第3章 地基中的应力计算

p = (F+G) / A= (F+G) / (l×b)
中心荷载矩形、条形基底压力计算
§3.4 基底压力计算
2.单向偏心荷载作用下的基底压力
此时基底压力按材料力学偏心受压
简化公式计算：
p
max min
F G M F G 6e (1 ) A W A l
e<l/6 时小偏心受压，基底压力分布梯 形； e=l/6时临界偏心受压，基底压力分布
§3.4 基底压力计算
3.4.3 基础底面附加压力 ①基础在地面上，无埋深 基底平均附加压力： p0=p ②基础在地面下埋深d处 基底平均附加压力： p0 p c p 0 d 0 为基础底面以上土的加
(a) 基础无埋深 (b)基础有埋深 权平均重度。 基底附加应力分布图 从上式可知，增大埋深可 减少附加应力。
F F1 G Ad 3600 20 12 3.5 4440(kN)
M 3700 l e 0.833(m)> F 4440 6
判断为大偏心
设a为偏心荷载作用点至最大 压应力pmax 作用边缘的距离：
a
0.5m 50kPa
3a=3.5m
pmax
2F 2 4440 845.5(kPa) 3ba 3 3 1.167
3.稳定性渗流条件下
土中水渗流时总应力、 孔隙水压力及有效应力计算：
(a) 静水时
(a) 静水时
b ' b ub h1 ' h2
(b) 水自上向下渗流
b ' h1 ' h2 wh
(c) 水自下向上渗流
(b) 水自上向下渗流
b ' h1 ' h2 wh
(c) 水自下向上渗流
§3.4 基底压力计算
3.4.1 基底接触应力的实际分布
基底接触应力的实际分布取决于地基土的性质，地 基与基础的相对刚度，荷载大小、性质及其分布情况， 基础埋深、面积、形状等。 （1）刚性很小的基础和柔性基础 刚度很小，基础 与地基共同变形，接触应力同上部荷载分布。
中心荷载作用下柔性基础 底面处接触应力分布图
第3章
3.1 概述
地基中的应力计算
3.2 地基中的自重 应力
3.3 有效应力原理 3.5 地基中的附加 应力
3.7 刚性基础的倾斜
3.4 基底压力计算 3.6 平面问题条件下 的附加应力
3.8 几个问题的 讨论
§3.1 概述
3.1.1 研究土中应力的目的
建筑物地基的土体在上部荷载的作用下会发生变形， 使建筑物发生沉降、倾斜和水平位移等破坏，过大的变形 会影响建筑物的安全和正常使用，因此有必要了解和掌握 土体中应力的分布规律和计算方法。
cz i hi
i 1 n
天然地面
h1 h2
γ1 γ2
γ1 h 1
γ1h1+ γ2 h 2
h3
γ 3sat
γ1h1+ γ2 h 2+ γ3 ' h3
式中
hi—i 层土的厚度，m
n—计算深度范围内土层数
γ i—第i层土的的天然重度，kN/m3 ，地 下水位以下应取浮重度γ i’＝γ isat-γ w
§3.3 有效应力原理
3.3.1 土中两种应力试验
（1）有效应力 由钢球施加的应力，通过土 体骨架传递的应力为有效应力， 只有这种应力才使得土体变形， 强度改变。 （2）孔隙水压力 由水施加的应力通过孔隙水 来传递，即孔隙水压力，这种应 力不会使土体发生压缩变形。
土中两种应力试验
§3.3 有效应力原理
态，考虑水浮力作用，用γ’。
§3.2 地基中的自重应力
③地下水位升降时的土中自重应力
§3.2 地基中的自重应力
说明：
自重应力在均质地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折；

'
均质地基(同一土层)
1
( 1 2 )
2

成层地基
' 2
有效应力原理示意图
§3.3 有效应力原理
根据平衡条件： σ A=σ sＡs+ uwAw+ uaAa 对于饱和土体：Aa＝０ 则 σ A=σ sＡs+ uwAw 式中， σ －作用于截面上的总 应力。 变换得： σ =σ s Ａ s ／ A + uw(A –As )／A 或 σ =σ s Ａ s ／ A + uw ( １ –As／Ａ) 又已知σ sＡs／A为σ '，As／Ａ 很小，可忽略。
天然地面
①均质土层：设地基中某单元 体离地面的距离h，则单元体 上竖向自重应力为：
h
γ1
cz h
式中 γ —土的天然重度，kN/m3 h—计算应力点以上土层厚度，m
γ1 h
§3.2 地基中的自重应力
②成层土层：自重应力是由多层土 组成，设各层土的厚度为h1， h2...hn，相应重度为γ 1， γ 2...γ n，则地基中第n层土底面 处的竖向自重应力为：
双向偏心荷载作用下 的基底压力
§3.4 基底压力计算
4.水平荷载作用下的基底压力 承受水压力和土压力的建筑 物，基础常会受到倾斜荷载作用。 此时计算基底受力将斜向荷载分 解为水平荷载 Fh 和竖向荷载 Fv， 并假定由Fh 引起的基底水平应力 ph均匀分布于整个基底，则： 矩形基础 ph＝ Fh／A＝ Fh／lb 条形基础，取l=1.0m，则 倾斜荷载作用下的基底压力 ph ＝ Fh ／A＝ Fh ／b
l e 1.167(m) 2
基底接触应力
845.5kPa
0.73m
3.27m
基底附加压力
p0max pmax 0d 845.5 16 3.5 789.5(kPa)
50kPa 基底附加压力
789.5kPa
3.3.2 有效应力原理 截面总应力的一部分由土颗粒 间的接触面承担和传递，即有效应 力；另一部分由孔隙压力承担。 土体在外力作用下处于平衡， 沿 a-a 截面取脱离体，土颗粒接触 面的法向应力σ s。
Ａs－土颗粒接触面积之和，u－孔隙水压 力，Aw－孔隙水横截面积，u a－孔隙气压 力，Aa－空气截面积
o
x
y
z
xx 0 xz ij = 0 yy 0 zx来自百度文库 zz 0
§3.1 概述
3.侧限应力状态
它是指侧向应变为零的一种应力状态，土体只记竖向 变形。
o x
A B
y
z
xx 0 0 ij = 0 yy 0 0 0 zz
由εx=εy=0可得到σx=σy，且与σz成正比。
h2
C
静水条件下各应力的分布
§3.3 有效应力原理
2.毛细水上升时土中有效自重应力的变化
毛细水上升区由于表面张力的作用使孔隙水压力为 负值，u=－γ whc，使有效应力增加。
在地下水位以下，由于水对土粒的浮力作用，使有 效应力减小。
毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力计算
§3.3 有效应力原理
三角形； e>l/6时大偏心受压，基底压力进
行重分布，此时可得到： 2( F G ) l pmax , a e 3ba 2

偏 心 荷 载 下 接 触 压 力 的 计 算
§3.4 基底压力计算
3.双向偏心荷载作用下的基底压力 同样按材料力学偏心受压公式计 算基底压力： F G Mx y Myx max pmin A Ix Iy Mx=(F+G)ey ，My=(F+G)ex Ix， Iy 为对 x 轴ｙ轴的惯性矩， m4 。
§3.2 地基中的自重应力
3.2.2 水平自重应力 根据胡克定律
1 x E [ x ( y z )] 1 [ ( )] z x y E y z 1 [ z ( x y )] E 2(1 ) xy xy E 2(1 ) yz yz E 2(1 ) xz xz E
§3.1 概述
三、土力学中应力符号的规定
（1）应力符号的规定法与弹性力学相同，但方向相反，即 正应力：拉为正，压为负，剪应力：顺时针为正，逆时针为 负。 （2）用摩尔圆进行应力分析时，正应力以压应力为正，剪 应力以逆时针为正，顺时针为负。
(ａ) 材料力学
(ｂ) 土力学
§3.2 地基中的自重应力
3.2.1 竖向自重应力
自重应力：由土体本身有效重量产生的应力，通常认 为变形已经稳定； 附加应力：由于外荷在地基内部引起的应力，是使地 基失稳和产生变形的主要原因。
§3.1 概述
3.1.2 土中的应力状态
一、应力—应变关系的假设
在计算地基中的附加应力时，把土当成线弹
性体，即假定其应力与应变呈线性关系。
1.连续介质假设
2.线弹性体假设
3.均质和各向同性假设
§3.1 概述
二、地基中的几种应力状态 计算地基应力时，将地基看作具有水平界面、深度和 广度都无限大的半空间无限体。 1.三维应力状态
ij = yx yy yz zx zy zz
xx xy xz
二维问题
§3.1 概述
2.二维应变状态（平面应变状态）
有效应力原理示意图
σ=σ' + u
有效应力原理
§3.3 有效应力原理
3.3.3 有效应力原理应用举例 1.静水条件下
C点水平面上：竖向总应力：σ =γ h1+γ
孔隙水压力： u =γ
A
sat
h2
w
h2
u σ'
有效应力：σ ’＝σ －u＝γ h1+γ 'h2
σ
h1
B
γ γh 1 γ sat γh 1+ γsat h 2 γw h 2 γh 1+ γ' h 2 γh 1
§3.2 地基中的自重应力
计算时应注意： 地下水位以上用天然容重；当地下水位以下为砂土 时，土中水为自由水，计算时用浮重度γ
’，对粘性土：
当水下为坚硬粘土时（不透水层，即液性指数IL<0，即
w <wp），在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算时采 用饱和重度γ
sat，若粘性土液性指数IL>1时，为流动状
§3.4 基底压力计算
（2）刚性基础 刚度大，基础与地基变形必须相互 协调，出现应力重分布现象。
中心荷载作用下刚性基础 底面处接触应力分布图 (a) 马鞍形 (b) 抛物线形 (b) 钟形
§3.4 基底压力计算
3.4.2 基底接触应力简化计算 1.竖向中心荷载作用下的基底压力
基底压力均匀分布，按下式计算：
基底附加压力
p
max 0 min
p
max min
589 0d (kPa) 39
4m 50kPa
95kPa
基底平均附加压力
p0 F 4440 0d 16 3.5 314 (kPa ) A 12 39kPa pH F2 600 50(kPa ) A 12
侧限条件
x y 0 x y
x y

1
z K 0 z
ν —土的泊松比，0.20-0.45 Ｋ0—土的侧压力(静止土压力)系数
例题1：按例图所给的资料，计算并绘制地基中的自重应 力沿深度的分布曲线。
例题4-1：按例图所给的资料，计算并绘制地基中的自重应力沿深度的分布 曲线。
基底接触应力
645kPa
4m
50kPa 基底附加压力 589kPa
基底水平方向附加压力
例题3 基底尺寸同前，作用有荷载F1=3600kN，F2=600kN， M顶=1600kN·m，基础宽度方向没有偏心。基础埋深d=3.5m， γ G=20kN/m3 ，γ 0=16kN/m3 。求基底附加压力。 解：基础底面作用的弯矩 M M顶 F2d 3700kN m 传到基底的力为F，偏心距为e。
例题2
基底尺寸 l=4m ， b=3m ，作用有荷载 F1=3600kN ， F2=600kN ， M 顶 =100kN·m。基础埋深 d=3.5m ， γ G=20kN/m3 ， γ 0=16kN/m3 。 求基底接触应力和基底附加压力。
解：基础底面作用的弯矩
M M顶 F2d 2200 (kN m)
传到基底的力为F，偏心距为e。
F F1 G Ad 3600 20 12 3.5 4440(kN)
e M 2200 l 0.495(m)< F 4440 6
判断为小偏心
计算基底接触应力
p
max min
645 F M 4440 2200 (kPa) A W 4 3 3 4 4 / 6 95