一次函数的图象与性质专题

（2）正比例函数的图象是什么？是怎样得到的？
（3）正比例函数有哪些性质？是怎样得到这些性质的？
正比例函数
一次函数
解析式 y =kx（k≠0）
解析式 y =kx+b（k≠0）
图象：经过原点和（1，k）的
一条直线
k＞0
k＜0
？
y
y
Ox
Ox
？
性质：k＞0，y 随x 的增大而增
大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
例2 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标
轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. 分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x 轴的交点是（ bk ，0）.由题意可列出关于k，b的方程. 解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
据说篮球巨人姚明的鞋子长31cm，那么你知道他穿多大
码的鞋子吗？
52码，你是怎么判断的呢？
一次函数与实际问题
例1 “黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2
kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折. （1）填写下表：
购买种子 数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
b k
,
0
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可
以由正比例函数y=kxLeabharlann Baidu图象平移 b 个单位长度得到（当
b＞0时，向 上 平移；当b＜0时，向 下 平移）.
两点 作图法
由于两点怎确样定画一一条次直函线数，的画图一象次最函简数单图？象时我
们只需描为点什(0，么b？)和点
b k
,
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
学习目标
1.理解待定系数法的意义. 2.会用待定系数法求一次函数的解析式.（重点、难点） 3.知道两个条件确定一个一次函数解析式；一个条件确定 一个正比例函数解析式.
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能
写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出 它们的
D.y=-x-2
3.直线y=3x-2可由直线y=3x向 下 平移 2 单位得到.
4.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则 y1-y2 > 0(填“>”或“<”).
5.直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为（__1_._5_，__0_）；与y 轴交 点的坐标为（__0_，__-_3_）_；图象经过__一__、__三__、__四__象限， y 随x 的增大而__增__大____． 6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与 y轴交点在x轴下方， 且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
所以，这个一次函数的解析式为y
=
b=-1. 2x- 1.
例1 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9）， 求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把点（3，5）与（-4，9）分别代入，得：
3k+b=5， -4k+b=-9，
解方程组得 k=2， b=-1.
∴这个一次函数的解析式为
y=2x-1.
归纳总结：求一次函数解析式的步骤：
（1）设：设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
（2）列：把图象上的点 x1, y1 ，x2 , y2 代入一次
函数的解析式，组成_二__元__一__次__方程组；
（3）解：解二元一次方程组得k,b；
（4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式.
O
l 4•
3•
2•
1•
•• •••
O 12345
x
3. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)， 求直线l的解析式.
解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2. 又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的解析式为y=-2x+2.
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
☞
回 顾
用待定系 数法求一 次函数的 解析式
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
第4课时 一次函数与实际问题
学习目标
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题; 2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决 实 际问题的能力;（重点） 3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实 际问题的能力．（难点）
y=0.5x+1
一次函数的性质
画出下列一次函数的图象：
（1）y =x+1； （2）y =3x+1； （3）y =-x+1； （4）y =-3x+1．
y
y =-3x+1 y =-x+1
6
4
思考：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号
2 A
变化时，函数的增减性怎样变化吗？
-5
O
k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大；
① b>0时，直线经过 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过二、三、四象限.
例3 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值： （1）函数值y 随x的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限；
解：(1)由题意得1-2m>0，解得 m 1
解：函数因解为析P式（：0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上， 因此它们的
坐标应满足yy==kkxx++bb ， 将这两点坐标代入该式满中足，条得到件一的个两关点于：k，b的二元
一次方程组：
｛ ｛ k·0 + b = -1，
k=2，(x1,y1),(x2,y2)
一次函数的图解象这个方程组得：
k + b =直1线. l
解: 由题意得
3m 1 m
8 0
0
，解得
1 m 8 3
又∵m为整数,
∴m＝2
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
☞
回
顾
图象
一次函数 函数的图 象和性质
与y轴的交点是（0，b），
与x轴的交点是（
b k
A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2 B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
解析:根据一次函数的性质: 当k＜0时，y随x的增 大而减小，所以D为正确答案．
提示：反过来也成立：y越大，x也越大．
根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经 过的象限：
k > 0，b> 0 k > 0，b = 0 k > 0，b < 0
∴b=2
∵一次函数的图象与x轴的交点是( 2 ，0)，则
k
1 2 2 2, 解得k=1或-1.
2
k
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
例3 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100℃，用
华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能 想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
针对函数 y =kx+b，大家想研究 什么？应该怎样研究？
一次函数的图象
例1 画出函数y1=-6x与y2=-6x+5的图象. 解：列表 x … -2 -1 0 1
2…
y1 … 12 6 0 -6 -12 …
y2 … 17 11 5 -1 -7 …
描点并连线：
一次函数y=kx+b（k≠0）
的图象也称作直线y=kx+b
-2
k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而小．
y =3x+1
C B
ED
y =x+1
5x
由此得到一次函数性质：在一次函数y=kx+b中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
例2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象 上的两点，下列判断中，正确的是( D )
，0），
当k>0， b>0时，经过一、二、三象限；
当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限；
当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限；
当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限.
性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
2
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即 m 1且m 1 2
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得 1 m 1
2
1. 一次函数y=x-2的大致图象为（ C ）
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是( C ).
A.y=-2x
B.y=-2x+1
C.y=x-2
小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米” 之间的换算关系时，通过调查获得下表数据：
x(厘米) … 22 25 23 26 24 … y(码) … 34 40 36 42 38 …
根据表中提供的信息，在同一直角 坐标系中描出相应的点，你能发现 这些点的分布有什么规律吗？
y (码)
42 40 38 36 34 32 30 O 21 22 23 24 25 26 27 x(厘米)
解：用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏
温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设 C = kF + b，
由已知条件，得
｛212k + b =100， 解这个方程组，得 32k + b = 0 .
k
5 ,b 9
160 9
.
因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为 C 59F 1690
付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 …
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. 分析：从题目可知，种子的价格与 购买种子量 有关.
观察思考：比较上面两个函数的图象回答下列问题：
（1）这两个函数的图象形状都是 一条直线 ，并且倾斜程度 相同 .
（2）函数y1=-6x的图象经过 原点 ，函数y2=-6x+5的图像与y轴交于点
（ 0 ，5 ），即它可以看作由直线y1=-6x向 上 平移 5 个单位长度而得到.
思考：与x轴的交
点坐标是什么？
k < 0，b> 0
k < 0，b=0 k < 0，b < 0
一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质 有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大 而增大.
① b>0时，直线经过一、二、三象限； ② b<0时，直线经过一、三、四象限.
当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大 而减小.
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确 的是（ D ）
A．k=2
B．k=3
C．b=2
D．b=3 y
2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: 3
(1)b=___2___,k=____23__;
y
2
x
(2)当x=30时，y=__-_1_8__; (3)当y=30时，x=__-_4_2__.
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
第2课时 一次函数的图象和性质
学习目标
1. 理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系. 2.会画一次函数的图象，掌握一次函数的性质．（重点） 3.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．（难点）
导入新课
（1）什么叫一次函数？从解析式上看，一次函数与正比例函数有什么关系？
0
或
(1，k+b)，
连线即可.
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1 y=-2x-1
x
0
1
y=-2x-1 -1 -3 O
y=0.5x+1 1 1.5
也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们，也 能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1
4. 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作 后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h） 之 间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式； y = -5x + 40.
（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？ 8 h
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
图象？
y=3x-1 y=-2x+3
两点法——两点确定一条直线
思考： 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的 点，你能求出它的解析式吗？
用待定系数法求一次函数的解析式
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点. 怎样确 定这个一次函数的解析式呢？
因像为这一样次，函通数过先的设一定般函形数式解是析y式=k（x+确b定（函k，数b模为型常）， 再数根，据k≠条0件）确，定要解求析出式一中次的函未知数系的数解，析从式而，求关出键函是数 解要析确式定的k方和法b的称值为（待定即系待数定法系. 数）.