面角的基本求法例题及练习
二面角四种求法_5个例题解决二面角难题
四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
面角习题及答案
二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
DPCABEDBASC解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M R N =∠4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】
线面角的求解【方法总结】1、线面角的范围：[0°,90°]2、线面角求法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；找线在面外的一点B，过点B向平面α做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：1）线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线；2）题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；3）过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面α（这两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B且与α垂直的平面）。
3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。
【巩固练习】1、已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2 B.3 C.12D.13【答案】A【解析】易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠== .2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．B．C．D．[来源网ZXXK]【答案】C【解析】如图所示，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C.3、如图，在三棱锥P-ABC中，,PA AB⊥PC BC⊥，,AB BC⊥22,AB BC==5PC=，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.【答案】45︒【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形．由BC CD⊥，BC PC⊥，PC CD C=，∴BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴BC PD⊥，同理可得AB PD⊥，又AB BC B⋂=，∴PD⊥平面11ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,5CD AB PC ===得1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．13C ．33D ．23【答案】A【解析】作1A H ⊥面ABC 于点H ,延长11B A 到D ,延长BA 到E 使得111B A A D =，,BA AE =如图则有11A EAB ，又因为1A O ⊥面ABC ，故1A EO ∠为所求角，且111sin AO A EO A E∠=。
线、面角的计算(习题及答案)
5 1. 求解异面直线所成角的处理步骤：平移找角、证明说理、利用三角形求解、结果验证．2. 转化为线线垂直关系，考虑证明线线垂直的思考角度，可考虑证明线面垂直，也可以利用三垂线定理进行证明．➢ 例题示范线、面角的计算（习题）例 1：如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M ，N 分别是 CD ， CC 1 的中点，则异面直线 A 1M 与 DN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°思路分析：解题过程：方法一：如图，取 CN 的中点 E ，连接 ME ，A 1E ，AM ，A 1C 1， ∵M 是 CD 的中点，∴ME ∥DN ，故 A 1M 与 DN 所成的角为∠A 1ME （或其补角），设正方体的棱长为 2，则在 Rt △A 1AM 中，A 1A =2，AM = ，∴A 1M =3，在 Rt △A 1C 1E 中，A 1C 1= 2 ，C 1E = 3 ，2∴ A 1E = 41 ，2 又ME = 1 DN = 5 ，2 2在△A 1ME 中，A 1M 2+ME 2=A 1E 2，∴∠A 1ME =90°，即异面直线 A 1M 与 DN 所成的角为90°． 方法二：如图，连接 D 1M ，∵A 1D 1⊥平面 CDD 1C 1，∴A 1D 1⊥DN ，在正方形 CDD 1C 1 中，M ，N 分别是 CD ，CC 1 的中点， 易证 D 1M ⊥DN ，又 A 1D 1 D 1M =D 1，∴DN ⊥平面 A 1D 1M ，∴DN ⊥A 1M ，则异面直线 A 1M 与 DN 所成的角为 90°．2例2：在平面四边形ABCD 中，已知AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．如图，将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD⊥平面BCD．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M 为AD 的中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．思路分析：（1）利用面面垂直的性质定理可得AB⊥平面BCD，进而得到AB⊥CD．（2）思路一：考虑作点D 到平面MBC 的垂线，分析线面间的垂直关系，得到垂线，进而得到线面角，在直角三角形中研究边角关系求解；思路二：转化为求点D 到平面MBC 的距离，利用三棱锥的等体积法，建立等式，求解．解题过程：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD 平面BCD=BD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）由（1）可得，CD⊥平面ABD，∴CD⊥BM，CD⊥AD，在Rt△ABD 中，AB=BD，M 为AD 的中点，∴BM⊥AD，又CD AD=D，∴BM⊥平面CDM．方法一：如图，过点 D 作DE⊥CM 于点E，∵DE⊂平面CDM，∴BM⊥DE，又BM CM=M，∴DE⊥平面BCM，则∠DMC 即为直线AD 与平面MBC 所成的角，在Rt△CDM 中，CD=1，DM =2，2∴CM =6，sin∠DMC=CD=1=6，2 CM 6 322即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 ． 3 方法二：利用等体积法求解，即V D -BCM 设点 D 到平面 MBC 的距离为 d ， 直线 AD 与平面 MBC 所成的角为θ，如图，取 BD 的中点 F ，连接 MF ，则 MF ∥AB ， MF = 1 ．2= V M -BCD ．∵AB ⊥平面 BCD ，∴MF ⊥平面 BCD ，在 Rt △BCD 中，BD =CD =1，∴BC = ， S = 1 ⨯1⨯1 = 1 ，△BCD 2 2在 Rt △ABD 中，AB =BD =1，M 为 AD 的中点，∴ BM = 2 ，2由 BM ⊥平面 CDM 得，BM ⊥CM ，在 Rt △BCM 中， BM = 2 ，BC =，2 ∴ CM = 6 ， S = 1 ⨯ 2⨯ 6= 3，2 △BCM 2 2 2 4 ∵V D -BCM = V M -BCD ，∴ 1 ⨯ d ⨯ 3 = 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ，解得d = 3 ，3 4 3 2 2 33则sin θ= d = DM 3 = 6 ，2 32即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 ．322 2 1 DE 2∴ tan ∠CED = CD = = 2 ．22 2 在 Rt △CDE 中， CD = 2 ， DE = 1，例 3：如图，已知直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的底面是等腰直角三角 形，∠ACB =90°，AC =1，AA 1= A -A 1B -C 的正切值．，连接 A 1B ，A 1C ，求二面角解题过程：在 Rt △ABC 中，AC =BC =1，则 AB = ， CD = BD = 2 ，2在 Rt △AA 1B 中，AB =AA 1= ，则∠A 1BA =45°，在 Rt △BDE 中， BD = 2 ，则 DE = 1 ，2 2如图，取 AB 的中点 D ，过点 D 作 DE ⊥A 1B 于点 E ，连接 CD ，CE ，则 CD ⊥AB ．在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，A 1A ⊥底面 ABC ，又 CD ⊂平面 ABC ，∴A 1A ⊥CD ，又 CD ⊥AB ，且 AB A 1A =A ，∴CD ⊥平面 AA 1B 1B ，∴CD ⊥DE ，CD ⊥A 1B ，又 DE ⊥A 1B ，且 DE CD =D ，∴A 1B ⊥平面 CDE ，∴A 1B ⊥CE ，则∠CED 为二面角 A -A 1B -C 的平面角．思路分析：观察此二面角，点 C 到平面 AA 1B 的垂线易得，利用三垂线法， 先找到垂足 D ，再过 D 作棱 A 1B 的垂线 DE ，连接 CE ，即得二面角的平面角∠CED ，进而研究相关的三角形，在直角三角形中求解． 2 2➢巩固练习1. 如图，在三棱锥S-ABC 中，E 为SC 的中点，若AC= 2 3 ，SA=SB=SC=AB=BC=2，则异面直线AC 与BE 所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°第1 题图第2 题图2. 如图，在空间四边形ABCD 中，AB=CD，且AB 与CD（异面直线）所成的角为40°，若E，F 分别是BC，AD 的中点，则EF 与AB 所成的角是（）A．70°B．20°C．70°或20°D．以上均不对3. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长都相等，则AB1 与侧面ACC1A1 所成角的正弦值是．第3 题图第4 题图4. 如图，在三棱锥O-ABC 中，三条棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA=OB=OC，若M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值是．5. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，SA⊥平面ABC，若SA=AB=BC，则二面角B-SC-A 的大小为．6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为a，E 为AD 的中点，连接CE．（1）求证：顶点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的外心；（2）求AD 与底面BCD 所成角的余弦值；（3）求CE 与底面BCD 所成角的正弦值．7.如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C-SA-D 的正弦值．8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B 与B1C1 所成的角为60°．（1）求AA1 的长；（2）求平面A1BC1 与平面B1BC1 所成的锐二面角的大小．9. 如图，在直棱柱ABC-A1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB1 的中点，AA =AC =BC =2AB ．12（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D-A1C-E 的正弦值．【参考答案】1. C2. C3.644.5. 60°6. （1）证明略；（2）AD 与底面BCD 所成角的余弦值为3；3（3）CE 与底面BCD 所成角的正弦值为2．37. （1）证明略；（2）二面角C-SA-D 的正弦值为6．38. （1）AA1 的长为1；（2）平面A1BC1 与平面B1BC1 所成的锐二面角为60°．9. （1）证明略；（2）二面角D-A1C-E 的正弦值为6．32。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
线面角的求法总结知识分享
线面角的求法总结线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
五种方法法求二面角及限时练习
五种方法求二面角及练习题一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AMB --的大小为)36arccos(-FGFG练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
线面角和面面角的求法作业
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4CB 123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
二面角的几种方法及例题
二面角大小的求法（例题）二而角的类型和求法可用框图展现如下:一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图，己知二面角a-a-B等于120° ,PA丄a ,Ae a ,PB丄P,Be P.求ZAPB的大小.做OB丄交线，交于点O,连接OAPB丄平面0/. PB丄交线同理PA丄交线X ••• OB丄交线/.交线丄面PAOB/.交线丄OA即可得ZAOB为面的二面角，ZAOB=120°所以ZAPB=60°例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面A BCD, PA=AB=a,求二而角B-PC-D的大小。
提示：“AB三A PCD,而且是直角三角形二、三垂线定理法:己知二而角其中一个面一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二而角的平而角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA丄平面ABCD, PA=AB=a, ZABC=30°,求二而角P-BC-A 的tag 大小。
过A做AH丄BC,交BC 于H,连接PH"A丄面ABCD/. PA 丄AB, PA 丄BC/. BC丄面PHA/. ZPHA为二面角在A ABH中ZABH=30°, AB=aAH=a/2tagZPHA = 2例：如图,ABCD-AbCD是长方体，侧棱AAi长为1,底而为正方体且边长为2, E是棱BC的中点，求面GDE与而CDE所成二而角的正切值.提示：CO丄DE,而且是长方体！！！A B例、A ABC 中，ZA=90° , AB二4, AC二3,平面ABC 外一点P 在平而ABC的射影是AB中点M,二面角P—AC—B的大小为45°。
求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二而角C—PB—A的大小提示:角PAB是二面角,找到每个面的直角！！!射影，那么PM为面ABC的垂线！例、如图4,平而Q丄平而0, a C p =1, AG Q, BG0，点A在直线/上的射影为九，点B在/的射影为B|,己知AB=2, AA,=1, BBi=V2,求：二面角A] — AB —Bi的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式s ^=s原cose,其中&为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平而角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA丄平面ABCD, PA=AB = a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】
线面角的求解【方法总结】1、线面角的范围：[0°,90°]2、线面角求法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；找线在面外的一点B，过点B向平面α做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：1）线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线；2）题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；3）过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面α（这两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B且与α垂直的平面）。
3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。
【巩固练习】1、已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2 B.3 C.12D.13【答案】A【解析】易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠== .2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．B．C．D．[来源网ZXXK]【答案】C【解析】如图所示，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C.3、如图，在三棱锥P-ABC中，,PA AB⊥PC BC⊥，,AB BC⊥22,AB BC==5PC=，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.【答案】45︒【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形．由BC CD⊥，BC PC⊥，PC CD C=，∴BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴BC PD⊥，同理可得AB PD⊥，又AB BC B⋂=，∴PD⊥平面11ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,5CD AB PC ===得1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．13C ．33D ．23【答案】A【解析】作1A H ⊥面ABC 于点H ,延长11B A 到D ,延长BA 到E 使得111B A A D =，,BA AE =如图则有11A EAB ，又因为1A O ⊥面ABC ，故1A EO ∠为所求角，且111sin AO A EO A E∠=已知底面为正三角形，且O为底面中点，解三角形可知：111336,333AO AB AA A O AA==∴=又在AEO∆中运用余弦定理，150EAO∠=︒则()()22212cos3EO EA AO EA AO EAO AB=+-⋅∠=故由勾股定理可得22113A E AO EO AB=+=则1623sin33A EO∠==故选A5、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且13AD DB=，点C为圆O上一点，且3BC AC=.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角．【答案】（1）见解析；（2）301旗开得胜1【解析】(1)证明：连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点． 又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB. 由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°， 所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO. 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ， 由PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，且PD ∩AO ＝D ， 得CD ⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面PAB 所成的角， 又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝3. 在Rt △PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3，所以3tan 3CD CPD PD ∠==，∠CPD ＝30°， 即直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.16、如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】 （1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.1又,AB BC⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）高一学生可以用等体积法求解。
高中数学《二面角的平面角及求法》练习
高中数学《二面角的平面角及求法》练习1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值．2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中.证明：平面平面；若是的中点，求二面角的余弦值．3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝．（1）求证：平面；（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；（3）求二面角的平面角的正切值．4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（2）求二面角的余弦值．6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示．（1）试判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）求二面角的余弦值．7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面上的投影为直线与的交点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．9. （（1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面；（2）求二面角的余弦值．10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝Ⅰ，直线与平面所成的角等于．Ⅱ证明：平面平面；求二面角的余弦值．11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，．Ⅰ求证：为直角三角形；Ⅱ求二面角的余弦值．13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝．（1）证明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值．14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．参考答案一、解答题1.证明：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．设＝，＝，则，，，，，，，，．∵，，∴，，又＝，∴平面；设平面的法向量，则，又，故，取＝，得．∵与平面所成的角为，，∴，解得，∴．由（1）知平面的法向量，∴．∴二面角的余弦值为．2.证明：设的中点为，连结，，如图：由题意得，，，∵在中，，为的中点，∴，∵在中，，，，∴，∴.∵，，平面，∴平面.，∵平面，∴平面平面．解：由知平面，∴，，，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，，，，，设平面的法向量，则取，得.设平面的法向量，则取，得.设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．3.因为平面平面，平面，，平面平面＝，所以平面．所以．因为为等腰直角三角形，＝，所以＝又因为＝，所以＝＝，即．因为平面，平面，＝，所以平面．取的中点，连结，，则，所以为平行四边形，所以．所以与所成角即为所求，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，设＝，．＝，，在直角三角形中，．由，平面平面，易知，平面．作，交的延长线于，则．从而，平面．作于，连结，则由三垂线定理知，．因此，为二面角的平面角．因为＝，＝，所以＝，＝．设＝，则＝，．．在中，＝，，．在中，．故二面角的平面角的正切值为．4.取中点，连接，，依条件可知，，则为所求二面角的平面角．∵面，∴为侧棱与底面所成的角．∴，设＝，，∴＝，．∴＝．连接，，∵，∴为异面直线与所成的角．∵，，∴平面．又平面，∴．∵，∴；延长交于，取中点，连，，．∵，，∴平面∴平面平面．又＝，＝，∴为正三角形．∴．又平面平面＝，∴平面．∴是的等分点，靠近点的位置．5.存在点，点为的中点，证明：当点为的中点时，连结交于，∵平行四边形，∴为的中点，连结，则，∵在平面，不在平面，∴平面；∵＝＝＝，＝＝＝，＝，∴，∴，∴＝，∴，又∵平面平面，∴平面，平面，∴过点作，垂足为，连结，∴平面，∴，则为二面角的平面角，在中，，∴，∴二面角的余弦值为．6.平面．证明如下：在图中，连接，交于，交于，则，在图中，连接交于，连接，在中，有，，∴．∵平面，平面，故平面；图中的三角形与三角形分别是图中的与，∴，，又＝，∴平面，则，又，∴平面，则为二面角的平面角．可知，则在中，＝，，则．在中，＝，，由余弦定理，得．∴二面角的余弦值为．7.证明：∵底面是边长为的正方形，＝，为中点，∴，．∵平面，平面，∴．∵＝，∴平面，∵平面，∴，∵＝，∴平面，∵平面，∴；以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系．则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，取＝，得；设平面的一个法向量为，则，取＝，得，∴，∴二面角的正弦值为．8.证明：四棱柱中，底面为菱形，连结、，则，，∵在平面上的投影为直线与的交点，∴平面，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，∵＝，∴平面，∴平面，∵平面，∴．连结，则四边形是平行四边形，∴平面，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取＝，得，设二面角的平面角为，则．∴二面角的正弦值．9.证明：取中点，连接，，在中，，分别为，的中点，则，且，又底面为正方形，为的中点，则，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又不在平面内，在平面内，∴平面；∵，，且＝，都在平面内，∴平面，取中点，则，∴平面，∴为直线与平面所成的角，∴，∵、、分别为、、的中点，底面边长为，＝，∴，且，∵平面，在平面内，∴平面平面，且交线为，又，且在平面内，∴平面，在平面内作于点，则，又∵＝，，在平面内，∴平面，再作于点，如图，则为所求二面角的平面角，在正方形中可求得，∴二面角的余弦值为．10.证明：Ⅰ在中，是斜边的中点，所以．因为，是，的中点，所以，且，所以＝，，又因为，，所以，且＝，故平面因为平面，所以平面平面．（2）方法一：取中点，则因为，所以．又因为，所以平面，故平面因此是直线与平面所成的角，，所以，过点作于，则平面，，过点作于，连接，则为二面角的平面角，因为，所以因此二面角的余弦值为．方法二：如图所示，在平面中，作轴，以为坐标原点，，为，轴建立空间直角坐标系．因为（同方法一，过程略）则，，，所以，，设平面的法向量则即取＝，得，设平面的法向量则即取＝，得所以，因此二面角的余弦值为．11.证明：∵，分别为正方形的边，的中点，∴，，又平面，平面，＝，∴平面，∵平面，∴，∵＝，＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，面，面，＝，∴平面．设中点为，连结，则，，两两垂直，不妨设＝．以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，令＝，得，而为平面的一个法向量，∴，故二面角的余弦值为．12.（1）取的中点，连接，，在中，＝，＝，故是等边三角形，∴，又，而与相交于，∴平面，故，又，∴，∴为；（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，可令＝＝＝，则，，，，，∴，，，，设平面的法向量为，由题意有，令＝，则＝，，∴，又侧面底面，可得平面，可得平面的法向量为，，，二面角的平面角为钝角，可得二面角的余弦值为．13.连接交于点，连接．………因为，所以，又因为，所以，所以，……又面，面，所以面………过作于，因为＝，所以是线段的中点．因为面面，面面＝，所以面．连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以．如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标………分不妨设＝，则，，，，，由，得，的中点，，设面的一个法向量为，则，即，得方程的一组解为，即面的一个法向量为，则所以二面角的余弦值为．………14.证明：取中点，连结，，∵，是，的中点，∴，且，∵，＝，∴，∴，∴＝，又，∴，∴为平行四边形，∴，又平面，且平面，∴平面．取中点，连结，取的中点，连结，，设＝，由（1）得＝＝＝，∴为等边三角形，∴，同理，，∵平面平面，平面平面＝，平面，∴平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，∴，由图得二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为．第21页共22页◎第22页共22页。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，两两垂直，∠∠SBA=45°SBA=45°, , ∠SBC=60°SBC=60°, , M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, BMHSCA图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为即为 SC 在面ABC 内的射影。
内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面是面 SAB 的垂线，又是面的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，垂直的性质定理，其思路是：其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin sinθθ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角，是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
立体几何——面角求法
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1的正切值为 .解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在R t B G A ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.D B 1图1AO A 1CBD 1C 1O 1A 图3 αβPBlGPAＳBＳCＳDＳFE例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值. 分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.(1)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.解法一:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形, ∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE, ∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,图4B 1A αβA 1BlEF又OE===在直角三角形BEO中,tan∠BEO===3,∴二面角B-PC-A的正切值为3.例5. (2010重庆, 19, 12分) 如图, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形, PA⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E是棱PB的中点.(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC==.所以cos∠DFG==.3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
二面角的基本求法例题及练习
C1C1B一、平面与平面的垂直关系1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。
求证：BEF BDG ^平面平面。
例2．AB BCD BC CD ^=平面，，90BCD °?，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。
求证：BEF ABC ^平面平面 。
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。
二、二面角的基本求法1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。
例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求（1）二面角11A B C A --的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。
练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ，求二面角B PC D --的大小。
2．三垂线法例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=12AD=a ，G 是EF 的中点，（1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。
例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC°?，PAB 是正三角形，PA BC ^。
（1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。
练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。
B13．垂面法例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^；（2）求二面角C SA B --的大小；（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C1
C1
B
一、平面与平面的垂直关系
1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。
求证：BEF BDG ^平面平面。
例2．AB BCD BC CD ^=平面，，90BCD °?，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。
求证：BEF ABC ^平面平面 。
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。
二、二面角的基本求法
1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。
例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
求（1）二面角11A B C A --的大小；
（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。
练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ，
求二面角B PC D --的大小。
2．三垂线法
例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=1
2
AD=a ，G 是EF 的中点，
（1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。
例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC
°?，PAB 是正三角形，PA BC ^。
（1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。
练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。
B1
3．垂面法
例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^；
（2）求二面角C SA B --的大小；
（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。
4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱
例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ， 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。
（2）射影面积法（cos
s
S
q=射影）
例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱
1
AA的中点，
求平面
11
PB C与平面ABCD所成二面角的大小。
1、A、B是二面角M—a—N的棱a上两点，P是N内一点，PB^a与B，PA与a成45°角，PA地M成30°角，则二面角M—a—N的度数是
A、30°
B、45°
C、60°
D、75°
2、正四面体相邻两面所成二面角为a，则有
A、cosa=1/3
B、sina=1/3
C、cosa= EQ R(,3) /3
D、sina= EQ R(,3) /3
3、已知两两垂直的三射线OA、OB、OC交平面a于A、B、C若OA=1，OB=2，OC=3，则a与平面OAB 所成角的余弦值是
A、2/7
B、3/7
C、6/7
D、不同于A、B、C
4、两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面
A、相等
B、互补
C、相等或互补
D、不确定
5、RtDABC斜边AB在平面a内，AC、BC与a成45°和30°的角，则平面ABC与a所成的角为________ _
6、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连结AC，则二面角A—CD—B的大小为________
7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为2/3，则侧面与底面所成的二面角为________
8、三棱锥P—ABC的底面ABC是以AC为斜边的RtD，且顶点P在面ABC内的射影是DABC的外心，若P A=AB=1，BC= EQ R(,2) ，则面PAB与面ABC所成的二面角为_______
9、二面角a—L—b内一点P到两个面的距离分别为EQ R(,2) ，EQ R(,3) 到棱的距离为2，求此二面角的大小
10、四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，AB^BC 且AB= EQ F(1,2) CD ，侧棱PB^面ABCD ，PC=5，BC=3，S DPAB =6。
求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小
11.如图，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值．
12．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB ＝a 求(1)二面角B －PC －D 的大小；(2)平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小．
13、如图，ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。
求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小
14、正三角形ABC 的边长为10，A ∈平面α，
B 、
C 在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC 与α所成的角的正弦值。
15、如图，设M 为正方体
ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD1与
底面ABCD 所成的 二面角的大小。