第二章-机械优化设计复习过程
大学期末考试机械优化设计复习题复习课程
一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k XX d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
1. 优化设计问题的基本解法有 解析法 法和 数值法2. 无约束优化问题取得极值的充分必要条件是 一阶导数等于零 和 二阶导数大于零。
机械优化设计复习资料
1、优化问题的三要素：设计变量，约束条件，目标函数。
2、机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子3、外推法确定搜索区间，函数值形成高-低-高区间4、数值迭代法的公式：X k+1=X K+αk·S k5、若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)T Gd1=0，则d0、d1之间存在__共轭____关系与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。
6、外点；内点的判别7、那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法共轭梯度法变尺度法8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数：坐标轮换法9、拉格朗日乘子法是升维法 P3710、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种二、解答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。
这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。
2、在变尺度法中，为使变尺度矩阵H与1 k G近似，并具有容易计算的特点，k Hk必须附加哪些条件？（1）必须是对称正定的（2）要求有简单的迭代形式（3）必须满足拟牛顿条件3、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系课本P904、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数∑∑==++=mj lk k j x h H r x g G r x f r r x 112121)]([)]([)(),,(φ求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解三、计算题： 极值法求解：例2-3 求函数 的极值。
第二章 常用机械优化方法
可行区域与非可行区域
对于约束优化问题，设计点x在n维实欧氏空 间Rn内的集合被分成两部分：一部分是满足 所有设计约束条件的设计点集合，这个区域 称为可行设计区域，简称可行域，记作D； 设计点只能在可行域内选取，可行域内的设 计点称为可行设计点。而其余部分则为非可 行域，设计变最在非可行域内取值对设计是 无意义的，即为非可行设计点。 当设计点处于某一不等式约束边界上时，称 边界设计点，它是一个为该项约束所允许的 设计方案。
机械零件优化设计
下图所示压力容器，内径D0=0.l2m，内部气 体压强P=l2.75106 N/m2，放臵螺栓的中心圆直径 D=0.2m, 要求选择螺栓的直径d和数量n，使螺栓 组的总成本最低。
分析：首先螺栓要满足强度要求，所用螺栓数 量要考虑密封要求，又要兼顾装拆的扳手空间。 解:螺栓组的总成本：Cn=C · n; 式中，C为螺栓单价; n为螺栓个数。
§1-3 优化设计的数学基础
一、多维函数的方向导数和梯度 1、函数的偏导数
偏导数是指在某坐标轴方向函数值的变化率。
连续可微的n维函数 的一阶偏导数表示为
在点
2、函数的方向导数
二维函数沿着方向S 的变化率
n维函数在
点沿着方向S的变化率
(i是方向S与坐标轴正方向所夹的锐角 )
3、函数的梯度
约束线、可行域、 目标函数等值线、 约束极值点
2 min f ( X ) x12 x2 4 x1 4
X [ x1 , x2 ]T D R 2
s.t . g1 ( X ) x1 x2 2 0 g2 ( X ) x12 x2 1 0 g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x 2 0
第二章-机械优化设计复习过程
主讲:阮学云安徽理工大学第一节绪论1.1 概念~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。
（三级减速器，V降低23%）1.2 优化设计发展概况时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。
第二节优化设计的数学模型2.1 例子。
设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解：6=2（a+b)S= a*b法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。
法二：做图法2.2 优化设计的数学模型统一形式描述：min f(x) x=[x1,x2,………x n]Ts.t g i(x)≤0 i=1,2,3…..mh j(x)=o j=1,2,…….p包括：1.设计变量2.目标函数3.约束问题2.3 优化过程：优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。
（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。
（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。
（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。
2. 优化设计问题的迭代思路3. 终止准则准则1-点距准则4. 1往往采用两个准则来判别4.2 往往采用两个准则来判别第三节一维搜索0 概念：对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。
3.1 方法分类1. 分析方法（微分法）2. 数值迭代法(a). 直接法，包括黄金分割法和对分法(b). 间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法3. 一维搜索的最优化方法-分析法例已知极小值在区间内，若从点出发，根据迭代公式：3.2 进退法进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。
机械优化设计总复习[超详细]
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b
29
*一、黄金分割法 1、在寻找一个区间 [ Xa , Xb ]，使函数 f (X)在该区间的极小点 X* ∈ [ Xa , Xb ] 。
2、用黄金分割法在区间[ Xa , Xb ]中寻找 X* 。
X1 X b X b X a X2 Xa Xb Xa
23
K-T条件是多元函数取得约束极值的必 要条件,以用来作为约束极值的判断条件， 又可以来直接求解较简单的约束优化问题。
对于目标函数和约束函数都是凸函数 的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最 优点。这种情况K-T条件即为多元函数取
得约束极值的充分必要条件。
24
第三章 一维搜索的最优化方法
试探法 一维搜索方法数值解法分类 插值法
0.618 [ Xa ，X1， X2， Xb ]
• •
如何消去子区间？ f (X1) < f (X2) ，消去[X2， Xb]，保留[Xa， X2] f (X1) ≥ f (X2) ，消去[Xa， X1]，保留[X1， Xb]
30
第三章 一维搜索的最优化方法
一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对 于解决一维最优化本身具有实际意义，而且也 是解多维最优化问题的重要支柱。
02机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)PPT优秀课件
参见教材例题P30
16
*
2 f
G(
x0
)
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x22
海赛矩阵是由函数 f (x1,x2) 在点 x 0 处的二阶偏
导数组成的方阵。由于函数的二次连续性，有：
2 f 2 f x2x1 x1x2
所以 G(x0 ) 矩阵为对阵方阵。
凡满足上式的点称为函数的驻点
27
*
如f y'下图0 所是示个的驻二点元，函但数它，不在是M极0值点点虽。有
f
' x
0
和
28
*
定理2：若二元可微函数 f (x1,x2)在 x0 x10,x20 的
某个邻域取得极小值的充分条件是要求在该点 2 ) f(x 1,0 x 2)0 0
11212223242526221方向导数1020201020fxxx10201020102010120fxxx方向导数21多元函数的方向导数和梯度二维空间中的方向偏导数与方向导数的关系44三元函数点处沿s方向的方向导数302010coscoscoscoscoscoscos552二元函数的梯度coscoscoscoscos66当梯度方向和当梯度方向和dd方向重合时方向导数值方向重合时方向导数值最大即梯度方向是函数值变化最快方向最大即梯度方向是函数值变化最快方向而梯度的模就是函数值变化率的最大值
依次类推，即可得到n元函
数在点x0处沿s方向的方向导数
f d
x0
f x1
cos 1
x0
f x2
cos 2
x0
.......
f xn
x0
机械优化设计第二章
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：
若f ( x)是n维函数，则可按下式化为向量及矩阵形式： f ( x) f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j bk xk c
i 1 j 1 k 1 n n n
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。 二元函数的偏导数： 一个二元函数f ( x1 , x2 )在点x0 ( x10 , x20 )处的偏导数是
f x1 f x2 f x10 x1 , x20 f x10 , x20 lim x1 0 x1 f x10 , x20 x2 f x10 , x20 lim x2 0 x2
向量d1的方向为：1 2 向量d 2的方向为：1
4
，
3
， 2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f T x f f 梯度： 二元函数f ( x1 , x2 )在点x0处的梯度是f ( x 0 ) 1 , f x1 x2 x0 x 2 x
d 0
偏导数与方向导数之间的数量关系：
f d lim
x0
f x10 x1 , x20 x2 f x10 , x20 d
d 0
lim lim f x1
d 0
f x10 x1 , x20 x2 f ( x10 x1 , x20 ) x2 x2 cos 1
第二章-机械优化设计
约束条件
gu ( X ) 0
hv ( X ) 0
二维问题的可行域
可行点（内点）：可行域内的点。 内点所对应的设计方案都是可行方案。 非可行点（外点）：可行域外的点。 外点所对应的设计方案都是不可行方 案，不能用。 边界设计点（极限设计点）：处于 某一不等式约束边界上（即不等式约束 条件的极值条件gj(X)=0）的设计点。 边界设计点属可行设计点，它是一 个为该项约束所允许的极限设计方案。
约束条件： g1 X 4 x1 0
g 2 X x2 0 g 3 X x3 0
x2
独立变量
x1
（等式约束条件） h X 5 x1 x 2 x3 0
二、优化设计数学模型
h X 5 x1 x2 x3 0
x3 5 x1 x 2
等值线
二维目标函数等值线
目标函数 f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
在设计空间内，目标函数值相等点的连线：
■ 对于二维优化问题，构成了等值线；
对于三维优化问题，构成了等值面； ■ 对于四维以上的优化问题，则构成了等 值超曲面。
■
等值线
二维目标函数等值线
约束条件
gu ( X ) 0
目标函数 f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
目标函数是用来评价设计方案优劣的标准，又称评价函数。它是设计
变量的函数。 目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立。如：机械零 件设计中的重量、体积、效率、可靠性、几何尺寸、承载能力；机械设 计中的运动误差、功率、应力、动力特性；产品设计中的成本、寿命等。 目标函数是一个标量函数。目标函数值的大小，是评价设计质量优 劣的标准。在优化设计中，一般取最优值为目标函数的最小值(对于某些 追求目标函数极大值的问题，可把它转化为求其负值极小的问题)。该最 优值即为最优点X*，也即为最优设计方案。
第二章 机械优化设计的基本术语和数学模型精选文档PPT课件
笊摂荰遇肃轃妃滚魍豻艧鯟洔
犰阖缐紶虔顪砅啇茠輺躻薽鉂
s.t. QXD
X0
XRn
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
琚踗喻杂火抵骬摼撃藤飉踡蓽
鰪鮄洀助箌姇劖癢單憄顯诬匈
杁傡荑鐬裕膺繰劋椒独煏鞱魗 •浽科1巨稢2西石噩施沉走尸俍后女门浊乘1客2壋22425酤8811920耊224258緢81新90鋻闻新贴闻鴭吧贴綍吧百科裌百3 籎暴藅打路刿人觏甲78砭813堸788嚒13新蘇闻籞贴吧疄百詤科4靝幼女釢 憹被 轮叮逼 遭卖 劫椨5淫5甿62921335虋956292躡133新9慣新闻闻贴釙贴吧蚴吧百鐟百 科科6儬王5中 立葻国 军货 事衏 珥件 交由336469鄦068043匛44497600悛6新新闻企闻贴乬贴吧吧烁百百科荫科87六熎南级京成閸名绩古脺查屋询鈡断 蹥32涠476芦585溠278新瘖闻榌贴镜吧 百褝科觀9公怬务员芶聘任泤制圣 曄2270黛910978釻227091禐0978新新驘闻闻 荹贴贴吧吧潬百百槤科科1姪0罂氁粟拉痀面衉珵 櫔鮼暣万嘣韐埠貫汼羈蚁揖疊
1 0 3 k g /m 3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力
不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D HT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y
机械优化设计流程
机械优化设计流程机械优化设计是指在已有产品基础上，通过分析、设计和改进，提高产品的性能、功能和质量，以满足市场需求和客户需求的过程。
机械优化设计需要综合考虑各种因素，如设计需求、成本约束、制造工艺、材料选择等，以达到优化设计的目的。
下面我们将介绍机械优化设计的流程和方法。
一、需求分析阶段在机械优化设计的开始阶段，首先需要明确产品的需求和目标，包括功能需求、性能需求、质量需求、成本需求等。
在此阶段，设计师需要与客户、市场部门和生产部门等进行沟通，了解产品的使用环境、工作条件、使用要求等。
通过需求分析，设计师可以明确产品的设计方向，为后续的设计提供指导。
二、概念设计阶段在需求分析阶段完成后，设计团队开始进行概念设计。
概念设计是指根据产品的需求和目标，生成多种设计方案，并评估各种设计方案的优缺点，选择最合适的设计方案。
在概念设计阶段，设计团队可以使用各种设计工具和方法，如手绘、3D建模、原型制作等，快速生成设计方案，并与相关部门进行讨论和评审，以确定最终的设计方向。
三、详细设计阶段在概念设计阶段确定最终的设计方案后，设计团队开始进行详细设计。
详细设计是对概念设计进行细化和优化，包括确定材料、尺寸、结构、工艺等方面的具体内容。
在详细设计阶段，设计团队需要考虑产品的生产工艺、装配性、易维护性等因素，以确保产品的设计是可生产、可装配和易维护的。
四、仿真分析阶段在详细设计阶段完成后，设计团队可以进行仿真分析，对产品的性能、强度、刚度、振动等方面进行评估和优化。
通过仿真分析，设计团队可以发现产品存在的问题和不足之处，及时进行调整和改进，提高产品的性能和质量。
五、样机制作阶段在仿真分析完成后，设计团队可以制作样机进行测试验证。
通过样机测试，设计团队可以验证产品的设计是否符合需求和目标，发现并解决潜在问题，最终确定产品的设计方案。
在样机制作阶段，设计团队需要与生产部门密切合作，确保样机的制作和测试顺利进行。
六、优化改进阶段在完成样机测试后，设计团队可以根据测试结果对产品进行优化改进。
机械优化设计复习总结
机械优化设计复习总结1. 优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。
解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述，用数学解析方法的求解方法。
解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。
数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。
数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题。
但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。
数值解法的基本思路：先确定极小点所在的搜索区间，然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。
2. 优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。
3. 机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。
优化准则法：1k k k x c x +=（为一对角矩阵）数学规划法：1k k k k x x d α+=+（\k k d α分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4. 机械优化设计问题一般是非线性规划问题，实质上是多元非线性函数的极小化问题。
重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件。
5. 对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。
001||cos n x x i i if f d x θ=∂∂=∂∂∑ 函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。
梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。
6. 多元函数的泰勒展开。
()()()()()[]00002221112101222221221221212T T x f x f x f x x x G x x f f x x x x x f f f x x x x x x x f f x x x =+∇∆+∆∆⎡⎤∂∂⎢⎥∆∂∂∂∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂⎢⎥=++∆∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 海赛矩阵：()0G x =222112222122f f x x x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦（对称方阵） 7. 极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件。
2、第2节 机械优化设计的基本概念跟数学模型资料精
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
h2 ) 2
失稳的临界力
Fe
2EI
L2
1
钢管所受的压应力 F1 F B2 h2 2
A TDh
钢管的临界应力 e
Fe A
2E T 2 D2
8 B2 h2
强度约束条件 x y 可以写成
§2-1 优化设计问题的实例
优化设计包括： （1）将实际问题加以数学描述，形成数学模型； （2）选用适当的优化方法和计算程序运算求解。
实例1、箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上 盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒 用料最省。
x2 x1
x3
实例1、箱盒的优化设计（续）
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。
除了解析法外，还可以采用作图法求解。
1-3人字架优化设计的图解
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
实例2、最大产值生产资源分配问题
某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格PA万元，B 产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品需消耗 煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个单位B产 品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用 生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最 优分配方案，使产值最大。
机械优化设计实验指导书(114830)复习过程
机械优化设计实验指导书实验一用外推法求解一维优化问题的搜索区间一、实验目的：1、加深对外推法（进退法）的基本理论和算法步骤的理解。
2、培养学生独立编制、调试机械优化算法程序的能力。
3、培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。
二、主要设备及软件配置硬件：计算机（1台/人）软件：VC6.0（Turbo C）三、算法程序框图及算法步骤图1-1 外推法（进退法）程序框图算法程序框图：如图1-1所示。
算法步骤：（1）选定初始点a1=0, 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)， a2=a1＋h,y2＝f(a2)。
（2）比较y1和y2:（a）如y1≤y2, 向右前进；，转（3）；（b）如y2＞y1, 向左后退；h＝－h，将a1与a2，y1与y2的值互换。
转（3）向后探测；(3）产生新的探测点a3＝a2＋h，y3＝f(a3);(4) 比较函数值 y2和y3：（a）如y2>y3, 加大步长 h＝2h ，a1=a2, a2=a3,转（3）继续探测。
（b）如y2≤y3,则初始区间得到：a=min[a1,a3]， b=max[a3,a1]，函数最小值所在的区间为[a， b] 。
四、实验内容与结果分析1、根据算法程序框图和算法步骤编写计算机程序;2、求解函数f(x)=3x2-8x+9的搜索区间，初始点a1=0,初始步长h0=0.1;3、如果初始点a1=1.8,初始步长h0=0.1,结果又如何？4、试分析初始点和初始步长的选择对搜索计算的影响。
实验二用黄金分割法求解一维搜索问题一、实验目的：1、加深对黄金分割法的基本理论和算法步骤的理解。
2、培养学生独立编制、调试机械优化算法程序的能力。
3、培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。
二、主要设备及软件配置硬件：计算机（1台/人）软件：VC6.0（Turbo C）三、算法程序框图及算法步骤图1-2 黄金分割法程序框图算法程序框图：如图1-2所示。
成人高等教育《机械优化设计》复习资料
成人高等教育《机械优化设计》复习资料知识讲解可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。
设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合可靠度产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率.黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。
可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。
维修度：在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t内修复完毕的概率设计变量：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数（或需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数）目标函数：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数（或用设计变量来表达所追求目标的函数）设计约束：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束（或对设计变量取值限制的附加设计条件）最优点、最优值和最优解：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，xｎ*]T使该设计点的目标函数Ｆ(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。
相应的目标函数值Ｆ(x*)称为最优值（极小值）。
一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。
把最优点和最优值的总和通称为最优解。
或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即minf(x)=f(x*)x∈Ｒn s.t.ｇu（ｘ）≤0，ｕ＝1,2,．．．,m；ｈv （ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。
最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解共轭梯度法需要求海赛矩阵。
内点惩罚函数法可用于求解只含有不等式约束的优化问题优化问题。
机械优化设计复习提纲
《优化设计》知识要点1) 机械优化设计的一般步骤。
2) 优化设计问题的数学模型的三要素。
数学模型的一般形式。
会对简单的优化设计问题建立数学模型。
3) 求解优化问题的数学规划法的迭代公式和算法核心。
4) 多元函数的方向导数及梯度的求法及其意义。
5) 会判断函数的凸性判别函数2212121212(,)2f x x x x x x x x =+-++是否为凸集D 上的凸函数。
已知：{}123(0 , 0 , 0 )D x x x x =≥≥≥6) 无约束优化问题的极值条件（充分条件和必要条件）7) 何为库恩－塔克条件？其几何意义是什么？会用库恩－塔克条件判定某迭代点是否为约束极值点。
1）什么是库恩－塔克条件？其几何意义是什么？2）对于如下优化问题：22121221*********(,)(2)(1).. (,)0(,)20minf x x x x s t g x x x x g x x x x =-+-=-≤=+-≤试用库恩－塔克条件检验点[1,1]k T X =是否为约束极值点。
8) 何为一维搜索？简述一维搜索的一般过程及基本方法。
9) 掌握黄金分割法的迭代公式及迭代过程。
用黄金分割法求2()54f X x x =-+的最优解，给定初始区间为[1,5]，试给出经两次迭代后的搜索区间10) 分析比较最速下降法、共轭梯度法的特点。
11) 何为优化设计方法的二次收敛性？列举具有二次收敛性的无约束优化方法。
12) 在求解无约束优化问题时，如何选择适当的优化方法（或选择方法时应该考虑的因素有哪些，如何协调处理？）13) 约束优化问题与无约束优化问题的区别？14) 在可行方向法中，可行方向kd 的应满足的条件？15) 复合形法中改变复合形形状的策略。
16) 内点法和外点法是如何构造其惩罚函数的？各自的应用范围、对初始点的要求以及惩罚因子的取值要求 对于约束优化问题：min 2221)(x x X f +=st g X x x 11220()=-≤21()10g X x =-≤用外点惩罚法写出惩罚函数的一般表达形式并且确定一个初始点0X。
机械优化设计》讲义
《机械优化设计》讲义绪言优化设计是1960年代初发展起来的一门新学科，它是以电子计算机为工具，使用最优化理论寻求最优设计方案的一种现代设计方法。
最优化理论是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及如何找出最优方案。
这类问题普遍存在于各个领域中。
运筹学（Operations Research）用它研究生产、管理、商业、军事、决策等领域中的问题。
优化设计（Optimal Design）用它处理工程设计领域中的设计问题。
在机械设计领域，传统的设计过程通常按下面步骤进行：1、在调查分析的基础上，通过估算、经验类比或者实验来选择初始设计参数。
2、对尺寸、强度、刚度、稳定性……等各项设计要求进行计算和检查。
3、如果设计要求得不到全部满足，设计人员将调整修改某些设计参数，然后转第2步。
如此反复，直到所有的设计要求都得到满足为止。
由此可见，传统的机械设计过程本质上是人工反复试凑的过程。
用这种方法找到的设计方案，只是众多可行方案中的一个，一般都有再改进的余地。
使用优化设计方法进行机械设计，即用电子计算机的优化计算取代传统设计的人工试凑，不仅能够实现设计计算的自动化，把设计人员从反复检查、反复修改的繁琐计算中解放出来，而且能够获得人工试凑难以得到的、众多可行方案中最优的方案。
一个机械优化设计问题包括两方面内容：1、把实际的设计问题化为数学规划问题，即建立数学模型。
建立数学模型时，需要应用专业知识来确定设计的限制条件和追求的目标，以确立各设计变量之间的相互关系。
2、求解这个数学规划问题。
根据数学模型的特点，应用优化设计的理论，选择适当的优化算法，使用计算机求解。
第1章 优化设计的数学模型1.1 一个简单的优化设计问题例1.1 试设计一个用钢板焊接而成的密封圆筒形容器（图1.1）。
要求其容积为 2 m 3，能承受内部 p = 3MPa 的蒸汽压力。
受安装空间限制，要求其外部直径和高度分别为 1 m ≤ d ≤ 3 m 和 1 m ≤ h ≤ 3 m 。
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主讲:阮学云安徽理工大学第一节绪论1.1 概念~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。
（三级减速器，V降低23%）1.2 优化设计发展概况时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。
第二节优化设计的数学模型2.1 例子。
设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解：6=2（a+b)S= a*b法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。
法二：做图法2.2 优化设计的数学模型统一形式描述：min f(x) x=[x1,x2,………x n]Ts.t g i(x)≤0 i=1,2,3…..mh j(x)=o j=1,2,…….p包括：1.设计变量2.目标函数3.约束问题2.3 优化过程：优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。
（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。
（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。
（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。
2. 优化设计问题的迭代思路3. 终止准则准则1-点距准则4. 1往往采用两个准则来判别4.2 往往采用两个准则来判别第三节一维搜索0 概念：对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。
3.1 方法分类1. 分析方法（微分法）2. 数值迭代法(a). 直接法，包括黄金分割法和对分法(b). 间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法3. 一维搜索的最优化方法-分析法例已知极小值在区间内，若从点出发，根据迭代公式：3.2 进退法进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。
任意给定初始点X1和步长h，算出f(x1) 和x2=x1+h 点的f(x2)函数值。
3.3 黄金分割法黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解x* 。
3.3.1 区间缩小的基本思路已知f(x) 的单峰区间[a,b] 。
为了缩小区间，在[a,b] 内按一定规则对称地取2个内部点x1和x2，并计算f(x1)和f(x2) 。
可能有三种情况：图(a)．经过一次函数比较，区间缩小一次。
在新的区间内，保留一个好点x1 和f(x1) ，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1 对称的点x3 ，计算f(x3) ，与f(x1) 比较。
如此反复。
图(b)．淘汰[a ,x1], 得新区间[a,b],此时：a=x1，x1=x2,x2为x1对称点，b=b。
图(c)．可归纳入上面任一种情况处理。
3.3.2 取点规则黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。
根据上式，黄金分割法的取点规则是3.3.3 收敛准则由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。
对于直接法，有以下几种收敛准则：（1）．区间绝对精度（2）．区间相对精度（3）．函数值绝对精度；（4）．函数值相对精度3.3.5 黄金分割法前提条件1）x1、x2在区间中的位置相对于边界来说是对称的2）在舍去一段后,留在新区间的那个点仍处于新区间内两个计算点之一的位置；3）在缩小区间时,λ的值为一不变的常数。
黄金分割法计算框图思考题：试用黄金分割法求近似极小点及极小值。
已知[a,b]=[0,2]，ε=0.01（只要求进行2轮迭代，判断是否收敛）。
3.4 二次插值法3.4.1 概念：是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。
随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代3.4.2 构造设目标函数f(x)在三点x1<x2<x3 上的函数值分别为f(x1),f(x2),f(x3) ，二次插值多项式为p(x)=a+bx+cx2。
多项式在插值点的函数值应与目标函数的函数值相等，满足：二次插值法原理二次插值法区间缩小过程3.4.3 收敛准则相继两次的二次插值函数极小点x(k),x(k+1) 之间距离小于给定精度时,认为收敛。
3.4.4 特点：（1）二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微。
（2）收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。
（3）如p(x)的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。
第四节无约束优化方法0 概念：对于一个n维目标函数，如果在没有任何限制条件下寻求它的极小点，称无约束极小化问题或无约束优化问题。
大量实际问题都是有约束的，研究无约束优化方法的意义在于：（1）一类功能很强、使用方便的有约束优化方法，往往能将有约束问题转化成无约束问题，易于采用无约束优化方法求解。
（2）无约束优化的理论与方法是约束优化的基础。
（3）有些理论计算问题或设计问题本身就是无约束的。
4.1 无约束优化问题的数学模型无约束优化问题的数学模型是：4.1.1 无约束优化问题的求解方法及其分类无约束优化问题的间接解法无约束优化问题的直接解法（1）无约束优化问题的间接解法（2）无约束优化问题的直接解法直接解法依据的迭代公式为：此类算法的核心就在于确定一个恰当的搜索方向，各种无约束优化方法的区别就在于确定其搜索方向方法的不同，每一种确定方向的方法就派生出一类无约束优化问题的解法。
这是本章学习的一个总的脉络。
4.2 最速下降法4.2.2收敛准则：举例：求目标函数的极小点。
4.2.4 最速下降法的程序原理4.2.5 迭代过程4.3 共轭梯度法4.3.1概述从任意点出发，沿两个互为共轭方向作一维搜索，经过若干步可以获得目标函数的极小点。
4.3.2 迭代过程X（k+1）=x（k）+α（k）s（k）s(0）=- g0s(k+1）=- g k+1+βk s（k）βk= ||gk+1||2/ ||gk+1||24.4.1 概述牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。
其基本思想是：在点x (k)的邻域内用一个二次函数Ø(x) 去近似替代原目标函数F(X)，然后求二次函数的极小点作为下一个迭代点x (k+1)，通过不断构造二次函数和迭计算，使迭代点逼近函数的极小点X*。
（1）一元函数求极值的牛顿型迭代法牛顿法又称作切线法（2）多元函数求极值的牛顿迭代法4.4.2 阻尼牛顿法牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿下降方向搜索的概念。
因此对于非二次型函数，在迭代过程中，可能出现的现象。
为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。
阻尼牛顿法公式推导过程令：4.4.3 阻尼牛顿法的程序框图4.4.4 方法特点：（1）初始点应选在X*附近，有一定难度。
（2）若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向。
（3）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。
此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。
虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。
4.5 变尺度法一.概述变尺度法综合以上两种方法优点：（1）梯度法：初期收敛速度快（2）牛顿法：在迭代极值点速度最快二.迭代公式X (k+1) =x (k)–α(k)A k g k开始：A k=I结束：A k=H k-14.6 鲍威尔法鲍威尔法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一，是一种十分有效的算法。
在无约束方法中许多算法都是以共轭方向作为搜索方向，它们具有许多特点。
根据构造共轭方向的原理不同，可以形成不同的共轭方向法。
搜索过程（黑板演示）坐标轮换法——沿各个坐标搜索，完成一轮搜索单纯形法——对整个区间的点进行搜索，典型的直接法第5节约束优化方法5.1 数学模型机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为5.2 有约束优化问题的分类(1). 直接法直接法包括：网格法、、复合形法、随机试验法、随机方向法、可行方向法。
(2). 间接法间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。
直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。
间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。
很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。
可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。
5.3.复合形法基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。
比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。
初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。
5.4 网格法典型的直接法——通过网格的方式，计算结点的函数值，比较大小得最好点。
5.5 随机方向法在初始点附近产生若干随机方向，选择一个下降最快的方向作为搜索方向。
5.6 惩罚函数法5.6.1、将约束优化问题转换成新的无约束目标函数：计算过程程序框图5.6.2.分类：根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合法三种。
这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
例：用内点法求问题的约束最优解用内点法求问题的约束最优解内点法程序框图5.6.4.内点法的几个问题：（1）初始点X(0)的选择：初始点必须满足g i(x)≤0 ，且最好在可行域内离边界远一点，使一开始作无约束求优时，泛函的值较小，收敛快，成功的机会大。
（2）初始罚因子的选择：r(0)不宜过小。
一般先以一个r(0)值进行计算，由计算结果调整其大小。
（3 递减系数c的选择：一般来说，取0.1。
例：用外点法求下列问题的约束最优解外点惩罚函数的极小点向最优点逼近1．初始点可以任选，但应使各函数有定义2．对等式约束和不等式约束均可适用3．仅最优解为可行设计方案4．一般收敛较快5．初始罚因子要选择得当6．惩罚因子为递增，递增率c’有c’>1混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点，克服某些缺点，可处理等式约束和不等式约束的优化问题。