参数估计之点估计和区间估计
参数估计三要素
参数估计三要素参数估计是统计学中非常重要的一部分，它涉及到如何通过样本数据来得到总体参数的估计值。
而参数估计的实质就是利用样本信息来推断总体信息。
在进行参数估计的过程中需要掌握三要素，分别是点估计、区间估计以及最小二乘估计。
一、点估计点估计就是通过样本数据，估计总体参数的具体数值，也就是说利用样本数据来估计总体参数的单个值，这个单个值有可能等于总体参数，但也有可能不等于总体参数。
因为样本数据是有误差的，并且不能代表总体，所以点估计得到的估计量只是在数值上比较接近总体参数，而不是完全等于总体参数。
常见的点估计方法有矩估计和最大似然估计。
矩估计就是通过样本的前几个矩来估计总体参数的值，并且要求估计量是样本矩的函数。
最大似然估计是通过知道样本中观测值的概率分布，来确定估计量的值。
而在实际应用中，矩估计和最大似然估计常常同时使用，这样能够提高估计量的精确度。
点估计通过样本数据，确定总体参数的具体数值，它有其实际意义，但在实际应用中不能确定它的准确性。
二、区间估计点估计得到的估计量通常由于样本误差，不能代表总体参数。
在进行参数估计时，我们还需要确定一个区间，使得这个区间内的任一数值均可能是总体参数的真实值，这个区间就是区间估计。
对于总体参数的区间估计，我们可以利用统计量来求解。
如对于正态分布总体，其参数$\mu$，则样本均值是其最佳估计，而其标准差是未知的，所以我们的目的是得到一个包含总体参数的置信区间来进行估计。
假设总体的分布是正态分布，求出样本均值和样本标准差，以及统计学的知识，可以得到一个置信区间。
这个置信区间就是在某个置信水平下，总体参数落在这个区间内的概率为这个置信水平。
总体参数的置信区间是通过样本统计量计算而来的，而这个样本统计量的置信区间大小和置信水平有关，也和样本数量有关。
在实际应用中，当样本数量越大时，区间估计的精度就会越高。
三、最小二乘估计在线性回归分析中，最小二乘估计是一种广泛使用的估计方法。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计点估计的基本思想是根据样本数据，通过统计量来估计总体参数的值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是找到一个参数值，使得样本观察值的概率最大。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数的值。
例如，如果总体服从正态分布，那么样本均值和样本方差就是总体均值和总体方差的估计量。
区间估计的基本思想是给出一个区间，使得总体参数落在该区间内的概率达到一定的置信水平。
在区间估计中，置信水平通常是根据统计学的理论设定的，常见的有95%和99%置信水平。
区间估计的计算方法主要有正态分布法和t分布法。
正态分布法适用于大样本情况下，而t分布法适用于小样本情况下。
对于点估计，我们需要考虑估计量的偏倚和方差。
偏倚表示估计量的期望值与总体参数的真实值之间的差异。
如果估计量的期望值与总体参数的真实值之间没有差异，就称为无偏估计；否则，就称为有偏估计。
方差表示估计量的离散程度。
我们通常希望找到无偏估计，并且方差越小越好。
对于区间估计，我们需要考虑置信水平和置信区间的宽度。
置信区间的宽度越小，说明估计的精度越高。
但是，要得到一个狭窄的置信区间就需要使用更大的样本量，或者降低置信水平。
在进行区间估计时，需要根据具体需求平衡估计的精度和置信水平。
在实际应用中，点估计和区间估计通常是一起使用的。
点估计提供了一个具体的估计值，而区间估计提供了一个参数值可能的范围。
通过点估计和区间估计，我们可以对总体参数进行合理的估计，并且给出估计的精度和可靠性的度量。
总之，参数的点估计和区间估计是统计学中常用的两种估计方法。
点估计通过选择适当的统计量来估计总体参数的值，而区间估计通过给出参数值可能的范围来表示估计的不确定性。
点估计和区间估计是统计学中重要的概念，对于数据分析和决策制定具有重要的指导意义。
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
参数估计的类型和优缺点
参数估计的类型和优缺点
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。
根据所使用的数据类型和模型假设，参数估计可以分为不同的类型，每种类型都有其优缺点。
以下是一些常见的参数估计类型及其优缺点：
1.点估计：点估计是最简单的参数估计形式，它使用单一的观测值或样本统计量来估计未
知参数的值。
优点是简单直观，计算方便；缺点是精度较低，且无法给出估计的不确定性或误差范围。
2.区间估计：区间估计使用样本统计量和某些统计方法来估计未知参数的可能取值范围。
优点是能够给出估计的不确定性或误差范围，从而更好地了解参数的精度；缺点是计算较为复杂，需要更多的数据和计算资源。
3.贝叶斯估计：贝叶斯估计基于贝叶斯定理，使用先验信息、样本信息和似然函数来估计
未知参数的后验分布。
优点是能够结合先验信息和样本信息，更好地了解参数的不确定性；缺点是需要主观设定先验分布，可能会受到主观因素的影响。
4.极大似然估计：极大似然估计通过最大化似然函数来估计未知参数的值。
优点是方法简
单、计算方便，且在某些情况下具有一致性和渐近正态性等优良性质；缺点是对某些复杂的模型或数据分布可能不适用。
5.最小二乘估计：最小二乘估计通过最小化误差的平方和来估计未知参数的值。
优点是计
算简便，适用于多种线性回归模型；缺点是对模型的假设要求较高，且容易受到异常值的影响。
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
第六章 参数值的估计
第六章 参数值的估计 第一节 参数估计的一般问题一、估计量与估计值参数估计就是用样本统计量去估计总体参数，如用X 估计μ，用S2估计2σ，用p 估计π等。
总体参数可以笼统地用一个符号θ表示。
参数估计中，用来估计总体参数的统计量的名称，称为估计量，用θ表示，如样本均值、样本比例等就是估计量。
用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值，叫做估计值。
二、点估计与区间估计——参数估计的两种方法 1、点估计用样本估计量θ的值直接作为总体参数θ的估计量值。
2、区间估计它是在点估计基础上，给出总体参数估计的一个区间，由此可以衡量点估计值可靠性的度量。
这个区间通常是由样本统计量加减抽样误差而得到。
以样本均值的区间估计来说明区间估计原理：根据样本均值的抽样分布可知，重复抽样或无限总体抽样情况下，样本均值，由此可知，样本均值落在总体均值两侧各为一个标准误差范围内的概率为0.6827，两个标准误差范围0.9545，三个标准误差范围0.9973，并可计算出样本均值落在μ的两侧任何一个标准误差范围内的概率（根据已知的μ，σ计算）。
但实际估计时，μ是未知的，因而不再是估计样本均值落在某一范围内的概率，而只能根据已设定的概率计算这个范围的大小。
例如：约有95%的样本均值会落在距μ的两个标准误差范围内，即约有95%的样本均值所构造的两个标准误差的区间会包括μ。
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，称为置信区间，区间的最小值为置信下限，最大值为置信上限。
例如，抽取了1000个样本，根据每个样本构造一个置信区间，其中有95％的区间包含了真实的总体参数，而5%的没有包括，则称95％为置信水平／置信系数。
构造置信区间时，可以用所希望的值作为置信水平，常用的置信水平是90％，95％，99％，见下表：α称为显著性水平，表示用置信区间估计的不可靠的概率，1-为置信水平。
如何解释置信区间：如用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为（60，80），即在多次抽样中有95%的样本得到的区间包含了总体真实平均成绩，（60，80）这个区间有95%的可能性属于这些包括真实平均成绩的区间内的一个。
心理及教育统计学第7章参数估计
章节内容
第一节 点估计、区间估计及标准误 第二节 总体平均数的估计 第三节 标准差与方差的区间估计 第四节 相关系数的区间估计 第五节 比率及比率差异的区间估计
总体参数估计：在研究中从样本获得一组数 据后，通过这组信息，对总体特征进行估计， 即从局部结果推论总体的情况。
总体参数估计分点估计和区间估计两种。
7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7 7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7
71.9684.04
当n2=36时，df2=35，t0.05/2=2.042
7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2 7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2
75.982.1
【例7-4】
根据n2=36的样本估计总体参数μ：
0.95的置信区间 7 8 1 . 9 6 1 . 1 8 7 9 1 . 9 6 1 . 1 8
76.781.3
0.99的置信区间
7 9 2 . 5 8 1 . 1 8 7 9 2 . 5 8 1 . 1 8
75.782.04
83.686.4
总体方差σ2未知，对总体平均数的估计
总体方差未知，用样本的无偏方差(
s
2 n 1
)作为总体
方差的估计值，实现对总体平均数μ的估计。因为在总
体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值
表，确定t/2或t(1－)/2。
有两种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n之大小。
（2）总体分布为非正态时，只有n＞30，才能用概率对 其抽样分布进行解释，否则不能推论。
0.05水平和0.01水平是人们习惯上常用的两个显著性 水平。
区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计值， 解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分 布规律及抽样分布的标准误(SE)。
参数的点估计与区间估计
d
ln d
L
n i1
xi
1
令
n 0 ,
1 n
n i1
xi
x.
有时用求导方法无法最终确定未知参数的 极大似然估计, 此时用极大似然原则来求 .
例: 设总体 X ~ U [a, b] , ( x1 , x2 ,…, xn ) 为一样本值,
求 a, b 的极大似然估计.
解:
X 的概率密度
1(ba), axb,
P{Xk}CrkCCN SN Skr , 0kmiSn ,r)(
把上式右端看作 N 的函数，记作 L(N; k) .
应取使 L(N; k) 达到最大的N, 作为 N 的极大似然估计.
但用对 N 求导的方法相当困难, 我们考虑比值：
L( N ; k ) (NS)(Nr) L( N 1; k ) N(NrSk)
n
近似为 f (xi;)dxi , 其取值随 而变;
i1
既然在一次抽样中就得到了样本值(x1 , x2 , …, xn) , 因而我们有理由认为: 样本 ( X1 , X2 , …, Xn ) 在 ( x1 , x2 , …, xn ) 旁边取值的概率比较大;
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
参数估计又分点估计与区间估计.
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布中含未知参数 ,
( X1 , X2 , …, Xn ) 是一样本, 要构造一统计量
(X1,,
Xn)作为
的估计
(
叫做
的点估计量);
对应样本值( x1 , x2 , …, xn ), (x1,, xn) 可作为
的估计值，叫做 的点估计值.
则称( 1 , 2 )是 的置信度(置信水平, 置信概率)为
第5章 参数估计
猎物射击,结果该猎物身中一弹,你认为谁打中的可能
性最大? 根据经验而断:老猎人打中猎物的可能性最大. 极大似然估计法的思想就是对固定的样本值，选
择待估参数的估计值使“样本取样本值”[离散型]或 “样
本取值落在样本值附近”[连续型] 的概率最大。
(2、极大似然估计的求法
单参数情形
根据总体分 布律写出似 然函数：换x 为xi
来得到待估参数θ 的极大似然估计值(驻点);
③ 、必要时,参照极大似然估计值写出极大似然
估计量.
【例6】求服从二项分布B(m，p)的总体X未知参数 p的极大似然估计量。 〖解〗单参数，离散型。 因为总体 X
~ B(m, p),
x m x
其分布律为
m x
f ( x; p) C p (1 p)
下面分离散型与连续型总体来讨论. 设离散型总体X的分布律
P{X x} p( x; )
( )
形式已知,θ 为待估参数. X 1 , X 2 ,..., X n 为来自总体X的
样本, x1 , x2 ,..., xn 为其样本值,则 X 1 , X 2 ,..., X n 的联合分
布律为:
用其观察值
ˆ( X , X ,..., X ), 1 2 n
——θ 的估计量
ˆ( x , x ,..., x ) 1 2 n
——θ 的估计值
来估计未知参数θ .
今后,不再区分估计量和估计值而统称为θ 的估计,
ˆ . 均记为
二、构造估计量的两种方法
1、矩估计法 理论根据:样本矩(的连续函数)依概率收敛于总
因为X~N(μ ,σ 2),所以X总体的概率密度为
2 1 (x ) 2 f ( x; , ) exp ( R, 0) 2 2 2
参数点估计及区间估计公式
2
其中2 2 和1−
2是
1 − 2 总 1 − 2 样
体均值差： 本均值差
独立本
1 − 2
12 22
+
1 2
2
基于 − 1 个自由
度
1 − 2
12 22
+
1 2
1
1
+
1 2
2
其
±
1
1
+
1 2
中
2
2
12 22
+
1 2
1 − 2
其 中 2 是 基 于
− 1 自由度
1 − 2
±
> 30;
< 30;
1 1 2 2
+
1
2
2 = 2 之差
2
12
12 22 样 本
总 体 方差比
22
方差比
12 22
不要求
不要求
12
22
≤
≤
所有 n
1
2
1 ，2
12
参数点估计&区间估计的重要公式
参数
均值
估计量
的近似
二项比率
方差 2
=
2
2
不要求
1 − 100%置信区
间
± 2
± 2
其 中 2 是 基 于
− 1 自由度
±
不要求
2
参数估计
第九章参数估计抽样的真正目的在于根据已知的统计量来估计总体参数。
检验特定假设有一定用处，但估计方法的用处更大。
基本上有两种估计，即点估计和区间估计。
第一节点估计点估计也即点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。
为了确定每一种估计究竟如何，就必须掌握某种标准。
估计量如果具有无偏性、一致性和有效性这三个要求或标准，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。
1．无偏性如果统计量的抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值，那么这一估计便可以认为是无偏估计。
换句话说，从最终的结果来看，估计量的期望值就是参数本身。
2．一致性虽然随机样本和总体之间存在一定的误差，但当样本容量逐渐增加时，统计量越来越接近总体参数，满足这种情况，我们就说该统计量对总体参数是一个一致的估计量。
3．有效性估计量的有效性指统计量的抽样分布集中在真实参数周围的程度。
总而言之，如果一个估计量满足无偏性、一致性和有效性这三条准则，就可称其为最佳估计量。
第二节区间估计如果总体均值正好就是样本的均值，这当然非常好。
但如果两者不尽相同，点估计往往会造成一些不必要的误解。
在许多场合，人们宁愿在原来点估计值两边加一个区间，使得我们对参数在预料之中有相当把握。
因此在推论统计中我们更多采用的是区间估计的方法。
所谓区间估计，就是在一定的抽样平均误差内设一个可置信的区间，然后联系到这个区间的精度，将样本的统计值推断为总体的参数值。
1.精确性和可靠性区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。
当然，设置一个区间是很容易的，当我们对参数被估计到的信心不足时，我们总可以放宽区间。
如果这个区间的大小不受限制，我们就可以把参数被估计到的信心提高到任何水平。
但是区间加大，估计的效度随之降低。
当我们的信心提高到绝对时，估计的价值也随之丧失贻尽。
这就是说，还存在需要考虑的另一方面——区间估计的精确性问题。
这样一来，我们又宁愿估计区间要尽量小一点，最好就是点估计。
心理统计名词解释点估计和区间估计
心理统计名词解释：1. 点估计点估计是一种通过样本数据估计总体参数的方法。
在心理统计学中，研究者通常只能获得一部分总体数据，因此需要利用样本数据来估计总体的特征。
点估计就是利用样本数据计算出一个数值作为总体参数的估计值，常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
2. 区间估计区间估计是一种用来估计总体参数范围的方法。
与点估计不同，区间估计不仅给出了参数的点估计值，还给出了参数估计的置信区间。
置信区间是总体参数的估计范围，通常表示为一个区间，例如(μ-δ, μ+δ)，其中μ为参数的点估计值，δ为置信区间的半径。
心理统计中的点估计和区间估计在研究中具有重要意义。
通过点估计和区间估计，研究者可以对总体的特征进行估计，并对估计结果的可靠性进行评估。
这两种估计方法在量化研究中被广泛应用，对于从样本数据推断总体特征具有重要的参考价值。
点估计和区间估计的应用：3. 点估计的应用在心理统计学中，点估计通常用来估计总体的各种参数，如均值、方差、比例等。
研究者利用样本数据计算出点估计值，并将其作为总体参数的估计值。
在一项实验中，研究者可以利用样本数据计算出实验组和对照组的平均得分，以此作为两组总体均值的估计值。
4. 区间估计的应用区间估计在心理统计学中具有重要意义，它不仅给出了总体参数的估计值，还给出了估计的可靠范围。
研究者通常会根据置信水平选择相应的置信区间，常见的置信水平包括95、99等。
在研究中，研究者可以利用区间估计来估计总体均值的置信区间，从而评估估计结果的可靠性。
点估计和区间估计的特点：5. 点估计的特点点估计给出了总体参数的一个具体数值估计，具有直观性和简单性。
研究者可以通过点估计方便地获得总体参数的估计值，并基于这一估计值进行推断和决策。
然而，点估计也存在一定局限性，它无法提供参数估计的置信范围，使得估计结果的可靠性无法直观评估。
6. 区间估计的特点区间估计不仅给出了总体参数的估计值，还给出了参数估计的可靠范围。
《点估计与区间估计》课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
参 数 估 计
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计1.点估计点估计是通过样本数据得出一个单一的数值作为参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找参数值，使得给定样本出现的可能性最大化，从而估计参数的值。
矩估计则是通过样本矩的估计值来估计参数的值。
点估计的优点是简单直观，计算方便，但它只给出了一个数值，无法反映参数估计的准确程度。
2.区间估计区间估计是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定概率包含着未知参数的真实值。
常见的区间估计方法有置信区间、预测区间等。
置信区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着未知参数的真实值。
预测区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着新的观测值。
区间估计的优点是可以反映参数估计的不确定性，给出了一个范围，但计算复杂，要求样本量较大。
对于点估计和区间估计，我们需要考虑一些概念和原则：1.无偏性：一个点估计量如果在大样本下的期望等于被估计参数的真实值，则称其为无偏估计量。
无偏估计量估计的是总体参数的中心值。
2.有效性：如果两个估计量都是无偏估计量，但一个估计量的方差较小，则称这个估计量为有效估计量。
3.一致性：一个估计量如果在样本量趋向于无穷大时，以概率1收敛于被估计参数的真实值，则称该估计量为一致估计量。
4.置信水平：置信区间是估计参数范围的一种方法，置信水平是指在重复抽样条件下，这个估计参数范围包含真实参数的概率。
总结起来，点估计提供了一个单一的参数估计值，简单直观，但没有反映参数估计的准确程度；区间估计提供了一个范围，可以反映参数估计的不确定性，但计算较复杂。
在实际应用中，可以根据问题的具体要求选择适当的估计方法，或者同时使用点估计和区间估计方法来对参数进行估计。
参 数 估 计
二、参 数 估 计
【例5-5】 设X～B(1,p)，(X1，X2,…,Xn)是取自总体X的一个子样， 试求参数p的极大似然估计量。
解：设(x1,x2,…,xn)是子样(X1，X2,…,Xn)的一组相应的取值。总体X 的分布律为
则似然函数为 取对数后，有 令
二、参 数 估 计
从而得p的极大似然估计值为 p的极大似然估计量为
项目
参数估计
二、参 数 估 计
一、 参数估计的基本原理
参数估计是指由样本指标值（统计量）估计总体指标值 （参数），即当总体的分布性质已知，但其所含参数真值未 知时，根据一组样本的观察值X1，X2,…,Xn来估计总体中未 知参数θ或θ的某函数。首先从样本(X1，X2,…,Xn)中提取有 关总体X的信息，即构造样本的函数——统计量 g(X1X2,…,Xn)；然后用样本值代入，求出统计量 g(x1,x2,…,xn)的值，用该值来作为相应待估参数的值。
二、参 数 估 计
二 、 评价估计量的标准
在参数估计中，用样本估计量 作为总体参数θ的估 计量，实际上，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量。 也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，从原则上 讲，任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪 一个估计量好呢？这就涉及估计量的评价问题，而判断估计 量好坏的标准是：有无系统偏差，波动性的大小，伴随样本 容量的增大是否越来越精确，这就是估计的无偏性、有效性 和一致性。
区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的
方法，使区间的平均长度最短。
二、参 数 估 计
用给定的置信度1－α说明区间估计的可靠程度
，通常α取值很小，如取0.05、0.01，有时取0.1。
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理在统计学中，参数估计是通过从样本数据中获得的统计量推断总体参数值的方法。
通过参数估计，我们可以利用样本数据来了解总体的特征。
参数估计有两种主要方法，即点估计与区间估计。
本文将对参数估计的公式进行整理，包括点估计和区间估计的常用方法。
一、点估计公式点估计是用样本数据来估计总体参数的方法，其中最常用的是样本均值和样本方差。
下面是一些常见的点估计公式：1. 样本均值的点估计公式总体均值的点估计通常由样本均值给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体均值μ的点估计公式为：μ̂= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n2. 样本方差的点估计公式总体方差的点估计通常由样本方差给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体方差σ²的点估计公式为：σ̂² = ((x₁ - μ̂)² + (x₂ - μ̂)² + ... + (xn - μ̂)²) / (n - 1)3. 样本比例的点估计公式总体比例的点估计通常由样本比例给出。
假设我们有一个二分类样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，p是正例的比例。
总体比例p的点估计公式为：p = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n二、区间估计公式区间估计是用来估计参数的可信区间的方法，即给出参数值的一个范围。
下面是一些常见的区间估计公式：1. 总体均值的区间估计公式总体均值的区间估计可以使用置信区间进行。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，s是样本标准差，Z是对应于所需置信度的Z分位数。
总体均值μ的置信区间估计公式为：μ̂± Z * (s / √n)2. 总体比例的区间估计公式总体比例的区间估计可以使用置信区间进行。
第七章__参数估计
三、区间估计与标准误
㈠区间估计的定义 是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的
可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数 轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。 ㈡置信区间与显著性水平 ⑴置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参
数所在的区域距离或区域长度。
⑵置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。 ⑶显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错
⑶区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值解释估 计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误。样本分布可提供概率解释，而标准误的大小 决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准 误变小。
当总体方差已知时，样本平均数的分布为正态分布或
渐近正态分布，此时，样本平均数的平均数uX u， 平均数的离散程度即平均数分布的标准差（简称
例4
解:由题意知,其总体方差未知,但其总体分布为正态分布，
则此样本均数的分布服从t分布， 可以依t分布对总平 均身高μ进行估计。
SEX
S 4.8 0.81; df n 1 36 1 35 n 1 35
查t值表可知 : t0.05 230 2.042;t0.01 230 2.75
例2 已知某区15 岁男生立定跳远的方差 为 436.8cm ，现从该区抽取58名15岁男生， 测得该组男生立定跳远的平均数为198.4cm， 试求该区15岁男生立定跳远平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2
解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，
该样本的抽样分布为渐进正态分布。
SEX
因此, 的95%的置信区间为 :
82 2.0211.12 82 2.0211.12
参数的区间估计和点估计
参数的区间估计和点估计在统计学中，参数是描述总体的量，如总体均值、总体方差等。
当我们研究总体时，除了掌握总体参数的点估计外，我们还需要对总体参数进行区间估计。
本文就对参数的区间估计和点估计进行详细的介绍。
一、参数点估计参数点估计是指用样本数据推断出总体参数的一个近似值。
比如，从总体中抽取一些样本，计算出它们的平均值，把这个平均值作为总体均值的近似值。
常用的参数点估计方法有：1.极大似然估计极大似然估计法是指假设参数值已知，用样本数据来确定这个参数估计值，即找到一个参数估计值，使得这个参数值下，样本的似然函数取得最大值。
例如，抛硬币实验中，随机变量X表示正面出现的次数。
当硬币的正面概率p未知时，用样本求出p的极大似然估计，即：P（X=k|p） = Cnkp^k(1-p)^(n-k)为了找到样本数据下的极大似然估计值，将似然函数求导，令导数等于0，求得估计值。
在实际中，极大似然估计可以被广泛应用于估计均值、方差、参数等。
2.矩估计矩估计是利用样本的矩来推断总体参数的方法。
常见的矩估计方法有：（1）样本均值估计总体均值。
用矩估计法时，对于同一参数，不同样本可能得到不同的结果，但随着样本数的增加，结果会更加接近。
1.基于正态分布的参数区间估计如果总体服从正态分布，且总体方差未知，我们通常采用t分布来进行参数区间估计。
我们假设一个区间，称之为置信区间，该区间可以以某个概率（置信度）包含总体参数，置信度通常取0.9或0.95或0.99等常用值。
置信区间估计是指在某个置信度下，估计出总体参数的一个区间，称这个区间为置信区间。
置信区间可以通过以下步骤计算。
（1）计算样本平均数和标准差，以此估计总体均值和总体标准差，分别记为X和S。
（2）确定置信度和自由度n-1，从t分布表中查找t分布值tα/2。
（3）计算置信区间：X - ts/√n ≤ $\mu$ ≤ X + ts/√n，其中t为样本t统计量，s为标准差，n为样本量，α/2为置信水平。
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作者 | CDA数据分析师
参数估计（parameter estimation）是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。
人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律。
即根据样本数据
如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。
统计推断是数理统计研究的核心问题。
所
谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。
它是统计推断的
一种基本形式，分为点估计和区间估计两部分。
一、点估计
点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。
简单的来说，指直接
以样本指标来估计总体指标，也叫定值估计。
通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、
方差和相关系数等。
点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量，作为未知参数或未知参
数的函数的估计值。
构造点估计常用的方法是：
①矩估计法，用样本矩估计总体矩
②最大似然估计法。
利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。
③最小二乘法。
主要用于线性统计模型中的参数估计问题。
④贝叶斯估计法。
可以用来估计未知参数的估计量很多，于是产生了怎样选择一个优良估计量的问题。
首先必
须对优良性定出准则，这种准则是不唯一的，可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。
优良性准则有两大类：一类是小样本准则，即在样本大小固定时的优良性准则；另一类是大
样本准则，即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。
最重要的小样本优良性准则是无偏性及
与此相关的一致最小方差无偏估计，其次有容许性准则，最小化最大准则，最优同变准则等。
大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等。
下面介绍一下最常用的
矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法
矩估计法也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。
它是由英国统计学家
皮尔逊Pearson于1894年提出的，也是最古老的一种估计法之一。
对于随机变量来说，矩是
其最广泛，最常用的数字特征，主要有中心矩和原点矩。
由辛钦大数定律知，简单随机样本
的原点矩依概率收敛到相应的总体原点矩，这就启发我们想到用样本矩替换总体矩，进而找
出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。
用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。
最简单的矩估计法是用一阶样本原点矩来估计总体的期望而用二阶样本中
心矩来估计总体的方差。
2、最大似然估计法
此法作为一种重要而普遍的点估计法，由英国统计学家R.A.费希尔在1912年提出。
后来在
他1921年和1925年的工作中又加以发展。
设样本X=(X1X2…Xn)的分布密度为L(X，θ)，
若固定X而将L视为θ的函数，则称为似然函数，当X是简单随机样本时，它等于ƒ(X1，θ）ƒ(X2，θ）…ƒ(Xn，θ），其中，ƒ(X，θ）是总体分布的密度函数或概率函数（见概率分布）。
一经得到样本值x，就确定x，然后使用估计g（θ），这就是g（θ）的最大似然估计。
二、区间估计
通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为
总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计。
用数轴上的一段经历或一个数据区间，表示总体参数的可能范围。
这一段距离或数据区间称为区间估计的置信区间。
下面分别
介绍一个总体参数的区间估计和两个总体参数的区间估计。
1、一个总体参数的区间估计
总体均值适用的统计量及其置信区间：
总体比例适用的统计量及其置信区间：
2、两个总体参数的区间估计
以上就是小编总结的有关参数估计知识点，希望可以帮到大家。