高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学平面几何知识点总结
高中数学平面几何知识点总结平面几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的重要部分。
平面几何主要研究平面上的点、线、角等基本概念及其相互关系。
平面几何是一门具有实际应用意义的数学，它的研究对象广泛，包括建筑、工程、艺术等诸多领域。
本文将对高中数学平面几何知识点进行总结。
一、基本概念1. 点：空间中没有大小和形状的基本对象，用大写字母表示。
2. 直线：由无数个点组成的、没有宽度和厚度的对象，用小写字母表示，或用两个点表示。
3. 射线：起点为一个确定的点，沿着一定方向无限延伸出去的对象，用一个点表示。
4. 线段：有两个端点的、有限长的直线部分，用两个点表示。
5. 角：由两条射线公共端点组成的图形，用大写字母表示公共端点，用小写字母表示两条射线，或用符号“∠”表示。
6. 垂线：与另一直线或平面垂直的直线。
二、图形的性质1. 三角形：三条边和三个角，有三个顶点的图形。
2. 直角三角形：其中一个角是90度的三角形。
3. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
4. 等边三角形：三边长度都相等的三角形。
5. 相似三角形：三角形的对应角相等，对应边成比例。
6. 平行四边形：具有两组对边平行的四边形。
7. 矩形：具有四个直角的平行四边形。
8. 正方形：具有四个直角和四边相等的矩形。
9. 梯形：具有一组对边平行的四边形。
三、角的性质1. 垂角：两条互相垂直的直线所形成的角。
2. 对顶角：两条直线交叉而形成的相对角。
3. 同位角：两条平行线与一条直线相交所形成的对应角。
4. 内角和定理：任意$n$边形的内角和为$(n-2)\times 180^\circ$。
5. 外角和定理：任意凸$n$边形的外角和为$360^\circ$。
四、圆的性质1. 圆：平面上所有到圆心距离相等的点所组成的图形。
2. 圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
3. 切线：与圆相切的直线。
4. 弦：连接圆上两点的线段。
5. 弧：圆上两点之间的一段曲线。
6. 弧长公式：弧长等于圆周率$\pi$乘以弧所对圆心角的度数再除以180度。
平面几何知识点归纳 高中
平面几何知识点归纳高中高中平面几何知识点归纳平面几何是数学中的一门基础学科，它研究的是平面上的点、线、角、面等几何图形及其性质和相互关系。
在高中阶段，平面几何是数学课程的重要组成部分，它包含了许多重要的知识点。
下面将对高中平面几何的知识点进行归纳和总结。
1. 点、线、面的基本概念在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状。
线是由无数个点连在一起形成的，它没有宽度和厚度。
面是由无数个线连在一起形成的，它有长度和宽度。
在平面几何中，点、线和面是最基本的图形，其他的图形都是由它们组成的。
2. 直线和射线的性质直线是由无数个点连在一起形成的，它没有起点和终点。
射线是由一个起点和一个方向确定的，它有一个起点但没有终点。
直线上的任意两点可以确定一条直线，而射线上的任意两点可以确定一条射线。
直线和射线的性质包括平行、垂直和夹角等。
3. 角的概念和性质角是由两条射线共享一个端点形成的，它是用来度量两条射线之间的旋转程度。
角的度量单位是度或弧度。
角的性质包括角的大小、角的类型（锐角、直角、钝角）以及角的和等于360度等。
4. 三角形的性质三角形是由三条线段组成的闭合图形，它是平面几何中最基本的多边形。
三角形的性质包括内角和为180度、三边的关系（边长关系、角度关系）、三角形的分类（等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）等。
5. 直角三角形的勾股定理和正弦定理、余弦定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度）。
直角三角形的勾股定理是一个重要的几何定理，它描述了直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
正弦定理和余弦定理是用来求解任意三角形的边长和角度的重要公式。
6. 平行线和平行四边形的性质平行线是在同一个平面内永远不相交的直线，它们的斜率相等。
平行四边形是具有两对平行边的四边形。
平行线和平行四边形的性质包括平行线的判定条件、平行四边形的性质（对边平等、对角线互相平分）等。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学的重要组成部分，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法研究几何图形的性质。
下面我们来详细总结一下这部分的重要知识点。
一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)，倾斜角α的正切值叫做直线的斜率，记为 k ＝tanα。
当倾斜角为 90°时，直线的斜率不存在。
2、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中(x₁, y₁)，（x₂, y₂)是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）3、两条直线的位置关系（1）平行：两条直线斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂。
（2）垂直：两条直线斜率的乘积为－1，即 k₁k₂＝－1（当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时也垂直）。
4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程（1）标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
（2）一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为(D/2, E/2)，半径 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 22、直线与圆的位置关系（1）相交：圆心到直线的距离小于半径，d ＜ r。
高中数学联赛平面几何基础知识
CF FA
1．
因为 AD BE CF 1，所以有 AD AD/ ．由于点 D、D/都在线段 AB 上，所以点 D 与
DB EC FA
DB D/ B
D/重合．即得 D、E、F 三点共线．
注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．
四、托勒密定理
5．托勒密定理及其证明
4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在 ABC 的边 AB、BC 上各有一点 D、E，在边
AC 的延长线上有一点 F，若 AD BE CF 1， DB EC FA
那么，D、E、F 三点共线．
证明：设直线 EF 交 AB 于点 D/，则据梅涅劳斯定理有
AD/ D/ B
BE EC
AD DE ，即 AD BC AC DE ————（1） AC BC
由于 DAE = BAM，所以 DAM = BAE，即 DAC = BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE∽ ACD．即得
AB BE ，即 AB CD AC BE ————（2） AC CD
因此，
A/ B/
A/ D
，
B/C/
C/D ．
AB BD BC BD
可得 A/ B/ B/C / AB A/ D BC C / D . BD
另一方面，
A/C /
A/ D ，即
A/C /
AC A/ D
．
AC CD
CD
AB A/ D BC C/ D AC A/ D
即证 CD C / D AD A/ D ，这是显然的．所以， A/ B/ B/C / A/C / ，即 A/、B/、C/
总结几何的知识点高中
总结几何的知识点高中一、平面几何1. 一次函数直线及方程、直线与圆之间的位置关系。
2. 二次函数抛物线、椭圆、双曲线、双曲函数等图形及其性质、方程解法及绘图。
3. 三角函数基本概念、三角函数的图像和性质、基本三角函数的运算及其应用。
4. 平面向量平面向量的基本概念、平面向量的基本运算、平面向量的数量积和应用。
5. 数列数列的基本概念、等差数列、等比数列、数列的通项公式、数列的和及应用。
6. 统计统计的基本概念、频数分布表、频数分布直方图、频数分布折线图、频数分布的平均数、中位数、众数、范围等。
7. 概率概率的基本概念、概率的性质、事件的概率、互斥事件、对立事件、相关事件、独立事件等。
8. 空间几何直线与平面的位置关系、空间中平行线的判定、空间中垂直平面的判断。
二、立体几何1. 空间图形立体图形的基本概念、长方体、正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱台、棱锥等图形的性质和计算。
2. 空间坐标空间直角坐标系与三维坐标系、点在空间中的坐标、直线和平面的方程。
3. 空间向量空间向量的基本概念、空间向量的基本运算、数量积和向量积及其应用。
4. 空间中的位置关系点与直线的位置关系、点与平面的位置关系、直线与平面的位置关系。
5. 空间中的运动关系空间中向量的平移、旋转、镜像、推移等空间运动。
以上是高中几何知识点的总结，学生们在学习几何时，要注重掌握每一个知识点的基本概念和性质，同时要注重运用数学知识解决实际问题。
几何不仅是一门美妙的学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
通过系统的学习和不断的练习，相信学生们一定能够轻松掌握高中几何知识，提高自己的数学水平。
高中数学竞赛中平面几何涉及的定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
高中平面几何知识总结
平面几何1.三角形①平行线定理：三条平行线截两条直线，截得对应线段成比例。
②三角形全等：三边对应相等的三角形。
(SSS边边边)两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
(SAS边角边)两角及其夹边对应相等的三角形全等。
(ASA角边角)两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
(AAS角角边)在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
(HL斜边直角边) ③三角形相似：两角对应相等，两个三角形相似。
(AA)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
(SAS)三边对应成比例，两个三角形相似。
(SSS)三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
(HL)全等三角形相似。
④三角形定理：三角形内角平分线定理：三角形内角平分线对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。
直角三角形的摄影定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项。
2.圆①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线经过切点。
推论2 经过圆心且垂直于切线的直线经过圆心。
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等。
③弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它锁夹弧的度数的一半。
④切割线定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个焦点的线段长的比例中项。
推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积。
⑤相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
⑥圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
高中数学平面几何与立体几何知识点总结
高中数学平面几何与立体几何知识点总结高中数学中的平面几何和立体几何是重要的数学分支，涉及到许多基本概念和定理。
本文将对这些知识点进行总结，帮助读者系统地掌握相关内容。
一、平面几何知识点1. 点、线、面的基本概念- 点是平面几何的基本要素，没有大小和形状，只有位置。
- 线是由无数个点连在一起形成的，没有宽度和厚度。
- 面是由无数个线段连接在一起形成的，具有长度和宽度。
2. 角和三角形的性质- 角是由两条射线共享一个端点而形成的，可以用度数或弧度来度量。
- 三角形是由三条线段连接在一起形成的，具有三个顶点和三条边。
- 三角形的内角和为180度，外角和为360度。
- 三角形的分类：根据边长和角度的关系，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
3. 圆的性质和相关定理- 圆是由到圆心距离相等的所有点组成的。
- 圆的半径是从圆心到任意一点的距离。
- 圆的直径是通过圆心的两个点所确定的线段，是半径的两倍。
- 切线是与圆相切且垂直于半径的直线。
- 弧是由圆上的两个点所确定的部分，圆心角是以圆心为顶点的角。
- 弧长是弧所对应的圆周的长度，弧度制用于度量弧长。
- 相关定理：相交弦定理、弦切角定理、割截定理等。
4. 平行和垂直线的判定- 平行线是在同一个平面内，永远不相交的线。
- 垂直线是相交于一个点且形成90度角的线。
- 平行线的判定：包括同位角相等定理、夹公理、平行线判定定理等。
- 垂直线的判定：包括垂直线判定定理、直角定理等。
二、立体几何知识点1. 空间几何体的性质- 球体：具有球心和半径，包括表面积和体积的计算方法。
- 圆柱体：具有两个底面和一个侧面，包括侧面积和体积的计算方法。
- 圆锥体：具有一个底面和一个侧面，包括侧面积和体积的计算方法。
- 正方体/长方体：具有六个面，包括表面积和体积的计算方法。
2. 立体几何的投影- 正投影：垂直于投影面的投影，可以用于求解物体的实际大小。
- 斜投影：非垂直于投影面的投影，常用于绘制透视图。
高中数学平面几何考点全面梳理
高中数学平面几何考点全面梳理平面几何是高中数学的重要组成部分，它不仅是数学知识体系中的基础，也是培养逻辑思维和空间想象能力的重要途径。
下面我们就来对高中数学平面几何的考点进行一次全面梳理。
一、直线与方程直线是平面几何中最基本的图形之一。
在这部分，我们需要掌握直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。
倾斜角是直线与 x 轴正方向的夹角，取值范围是0, π)。
斜率则是倾斜角的正切值，用 k 表示。
直线的方程有多种形式，如点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式。
点斜式是 y y₁＝ k(x x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k 是斜率。
斜截式是 y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
两直线的位置关系也是重要考点，包括平行和垂直。
若两条直线斜率都存在，平行时斜率相等；垂直时斜率之积为－1。
二、圆与方程圆是平面几何中的常见图形。
圆的标准方程是（x a)²＋（y b)²＝r²，其中(a, b)是圆心坐标，r 是半径。
圆的一般方程是 x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，需要通过配方将其化为标准方程，然后确定圆心和半径。
直线与圆的位置关系是常考内容，通过比较圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断。
d ＞ r 时，相离；d ＝ r 时，相切；d ＜ r 时，相交。
圆与圆的位置关系则通过比较两圆的圆心距与两圆半径之和、之差的大小来确定。
三、三角形三角形是平面几何中的核心图形。
三角形的内角和为 180°，外角等于不相邻的两个内角之和。
三角形的边长关系满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
在解三角形中，正弦定理和余弦定理是重要工具。
正弦定理：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）；余弦定理：＼（a²＝ b²＋ c² 2bc\cos A\），＼（b²＝ a²＋ c²2ac\cos B\），＼（c²＝ a²＋ b² 2ab\cos C\）。
平面几何知识点总结大全
平面几何知识点总结大全一、基本图形。
1. 点。
- 点是平面几何中最基本的元素，没有大小、长度、宽度或厚度。
它通常用一个大写字母表示，如点A。
2. 线。
- 直线。
- 直线没有端点，可以向两端无限延伸。
直线可以用直线上的两个点表示，如直线AB；也可以用一个小写字母表示，如直线l。
- 经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。
- 射线。
- 射线有一个端点，它可以向一端无限延伸。
射线用表示端点的字母和射线上另一点的字母表示，端点字母写在前面，如射线OA。
- 线段。
- 线段有两个端点，有确定的长度。
线段用表示两个端点的字母表示，如线段AB；也可以用一个小写字母表示，如线段a。
- 两点之间，线段最短。
3. 角。
- 由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角通常用三个大写字母表示（顶点字母写在中间），如∠AOB；也可以用一个大写字母表示（这个大写字母表示顶点，且以这个顶点为顶点的角只有一个时），如∠ O；还可以用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α。
- 角的度量单位是度、分、秒，1^∘=60'，1' = 60''。
- 角的分类：- 锐角：大于0^∘而小于90^∘的角。
- 直角：等于90^∘的角。
- 钝角：大于90^∘而小于180^∘的角。
- 平角：等于180^∘的角。
- 周角：等于360^∘的角。
二、相交线与平行线。
1. 相交线。
- 对顶角。
- 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
对顶角相等。
- 邻补角。
- 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角互补，即和为180^∘。
- 垂直。
- 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)
HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN
1 2
AM
AD sin
1 2
AD
AN sin(
)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE
AB
A'
F
=
1 2
s
in
A
EF
A
C
A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
1、相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.);(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似;(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.常见模型：相似三角形的性质:（1）相似三角形对应角相等（2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比（3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比（4）相似三角形的周长比等于相似比（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方2、内、外角平分线定理及其逆定理内角平分线定理及其逆定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
如图所示，若AM平分∠BAC，则该命题有逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线外角平分线定理：三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。
如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点，且满足则AD 是∠A的外角的平分线内外角平分线定理相结合：如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠CAE，则3、射影定理在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD²=AD·CDAB²=AC·ADBC²=CD·AC对于一般三角形：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA4、旋转相似当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE5、张角定理在△ABC中D为BC边上一点，则sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圆内有关角度的定理圆周角定理及其推论：（1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等（3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径（4）圆内接四边形对角互补（5）圆内接四边形的外角等于其内对角弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
高中数学知识点总结平面几何基础
高中数学知识点总结平面几何基础平面几何是高中数学学科中的重要内容之一，它是研究平面上的点、线、角以及相关性质的数学学科。
在平面几何中，有许多重要的知识点需要我们掌握和理解。
本文将对高中数学平面几何基础知识进行总结，以帮助同学们更好地学习和应用这些知识。
1. 点、线、面和角的基本概念在平面几何中，点是最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
线是由点组成的，具有长度但没有宽度。
面是由线所围成的区域，它有长度和宽度但没有高度。
角是由两条线相交所形成的两个半平面之间的部分。
熟悉这些基本概念对于理解平面几何的其他内容非常重要。
2. 一次函数和二次函数的图像特征一次函数是指函数的最高次幂为1的函数，它的图像是一条直线。
一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度，而截距则代表了直线与坐标轴的交点位置。
二次函数是指函数的最高次幂为2的函数，它的图像是一条抛物线。
二次函数的开口方向、顶点坐标以及轴对称等特征决定了其图像的形状。
3. 直线与角的性质直线上的角有很多重要性质。
同位角是指两条直线被一条直线所切割所形成的两组内角，它们的和为180度。
对顶角是指两条直线相交所形成的具有相同顶点的两对角，它们的度数相等。
同角相等是指对应的角在形状相似的图形中具有相同的度数。
4. 平行线与垂线的判定平行线是指永远不会相交的两条直线，它们之间的夹角为0度。
平行线的判定有多种方法，如同位角相等法、对顶角相等法、截线法等。
垂线是指与另一条线段相交成90度角的线段，垂线的判定通常使用垂直于已知线段的线段或直线来完成。
5. 圆的性质和相关定理圆是指平面上由与一个定点的所有点之间的距离相等的点所组成的图形。
圆的性质包括半径、直径、弧、弧度等。
圆的相关定理有很多，如切线与半径垂直、相交弧的度数之和等。
总结：高中数学平面几何基础知识的掌握对于我们理解和应用更高级的几何内容至关重要。
本文介绍了平面几何中的点、线、面和角的基本概念，一次函数和二次函数的图像特征，直线与角的性质，平行线与垂线的判定，以及圆的性质和相关定理。
高中数学平面几何知识点归纳
高中数学平面几何知识点归纳
平面几何是高中数学中的一门重要分支，包含了许多基本概念
和定理。
以下是一些常见的平面几何知识点的归纳：
1. 点、线、平面：
- 点是没有大小和形状的，用来表示空间中的位置。
- 线由一系列的点组成，可以是直线或曲线。
- 平面是由无数个点和无限个直线组成的，平面是没有厚度的。
2. 角：
- 角是由两条射线共享一个端点而形成的，端点称为顶点。
- 角根据大小可以分为钝角、直角、锐角。
- 相对于同一直线的两个角称为邻角，它们的和等于180度。
3. 三角形：
- 三角形是由三条线段组成的图形。
- 三角形根据边长和角度可以分为等边三角形、等腰三角形、
直角三角形等。
4. 圆：
- 圆是由平面上的所有离一个固定点等距离的点组成的。
- 圆的关键属性包括半径、直径和圆心。
5. 平行与垂直：
- 两条直线如果永远不相交，则它们是平行的。
- 两条直线如果相交时形成的角度为90度，则它们是垂直的。
6. 同位角和内错角：
- 同位角是指两条平行线被一条交叉线切割所形成的对应角。
- 内错角是指两条平行线被一条交叉线切割所形成的相互交错的角。
7. 勾股定理：
- 勾股定理是三角形中件三边的关系定理，它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
以上是高中数学平面几何的一些基本知识点，通过掌握这些知识，可以更好地理解和解决与平面几何相关的问题。
高中数学竞赛——平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a −+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD ACCD AB −=−⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===−−−=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222−+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE −==−==−==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠−︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠−︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr −−−==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF −=∆∆．。
高中数学平面几何知识点总结
高中数学平面几何知识点总结一、平面几何基本概念在高中数学中，平面几何是一门重要的学科，它研究了平面上的点、线和形状等几何概念。
以下是一些平面几何中的基本概念：1. 点：在平面几何中，点是最基本的概念，它是没有大小和形状的。
点通常用大写字母表示，例如A、B等。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度。
直线通常用大写字母表示，例如AB。
3. 射线：射线是由一个点和此点的延伸部分组成的，它只有一个端点。
射线通常用小写字母表示，例如ab。
4. 线段：线段是由两个端点和连接这两个端点的部分组成的。
线段通常用两个字母表示，例如AB。
5. 角：角是由两条射线共享一个端点所组成的，可用度或弧度来度量。
角通常用大写字母表示，例如∠ABC。
6. 平行线：平行线是指在同一个平面上不相交且永不相交的直线。
二、平面几何基本定理平面几何中有一些重要的定理和定律。
下面是其中的一些：1. 垂直定理：垂直定理指出如果两条线段互相垂直，则它们的斜率乘积为-1。
2. 三角形内角和定理：三角形内角和定理指出三角形的三个内角和等于180度。
3. 平行线定理：平行线定理指出如果两条平行线被一条横截线相交，则所成的对应角相等。
4. 相交直线定理：相交直线定理指出如果两条直线相交，则所成的对应角相等。
5. 同旁内角定理：同旁内角定理指出如果两条平行线被一条横截线相交，则所成的同旁内角相等。
6. 直线分割平行线段定理：直线分割平行线段定理指出如果一条直线通过两条平行线，则它将这两条平行线分割成相似的线段。
三、平面几何图形性质在平面几何中，有很多常见的图形，它们有着特定的性质和定理。
1. 点、线、面：点是最简单的图形，线是由点构成的，面是由线构成的。
2. 三角形：三角形是由三条线段组成的图形，它有很多重要的性质和定理，如三角形的内角和为180度、三角形的外角等。
3. 四边形：四边形是由四条线段组成的图形，它包括矩形、正方形、菱形、平行四边形等。
2023高中数学竞赛知识点梳理
2023高中数学竞赛知识点梳理
一. 整数与有理数
1. 整数的概念
2. 整数的运算法则
3. 整数的绝对值与相反数
4. 有理数的概念
5. 有理数的四则运算
6. 有理数的比较大小
二. 直线与平面几何
1. 直线的性质与分类
2. 直线的方程
3. 平面的性质与分类
4. 平面的方程
5. 直线与平面的位置关系
三. 函数与方程
1. 函数的定义与性质
2. 一元一次方程与一元一次不等式
3. 一元二次方程与一元二次不等式
4. 指数与对数函数
5. 三角函数
四. 图形的性质与变化
1. 几何图形的性质与分类
2. 三角形的性质与分类
3. 四边形的性质与分类
4. 圆的性质
5. 图形的相似与全等变换
五. 概率与统计
1. 随机事件与概率的基本概念
2. 事件的运算与概率的计算
3. 统计的基本概念与方法
4. 数据的整理与分析
5. 抽样与推断
六. 三角函数与解三角形
1. 三角函数的定义与性质
2. 三角函数的图像与单调性
3. 三角方程与三角恒等式
4. 解三角形的基本方法与应用
七. 进阶数学知识
1. 数列与数列的通项公式
2. 极限与连续性
3. 导数与微分
4. 积分与定积分
5. 向量与解析几何
以上是2023高中数学竞赛的基本知识点梳理，希望能帮助你更好地准备竞赛。
祝你取得优异成绩！。
高三数学平面几何知识点
高三数学平面几何知识点一、平面几何的基本概念平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面内点、直线、角等几何要素之间的关系与性质。
在高三数学学习中，掌握平面几何的基本概念是非常重要的。
1.1 点、直线和面在平面几何中，点是一个基本的概念，用来表示位置。
直线由无数个点组成，没有宽度和厚度，可以延伸到无穷远。
而面是由无数个点构成的，有长度和宽度。
1.2 角和三角形角是由两条射线共用一个起点所夹成的一部分平面。
常见的角有直角、锐角和钝角。
三角形是由三条线段组成的，三个角的和为180度。
1.3 平行和垂直两条直线平行表示它们在同一平面中永不相交。
两条直线垂直表示它们相交形成的角为90度。
二、平面几何中的重要定理和公式在高三数学学习中，平面几何有许多重要的定理和公式，以下为其中的一部分。
2.1 直线的性质①直线上两点确定一条直线；②直线上任意三点不共线；③两条直线相交于一点，恰有一条直线垂直于交线所确定的两个角互补。
2.2 角的性质①同位角相等；②顶角相等，对顶角相等；③两条直线平行，对顶角互补；④两直线交于一点，邻补角互补。
2.3 三角形的性质①三角形的内角和为180度；②三角形的外角等于不相邻内角之和；③等腰三角形的底角相等；④三角形的任意两边之和大于第三边。
2.4 直角三角形的性质①直角三角形的两条直角边上的高相等；②毕达哥拉斯定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
三、平面几何的应用平面几何是一个很实用的数学工具，在日常生活和工作中都有广泛的应用。
3.1 三角形的应用在土木工程中，三角形的性质被广泛使用，例如测量高楼的高度，计算斜坡的角度等。
3.2 圆的应用圆的性质和计算方法在建筑、设计和艺术等领域中得到广泛应用。
例如，在设计中使用圆形雕塑或装饰物，或者通过计算圆的半径和面积来设计园林。
3.3 平行和垂直的应用在建筑和设计中，平行和垂直的概念用于确定建筑物的结构和方向。
3.4 直线的应用直线的概念和性质被广泛应用于绘图和设计领域。
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高中数学竞赛平面几何知识点基础1、相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.);(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似;(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.常见模型：相似三角形的性质:（1）相似三角形对应角相等（2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比（3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比（4）相似三角形的周长比等于相似比（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方2、、外角平分线定理及其逆定理角平分线定理及其逆定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
如图所示，若AM平分∠BAC，则该命题有逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线外角平分线定理：三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的角的两边成比例。
如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点，且满足则AD是∠A的外角的平分线外角平分线定理相结合：如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠CAE，则3、射影定理在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD²=AD·CDAB²=AC·ADBC²=CD·AC对于一般三角形：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA4、旋转相似当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE5、角定理在△ABC中D为BC边上一点，则sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圆有关角度的定理圆周角定理及其推论：（1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等（3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径（4）圆接四边形对角互补（5）圆接四边形的外角等于其对角弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
其大小等于它所夹的弧所对的圆周角。
其顶点在圆上。
弦切角一条边与圆周相交，另一条边与圆相切，切点在圆周上。
7、托勒密定理与托勒密不等式托勒密定理圆的接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积如图所示，四边形ABCD为圆接四边形，则AC·BD=AB·CD+AD·BC托勒密不等式任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当且仅当A、B、C、D四点共圆时取等号8、切线长定理与圆幂定理切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB = AC相交弦定理相交弦定理是指圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等如图所示，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则有AP·BP=CP·DP相交弦定理与切割线定理、割线定理统称为圆幂定理切割线定理、割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（割线定理）如图所示，PT切圆于T，PDC、PBA为两条割线，则有PA·PB=PC·PD=PT²9、四点共圆方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法 2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其对角，那么这四点共圆）方法3：引入第五点，证明第五点与四个点中任意三点共圆，再另外一组三点，证明它们与第五个点四点共圆，则得到这五点共圆，也就是这原四点共圆方法4：证明这四个点到某一定点的距离相等得到四点共圆后，可以利用圆周角定理及其推论、圆幂定理、托勒密定理等性质遇到有关边的条件，可以联想圆幂定理，从而得到相似三角形，将其转化为角度的条件10、西姆松定理及其逆定理西姆松定理是一个平面几何定理。
其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
如图所示，P为△ABC外接圆上一点，过点P分别作AB，AC，BC，垂足分别为F、E、D，则D、E、F三点共线。
西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
11、圆幂与根轴圆幂假设平面上有一⊙O，其半径为R，有一点P在圆O外，过P任作一直线与⊙O 交于点A、B，即为P到⊙O的幂，数值为OP²-R²；如下图所示，则== OP²-R²圆的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
根轴与根心在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴，或者称作等幂轴。
平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；若两圆相切，则两圆的根轴为它们的公切线；若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。
从而，根轴必过四条公切线的中点。
蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行；12、梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理当一条直线交△ABC三边所在的直线BC、AC、AB分别于点D，E，F时，则有梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯逆定理是若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
13、塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理塞瓦定理是指在△ABC任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则赛瓦定理的逆定理在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果，那么直线AD，BE，CF相交于同一点。
14、角元形式的塞瓦定理及其逆定理角元形式的塞瓦定理设P为平面上一点(不在AB、BC、AC三条直线上)，延长AP、BP、CP分别交对边或其延长线于D、E、F三点，那么角元形式的塞瓦定理的逆定理在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果，那么直线AD，BE，CF相交于同一点。
15、密克尔点三圆定理：设三个圆C1，C2，C3交于一点O，而M，N，P分别是C1和C2，C2和C3，C3和C1的另一交点。
设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。
那么B,N , C这三点共线三圆逆定理：如果△ABC是三角形，M，N，P三点分别在边AB，BC，CA上，那么△AMP，△BMN，△CNP的外接圆交于一点O四圆定理：设C1，C2，C3，C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。
那么A1，A2，A3，A4四点共圆当且仅当B1，B2，B3，B4四点共圆五圆定理:设ABCDE为任意五边形，五点F，G，H，I，J分别是EA和BC，AB和CD，BC和DE，CD和EA，DE和AB的交点，那么三角形△ABF，△BCG，△CDH，△DEI，△EAJ的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。
五圆逆定理：设C1，C2，C3，C4，C5五个圆的圆心都在圆C上，相邻的圆交于C上，那么把它们不在C上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。
16、笛沙格定理及其逆定理笛沙格定理，即同调三角形定理。
平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
其逆定理为，若两个三角形对应边的交点在同一条直线上，则对应点的连线交于一点。
17、位似及其性质已知两个几何图形A和A'，若二者之间存在一个一一对应，且每一双对应点P和P'都与一定点O共线，同时OP/OP'=k（k>0是常数），则称A和A'位似，而点O叫做位似中心，k是位似比。
位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。
位似图形对应边平行，对应点的连线交于一点，这一点是位似中心。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。
把一个几何图形变换成与之位似的图形，叫做位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换，位似中心为光心. 位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题.特别地，两个不重合的圆总是位似的，位似中心为两圆外公切线或公切线的交点。
18、垂心及其性质三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形的垂心在三角形；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
如图所示，H为锐角三角形ABC的垂心，则常用结论有：①△ABH的垂心为C，△ACH的垂心为B，△BCH的垂心为A，此时我们成A、B、C、H为“垂心四点组”，即在这四个点中，任意三个点组成的三角形的垂心恰是第四个点②∠ABH=∠ACH=-∠BAC，∠BHC=π-∠BAC③AH=2RcosA，DH=2RcosBcosC④H关于BC、AC、AB的对称点H₁，H₂，H₃都在△ABH的外接圆上⑤垂心关于三边中点的对称点也在该三角形外接圆上19、重心定理三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。