三角形知识总结与尺规作图知识点

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三角形知识总结与尺规作图知识点

（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法:对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等，两三角形相似.
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
考点四、相似三角形
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽"来表示,读作“相似于"。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比.
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

三角形的尺规作图

三角形的尺规作图
06
应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
解决几何问题
通过尺规作图，可以确定给定条件的三角形形状，如等腰三角形、直角三角形等。
通过三角形的尺规作图，可以解决各种几何问题，如求三角形面积、证明线段相等或垂直等。
证明几何定理
利用三角形的尺规作图，可以证明几何定理，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理等。
在奥林匹克数学竞赛中，三角形的尺规作图是常用的解题技巧之一，用于解决几何问题。
数学奥林匹克国家队选拔赛
在数学奥林匹克国家队选拔赛中，三角形的尺规作图也是重要的考察内容之一。
国际数学奥林匹克竞赛
在国际数学奥林匹克竞赛中，三角形的尺规作图也是选手必须掌握的基本技能之一。
THANKS.
三角形的尺规作图
汇报人： 2024-01-02
目录
• 尺规作图的基本知识 • 三角形的性质和分类 • 三角形的尺规作图方法 • 特殊三角形的尺规作图 • 三角形的尺规作图技巧 • 三角形的尺规作图应用
尺规作图的基本知
01
识
尺规作图定义
尺规作图
使用无刻度的直尺和圆规进行图形构造的方法。
限制条件
现代应用
尺规作图在几何学、工程制图等领域有广泛的应用。
02
三角形的性质和分
类
三角形的基本性质
三角形的不变形性
三角形的三边长度和三个角的大小在尺规作图过程中保持不变。
三角形的稳定性
三角形是一种稳定的几何图形，不易发生形变。
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形的边和角
直角三角形
总结词
直角三角形是一种有一个角为直角的三角形，其作图方法需要利用勾股定理。

第15讲全等三角形与尺规作图

栏目索引
第15讲全等三角形与尺规作图
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基础知识过关栏目索引
基础知识过关
知识点一全等三角形的性质与判定知识点二角平分线的性质知识点三线段垂直平分线的性质知识点四三角形中位线定理知识点五尺规作图
图知角
于点P、Q;2.作射线O'A;3.以O'为圆心,OP长为半径作
弧,交O'A于点M;4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,两
弧交于点N;5.过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求作的
角
作已知角的平分线
作线段的垂直平分线
1.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于
1
点N、M;2.分别以点M、N为圆心,大于2 MN长为半径
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例3 如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心, 以大于 1BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交AB
2
于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为 105° .
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解析 ∵MN为BC的垂直平分线, ∴△BCD为等腰三角形,∵∠B=25°, ∴∠BCD=25°,∴∠CDA=∠B+∠BCD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠ CDA=50°, ∴在△ACD中,∠ACD=80°, ∴∠ACB=105°.
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拓已知一直角边长m 1.画两条互相垂直的直线,垂足为C,在其中一边上截
展和斜边
取CA=m;
类长n作直角三角形 2.以点A为圆心,n为半径画弧,与另一边交于点B;

初二数学几何概念知识点总结

初二数学几何概念知识点总结（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一、基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数。

二、常识：1、三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和2、三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外。

注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段。

3、三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和。

4、直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和。

5、分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形。

6、三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角。

7、全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。

8、等边三角形是特殊的等腰三角形。

9、几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明。

10、符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等。

11、几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法 12、几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线 13、会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图。

14、作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图。

15、几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图1、二次根式：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

初中重要知识点总结(个人整理)

一、?三角形的初步知识?知识点总结一、三角形的边、角关系１、三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边应用：〔1〕判断三条线段a、b、c能否组成三角形;〔2〕确定三角形第三边的取值范围：两边之差< 第三边< 两边之和２、三角形的三个内角之间的关系：三角形的内角和为180°３、三角形的外角之间的关系：1〕、三角形的外角和为360°2〕、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3〕、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

二、全等三角形1、性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等2、判定：SSS、SAS、ASA、AAS。

方法总结:1、要说明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2、全等三角形，是说明两条线段或两个角相等的重要方法之一，说明时①要观察待说明的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。

②分析要说明两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。

③有公共边的，公共边一般是对应边，有公共角的，公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应角。

④大角与大角对应，长边与长边对应。

三、线段中垂线与角平分线的性质1、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

2、角平分线的性质：角平分线上点到角两边距离相等.[线段垂直平分线、角平分线的判定]四、尺规作图1、根本作图主要有4类：〔1〕作一条线段等于线段；〔2〕作一个叫等于角；〔3〕作角的平分线；〔4〕作线段的垂直平分线。

2、尺规作图的步骤：①写出、求作；②分析图形该怎么画；③写出做法，要保存作图痕迹；④写出结果，即哪个为所求。

注意：④容易忽略，此步骤必不可少。

二、?相似三角形?知识点总结一、相似三角形1、概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。

注意①相似比的顺序性；②记三角形相似时注意对应顶点写在对应位置上；③全等三角形是特殊的相似三角形。

《三角形的尺规作图》

7. 连接AE、AF、BF，则三角形AEF即为所求。
04
已知一角及两边长度作三角形
已知一角及两边长度作三角形的方法
确定已知角
首先确定一个已知角，这个角的大小不能超过180 度。
确定已知两边
确定两条已知的边长，这两条边必须能够与已知角形成一个三角形。
使用尺规作图
使用尺子和圆规，首先绘制已知角，然后根据已知两边，分别绘制两条线段，形成一个三角形。
使用尺子和圆规，首先绘制出 30度的角，然后分别绘制两条
线段，形成三角形。
05
复杂三角形的尺规作图
已知两边及夹角，作一个等腰三角形
总结词
使用尺规作图，可以根据已知两边及夹角，作一个等腰三角形。
VS
详细描述
首先，使用圆规以已知夹角的一边为半径，以夹角的顶点为圆心画弧，与已知的另一边相交于两点。然后，使用直尺将两点连接，从而得到等腰三角形的底边。最后，使用圆规以等腰三角形的底边为半径，以底边的两个端点为圆心分别画弧，相交于三角形的顶点，从而完成三角形的作图。
第二步
以A点为圆心，以$BC$为半径画弧线，与 AB和AC两侧的延长线分别相交于D和E两点。
第四步
以$AO$为半径，分别以$B$和$C$为圆心画弧线，两段弧线在BC的同侧交于一点，记作$F$。
第三步
连接$DC$和$EB$，得到的两条线段相交于点$O$。
证明所作三角形为唯一的方法
• 根据圆的唯一性定理，以已知边长和夹角可以唯一确定一个圆。因此，已知两边及夹角作三角形的方法是唯一的。
已知一边及邻角，作一个直角三角形
总结词
通过已知一边及邻角，可以尺规作图得到一个直角三角形。
详细描述

用尺规作三角形及三角形全等应用(提高)知识讲解

用尺规作三角形及三角形全等应用（提高）【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．【答案与解析】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．举一反三：【变式】（2015•湖州模拟）请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】解：（1）以点B为一顶点作等边三角形；（2）作等边三角形点B处的角平分线．2、（2015•宝鸡校级模拟）如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）【思路点拨】以C为圆心，任意长为半径画弧分别交CA、CB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结CP并延长交BA于点D．【解析】解：如图所示：DC即为所求．【总结升华】此题主要考查了角平分线的做法，熟练掌握基本作图方法是解题关键．类型二、作三角形3、已知线段b和∠α，用尺规作一个三角形，使它的两边长分别为b和2b，且这两条边的夹角等于∠α．（先填空，再根据步骤依次作出图形，保留作图痕迹）作法：作射线OM；在射线OM上截取OA=．作∠=∠α在射线ON上截取OB=．连接．所以△AOB为所求．【思路点拨】运用尺规作图的方法，先在已知角的两边取OA=B，OB=2b，连接AB，即可得出答案．【答案与解析】解：作图如图所示：作射线OM；在射线OM上截取OA=b，作∠AOB=∠α在射线ON上截取OB=2b，连接AB，所以△AOB为所求；故答案为：b，AOB，2b，AB．【总结升华】此题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是在已知角的两边分别取OA=b，OB=2B，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）【答案】先作出∠MEN=∠ABC，然后在变EM、EN上截取DE=AB，EF=BC，连接DF，即可得到△ABC的全等三角形；如图所示，△DEF即为所求作的三角形，依据为SAS；类型三、三角形全等的实际应用4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．要求：（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由．【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）；（2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案．【答案与解析】解：（1）如图所示；分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，使其相交于点C，使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，测得PQ即可得出AB的长度．（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，又∠PCQ=∠BCA，∴在△PCQ与△BCA中，，∴△PCQ≌△BCA（SAS），∴AB=PQ．【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握．举一反三【变式】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【答案】C；。

三角形的尺规作图

本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法. 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图.
感悟新知
1.尺规作图的画图工具是( D ) A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器 C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
感悟新知
作法：第一步：作线段AB等于c.
知2－练
第二步：以点A为圆心，b为半径画弧.
感悟新知
第三步：以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点知C2－. 练
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
感悟新知
总结
知2－讲
由三角形全等的判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件(SSS，SAS，ASA，AAS)都只能作出唯一的三角形．
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，y随着x的增大而增大；
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“SSS”. 2. 作图思路：三次运用“作一条线段等于已知线段”
这一基本作图方法.
感悟新知
知1－练
例 1 【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( B )
分析：过点Ａ作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求.
感悟新知
总结
知1－讲
如图所示(见下页)，在直角坐标系中描出以表中的

三角形知识点总结完

三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④斜边中线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二直角边的乘积斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

中考冲刺第12天——三角形与尺规作图

中考冲刺第12天——三角形与尺规作图考点：1．了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰(边)三角形的概念；全等图形的概念；尺规作图概念；了解五种基本作图的理由2．理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰(边)三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质；3．会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角和定理.识别全等图形；利用HL判定两个三角形全等；会用尺规作图完成五种基本作图；使用精练、准确的作图语言叙述画图过程；利用基本作图画三角形较简单的图形；利用基本作图画较简单的图形；会判定两个三角形全等4．掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；5．能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算；证明一个三角形是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题；利用角平分线的判定解决有关的实际问题题型：1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题考查,难度系数小,较简单,属于低档题2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质知识点：1．三角形的有关线段（1）三角形的中线、高线、角平分线、中位线都是线段,三角形的中位线性质可以证明“平行”关系、“线段相等”关系,三角形的中线特点可以证明面积相等.（2）三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．2．等腰三角形①等腰对等角、等角对等腰②等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ③等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ④等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a⑤等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°−2∠B ，∠B =∠C =1802A ∠ . 3．直角三角形（1）直角三角形的性质①直角三角形两锐角互余.②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.④两个内角互余的三角形是直角三角形.三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（2）勾股定理及逆定理直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2.如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.4. 全等三角形（1）全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题利用全等三角形的性质时,关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．（2）三角形全等的判定定理：方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，还有直角三角形的HL 定理．（3）角平分线角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．5．尺规作图（1）尺规作图的步骤①已知:当作图是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件; ②求作:能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;③作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法.（2）与圆有关的尺规作图①过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；②作三角形的内切圆；③作圆的内接正方形和正六边形．真题：1．（四川中考）如图所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ⊥EF 于点D ，如果∠A ＝20°，则∠ACG ＝（）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°2．（贵州中考）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A ．9B ．17或22C ．17D ．223．（广西中考）观察下列作图痕迹，所作CD 为△ABC 的边AB 上的中线是（）A ．B ．C ．D ．4．（辽宁中考）如图，ABC 中，60,40,//A B DE BC ︒︒∠=∠=，则AED ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．（四川中考）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到A BC ''△．此时恰好点C 在A C ''上，A B '交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（）A ．13B ．12C ．23D ．346．（济南中考）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（）A ．52B ．3C ．4D ．57．（四川中考）已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（）A ．2B ． 2C ．D ．8．（青海中考）已知a ，b ，c 为ABC 的三边长．b ，c 满足2(2)30b c -+-=，且a 为方程|4|2x -=的解，则ABC 的形状为________三角形．9．（绥化中考）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若2,8AB AC BC -==，则AB 的长是________． 10．（镇江中考）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．11．（葫芦岛中考）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．12．（眉山中考）如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若ABD △的周长为26，则DE 的长为________．13．（盘锦中考）如图，菱形ABCD 的边长为4，45A ︒∠=，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于,M N 两点，直线MN 交AD 于点E ，连接CE ，则CE 的长为____________． 14．（柳林中考）如图，已知OC 平分∠MON ，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，且OA ＝O B ．求证：△AOC ≌△BO C ．15．（南京中考）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ，∠B = ∠C ，求证：BD = CE ．16．（大连中考）如图，ABC 中，AB AC =，点,D E 在边BC 上，BD CE =．求证ADE AED ∠=∠．培训班内部题:1．（佛山一模）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA OB 、于点C D 、．分别以C D 、两点为圆心，CD 长为半径画弧，两段弧交于点P ，作射线OP ，连接PC PD 、，则POC △与POD 全等，其全等的判定依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA2．（邢台一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：AOB ∠求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：（1）如图，以点O 为圆心，m 为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，n 为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，p 为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D ；（4）过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．下列说法正确的是（）A ．0m p =>B ．0n p =>C ．102p n => D ．0m n => 3．（陕西模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为（）A ．125B ．245C ．45D ．354．（上海）如图，点D 在等边三角形ABC 内部，AD =AE ，若△DAB ≌△EAC ，则需添加一个条件：_______．5．（四川一模）如图，在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，底边BC =AB 的垂直平分线交BC 于点E ，则ACE 的周长为__________．6．（陕西三模）如图，等边ABC 中，2AB =，点D 为BC 的中点，点E 在边AB 上，点F 在AC 的延长线上，且DE DF =，120EDF ∠=︒，过点D 作DG AC ⊥于点G ，若DG GF =，则BE CF +=______7．（广西二模）如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，D 为AB 边上一点．（1）求证：ACE BCD △≌△．（2）已知3AD =，6BD =，求ED 的长度．8．（江西一模）在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，动点D 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接DE ，F ，G 分别是DE ，CD 的中点，连接FG ．（特例感知）（1）如图1，当点D 是BC 的中点时，FG 与BD 的数量关系是______．FG 与直线BC 的位置关系是______．（猜想论证）（2）当点D 在线段BC 上且不是BC 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展应用）（3）若AB AC ==BF 、CF ．当ACF 是等边三角形时，请直接写出BDF 的面积．专家押题：1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3BC =，5AB =，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（）A ．127B ．2C ．157D ．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB=3，AC=4，则CD=（）A．125B．95C．85D．753．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若AC=6，BC=8，则AD的长为（）A．5 B．7 C．D．25 44．观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB AC>的是（）A．①②B．②③C．①③D．③④5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE＝DE，DC＝3，则AE的长为_____．6．如图，已知AB∥CD，∠BFC＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为_____．7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的点，∠EDF＝120°，设ADn DB=，（1）若1n =，则DE DF =__________；（2）若3DF AD DE DB+=，则n =__________． 8．如图，在正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC 的高AM ；（2）在图2中，作ABC 的高AN ．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）9．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积123,,S S S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究：（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为直径，向外侧作半圆，则面积123,,S S S 之间的关系式为_____________；推广验证：（2）如图3，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作ABD △，,ACE BCF ，满足123,∠=∠=∠∠=∠=∠D E F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用：（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105,90,2A E C ABC AB DE ∠=∠=∠=︒∠=︒==，点P 在AE上，30,ABP PE ∠=︒=ABCDE 的面积．。

三角形相似及尺规作图

三角形相似及尺规作图-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1AB C图形的相似【知识点归纳】1.在同一单位长度下，两条线段的长度之比叫做两条线段的比.2.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.3.若a:b=b:c 或c bb a =，则b 叫做a ，c 的比例中项.4.比例的基本性质:b a =d c⇔ad=bc(bd ≠0). 5.合比性质：b a =d c ⇔d dc b b a ±=±. 6.等比性质：.n...d b m...c a b a )0n ....d b (n m ....d c b a ++++++=⇒≠+++===7．若线段AB 上一点P 把线段AB 分成AP 、BP 两部分，并且使AP2=BP ·AB ，则这种分割叫做黄金分割.8.如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 9.相似三角形的判定：（1）两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 10.相似三角形的性质：（1）对应角相等；（2）对应边成比例；（3）周长比等于相似比；（4）面积比等于相似比的平方11.如果两个图形相似，并且它们的对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形.这一点叫位似中心，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比.习题巩固1．如图1，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是【】图1 A ． B ． C ． D ．2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值【】A ．只有一个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个3.如图，已知AD 为ABC 的角平分线，DE3132 C.52 D.534.如图是跷跷板示意图，横板AB 绕中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直，设B 点的最大高度为h1.若将横板AB 换成横板A ′B ′，且A ′B ′=2AB ，O 仍为A ′B ′的中点，设B ′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是【】=2h1 = =h1 =21h15.如图,平行四边形ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F,CD=2DE ．若△DEF 的面积为a,则平行四边形ABCD 的面积为________________（用a 的代数式表示）．6.如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y1和过P 、A 两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】A. B.7.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ，下列结论：（1）△AED ≌△DFB ；（2）S 四边形BCDG=43CG2；（3）若AF=2DF ，则BG=6GF.（第11题其中正确的结论：A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③7.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED∽∠AOO；④2CD2=CE·AB，其中正确结论的序号是____________8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_______________．9.如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.(1) 求证：△ABD∽△CAE；(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.10.在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA 的延长线交于E．⑴求证△ABD为等腰三角形．⑵求证ACAF=DFFE尺规作图基本作图：作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作角的平分线作线段的垂直平分线过一点做一已知线段的垂线作黄金分割点B AFDCM1. 作一个角等于已知角，已知AOB ∠求作：∠B O A '''，使∠B O A '''=AOB ∠ 作法：（1）作射线A O ''；（2）以O 点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ；（3）以O 点为圆心，以OC 长为半径画弧，交OA 于点C ；（4）以C 点为圆心，以CD 为半径画弧，交前面的弧于点D ；（5）过点D 作射线OB 。

尺规作图等腰三角形全等三角形及直角坐标

尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、掌握尺规作图的方法，学会用几何语言描述作图过程2、巩固全等三角形和等腰（等边）三角形的判定证明，加强用几何语言描述的能力3、掌握平面直角坐标系及相关概念，类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想．教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、选择题(1)一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）,（-2，-1）,（2，1）,则第四个顶点的坐标为（）A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3）(2)右图中是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可以表示为( )A.(0，3)B.(2，3)C.(3，2)D.(3，0)(3)已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限(4) 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( )A.经过原点B.平行于y 轴C.平行于x 轴D.以上说法都不对(5)在平面直角坐标系中，以点P(-1,2)为圆心，1为半径的圆与x 轴有（）个公共点A ．0B ．1C ．2D ．3(6) 如图，把图①中△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A 'B 'C '，如果图①的△ABC 上点P 的坐标是),(b a ，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标是A ．)3,2(--b aB ．)3,2(--b aC ．)2,3(++b aD ．)3,2(++b a2、填空题(1) 在平面直角坐标系中，点P)1,1(2+-m 一定在第象限． (2)一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1）、（-1，2）、（3，-1），则第四个顶点的坐标为． (3)点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为．(4)将点P(-3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x,-1)，则xy=_________．A B C3、在所给的图中按所给的语句画图:①连结线段BD; A②过A、C画直线AC；③延长线段AB；④反向延长线段AD． C DE4、如图，使用圆规和直尺分别画出∠AOB和∠BOC的角平分线OM和ON，并说明作图过程．如果∠MON=68º，那么∠AOC应为多少度？5、如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．6、如图，在△ABC中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG。

尺规作三角形与三角形全等的应用讲义

第14讲尺规作三角形与三角形全等的应用知识点1 尺规作三角形已知三边作三角形；2.已知两边及其夹角作三角形；3.已知两角及其夹边作三角形；4.已知两角及其中一角的对边作三角形。

知识点2 全等三角形的应用1.利用全等三角形测距离；2.其他应用问题。

例1.尺规作图：已知：∠α，线段a, b 求作：△ABC，使∠A= , AB=a, AC=b。

（不写作法，保留痕迹，写出结论）例2.如图,已知∠α和∠β,线段c,用直尺和圆规作出△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB ＝c (要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法)αβ c例3. 下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（）A. 已知腰和底边，求作等腰三角形B. 已知两条直角边，求作等腰三角形C. 已知高，求作等边三角形D. 已知腰长，求作等腰直角三角形例4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以再AB的垂直线BF上取两点C，D．使BC=CD，再画出BF的垂直线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS例5.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A.POB.PQC.MOD.MQ例6.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，则判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A.边边边B.角边角C.边角边D.角角边例7.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A.60°B.90°C.120°D.150°的OB边上，用尺规作出了CN OA，作图痕迹中，FG是例8.如图所示，点C在AOB（）．A. 以点C为圆心，OD为半径的弧B. 以点C为圆心，DM为半径的弧C. 以点E为圆心，OD为半径的弧D. 以点E为圆心，DM为半径的弧例9.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧例10.已知∠AOC，请用尺规作图的方法作出该角的角平分线．例11.如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（）A.3B. 4C. 5D. 6例12.如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（）A.AD=BCB. ∠DAB=∠CBAC. △ACE≌△BDED. AC=CE 例13.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为()A. 8 cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm例14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，BD=2，则△ABE的面积为________.例15.一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可例16.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB．测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS例17.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米例18.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形。

北师大七年级下-第15讲-直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离

直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离知识点一：直角三角形的判定 1、直角三角形全等的判定条件——HL 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 2、直角三角形全等的判定方法的综合运用. 判定两个直角三角形全等的方法有五种，即 SSS、SAS，ASA、AAS，HL. 3、判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如 SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等. （2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等. （3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考： ①是有两边相等的，可以先考虑用 HL，再考虑用 SAS； ②是有一锐角和一边的，可考虑用 ASA 或 AAS. 例1、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即 BC=EF），左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的水平方向的长度 DF 相等，则∠ABC＋∠DFE=________.分析：本题解决问题的关键是证明 Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具. 解：由现实意义及图形提示可知 CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为 BC=EF，AC=DF，可知 Rt△ABC ≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°. 例2、如图所示，△ABC 中，AD 是它的角平分线，BD=CD，DE、DF 分别垂直于 AB、AC，垂足为 E、F.求证 BE=CF.解：（垂直的定义）在△AED 和△AFD 中，（角平分线的定义）（公共边）所以△AED≌△AFD（AAS）. 所以 DE=DF（全等三角形的对应边相等）. （已知）在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，（已证）所以 Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）. 所以 BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3、如图所示，已知 AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F 为垂足，求证：CF=DF.分析：要证 CF=DF，可连接 AC、AD 后，证△ACF≌△ADF 即可. 证明：连结 AC、AD.在△ABC 和△AED 中，所以 AC＝AD（全等三角形的对应边相等）. 因为 AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）. （已证）在 Rt△ACF 和 Rt△ADF 中，（公共边）所以 Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）. 所以 CF=DF（全等三角形的对应边相等）. 例4、已知在△ABC 与△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，且 AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断 △ABC 与△A′B′C′是否全等，说说你的理由. 分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解：情形一，如果△ABC 与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为 CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高. 所以∠ADC=∠A′D′C′=90°. 在△ADC 和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′. 在△ABC 与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 情形二，当△ABC 为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC 与△A′B′C′不全等. 情形三，当△ABC 与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由 CD、C′D′分别为△ABC 和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在 Rt△ADC 和 Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′ ∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′. ∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC 与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′. 例5、阅读下题及证明过程：如图，已知 D 是△ABC 中 BC 边上的一点，E 是 AD 上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE. 证明：在△ABE 和△ACE 中∴△ABE≌△ACE ∴∠ABE=∠ACE第一步第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程. 分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形. 解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过 E 作 EG⊥AB 于 G，EH⊥AC 于 H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90° 在△AGE 与△AHE 中∴△AGE≌△AHE ∴EG=EH 在 Rt△BGE 与 Rt△CHE 中，EG=EH， BE=CE. ∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6、已知：如图所示，AD 为△ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE ⊥AC；（2）若把条件 BF=AC 和结论 BE⊥AC 互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为 AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）. （已知）在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中，（已知）所以 Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）. 所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）. 因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°. 因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°. 所以 BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为 BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）. 所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°. 所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）. （已证）在△BFD 与△ACD 中，（已证）（已知）所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以 BF=AC（全等三角形的对应边相等）. 知识二：利用三角形全等测距离通过探索三角形全等，得到了“边边边” ， “边角边” ， “角边角” ， “角角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题．在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化为三角形全等的问题）．例1、如图，有一湖的湖岸在 A、B 之间呈一段圆弧状，A、B 间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出 A、B 间的距离吗？答案：要测量 A、B 间的距离，可用如下方法：（1）过点 B 作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取两点 C、D，使 CD＝BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出 DE 的长就是 A、B 之间的距离．（如图甲）（2）从点 B 出发沿湖岸画一条射线 BF，在 BF 上截取 BC＝CD，过点 D 作 DE∥AB，使 A、•C、E 在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则 DE＝BA．即 DE 的长就是 A、B 间的距离．（•如图乙）例2、如图、小红和小亮两家分别位于 A、B 两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与 AB 相等的线段的长，就可求出两家的距离．方案：如图，在点 B 所在的河岸上取点 C，连接 BC 并延长到 D，使 CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A、C、 E 三点在同一直线上．测量出 DE 的长，就是 AB 的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD，所以 AB＝DE．知识点三：尺规作图 1、用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件. 2、尺规作图的几何语言 ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连接两点××；或连接××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； ④在××上截取××＝××； ⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×． 3、用尺规作图具有以下三个步骤 ①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； ②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； ③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 例1、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．已知： ∠α ，∠β ，线段 c(如图)．求作：△ABC，使∠A＝∠α ，∠B＝∠β ，AB＝c．请按照给出的作法作出相应的图形．例2、如图，已知线段 a，b，c，满足 a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，AB＝c. 错误作法：(1)作线段 AB＝c；（2）作线段 BC＝a；（3）连接 AC，则△ABC 就是所求作的三角形(如图).分析：本题第2步作线段 BC＝a，在哪个方向作，∠CBA 的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保证 AC 的长一定等于 b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法．正确作法：（1）作射线 CE；（2）在射线 CE 上截取 CB＝a；（3）分别以 C，B 为圆心，b，c 长为半径画弧，两弧交于点 A．连接 AC、AB，则△ABC 为所求作的三角形 (如图)．例3、已知两边和其中一边上的中线，求作三角形．已知线段 a、b 和 m．求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，BC 边上的中线等于 m.分析：如果 BC 已作出，则只要确定顶点 A．由于 AD 是中线，则 D 为 BC 的中点，A 在以 D 为圆心，m 为半径的圆上，又 AC＝b，点 A 也在以 C 为圆心 b 为半径的圆上，因此点 A 是这两个轨迹的交点．作法： 1、作线段 BC＝a． 2、分别以 B、C 为圆心，大于长为半径画弧，在 BC 两侧各交于一点 M、N，连接 M、N 交 BC 于点 D． 3、分别以 D 为圆心，m 长为半径作弧，以 C 为圆心，b 长为半径作弧，两弧交于点 A． 4、分别连接 AB、AC．则△ABC 就是所求作的三角形．思考：假定△ABC 已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC 中，AD＝m，DC＝，AC＝b，所以△ADC 若先作出．然后由 BD＝的关系，可求得顶点 B 的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．达标测试： 1、如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为 B、C，且 BD=CD，求证：AD 平分∠BAC.证明： ∵DB⊥AB，DC⊥AC ∴∠B=∠C=90° 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴∠1=∠2 ∴AD 平分∠BAC. 2、如图，已知 AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD 和 BC 相交于点 E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.证明：（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD ∴∠ABD=∠ACD=90° 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ∴∠1=∠2 在△ABE 和△ACE 中∴△ABE≌△ACE（SAS） ∴BE=CE 即 CE=BE （2）∵△ABE≌△ACE ∴∠3=∠4 又∵∠3＋∠4=180° ∴∠3=90° ∴CB⊥AD 3、如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.解：能. 作法：（1）在 OA，OB 上分别截取 OM=ON （2）过 M 作 MC⊥OA，过 N 作 ND⊥OB，MC 交 ND 于 P （3）作射线 OP 则 OP 为∠AOB 的平分线证明：∵MC⊥OA、ND⊥OB ∴∠1=∠2=90° 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL） ∴∠3=∠4 ∴OP 平分∠AOB. 4、如图，AB=AD，BC=DE，且 BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明 AM=AN 吗？解：能. 理由如下： ∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC 和△ANE 中∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AM=AN. 5、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E、F，且 AE=BF，AD=BC，则（1）△ADF 和△BEC 全等吗？为什么？（2）CM 与 DN 相等吗？为什么？解：（1）△ADF≌△BCE，理由如下： ∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在 Rt△ADF 和 Rt△BCE 中∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL）（2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME 和△BNF 中∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND. 6、如图所示，已知线段 a，b，∠α ，求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α ，•根据作图在下面空格中填上适当的文字或字母．（1）如图甲所示，作∠MCN＝________；（2）如图乙所示，在射线 CM 上截取 BC＝________，在射线 CN 上截取 AC＝________．（3）如图丙所示，连接 AB，△ABC 就是_________．答案：∠α ，a，b，所求作的三角形. 7、已知线段 a 及锐角α ，求作：三角形 ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α ，BC＝A．作法：（1）作∠MCN＝90°；（2）以 C 为圆心，a 为半径，在 CM 上截取 CB＝a；（3）以 B 为顶点，BC 为一边作∠ABC＝∠α ，交 CN 于点 A．连接 AB，则△ABC 即为所求作的三角形． 8、你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱 OC 与地面垂直，点 O 是横板 AB 的中点， AB 可以绕着点 O 上下转动，当 A 端落地时，∠OAC＝20°．（1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？（2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA′，BB′有何数量关系？为什么？解：（1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°，同理可求∠B′OC＝70°， ∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°；（2）AA′＝BB′，如图所示，连接 AA′、BB′， ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，∴AA′＝BB′． 9、有一池塘，要测池塘两端 A、B 间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A、B 之间的距离。

第14课尺规作图、等腰三角形

PDC BA班级姓名第14课——尺规作图、等腰三角形一、中考要求1. (1)掌握基本作图(2)根据“已知三边”、“已知两边及其夹角”、“已知两角及其夹边”作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形(3)过一点、两点及不共线三点作圆(4)对尺规作图题，会写已知、求作和作法2.等腰三角形、等边三角形及其判定和性质二、知识要点1.尺规作图有以下几种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；※经过一点作已知直线的垂线。

这些基本作图是作较复杂图形的基础，较复杂的几何作图题，通过分析，通常可以分解为这五种基本作图来进行。

2.一般的几何作图题，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤。

完成作图题时，要注意作图痕迹的保留、作法中作图语句的规范和最后的作图结论．．．．．．．。

3.求作三角形时，关键是确定三角形的顶点，而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的三角形。

4.等腰三角形等腰三角形的判定定理：等腰三角形的性质定理：等腰三角形的“三线合一”：5.等边三角形（正三角形）等边三角形的性质定理：等边三角形的判定方法三、典例剖析例1如图, 已知βα∠∠,, 用直尺和圆规求作一个γ∠, 使得βαγ∠-∠=∠21.(只须作出正确图形, 保留作图痕迹, 不必写出作法)例2如图，已知及两边上各一点．求作一点，使它到两点的距离相等，并且到两边的距离也相等．例3已知：如图，OA平分,1 2.BAC∠∠=∠求证：△ABC是等腰三角形．例4 如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．⑴若∠BAC=30°，求证：AD=BD；⑵若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．四、课堂练习1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )A．75°或15°B．30°或60°C．75°D．30°2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定（第2题）（第5题）（第6题）（第8题）3.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°B．120°C．20°或120°D．36°4．等腰三角形的一腰长为cm6，底边长为cm36，则其底角为（）A ． 30° B．60° C ．90° D．120°5.如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=50°，D为△ABC内的一点，∠DBC=∠DCA，则∠BDC的度数为( )A．115°B．110°C．130°D．140°PCODA βαHEDCBA26 题图6．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是． 7.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为．8.如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过P 作PC //OA 交OB 于点C ．若∠AOB ＝60°，OC =4，则点P 到OA 的距离PD 等于．9.等腰三角形中一个角为100°，则另两个角度数为．10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为．11.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE 于E ，求证：BF=2CE12.已知，如图：△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC＝900，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连结AD 、BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于E 。

初中数学知识点精讲精析三角形的尺规作图

4 三角形的尺规作图学习目标1. 经历尺规作图实践操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形。

2. 能依据规范作图语言，作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言。

知识详解1. 已知：线段a，c，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α.从图中可知，是两边夹角，所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条，然后以所作的线段为角的一边，它的一端点为角的顶点作角.使这个角等于已知角，再在角的另一边截取已知线段的另一条，最后连结，组成三角形。

2. 学习作图要注意以下几点：（1）要学会正确使用作图工具（这里主要是指直尺、圆规），作出合乎要求的几何图形；（2）要学会用几何作图语言来准确表达作图问题；（3）要勤动手画，多动口说3. 在几何作图中，通常先画出所要求作的图形的草图，然后根据草图把已知事项具体化。

【典型例题】例1：如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：（1）作∠A的角平分线交BC于D点．（2）作AD的中垂线交AC于E点．（3）连接DE．根据他画的图形，判断下列关系何者正确？（）A、DE⊥ACB、DE∥ABC、CD=DED、CD=BD【答案】B【解析】解：依据题意画出右图可得知∠1=∠2，AE=DE，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，即DE ∥AB．例2：用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A【解析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，∴△ONC≌△OMC（SSS）。

∴∠AOC=∠BOC。

故选A。

例3：如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则∠ADC的度数为【答案】65°【解析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质有∠GAB=25°。

全等三角形尺规作图

利用辅助线提高作图效率
中线、高线、角平分线
在作全等三角形时，可以利用中线、高线、角平分线等辅助线来帮助定位和构造三角形。这些辅助线能够提供更多的几何信息，使得作图过程更为精准和高效。
平行线、垂线
在复杂情况下，可以通过构造平行线、垂线等辅助线，将问题分解为更简单的部分进行解决。这种方法能够大大降低作图的难度，并提高作图的效率。
04
该方法基于全等三角形的对应角相等性质，通过确保角度和边长的一致，实现全等三角形的作图。
05 全等三角形尺规作图的注意事项与技巧
作图精度控制
使用精确的测量工具
在进行全等三角形尺规作图时，应使用精确的测量工具，如精确的直尺和圆规，以确保测量的准确性。
细心操作
在作图过程中，要保持细心，避免因为粗心大意导致测量或绘制的误差。
06 全等三角形尺规作图的应用与拓展
在几何题中的应用
解题思路简化
全等三角形尺规作图可以用于证明和求解几何题目，通过构建全等三角形，可以将复杂的几何问题转化为简单易解的等式关系。
图形性质研究
利用全等三角形尺规作图，可以深入探究三角形的各种性质，如角度、边长等，进一步理解几何
学的基本原理。
步骤一：已知一个三角形及其各边长度。
步骤二：在作图区域选择一点作为全等三角形的一个顶点，并从该点出发绘制已知三角形的一条边，使其长度与已知三角形的对应边相等。
步骤三：按照已知三角形的边长和角度关系，依次绘制全等三角形的其他两条边。
该方法利用了全等三角形的对应边相等性质，通过确保各边长度一致，从而达到作图的目的。
实例3：利用对应角法作全等三角形
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步骤一：已知一个三角形及其各角度大小。

三角形知识总结与尺规作图知识点