面角的基本求法例题及练习

C1

C1

B

一、平面与平面的垂直关系

1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证：BEF BDG ^平面平面。

例2．AB BCD BC CD ^=平面，，90BCD °?，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。

求证：BEF ABC ^平面平面 。

2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。

二、二面角的基本求法

1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，

求（1）二面角11A B C A --的大小；

（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。

练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ，

求二面角B PC D --的大小。

2．三垂线法

例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=1

2

AD=a ，G 是EF 的中点，

（1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。

例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC

°?，PAB 是正三角形，PA BC ^。

（1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。

练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。

B1

3．垂面法

例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^；

（2）求二面角C SA B --的大小；

（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱

例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ， 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

（2）射影面积法（cos

s

S

q=射影）

例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱

1

AA的中点，

求平面

11

PB C与平面ABCD所成二面角的大小。

1、A、B是二面角M—a—N的棱a上两点，P是N内一点，PB^a与B，PA与a成45°角，PA地M成30°角，则二面角M—a—N的度数是

A、30°

B、45°

C、60°

D、75°

2、正四面体相邻两面所成二面角为a，则有

A、cosa=1/3

B、sina=1/3

C、cosa= EQ R(,3) /3

D、sina= EQ R(,3) /3

3、已知两两垂直的三射线OA、OB、OC交平面a于A、B、C若OA=1，OB=2，OC=3，则a与平面OAB 所成角的余弦值是

A、2/7

B、3/7

C、6/7

D、不同于A、B、C

4、两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面

A、相等

B、互补

C、相等或互补

D、不确定

5、RtDABC斜边AB在平面a内，AC、BC与a成45°和30°的角，则平面ABC与a所成的角为________ _

6、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连结AC，则二面角A—CD—B的大小为________

7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为2/3，则侧面与底面所成的二面角为________

8、三棱锥P—ABC的底面ABC是以AC为斜边的RtD，且顶点P在面ABC内的射影是DABC的外心，若P A=AB=1，BC= EQ R(,2) ，则面PAB与面ABC所成的二面角为_______

9、二面角a—L—b内一点P到两个面的距离分别为EQ R(,2) ，EQ R(,3) 到棱的距离为2，求此二面角的大小

10、四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，AB^BC 且AB= EQ F(1,2) CD ，侧棱PB^面ABCD ，PC=5，BC=3，S DPAB =6。求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小

11.如图，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值．

12．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB ＝a 求(1)二面角B －PC －D 的大小；(2)平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小．

13、如图，ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小

14、正三角形ABC 的边长为10，A ∈平面α，

B 、

C 在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC 与α所成的角的正弦值。 15、如图，设M 为正方体

ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD1与

底面ABCD 所成的 二面角的大小。