最值问题解析
导数与函数的函数最值问题解析函数的导数是微积分学中的重要概念之一，它与函数的变化率和极值有着密切的关系。
在数学领域中，利用导数可以解决一系列函数的函数最值问题，即求函数在某个定义域上的最大值或最小值。
本文将对导数与函数的函数最值问题进行详细解析。
一、导数的概念与性质在高等数学中，我们将函数在某个点的切线斜率定义为该点的导数。
若函数f(x)在点x处可导，则导数记为f'(x)，表示函数f(x)在该点的切线斜率。
导数的计算可以通过求极限的方式进行。
导数具有以下重要性质：1. 导数的存在性定理：若函数在某一点可导，则该点左、右导数必定存在且相等。
2. 可导函数的充要条件：若函数在某一点可导，则该点函数必定连续，但反之不成立。
3. 导数与函数的单调性：若函数在某个区间上导数大于零，则该区间上函数单调递增；若函数在某个区间上导数小于零，则该区间上函数单调递减。
二、函数最值的求解方法函数的函数最值问题是求函数在某个定义域上的最大值或最小值。
一般而言，函数最值可以通过求取函数的导数以及确定其零点、极值点来解决。
下面将介绍三种常见的求解方法。
1. 极值点法若函数在某一点处的导数等于零或不存在，则该点可能是函数的极值点。
通过计算函数在导数为零或不存在的点处的函数值，并与其他可能的极值点进行比较，可以求得函数的最大值或最小值。
2. 边界点法对于定义在闭区间上的函数，其最值可能出现在区间的边界点上。
因此，我们需要计算函数在区间端点处的函数值，并与其他可能的极值点进行比较，从而确定函数的最大值或最小值。
3. 导数表法通过绘制函数的导数表，可以直观地了解函数在各个区间上的单调性以及极值点的情况。
导数表记录了函数在不同区间上的导数正负情况，通过分析导数表，我们可以得到函数的极值点和整体的函数走势，从而求得函数的最值。
三、例题分析下面通过一个具体的例题来进行函数最值的解析。
例题：求函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5在区间[-2,3]上的最大值和最小值。
1.3.3导数在研究函数中的应用--最大值与最小值
1.3.3导数在研究函数中的应用
学习目标：
--最大值与最小值
1 .通过实例，借助几何直观探索并了解函数的最
大（小）值与导数的关系；
2 .掌握求可导函数的最值的步骤；利用函数的
最值确定参数的值.
【温故知新】
复习：1、函数的单调性与导数的关系
对于函数f ( x)，
如果在某区间上 f '( x) 0, 那么f ( x)为该区间上的增函数
1．下列说法正确的是( D )
(A)函数的极大值就是函数的最大值
(B)函数的极小值就是函数的最小值
(C)函数的最值一定是极值
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2．函数 y＝f(x)在[a，b]上( D )
A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值
y
y
y=f(x)
y=f(x)
oa
bx
y
y=f(x)
oa
bx
y y=f(x)
oa
bx
oa
bx
问题3：观察连续函数y=f(x)在[a,b]上有最值吗？
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
【思考】求连续函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤？
【总结】求最值的步骤
(1)求函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=点？
它们分别有什么样的应用？
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值.
导数的应用—函数的极值与最值
导数的应用—函数的极值与最值导数是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
其中一个重要的应用就是求函数的极值与最值。
本文将通过实例和推导，探讨导数在函数极值与最值问题中的应用。
一、函数的极值首先，我们来介绍一下函数的极值。
对于一个函数$f(x)$，如果在某个点$x=a$处，存在一个邻域，使得在这个邻域内的任意一点$x$，都满足$f(x)\leqf(a)$（或$f(x)\geq f(a)$），那么我们称函数在点$x=a$处取得极大值（或极小值），并将这个值称为函数的极值。
那么如何求函数的极值呢？这就需要用到导数的概念了。
我们知道，导数表示函数在某一点的变化率，而函数的极值对应着导数的零点。
具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处取得极值，那么在这个点处的导数$f'(a)$将等于零或不存在。
举个例子来说明。
考虑函数$f(x)=x^2$，我们来求它的极值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=2x$。
然后，令导数等于零，得到方程$2x=0$，解得$x=0$。
所以函数$f(x)=x^2$在点$x=0$处取得极小值。
二、函数的最值除了极值，函数还可能存在最值。
函数的最大值和最小值统称为最值。
与极值相比，最值是函数在整个定义域上的特殊取值。
同样地，我们可以通过导数来求函数的最值。
具体来说，如果函数$f(x)$在某个区间上连续且可导，那么函数的最值要么出现在区间的端点，要么出现在导数为零的点处。
我们再来看一个例子。
考虑函数$f(x)=x^3-3x$，我们要求它的最值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=3x^2-3$。
然后，令导数等于零，得到方程$3x^2-3=0$，解得$x=\pm 1$。
所以函数$f(x)=x^3-3x$的最大值和最小值分别出现在$x=-1$和$x=1$处。
三、实际问题中的应用导数的应用不仅仅局限于数学问题，它在实际问题中也有着广泛的应用。
下面我们通过几个实例来探讨导数在实际问题中求极值与最值的应用。
导数的应用最大值与最小值
一.教学内容导数的应用(二) 最大值与最小值一般地，在闭区间［a，b］上连续的函数f (x)在［a , b］上必有最大值与最小值；在开区间f (x)=丄(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如X在(O,-：：)内的图象连续，但无最大值和最小值。
设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a , b)内的极值；(2)将f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【典型例题】4 2［例1］求函数y - X - 2x 5在区间［_2,2］上的最大值与最小值。
3解：y” = 4x -4x，令y”=O，有4x3 -4^0 x「1,0,1当x变化时，y, y的变化情况如下表：从上表可知，函数y = X -2X在区间［-2 , 2］上最大值为13,最小值为4,利用此表可画出函数的图象如下:1410--2 -1 03 2［例2］已知f (x)二ax -6ax b, x ・［-1,2］的最大值为3,最小值-29，求a 、b 的值。
解：依题意a=0，否则f(x)二b 与已知矛盾。
2f (x) = 3ax -12ax = 3ax(x - 4)令「(x) =0解得x =0或x =4「(x) > 0(1 )当a >0时，由.一1兰x兰2解得一 1兰x v 0 令f(x) ：：： 0，解得0 ：：： x _2，列表如下：由f(x)连续，则当x = 0时，f(x)有最大值，即f(0) = b= 3 ，又由f(T) =「7a b f(2) =「16a b，则 f(2)为最小值，故-16a 3 一29二 a =2y_x 4-2x 2+5r- x所以，当a 0时，a =2，b =3 (2 )当a ::: 0时，列表如下:故f(x)最小值为f (0) =b = -29 , f (x)最大值为f ⑵二J6a -29 =3二a = -2所以，当a ：：：0 时，a - -2, b - -292 3 2［例3］已知两个函数f(x) =8x ^x-k ,g(x)=2x 5x *x,其中「R(1 )对任意的［-3,3］，都有f(x)'g(x)成立，求k的取值范围。
导数最大值最小值求法
导数最大值最小值求法在数学中，导数是一个非常重要的概念。
它可以用来确定函数的斜率、变化率以及最值。
在本文中，我们将重点讨论导数最大值最小值的求法。
一、导数的定义和性质在初中数学中，我们学习了导数的定义：设函数y=f(x)在点x0附近有定义，则函数在点x0处的导数f′(x0)可以表示为：f′(x0) = lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) (x → x0)其中，f(x)表示函数在点x处的函数值，x0表示点的位置。
导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
导数有一些性质，例如：- 导数表示的是函数在某一点上的瞬时变化率；- 函数在某一点的导数值等于切线的斜率；- 导数可以用来判断函数是否单调，即导数的正负决定了函数的单调性。
二、求导法则为了求解导数最大值最小值，我们首先需要掌握求导法则。
求导法则是指一系列公式，可以用来求取各类函数的导数值。
常见的求导法则包括：- 常数求导法则：常数的导数为0；- 幂函数求导法则：y = x^n，其导数为 y' = nx^(n-1)；- 指数函数求导法则：y = a^x，其导数为 y' = a^x ln(a)；- 对数函数求导法则：y = loga x，其导数为 y' = 1 / (xln(a))；- 三角函数求导法则：sinx的导数是cosx，cosx的导数是-sinx，tanx的导数是sec^2 x。
对于复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
链式法则可以表示为：若h(x)=g(f(x)), 且g'(f(x))和f′(x)存在，则h′(x)=g′(f(x))f′(x)也就是说，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数的基础上乘以内层函数的导数。
三、求导实例在上述基础上，我们可以来看看如何求导最值。
以下是一个实例，假设我们要求函数y=x^2在区间[0,2]上导数的最大值和最小值。
首先，我们需要求出函数的导数y'=2x。
用导函数求函数最大值与最小值
3.3.3函数的最大(小)值与导数
数1141班——鲜军 2014Байду номын сангаас06.19
新课探究：
1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数 f(x)的图象．图中f(x1) 与f(x3) 是极小值， f(x2) 是极大值．函数 f(x)在 [a,b]上的最大 值是f(b) ，最小值是f(a) ． 结论： 一般地，在闭区间 [a,b]上函数 y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么函 数y=f(x) 在 上必有最大值与最小值．
说明：
⑴在开区间内连续的函数 不一定有最大值与最小值．如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极 值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，是 f(x) 在闭区间 [a,b] 上有最大 值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函 数的极值可能不止一个，也可能没有一个
练习：
X f`(x) f(x)
0 + 4
-2 0
(-2,2) -
2 0 +
3 1
课堂小结
⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于 零的点，导数不存在的点，区间端点；
⑵函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值 的充分条件而非必要条件；⑶闭区间 上的连续函数一定有最 值；开区间 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值， 则此极值必是函数的最值。
作业；
作业布置：课本P69页习题3-2A组2、4
例题探究：
X y/ y
-2 13
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导数在函数求最大值和最小值中的应用例1．求函数f (x )＝5x ＋.解析：由3040x x +⎧⎨-⎩≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。
∵ y ’＝f ’(x )＝5 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增．∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27，∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27].例2．设32<a <1，函数f (x )＝x 3－23ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1求a , b 的值。
解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下：当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1)<f (1)，∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小，∵ f (0)－f (1)＝23a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=21(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－23a =∴ ab =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求()f x x 在(0，a ]上的最大值。
解析：2()'()()[]'f x f x x f x x x⋅-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0，∴ 2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=>0，∴ ()f x x在(0，a ]上是增函数。
∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为()f a a ． 例4．设g (y )＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ，① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。
解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]，当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2. 当－31<x <0时，g ’(y )>0，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0)上恒成立， ∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4.当x ≤－31时，g ’(y )，g (y )在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x , ∴ f (x )=224210112703143x x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪-+-<<⎨⎪⎪---⎪⎩≥≤. ② 当x ≥0时，f (x )≤f (0)=1，当x ∈(－31，0)时，f (x )=27[(x －154)2－2154]+1<f (－31)=119, 当x ≤－31时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1<119< 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+3a x (x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。
解析：f ’(x )＝6x －43a x ，令f ’(x )=0得 x ＝15()2a ， 当0<x <15()2a 时，f ’(x )＜0，当x >15()2a 时f ’(x )＞0， ∴ x ＝15()2a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20,∴ 12255532555(())3()2022()22a a a f a a =⋅+=⋅≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，∴ h =222S R Rππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h =2222122S R R SR R R ππππ-⋅=-, 由V ’(R )=0得21S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大．例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ．（1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ；（2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上；（3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。
解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ，由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根．∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0，f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根，∵ s <t ，∴ 0＜s ＜a ＜t ＜b .（2）由s ，t 是方程f ’(x )＝0的两根．∴ 2()33a b s t ab st +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴ f (s )+f (t )=342()()273a b ab a b -+++, ∵ 3211()()()()[()()]232732s t a b f f a b ab a b f s f t ++==-+++=+, ∴ AB 的中点C (2s t +，f (2s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1),由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点．∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ],当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ，当x 1=2a b +时，切线斜率为－41(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－41(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－41(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。
例8 、设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.（1）求n 的值；（2）求证：f （1）≥2.剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x =2吗?不一定.会在x =2的哪一侧呢?解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，∴当x =0时，f （x ）取到极大值.∴f '（0）=0.∴n =0.（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），f '（x ）=3x 2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－32m ， ∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数，∴x 2=－32m ≥2.∴m ≤－3. ∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.评述：此题学生往往错误地认为x =2是另一个极值点.再证f （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知道m 的范围，便可证之.例9、已知函数f （x ）=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =－12x .（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在［－3，1］上的最值.解：（1）f '（x ）=12x 2+2ax +b ，f '（1）=12+2a +b =－12. ① 又x =1，y =－12在f （x ）的图象上，∴4+a +b +5=－12.②由①②得a =－3，b =－18，∴f （x ）=4x 3－3x 2－18x +5. （2）f '（x ）=12x 2－6x －18=0，得x =－1，23，f （－1）=16，f （23）=－461，f （－3）=－76，f （1）=－13. ∴f （x ）的最大值为16，最小值为－76.例14（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数()ln a f x x x =-， （1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．（2）由（1）可知：2()x a f x x +'= ① 若1a ≥-，则0x a +≥，()f x 在[1,]e 上为增函数，② 若a e ≤-，则0x a +≤，()f x 在[1,]e 上为减函数，③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数，当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，min 3[()]()ln()12f x f a a a ∴=-=-+=⇒= (3)令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x -''=-==+-=-=，。