欧拉公式1
欧拉公式和球
文章主旨作简要阐释。（4分） 20．下列对本文有关内容的理解和分析不正确的一项是（2分）（ ） A．文章第①段的景物描写为全文定下了充满活力、兴奋昂扬的情感基调。 B．第②段末尾的省略号隐含的意思是：在西安，引发思古幽情的历史遗迹与脍炙人口的诗歌还有很多。 C．第⑥段末尾
画线句强调的意思是“不知道到底要怎么称呼、评价那些兵马俑才恰当”。 D．刘禹锡“自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝”与第②段画线诗句表达的意境是不同的。 代谢：16．（1）乘车驶向秦俑馆的路上 （2）精致绝伦的艺术国宝（3）油然而生的骄傲感与幸福感更加强烈 解析：（1）处应为
用？（4分） 答：? 18.选文第?段中父母说：“我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……”，第?段中，“我”却认为“我们最需要的东西，那里一直不缺不空。”这两句话是否矛盾？为什么？（3分） 答： 代谢：（四） 13.A无比自豪? B父亲两手空空、疲惫沮丧地回家 C疑惑不解 D满足
激动 14.）第③段写了父亲带回来的东西繁多而丰富，表现“我”对父亲带回的东西的新奇喜悦；表现了父亲的勤劳能干和父亲对我们的爱。 15.“镀亮”生动形象地写出了周围的人被高凳子的奇特吸引，目光有神采，内心羡慕． 16.比喻，生动形象地写出了父亲腰身弯曲和身体疲惫。 17.神态描
一台收音机，另外一个地方又需要一辆自行车……终于有一天，他们都说：“ 我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……” ? ?我们会的，会把所有需要填满的地方填满，还有他们心里梦里空着的地方。 ?但是我又懂得，在那些有他们的地方，其实一直是满满当当的， 我们最需要的东西，
那里一直不缺不空。 （选自《时文选粹》，有删改） 13.阅读选文④-⑩段，补全下面的表格。（4分） 段落
所
见（所想）
所感 （1）
几个重要极限公式
几个重要极限公式
1. 欧拉公式：
欧拉公式是数学中的一项重要极限公式，由著名数学家欧拉提出，在数学中具有重要的应用价值。
具体来说，欧拉公式表示为:e^(iπ)+1=0
其中，e是自然对数的底数，i表示虚数单位，π表示圆周率。
2. 格朗沃尔定理：
格朗沃尔定理是微积分中的一项重要极限公式，由法国数学家格
朗沃尔提出。
格朗沃尔定理表示为∫_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)
其中，∫表示积分符号，f(x)表示被积函数，f'(x)表示其导数，
a和b为积分区间。
3. 斯特林公式：
斯特林公式是组合数学中的一项经典极限公式，由苏格兰数学家
斯特林提出并证明。
斯特林公式表示为:n!=sqrt(2πn)*(n/e)^n
其中，n！表示n的阶乘，e表示自然对数的底数，π表示圆周率。
这三个极限公式都是数学中的重要定理，广泛应用于各个领域。
欧拉公式与电工学有关，格朗沃尔定理与微积分有关，斯特林公式与组合数学和统计学有关。
掌握这些公式的应用方法不仅有助于我们深入了解数学的本质，也能够帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
欧拉公式和球
花色烟囱模样的鬃毛，长着钢灰色马心般的胶卷湖帆额头，前半身是天蓝色牙膏般的怪鳞，后半身是有些魔法的羽毛。这巨神长着紫玫瑰色马心般的脑袋和乳白色野猪般的脖
子，有着紫罗兰色玩具造型的脸和水白色章鱼般的眉毛，配着白杏仁色井盖模样的鼻子。有着淡紫色砂锅造型的眼睛，和土灰色乱草般的耳朵，一张淡紫色轮胎般的嘴唇，怪
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
叫时露出亮灰色火舌般的牙齿，变态的天蓝色玩具样的舌头很是恐怖，深青色轻盈形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似怪藤般的肩胛和活像画笔模样的翅膀，这巨神轻灵的
灰蓝色蜜桃样的胸脯闪着冷光，极似黑熊模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似茄子般的腿和白象牙色恐龙般的爪子……瘦瘦的青兰花色猪肺样的八条尾巴极为怪异，淡黑
是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的鹅掌闪臂魔！这个巨大的鹅掌闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇
的是这个怪物长着十分典雅的闪臂！这巨魔有着淡灰色螃蟹造型的身躯和墨灰色细小谷穗一样的皮毛，头上是暗黑色镜子形态的鬃毛，长着深黄色烟囱造型的河马疾宁额头，
，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……四十五条乳白色算盘模样的丑陋巨根急速从里面伸出然后很快钻进
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
欧拉公式
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。
其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。
此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
分式与欧拉公式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c复变函数论与欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x 取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
欧拉公式计算
欧拉公式计算摘要：1.欧拉公式的定义与概述2.欧拉公式的推导过程3.欧拉公式的应用领域4.欧拉公式的重要性与影响正文：1.欧拉公式的定义与概述欧拉公式，又称欧拉恒等式，是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18 世纪提出的一个著名数学公式。
该公式以其简洁优美的表达形式和深刻的数学内涵著称，被认为是数学史上最杰出的公式之一。
欧拉公式的表述如下：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)其中，e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，x 是实数，cos(x) 和sin(x) 分别表示实数x 的余弦和正弦函数值。
2.欧拉公式的推导过程欧拉公式的推导过程并不复杂，其主要依据了复数和三角函数之间的关系。
首先，将复数e^(ix) 按照指数的定义展开，得到：e^(ix) = (cos(x) + i*sin(x))^1然后，利用三角函数的和角公式将右侧的式子化简，可以得到：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这就是欧拉公式的表达式。
通过这个公式，我们可以将复数和三角函数紧密联系起来，从而为许多数学问题的求解提供了便利。
3.欧拉公式的应用领域欧拉公式在数学及物理学等领域具有广泛的应用。
在复分析、微积分、概率论、波动方程等方面，欧拉公式都发挥着重要作用。
此外，欧拉公式还与复数域上的傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学方法密切相关，为信号处理、图像处理等领域提供了理论基础。
4.欧拉公式的重要性与影响欧拉公式的重要性与影响不言而喻。
它以简洁的形式揭示了复数与三角函数之间的深刻联系，为数学家们提供了一个重要的研究工具。
欧拉公式不仅对数学史产生了深远的影响，还对物理学、工程学等相关领域产生了积极的推动作用。
欧拉公式
欧拉公式
一、众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。
现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
F=fe^ka
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。
此外还有很多着名定理欧拉的名字命名。
二、挠性传动理论的基本公式，表达式如下：
S
y.max=S
1e
式中:
S
y.max ----输送带或钢丝绳在相遇点上的最大张力，N；
S
1 ----分离点上的张力，N；
u ----输送带与滚筒或钢丝绳与驱动绳轮的摩擦系数；
a ----输送带与滚筒或钢丝绳与摩擦绳轮的围包角，（度）；ua
e --自然对数的底e=2.7183
欧拉公式说明：相遇点上张力的大小，与分离点张力、摩擦系数、围包角之间的关系。
三、强力带式输送机驱动滚筒上胶带，相遇点与分离点上的张力差，叫驱动滚筒的的摩擦牵引力。
（加大胶带拉紧力、增加围包角、摩擦系数）
W
0.max=S y.max- S 1=S
1（eua-1 ）。
欧拉公式8个数学公式
欧拉公式8个数学公式欧拉公式，也称为Euler’s Formula，是一个有关解决复杂数学问题的有用工具。
它涉及到拓扑学、数学和物理学的概念，是数学家们最深入的思考和最深刻的结果之一。
欧拉公式由拉丁数学家欧拉发现，它将拓扑学和复数分析的概念结合在一起，来解决在各种数学模型中发现的数学问题。
它的关键是将拓扑学中的度数概念与复数分析中的幅角概念结合在一起，换句话说，就是将“角度”与“比值”相结合，从而推导出一系列有用的数学公式。
欧拉公式有很多不同的形式，其最经典的形式是：e^(i*θ) = cos(θ) + i*sin(θ)其中，e是自然对数的底数，i是复数单位根，θ是一个幅角。
该公式表明了复杂数学问题的解决方案，并且可以用来推导一系列相关的数学公式。
例如，欧拉公式可以用来推导出下列数学公式：(1) cos(θ +) = cos(θ)*cos(φ) - sin(θ)*sin(φ)(2) sin(θ +) = sin(θ)*cos(φ) + cos(θ)*sin(φ)(3)量条件：|a+b|2=|a|2 +|b|2(4)量共轭：a*b = |a| |b| cos(θ)(5)向余弦：cos(θ) = a*b/(|a|*|b|)(6)量叉乘：a*b = |a|*|b| sin(θ)(7)向量：a * b * c = |a| * |b| * |c|(8)转矩阵：cos(θ) -sin(θ)sin(θ) cos(θ)在复数分析、拓扑学和物理学中，欧拉公式都很有用，并且在许多领域都得到了广泛应用。
它提供了连接拓扑学中角度概念和复数分析中比值概念的桥梁，为解决许多复杂的数学问题提供了可能。
欧拉公式的引入让拓扑学的应用更加广泛，在电路设计、机器学习和科学计算等领域中都得到了广泛的应用。
比如，欧拉公式可以用来解决电路设计的复杂的数学问题，根据欧拉公式可以计算出电路中的约束条件，从而更好地解决电路设计中的问题。
此外，由于欧拉公式可以解决科学计算中的复杂数学问题，它也被广泛应用于机器学习和人工智能等领域。
力学欧拉公式
力学欧拉公式
力学欧拉公式是在19世纪由欧拉发现的重要物理定律，在力学
和物理学的研究中占有重要地位，特别是在旋转机械装置中。
欧拉公式的发现催生了运动学、力学和物理学的科学发展，是物理学发展的一块重要的砖石。
欧拉公式是欧拉在1826年提出的。
他们说：“在力学和运动学中，力学总量在一个定常状态下是不变的。
”据此，欧拉可以得出以下结论：在旋转机械系统中，总动能（T）与总势能（V）的差值（T－V）等于机械系统中外力的功（W）。
这便是欧拉公式，即：T - V = W。
欧拉公式有着重要的应用价值。
能够有效地根据欧拉公式求出机械系统的动能、势能以及外力的功，从而用来进行机械系统的分析和设计。
此外，欧拉公式还可用于测量动能、势能和外力的功。
通常，可以使用动能定律来求动能，使用势能定律来求势能，并使用功定律来求外力的功。
有了这些定律，就可以使用欧拉公式来测量动能、势能和外力的功。
此外，欧拉公式还可以反过来应用于物体的动能和势能的测量。
以钢筋混凝土桥梁为例，可以使用欧拉公式来计算桥梁的动能和势能，进而求出桥梁的弹性功和内力的功。
欧拉公式在物理学中的重要性不容小觑，它的发现催生了运动学、力学和物理学的科学发展，是物理学发展的一块重要的砖石。
欧拉公式不仅可以用于分析机械系统，还有着重要的应用价值，可以让人们
更好地理解物理学现象，使得物理学受益匪浅。
因此，欧拉公式的发现和应用，是科学世界的重要成果。
欧拉公式计算
欧拉公式计算摘要：一、欧拉公式简介1.欧拉公式定义2.欧拉公式的数学表达式二、欧拉公式在数学领域的应用1.复数运算2.三角函数与指数函数的关系3.数值计算与分析三、欧拉公式在实际生活中的应用1.信号处理2.图像处理3.物理学与工程学领域四、欧拉公式的推广与拓展1.欧拉公式的推广形式2.欧拉公式的应用范围正文：欧拉公式，作为数学领域中一个重要的公式，被广泛应用于各种计算与分析中。
它是由数学家欧拉在18世纪提出，揭示了复数与三角函数之间的关系。
首先，我们需要了解欧拉公式的定义。
欧拉公式是指：e^(ix) = cos(x) +i*sin(x)，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，x是实数，cos(x)和sin(x)分别表示实数x的余弦和正弦函数值。
欧拉公式的数学表达式为：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，这一公式将复数与三角函数联系起来，为复数的运算提供了便利。
在数学领域，欧拉公式具有广泛的应用。
首先，在复数运算中，欧拉公式可以将复数的指数运算转化为三角函数的计算，简化运算过程。
其次，欧拉公式将三角函数与指数函数联系起来，有助于研究三角函数的性质和应用。
此外，欧拉公式在数值计算与分析中也有重要作用，例如在求解微分方程、插值与拟合等问题时，欧拉公式可以提供有效的方法。
在实际生活中，欧拉公式也有广泛的应用。
在信号处理中，欧拉公式可以用于信号的调制与解调；在图像处理中，欧拉公式可以用于图像的加密与解密。
此外，在物理学与工程学领域，欧拉公式也有助于解决各种问题，如波动、传输线、天线等。
为了进一步拓展欧拉公式的应用范围，数学家们对其进行了许多推广与拓展。
例如，将欧拉公式推广到更高维空间，可以得到高维欧拉公式；将欧拉公式应用于其他数学领域，如代数几何、数论等，可以得到更多有趣的结论。
综上所述，欧拉公式作为一个重要的数学公式，在数学领域和实际生活中有着广泛的应用。
欧拉公式
欧拉公式
一、众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。
现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
F=fe^ka
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。
此外还有很多着名定理欧拉的名字命名。
二、挠性传动理论的基本公式，表达式如下：
S y.max=S1e ua
式中:
S y.max ----输送带或钢丝绳在相遇点上的最大张力，N；
S1 ----分离点上的张力，N；
u ----输送带与滚筒或钢丝绳与驱动绳轮的摩擦系数；
a ----输送带与滚筒或钢丝绳与摩擦绳轮的围包角，（度）；
e --自然对数的底e=2.7183
欧拉公式说明：相遇点上张力的大小，与分离点张力、摩擦系数、围包角之间的关系。
三、强力带式输送机驱动滚筒上胶带，相遇点与分离点上的张力差，叫驱动滚筒的的摩擦牵引力。
（加大胶带拉紧力、增加围包角、摩擦系数）
W0.max= S y.max - S1=S1（e ua-1）。
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
【高中数学课件】欧拉公式(1)
（若
m
3 ，n
3
，则有
1 m
1 n
h12
0，即
1 E
0 这是不可能的5 ）
∴m,n中至少有一个等于3．令 n 3 ，则 1 11 1 0
m32 E
∴ 1 1 ，∴ m 5 ∴ 3m5
m6
同样若 m 3 可得3n5．
例2：是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有 奇数条边
例3．一个正多面体各个面的内角和为 2 0 ，求它的面数、
研究 V 、E 和 F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形
既可。
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 B C ，就减少一个面
A B C ，同理去掉棱 C D 、B D
也就各减少一个面 ACD 、ABD
Hale Waihona Puke 因此，(F1)E、V 的值都不变，
因此 V(F1)E的值也不变。
h
3
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点
例如去掉C A ，就减少一个顶点 C ，同理，去掉D A 就减少 一个顶点 D ，最后剩下A B
新疆 王新敞
奎屯
在此过程中V E的值不变，但这时面数F 是0。
所以 V(F1)E的值也不变。
最后只剩下 A B ，所以V (F 1 ) E 2 0 1 1
最后加上去掉的一个面，就得到 VFE2
h
4
例1. 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六 面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种
证明：设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连有m条棱，
令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，
由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 E n F （1） 2
圆周率欧拉公式
圆周率欧拉公式
圆周率欧拉公式是数学中的一个重要公式，表明了三个基本常数——圆周率、自然对数的底数e和虚数单位i之间的神奇联系。
公式的形式为e^(iπ) + 1 = 0。
其中e是自然对数的底数，π是圆周率，i是虚数单位。
这个公式是欧拉在18世纪发现的，被认为是数学史上最美丽的公式之一。
这个公式从几何和代数两个角度来解释，可以用来证明许多数学定理，应用广泛，涉及到物理、工程、计算机科学等领域。
圆周率欧拉公式的发现，不仅令人叹为观止，也揭示了数学中的深奥道理和美妙之处。
- 1 -。
欧拉公式∑
欧拉公式（Euler's formula）是数学中非常重要的一个公式，它表达了数学常数e、虚数单位i、π、和三角函数的关系。
欧拉公式通常写作：
\[e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\]
其中，e 是自然对数的底（约等于2.71828），i 是虚数单位（i^2 = -1），θ是一个实数（通常表示角度），cos(θ) 表示余弦函数，sin(θ) 表示正弦函数。
这个公式的美妙之处在于它将三角函数和指数函数相结合，将复数与实数的概念融合在一起。
欧拉公式在数学、工程、物理学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
这个公式的一个重要应用是在复数平面上表示复数。
当θ为实数时，e^{iθ} 表示复平面上的一个点，其实部是cos(θ)，虚部是sin(θ)。
这种表示方法在探讨周期性现象、振荡、波动等问题时非常有用。
此外，欧拉公式还与级数和微积分密切相关，例如，它用于推导泰勒级数和麦克劳林级数，以及在复数分析中的应用。
总之，欧拉公式是数学中的一个非常重要且美丽的公式，它将多个数学概念相互联系起来，为解决各种数学和科学问题提供了强大的工具。
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正多面体
什么叫正多面体(两 什么叫正多面体( 个特征)? 个特征)? 正多面体有哪几种? 正多面体有哪几种? 为什么? 为什么?
问题1.图中有5个多面体, 问题1.图中有5个多面体,分别数出它 1.图中有 规律:V+F-E=2E,并填表 规律 F和棱数E,并填表: 们的顶点数V,面数F V,面数 们的顶点数V,面数 和棱数E,并填表:
3 1
图形编号 顶点数V 顶点数 面数F 面数
2
棱数E 棱数
1 2 3
5 12 7
5 12 8
8 24 12
比较问题1和问题2中的图形, 比较问题1和问题2中的图形,如果这些多 面体的表面都是用橡皮薄膜制作的, 面体的表面都是用橡皮薄膜制作的,并且 可以向它们的内部充气那么其中哪些多面 体能够连续(不破裂)变形, 体能够连续(不破裂)变形,最后其表面 可变为一个球面? 可变为一个球面?
像以上那样的连续变形中, 像以上那样的连续变形中,表面能变为一个球面的多 面体, 简单多面体. 面体,叫简单多面体
想一想
前面的多面体中,是简单多面体的有哪些? 前面的多面体中,是简单多面体的有哪些? 棱柱,棱锥,正多面体,凸多面体是简单多面体吗? 棱柱,棱锥,正多面体,凸多面体是简单多面体吗?
猜想
3 1 2
图形编号 顶点数V 顶点数 4 8 6 9 9 面数F 面数 4 6 8 8 9
4
棱数E 棱数 6 12 12 15 16
5ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 3 4 5
问题2.图中有三个多面体, 问题2.图中有三个多面体,分别数 2.图中有三个多面体 这些图形符合前面找出的规律 出它们的顶点数V 面数F和棱数E, 出它们的顶点数V,面数F和棱数E, V+F-E=2吗? 吗 并填表. 并填表.
简单多面体的顶点数V 面数F的和与棱数E 简单多面体的顶点数V,面数F的和与棱数E之间存在 的规律? 的规律?
V+F-E=2
有的历史学家把欧拉和阿基米德,牛顿,高斯列 欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算, ——计算 欧拉,瑞士数学家.13岁就成为巴塞尔大学的学 欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算,并且最先 欧拉,瑞士数学家.13 在普及教育和科研中, 岁就成为巴塞尔大学的学 在普及教育和科研中,欧拉意识到符号的简化和 有的历史学家把欧拉和阿基米德,牛顿, 1735年 欧拉着手解决一个天文学难题—— 1735年,欧拉着手解决一个天文学难题——计算 为有史以来贡献最大的四位数学家,依据是他们 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家, 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家, 规则化既有有助于学生的学习, 规则化既有有助于学生的学习,又有助于数学的 发现了对数是无穷多值的. ,秧及欧拉的住宅他 发现了对数是无穷多值的.他证明了任一非零实 生,17岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕 慧星的轨迹( 慧星的轨迹(这个问题需经几个著名的数学家几 为有史以来贡献最大的四位数学家, .当时 欧拉不但重视教育,而且重视人才. 欧拉不但重视教育,而且重视人才 1771年,圣彼得堡一场大火 秧及欧拉的住宅, 177117岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕 年 圣彼得堡一场大火, , 岁开始发表论文, 从19有无穷多个对数. 直到76 岁开始发表论文 ).由于欧拉使用了自己发 发展,所以欧拉创立了许多新的符号.如用sin 发展,所以欧拉创立了许多新的符号.如用sin 数R有无穷多个对数. 直到76岁 士19岁开始发表论文, 由于欧拉使用了自己发 .欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行 个月的努力才能完成). 个月的努力才能完成). 岁,而欧拉已48岁 都在创建纯粹理论的同时, 76岁,他那不倦的一, 都在创建纯粹理论的同时,还应用这些数学工具. 一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来. 一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来. 法国的拉格朗日只有19 表示自然对数的底, 19岁 48岁 法国的拉格朗日只有19 表示自然对数的底, 共写下了886本书籍和论文, 但三天持续不 886本书籍和论文 而欧拉已48 , 生,等表示三角函数,用 ,19岁的欧拉由于撰写 共写下了886本书籍和论文,其中在世时发表 cos 等表示三角函数, 年 e 19岁的欧拉由于撰写 明的新方法,只用了三天的时间. 明的新方法,只用了三天的时间. 数学研究的道路.1726年 数学研究的道路.1726 去解决大量天文,物理和力学等方面的实际问题, 去解决大量天文,物理和力学等方面的实际问题 欧拉使三角学成为一门系统的科学, 欧拉使三角学成为一门系统的科学,他首先用比 可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬.大火 可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬表示虚 拉格朗日与欧拉通信讨论"而荣获巴黎科学院 拉格朗日与欧拉通信讨论"等周问题"28岁的 700多篇论文 甚至在他死后, ,用 i . 欧 多篇论文. 了700多篇论文.甚至在他死后,彼得堡科学院为 表示函数, 表示求和, 用f(x) 表示函数,用 ,他们不断地从实践中吸 断的劳累也使欧拉积劳成疾,疾病使年仅 , 断的劳累也使欧拉积劳成疾,等周问题"28岁的 论桅杆配置的船舶问题》 . 他们的工作是跨学科的, 表示求和 他完全凭着坚 了《论桅杆配置的船舶问题》 疾病使年仅28 他们的工作是跨学科的 ∑,使三角学跳出只研究 值来给出三角函数的定义, 47年 就科研成果方 值来给出三角函数的定义 47年.,但却是经过 以后他立即投入到新的创作之中. 以后他立即投入到新的创作之中 了整理他的著作,整整用了47 了整理他的著作,整整用了 数等.圆周率π虽然不是欧拉首创, 数等.圆周率π虽然不是欧拉首创 拉也在研究这个问题. 欧拉右眼失明.但他仍然醉心于科学事业, 拉也在研究这个问题.后来拉格朗日获得 欧拉右眼失明.但他仍然醉心于科学事业,忘我 取丰富的营养,但又不满足于具体问题的解决, 取丰富的营养,但又不满足于具体问题的解决, 的资金. 的资金. 三角表这个圈子. 三角表这个圈子.欧拉对整个三角学作了分析性 强的意志和惊人的毅力,回忆所作过的研究. 强的意志和惊人的毅力,回忆所作过的研究.欧 面来说, 面来说,欧拉是数学史上或者说是自然科学史上 欧拉的倡导才得以广泛流行.而且, 让拉格朗 欧拉的倡导才得以广泛流行.而且,欧拉还把e , , 地工作. 地工作. 而是把宇宙看作是一个有机的整体, 就是他那惊 而是把宇宙看作是一个有机的整体,力图揭示它 成果,欧拉就压下自己的论文, 成果,欧拉就压下自己的论文 , 的研究,从最初几个公式解析地推导出了全部三 的研究, . 欧拉的成才还有另一个重要的因素, 欧拉的成才还有另一个重要的因素 首屈一指的. 首屈一指的 拉的记忆力也确实罕见, 但他用口授, 拉的记忆力也确实罕见 ,但他用口授,别人记 统一在一个令人叫绝的关系式中. π ,i 统一在一个令人叫绝的关系式中. 欧拉 的奥秘和内在规律. 的奥秘和内在规律. ,他能够完整地背诵出几 晚年欧拉的左眼又失明了, . 晚年欧拉的左眼又失明了 日首先发表,使他一举成名. 日首先发表,使他一举成名 这是继π ,e . 角公式,还获得了许多新的公式. 人的记忆力!他能背诵前一百个质数的前十次幂, 角公式,还获得了许多新的公式. 人的记忆力!他能背诵前一百个质数的前十次幂 在研究级数时引入欧拉常数C,由他的长子记录. 在研究级数时引入欧拉常数C,由他的长子记录, 十年前的笔记内容,然后口授, 微积分原理》 十年前的笔记内容,然后口授, 微积分原理》, 由于欧拉出色的工作,后世的著名数学家都极度 欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支, 欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支,对物理 录的方法坚持写作.他撰写了《 录的方法坚持写作.他撰写了《 这是继π 由于欧拉出色的工作, .Virgil)的史诗Aeneil, 之后的又一个重要的数.航海学,多篇以及多部 之后的又一个重要的数(Virgil)的史诗Aeneil . 能背诵罗马诗人维吉尔( 第一卷在圣彼得堡出版. 能背诵罗马诗人维吉尔,航海学,建筑学Aeneil, 力学,天文学,弹道学, 400多篇以及多部 力学,天文学 弹道学 他用这种方法又发表了论文400建筑学,音乐 他用这种方法又发表了论文400 推崇欧拉.大数学家拉普拉斯说过:"读读欧拉, 欧拉用a 《积分学原理》第一卷在圣彼得堡出版 表示三角形的三条边,, 欧拉用a ,b ,c 表示三角形的三条边,用A, 1768年 1768年, 积分学原理》 推崇欧拉.大数学家拉普拉斯说过: 读读欧拉, 能背诵全部的数学公式. ,他又口述写成《 能背诵全部的数学公式.直至晚年, . 都有研究! 都有研究!欧拉写的数学教材在当时一直被当作 专著,这几乎占他全部著作的半数以上 这几乎占他全部著作的半数以上. 专著,表示第个边所对的角, B,C表示第个边所对的角 他又口述写成《代数 B,C表示第个边所对的角,从而使叙述大大地 1770年第三卷出版 同年, 年第三卷出版. 1770年第三卷出版.同年 这是我们一切人的老师. 直至晚年,他还能复述 这是我们一切人的老师."被誉为数学王子的高 标准教程. 》,有俄文,德文 法文版, 标准教程. 对于欧拉工作的研究, 年轻时的笔记的全部内容. ,法文版,成为欧 年轻时的笔记的全部内容.高等数学的计算他可 学完整引论》 有俄文,德文, 学完整引论 简化. :"对于欧拉工作的研究,将仍旧是对于 简化.欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指 斯也说过: 斯也说过 以用心算来完成. 以用心算来完成 洲几代人的教科书. 洲几代人的教科书 数函联结起来. 数学的不同范围的最好的学校, 数函联结起来. . . 数学的不同范围的最好的学校,并且没有别的可 以替代它" 以替代它".