高中数学竞赛讲座 08几何变换

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几何变换与不变性

变换与不变性的应用场景
图形设计：通过几何变换实现创意设计，保持图形的不变性以保持美观。
机器人定位：通过几何变换实现机器人定位，利用不变性确保定位精度。
自动驾驶：通过几何变换实现车辆的自主导航，利用不变性确保行驶安全。虚拟现实：通过几何变换实现虚拟场景的生成，利用不变性保证虚拟场景的真实感。
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变换公式：通过矩阵乘法实现几何变换，变换前后的坐标关系可以表示为一个线性方程组。
变换类型：平移、旋转、缩放等几何变换都可以用矩阵表示，不同变换类型的矩阵具有不同的形式。
不变性：在几何变换过程中，一些性质保持不变，如距离、角度等，这些不变性质可以通过特定的矩阵表示。
变换的性质
变换的定义：将图形从一个位置或方向移动到另一个位置或方向的过程变换的分类：平移、旋转、缩放、镜像等
三维重建：利用多视角图像中的不变性特征，进行三维场景的重建，获取物体的形状和空间位置信息。
机器学习与人工智能
几何不变性在机器学习中的重要性，如特征提取、图像识别等
人工智能领域中几何不变性的应用，如自动驾驶、机器人导航等
深度学习如何利用几何不变性进行模型训练和优化
几何不变性在增强学习中的应用，如策略优化、决策制定等
变换的性质：保持图形之间的相对位置和形状不变
变换的应用：在几何学、物理学、工程学等领域中广泛使用
02
几何不变性的概念
定义与分类
几何不变性的定义：指图形经过变换后，其形状和大小保持不变的性质。分类：根据变换方式的不同，几何不变性可以分为仿射不变性和相似不变性。仿射不变性：图形经过仿射变换后，其形状和大小保持不变，但方向和角度可能发生变化。相似不变性：图形经过相似变换后，其形状和大小保持不变，方向和角度也不发生变化。

几何变换的性质与应用

几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。

几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。

一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。

平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。

例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。

（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。

这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。

旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。

例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。

（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。

这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。

3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。

翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。

例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。

（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。

这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。

二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。

1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。

通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。

例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。

2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。

例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。

数学奥赛平面几何

《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。

5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。

（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。

高中解析几何知识点

高中解析几何知识点几何是数学里的一个重要概念，它用于描述和分析物体形状、大小、空间变化和构成之间的关系。

以下是高中的几何知识点：一、几何变换几何变换是几何学中的重要概念，它指的是将一个物体变换为另一个物体的数学过程。

几何变换可以分为平移、旋转、缩放和镜像。

1、平移：平移又称平移变换，指的是把物体从一个位置移动到另一个位置的变换，其主要特征是保持物体的形状和大小不变。

2、旋转：旋转又称旋转变换，指把物体沿某一轴线（中心轴）顺时针或逆时针方向旋转一定角度的变换。

3、缩放：缩放又称缩放变换，指的是以某一点为原点，把物体沿着某一方向大小缩放的变换。

4、镜像：镜像又称对称变换，指以某一条对称轴为轴心，把物体以这条轴对称的变换。

二、平面图形平面图形是指在平面上的图形，也就是说，这些图形的点的集合都在同一个平面上。

平面图形可以分为点、直线、圆和多边形。

1、点：点是位于平面上的某一个位置，每一个点都有它特定的坐标，这些坐标可以用来定义它的位置。

2、直线：直线是指在平面上两点之间的连线，即连贯的点之间的线段。

3、圆：圆是指平面上一线段的终点经过一定半径长度所围成的圆形图形。

4、多边形：多边形是指由一条或多条直线构成的几何图形，它是由若干点构成的封闭空间图形，多边形最少为三角形，最多为正多边形。

三、立体图形立体图形也叫“立体几何”，它是在三维空间中描述和分析物体体积、大小和空间变化的科学。

立体图形可以分为正多面体、圆柱体、圆锥体和几何体。

1、正多面体：正多面体是一种五边以上的多面体，它由一个正方形和多个三角形相组合而成。

2、圆柱体：圆柱体是由一个圆的底面和高的空心柱子组成的几何体，它可以分为侧面圆柱体和上下面圆柱体。

3、圆锥体：圆锥体是由圆的底面和另一端的圆弧组成的几何体，它的形状像杯子一样，也叫“尖圆锥”或“圆台”。

4、几何体：几何体指形状有一定规则的三维物体，它有一个或多个空间坐标，分别可以表示它在空间中的特征。

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学解析几何与几何变换

高中数学解析几何与几何变换高中数学是学生们在数学学科中的一个重要环节，解析几何与几何变换作为数学的一个分支，是高中数学复习中的重点内容之一。

本文将从解析几何的基本概念、几何变换的类型以及解析几何与几何变换的应用等方面进行详细介绍。

一、解析几何的基本概念解析几何是通过运用代数的方法研究几何问题的一门学科。

它将几何问题转化为代数问题，利用坐标系进行分析与研究。

在解析几何中，平面直角坐标系和空间直角坐标系是常用的坐标系，它们分别对应二维和三维空间。

1. 平面直角坐标系平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴构成，用来描述平面内的点的位置。

其中，水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。

一个平面点的位置可以由它在x轴和y轴上的坐标确定。

2. 空间直角坐标系空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，用来描述空间中物体的位置。

其中，水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴，垂直于平面的坐标轴称为z轴。

一个空间点的位置可以由它在x轴、y轴和z轴上的坐标确定。

二、几何变换的类型几何变换是指在平面或空间中，根据一定的规则对图形或物体进行变换的方法。

常见的几何变换包括平移、旋转、对称和放缩等。

1. 平移平移是指保持图形形状不变，仅仅改变图形位置的变换。

在平面中，平移可以沿着x轴平移、沿着y轴平移或者沿着任意方向平移。

在空间中，同样可以沿着坐标轴进行平移变换。

2. 旋转旋转是指以一个固定的点为中心，围绕这个点旋转一定角度，保持图形形状和大小不变的变换。

在平面直角坐标系中，旋转可以沿着原点旋转或者沿着其他点进行旋转。

在空间直角坐标系中，同样可以围绕某一点进行旋转。

3. 对称对称是指图形通过某一直线、平面或点作为轴进行镜像变换的方法。

常见的对称包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。

在空间中，对称也可以围绕平面进行。

4. 放缩放缩是指通过改变图形的大小而不改变形状的变换方法。

放缩可以放大或缩小图形，放缩的比例可以是实数。

数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极，调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且。求证： 2EF=DE+DC。（10081902.gsp）
2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。（10092401-1. gsp）
（09022301.gsp）
31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于 P，设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证： OM⊥MP。（10091001.gsp）
32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。（10092103-2.gsp）
实用标准文档高中平面几何学习要点几何问题的转化ptolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与miquel垂足三角形与等角共轭反演与配极调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1
高中平面几何
学习要点
几何问题的转化
叶中豪圆幂与根轴Biblioteka P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC 于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）
54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上

几何形的变换

几何形的变换几何形的变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，使得原有的几何形状发生变化。

这些变换可以用来探索几何美学、解决几何问题以及创造出各种奇妙的图案。

一、平移变换平移变换是指将几何形状沿着一个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。

在平面几何中，平移只有一个参数，即平移向量的大小和方向。

平移变换可以用于构造对称图形，移动点的位置以及改变空间内的物体位置。

例如，我们可以通过平移变换在平面上构造一个正方形。

首先，选择一个点作为正方形的顶点，将这个点平移到正方形的另一个顶点位置，然后将这个新位置的点再次平移，如此重复直到构成正方形的四个顶点。

二、旋转变换旋转变换是指绕一个固定点按照一定的角度将几何形状旋转。

旋转变换可以是顺时针或逆时针方向，可以是一个完整的圆周旋转，也可以是一个部分角度的旋转。

旋转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及在计算机图形学中进行三维模型的旋转操作。

例如，在制作花纹图案时，可以通过旋转一个花朵的形状重复堆叠得到整个图案。

三、翻转变换翻转变换是指将几何形状绕一个固定的线对称翻转，使得形状按照对称轴左右对称。

翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种形式。

翻转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及进行三维模型的对称操作。

例如，在制作字母、数字或者其他具有对称特点的图形时，可以通过水平或垂直翻转得到完整的图形。

四、放缩变换放缩变换是指按照一定的比例因子调整几何形状的大小。

放缩变换可以是增大或缩小形状的尺寸，比例因子可以是一个常数或者一个向量。

放缩变换常用于调整图像的大小、制作图形的透视效果以及在几何问题中进行比例关系的推导。

例如，在绘制地图时，可以通过放缩变换将地球的三维形状映射到平面上，从而得到精确的地理信息。

综上所述，几何形的变换是通过平移、旋转、翻转和放缩等操作使得形状发生变化的过程。

这些变换可以应用于各个领域，包括几何美学、几何问题的解决以及计算机图形学等。

通过灵活运用几何形的变换，我们能够创造出丰富多样的图案和形状，带来视觉上的享受和数学上的挑战。

基本的几何变换

基本的几何变换几何变换是数学中一个重要的概念，指的是通过平移、旋转、缩放等操作来改变几何图形的形状、大小或位置。

在计算机图形学和计算机视觉领域，几何变换也扮演着至关重要的角色。

本文将介绍几个基本的几何变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。

1. 平移在几何变换中，平移是指通过将图形沿着指定的方向移动一定的距离来改变图形的位置。

平移操作可以用以下公式表示：x' = x + dxy' = y + dy其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是平移后的坐标，dx和dy 分别是在x和y方向上的平移量。

2. 旋转旋转是指通过围绕一个指定的点或轴旋转图形来改变图形的方向或角度。

旋转操作可以用以下公式表示：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是旋转后的坐标，θ表示旋转的角度。

3. 缩放缩放是指通过改变图形的尺寸来改变图形的大小。

缩放操作可以用以下公式表示：x' = x * scaleXy' = y * scaleY其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是缩放后的坐标，scaleX和scaleY分别表示在x和y方向上的缩放比例。

4. 镜像镜像是指通过将图形沿着一个轴对称折叠来改变图形的位置或方向。

镜像操作可以用以下公式表示：x' = -xy' = -y其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是镜像后的坐标。

这些基本的几何变换可以单独应用于图形，也可以组合在一起以实现更复杂的效果。

通过灵活组合这些变换操作，我们可以实现各种各样的几何变换，用于图像处理、游戏开发、计算机辅助设计等领域。

总结几何变换是一种重要的数学概念，可以通过平移、旋转、缩放和镜像等操作来改变几何图形的形状、大小和位置。

高中数学图形变换的规则及应用策略

高中数学图形变换的规则及应用策略在高中数学中，图形变换是一个重要的内容，它涉及到几何图形的平移、旋转、翻转和放缩等操作。

掌握图形变换的规则和应用策略，不仅可以帮助我们更好地理解几何概念，还能够在解题时提供有效的思路和方法。

本文将以具体的例题为基础，详细介绍高中数学图形变换的规则和应用策略。

一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而形状和大小不变。

在平移变换中，我们需要关注以下几个要点：1. 平移的基本规则：平移变换可以用向量表示。

如果一个点A(x,y)经过平移变换得到点B(x+a,y+b)，则向量→AB=(a,b)。

2. 平移的性质：平移变换不改变图形的面积、周长和形状。

例题1：已知△ABC的顶点A(-2,1)，B(1,3)，C(4,2)，将△ABC沿向量→AB平移，得到△A'B'C'，求A'、B'、C'的坐标。

解析：根据平移的基本规则，向量→AB=(1-(-2), 3-1)=(3,2)。

所以A'的坐标为(-2+3, 1+2)=(1,3)，B'的坐标为(1+3, 3+2)=(4,5)，C'的坐标为(4+3, 2+2)=(7,4)。

因此，△A'B'C'的顶点坐标为A'(1,3)，B'(4,5)，C'(7,4)。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定的角度，而形状和大小不变。

在旋转变换中，我们需要关注以下几个要点：1. 旋转的基本规则：旋转变换可以用矩阵表示。

如果一个点A(x,y)绕点O(a,b)逆时针旋转θ度，旋转后的点为A'(x',y')，则有：x' = (x-a)cosθ - (y-b)sinθ + ay' = (x-a)sinθ + (y-b)c osθ + b2. 旋转的性质：旋转变换不改变图形的面积、周长和形状。

高中数学竞赛平面几何讲座非常详细

第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答：当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC∥＝A D BP QC图1PE D G A B FC图2A N E BQ K G CD M FP 图3两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：AP AB ＋AQAC＝11AN AM ＋22AN AM .证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2.则AP AB ＋AQ AC ＝DECEBE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .所以,APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BCAM BD ·. (2) 由DCAQ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ .所以,∠FDA ＝∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递AP EDM 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFB DC EK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD 2＝221⎪⎭⎫⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .显然,EG ∥CD ∥FH .故CD 平分EF .这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM＝NCME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长线交EF 于G .求证：EG ＝GF .证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF , 可知MN ∥BD .易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB图6AN CDEB M AGD O HBFC E图7图8A DBN C EM图9ABM EF ND CG的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP .显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知∠FOQ ＝∠EOP .由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP .于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP .所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°)3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE AD ＝FBCF.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F .)7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG.O图10(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.A BGCD FE图1ABCDPO 图2又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ .又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD .于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE .从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有A图3BPQDHC A EDCB图4图53＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝AB 2－AN 2,即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示.∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝aa '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .E A NCD B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'C'cb a'c'b'A BCDabb c图9又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD ,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而ACAB＝DE BD ＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)F DAB EC图10图11第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

几何变换讲座翟刚经典例题

C
D A B
数学教研室
当在三角形ABC中，点D是形内一点，AD=BD， CD=CB，且∠CAB=2∠ABC，问此时是否还存在 ∠ACB=∠ACD的关系．
C
D A B
数学教研室
在这个问题中，第一个问题是一个常见的问题，只不过本题中把一个条件和结论兑换了一下．第二个问题是第一个问题的一般化的情况，但是正是这种一般化的情况，使其后求解变的较困难．这时需要我们体会在这其中谁在起关键性作用．本题中存在两个等腰三角形，并且这两个三角形之间没有什么关系，因此，用好这两个三角形就成为解题的关键．
弱化条件
结论变化
条件
逻辑联接词
结论
变更条件
变更
改变结论
数学教研室
弱化条件的情况
A D F B E C B E A D
C
等腰直角三角形ABC 中,AB=AC,BD⊥AE于点 F(交点在三角形内部),
等腰直角三角形ABC 中,AB=AC,BD⊥CD于点D(交点在三角形外部),
数学教研室
变更条件
A D F G E B C B M E A D C O F A D N G
A D
B
C
数学教研室
分析：由于是一个矩形面积化为正方形面积问题，因此我们就称之为不同类型图形的组合问题．同时由于面积可以利用代数式表达，故我们还可以认为是代数几何综合题问题．因为，矩形的边长确定，因此，我们能利用的原始条件只有边．对于边而言在解决这个问题中如何利用，就需要根据题意确定正方形的边长了．
数学教研室
利用这个关系还原正方形
A
E G
B
D
C
F
数学教研室
再例如，正方形 ABCD中,点P是形内一点,若∠PAB=30°, 且AB=AP,问能否确定PB与PC的关系．

高中数学几何变换与坐标系知识点总结

高中数学几何变换与坐标系知识点总结高中数学中，几何变换与坐标系是重要的内容之一。

几何变换包括平移、旋转、对称和放缩，而坐标系则是表示和描述几何图形位置的数学工具。

本文将对这些知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和应用。

一、平移变换平移变换是将几何图形按照一个方向移动一定距离，而图形的形状和大小不发生改变。

在平面几何中，平移变换可以用向量表示。

假设向量AB表示平移的方向和距离，对于平面上的点P(x, y)，它的平移后的位置P'(x', y')可以表示为：P' = P + AB = (x + a, y + b)其中，(a, b)是向量AB的坐标。

二、旋转变换旋转变换是将几何图形围绕一个中心点按照一定角度旋转，使得图形的形状和大小保持不变。

在平面几何中，旋转变换可以利用坐标公式进行计算。

假设点P(x, y)绕点O旋转θ角度后的位置为P'(x', y')，则有：x' = (x - h)cosθ - (y - k)sinθ + hy' = (x - h)sinθ + (y - k)cosθ + k其中，(h, k)是旋转中心的坐标。

三、对称变换对称变换是将几何图形围绕一个轴线进行对称，使得图形的形状和大小保持不变。

在平面几何中，对称变换可以利用坐标公式进行计算。

如果轴线是x轴，点P(x, y)关于x轴的对称点为P'(x, -y)；如果轴线是y轴，点P(x, y)关于y轴的对称点为P'(-x, y)；如果轴线是斜线y = x，点P(x, y)关于y = x的对称点为P'(y, x)。

四、放缩变换放缩变换是通过改变几何图形的大小，使其形状和位置保持不变。

在平面几何中，放缩变换可以通过坐标公式进行计算。

假设点P(x, y)进行放缩变换后的位置为P'(x', y')，则有：x' = kxy' = ky其中，k是放缩的比例因子。

几何变换的性质

几何变换的性质几何变换是数学中的一个重要概念，描述了在平面或空间中对图形进行变换的过程。

在几何变换中，图形可以通过平移、旋转、缩放、翻转等方式进行转换。

几何变换具有一些独特的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。

1. 保形性保形性是指几何变换后两个图形之间的相对位置关系保持不变。

换句话说，保形性保持了图形的形状和大小，但不改变其内部的角度和比例关系。

例如，一个直角三角形通过平移、旋转、缩放等操作进行变换后，仍然保持直角、等边和等比例的关系。

保形性是解决很多几何问题的基础，也是一些几何定理的前提条件之一。

2. 线性性质几何变换具有线性性质，即多个变换的组合等效于单个变换。

换句话说，对于两个几何变换A和B，其组合操作可以表示为AB。

线性性质使得我们可以将多个几何变换简化为一个等效的变换，从而简化了问题的求解过程。

例如，将一个图形先平移再旋转等于将其平移后再进行旋转。

3. 反变换几何变换中的每种变换都存在对应的反变换。

反变换是指将一个图形变回原始状态的变换。

例如，平移的反变换是向相反的方向平移相同的距离。

反变换在几何问题的求解中起到了关键的作用，可以帮助我们确定变换前的状态和性质。

4. 维度不变性几何变换不改变图形的维度。

换句话说，一个二维图形经过几何变换后仍然是二维的，一个三维图形经过几何变换后仍然是三维的。

这个性质对于研究平面和空间中的几何形状及其性质非常重要。

例如，一个平面上的圆经过旋转、缩放等变换后仍然是一个平面上的圆。

5. 可逆性几何变换是可逆的，即可以通过反变换将图形恢复到初始状态。

可逆性是几何变换的重要特性，使得我们可以在变换后还原图形，进行进一步的分析和计算。

例如，通过翻转一个图形，可以再次翻转回来，得到原始图形。

总结起来，几何变换是一种重要的数学工具，具有保形性、线性性质、反变换、维度不变性和可逆性等性质。

这些性质为解决几何问题提供了基础，可以简化问题的求解过程，同时也为我们研究几何形状及其性质提供了便利。

几何变换和对称性

几何变换和对称性几何变换是指平面或者空间中的图形，通过旋转、平移、缩放以及翻转等操作而得到的新图形。

几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

一、平移变换平移变换是将图形按照指定的方向和距离进行移动，图形的大小和形状保持不变。

在平面几何中，平移变换可以通过将图形上的每个点同时按照相同的向量平移来实现。

例如，将一个正方形沿着x轴正方向平移3个单位，则每个点的坐标都分别增加3。

二、旋转变换旋转变换是将图形按照指定的中心点和角度进行旋转，图形的大小和结构保持不变。

在平面几何中，旋转变换可以通过将图形上的每个点绕着中心点按照逆时针方向旋转指定角度来实现。

例如，将一个正方形绕着原点逆时针旋转45度，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行矩阵运算得到。

三、缩放变换缩放变换是将图形按照指定的比例因子进行放大或者缩小，图形的形状改变，但是结构保持不变。

在平面几何中，缩放变换可以通过将图形上的每个点的坐标分别乘上指定的比例因子来实现。

例如，将一个正方形按照x方向放大2倍、y方向缩小一半，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。

四、翻转变换翻转变换是将图形按照指定的轴线或者中心点进行镜像翻转，图形的结构和形状发生改变。

在平面几何中，翻转变换可以通过将图形上的每个点按照指定线段进行镜像翻转来实现。

例如，将一个正方形以x轴为轴线进行翻转，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。

五、对称性的应用对称性在几何变换中起着重要的作用。

对称性是指图形存在某种操作，使得通过该操作得到的新图形与原图形完全相同。

在几何学中，有三种常见的对称性，即点对称、轴对称和中心对称。

点对称是指图形在某一个点上对称，即通过这个点将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。

例如，一个圆的任意两个点之间都存在着点对称关系。

轴对称是指图形相对于一条直线对称，即通过这条直线将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。

高中数学竞赛平面几何

高中数学竞赛平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。

塞瓦定理设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理设ABCD 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

平面几何选讲反演变换基础知识一. 定义1. 设O 是平面π上的一个定点，k 是一个非零常数．如果平面π的一个变换，使得对于平面π上任意异于O 的点A 与其对应点'A 之间，恒有（1）',,A O A 三点共线；（2）'OA OA k ⋅=，则这个变换称为平面π的一个反演变换，记做(,)I O k ．其中，定点O 称为反演中心，常数k 称为反演幂，点'A 称为点A 的反点．2. 在反演变换(,)I O k 下，如果平面π的图形F 变为图形'F ，则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．3. 设两条曲线u v 、相交于点A ，l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线（如果存在），则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线u v 、在点A 处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交．二. 定理定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．定理2. 在反演变换(,)I O k 下，设A B 、两点（均不同于反演中心O ）的反点分别为''A B 、，则有''B A =''kA B AB OA OB=⋅．定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变．定理 4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆．定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反．定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切．定理8.典型例题一. 证明点共线例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点．求证：ABC 的外心、B内心与LMN 的外心三点共线．证明：如图，设ABC 的内心为I ，内切圆半径为r ．以内心I 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2(,)I I r ，则A 、B 、C 的反点分别为L 、M 、N ，因而ABC 的反形是LMN的外接圆．故ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线．二. 证明线共点例2. 四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：OP 、13O O 、24O O 证明：作反演变换(,)I P PC PA ⋅，则A 、C 互为反点，B 、D 互为反点，O 不变，直线1PO 不变，ABP 的外接圆的反形是直线CD ．由于直线1PO 与ABP 的外接圆正交，因而1PO 与CD正交，即有1PO CD ⊥．又3OO CD ⊥，所以13//PO O O ；同理31//PO O O ，所以四边形13PO OO 为平行四边形，从而13O O 过PO 的中点；同理24O O 也过PO 的中点．故OP 、13O O 、24O O 三线共点．三. 证明点共圆例3. 设半圆的直径为AB ，圆心为O ，一直线与半圆交于C 、D 两点，且与直线AB 交于M ．再设AOC 与DOB 的外接圆的第二个交点为N ．求证：ON MN ⊥．证明：以O 为反演中心作反演变换2(,)I O r ，其中，r 为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，()AOC 与()DOB 的反形分别为直线AC 、BD ．且设M 、N 的反点分别为'M 、'N ，则'N 为直线AC 与BD 的交点，'M 在直径AB 上，直线MN 的反形为''OM N 的外接圆，直线CD 的反形为CDO的外接圆．而'ON NM ON ⊥⇔是''OM N 外接圆的直径'''M N OM ⇔⊥．于是问题转化为证明'''M N OM ⊥．因为'AD BN ⊥，'BC AN ⊥，O 是AB 的中点，所以过O 、C 、D 三点的圆是'N AB的九点圆，而'M 在九点圆上，又在边AB 上（不同于O 点），故''M N AB ⊥，因此ON MN ⊥．四. 证明一些几何（不）等式O4例 4. 设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ．证明：123456234561A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅证明：如图以6A 为反演中心作反演变换6(,1)I A ，则O 与6O 的反形为两条平行线，其余5个圆的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三圆均与相邻的两圆相切．设1A 、2A 、3A 、4A 、5A 的反点分别为'1A 、'2A 、'3A 、'4A 、'5A，则其反形中的五个圆与两平行线中的一条（即O 的反形）依次切于'1A 、'2A 、'3A 、'4A 、'5A ；再设这五个圆的半径依次为1r 、2r 、3r 、4r、5r ，则由勾股定理可得''12A A==同理''23A A =，''34A A =''45A A =15r r =，于是''''''''12342345A A A A A A A A ⋅=⋅．但''12126162A A A A A A A A =⋅，''34346364A A A A A A A A =⋅，''23236263A A A A A A A A =⋅，''45456465A A A A A A A A =⋅．所以1234234561626364626364A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅342345636462636465A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅=⋅⋅⋅⋅故123456234561A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅．练习：1. （2002土耳其数学奥林匹克）两圆外切于点A ，且内切于另一Γ于点B 、C ，另D 是小圆内公切线割Γ的弦的中点，证明：当B 、C 、D 不共线时，A 是BCD 的内切圆圆心．2. （第30届IMO 预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线．3. （1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆1O 与圆2O 相交于M 、N 两点，圆1O 与圆2O 分别于圆O 内切于S 、T ．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线．'5A 4A 3A '2A '1A。

几何变换

CBACHBA初一（下）拓展课数学竞赛讲义（六）几何变换几何变换是把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法。

对称、平移、旋转变换是几何变换中的基本变换。

1、对称变换：如果把一个图形变到它关于直线l 的轴对称图形，这样的变换叫做关于直线l 的对称变换，又称反射变换，直线l 称为对称轴，我们常选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的底边上的高作为对称轴来解题。

例1、已知：⊿ABC 中，∠A<60°，试在⊿ABC 的边AB 、AC 上分别找一点P 、Q ，使BQ+QP+PC 最小。

例2、在⊿ABC 中，AH 是高，已知∠BAC = 45°,BH = 2,CH= 3求⊿ABC 的面积。

OCBADFCNEBA FCBEADM N 2、旋转变换：把图形绕定点O 转动角度α得到图形的变换称为旋转变换，点O 称为旋转中心，α叫做旋转角，若α＝180°，这种特殊的旋转变换叫做中心对称变换，这时旋转中心叫做对称中心。

旋转性质有：（1）在旋转变换下两点之间的距离不变。

（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角；例1、设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB = 115°，∠BOC = 125°，求以OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。

例2、设E 、F 各为正方形ABCD 的边BC 和DC 上的点， ∠EAF = 45°,AN ⊥EF 于N 。

求证：（1）AN=AD ；（2）EF AB S S AEF ABCD :2:=∆正方形 3、平移变换：把几何图形沿某一确定的方向移动一定的距离的变换。

例：已知：四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是AB 分别是AB 、CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M ，N 两点求证：∠AME =∠BNEOCBAO BCDA练习：1、设P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是5：6：7，则求以PA ，PB ，PC 的长为边构成的三角形的三个内角之比（从小到大）。

几何变换法在高中数学中的应用

几何变换法在高中数学中的应用河北省唐山市海港高级中学王汝东高中数学中几何变换是全等变换，包括平移，轴对称，中心旋转，它们只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．几何变换法就是将图形的部分或全部变换到一个新的位置，构成一个新的关系，有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷．几何变换法常见于立体几何，解析几何，解三角形等问题中，几何变换法在这些知识的运用，对学生直观想象，数据处理能力提出较高的要求．一．平移变换（平行）在立体几何中的应用例1．如图1，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．图1 图2分析：本题考察空间的距离问题，解决思路一，利用空间向量解决，建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，求出P 到直线CC 1的距离，最后转化为函数求最小值．思路二，利用传统立体几何解题思路，把空间问题平面化．本题抓住过点P 垂直直线CC 1的直线与底面ABCD 平行，在图2中，设点P 在底面ABCD 的射影P ′，P ′C 即为点P 到直线CC 1的距离，从而把空间的距离转为平面ABCD 内C 到DE 的距离．解：法一，以DA ，DC ，DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设P 的横坐标为x ，则P 的坐标(x ，2x ，2－2x )，CP →＝(x ，2x －2，2－2x )，CC 1→的同向向量m ＝(0，0，1)．设点P 到直线CC 1的距离为d ， d 2＝|CP →|2sin 2〈CP →，m 〉＝|CP →|2(1－cos 2〈CP →，m 〉)＝|CP →|2－(CP →•m )2＝x 2＋(2x －2)2＋(2－2x )2－(2－2x )2＝5(x － 4 5)2＋ 4 5≥ 45所以，点P 到直线CC 1的距离的最小值为255．法二，设点P 在底面ABCD 的射影P ′，点P 在直线CC 1的射影为Q ，连接P ′C ．由PQ ∥平面ABCD ，得PQ ∥P ′C ，又PP ′∥QC ，所以四边形PP ′CQ 是平行四边形．P ′C 即为P 到直线CC 1的距离．因为在平面内直线外一点与直线上动点的连线中，垂线段最短，所以P ′C⊥DE 时，P ′C ＝DC •CE DE＝255为最小值．评析：两种解法，把空间问题平面化的解法不是空间向量法可代替的．线面平行与面面平行的性质定理，借助“确定平面”就是把空间的问题转化为平面问题的重要条件．而这种转化有事空间图形中解决部分问题的重要思想方法．这种转化最基本的依据就是四个公理．具体来讲，点P 在线段D 1E （不包括点E ）上，PQ 是变化的，不变的是PQ ∥平面ABCD ，过相交直线PQ ，QC 有唯一确定平面且与平面ABCD 交于P ′C ，PQ ∥＝P ′C ，利用平移（平行）把空间问题转为平面问题．二．轴对称在解析几何中的应用例2．F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2AF →＝FB →，则C 的离心率是______．A 1A 1分析：本题考察双曲线的性质问题，思路一，把交点转化为方程组的解，把向量关系坐标化，最后联立方程组得到a ，b 的关系，进而求出离心率；思路二，利用双曲线的渐近线关于x 轴对称，转化为平面几何问题．解：法一，不妨设直线AB 的方程为y ＝－ ab(x －c )与b 2x 2－a 2y 2＝0联立得，(b 4－a 4)y 2－2ab 3cy ＋a 2b 2c 2＝0．y 1＋y 2＝2ab 3c b 4－a 4， ① y 1y 2＝a 2b 2c 2b 4－a 4， ②2y 1＝－y 2，③ ①②③联立解得a 2＝3b 2，所以e ＝233．法二，易知|F A |＝b ，|AB |＝3b ，设渐进线与x 轴正半轴的夹角为α，则tan α＝ ba，tan 2α＝3b a ，于是2 b a 1－( ba)2＝3b a ，整理得a 2＝3b 2，所以e ＝233．法三，如右图，根据双曲线的对称性，过点F 向C 的另一条渐近线引垂线，垂足为C ．易知|FC |＝b ，|FB |＝2b ，在Rt △BFC 中，得∠FBC ＝30°，所以∠AOB ＝60°，在Rt △AOF 中，得∠AOF ＝30°，所以e ＝1cos ∠AOF＝233．评析：法一是几何问题直接代数化，求直线的交点，然后联立方程组得到a ，b 的关系，求离心率，此解法对数据处理能力，图形直观想象等思维能力体现层次较低；解法二着眼于对图形是双曲线的渐近线关于x 轴对称的分析，抓住对称，还有|F A |＝b ，在直角三角形中结合二倍角公式得到a ，b 的关系，体现了学习与考试是一个厚积薄发的过程，此解法思维能力体现层次较好；解法三对解法二的改进，做出垂线段FC ，利用双曲线的渐近线关于x 轴对称，把条件转化到一个直角三角形中的解法让我们眼前一亮，此解法思维能力体现层次较高．圆锥曲线都是轴对称图形，有些问题抓住了对称，常觉意料之外，却在情理之中．三．中心旋转在解三角形中的运用例3．在等边△ABC 中，M 为△ABC 内一动点，∠BMC ＝120º，则MAMC 的最小值是_________．分析：本题是在三角形中，求有关长度的最值问题，明确变量，利用正弦定理在相关的三角形表示出对应的边，然后建立比值的函数关系，求最值．解：法一由题意可知，∠MBC ＝∠ACM ，在△AMC 中，由正弦定理可知MA sin ∠ACM ＝ACsin ∠AMC⇒MA ＝AC sin ∠MBC sin ∠AMC ①在△MBC 中，由正弦定理可知MC sin ∠MBC ＝BCsin ∠BMC⇒MC ＝2BC sin ∠MBC3 ②由①②可得MA MC ＝32sin ∠AMC．所以，当∠AMC ＝90°，MA MC 取最小值32．BM法二，以B 为中心，将△ABM 顺时针旋转60°，旋转后M 记为N ，得AM ＝NC ，BM ＝BN ，∠NBM ＝60°，又∠BMC ＝120º，3∠NMC ＝60°．在△AMC 中，由正弦定理可知MC sin ∠NCM ＝NC sin 60°NC MC ＝32sin ∠NMC．所以，MA MC ＝32sin ∠NMC ，当∠NMC ＝90°，MA MC 取最小值32评析：两种解法对比，发现利用中心旋转的方法，将两边之比转化到一个新的三角形中，计算起来简捷多了．练习1．平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ∩平面ABCD ＝m ，a ∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ） 132．如图1，把椭圆x 225＋y216＝1的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝______．3．如图2，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边AB ，DA 上的点．若△APQ 的周长为2，求∠PCQ ＝_______．解答：1．A ．a //平面A 1BD ，平面A 1BD ∩平面ABCD ＝BD ，依据面面平行的性质定理可知，m //BD ，设平面A 1BD ∩平面ABB 1A 1＝A 1B ，同理可知n //A 1B ．所以m 、n 所成的角即BD 与A 1B 所成的角∠A 1BD ＝60°，则m 、n 所成角的正弦值为32． 2．35．如图3，取椭圆的右焦点为F ˊ，根据椭圆关于y 轴对称，所以，|P 1F |＝|P 7F ˊ|，|P 1F |＋|P 7F |＝|P 7F ˊ|＋|P 7F |＝2a ＝10，同理|P 2F |＋|P 6F |＝|P 3F |＋|P 5F |＝2|P 4F |＝2a ＝10，所以，|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝35．3．45°．以C 为中心将△CDQ 逆时针旋转90°，设旋转后的Q 为M ，∠PCM ＝90°．因为正方形ABCD 的边长为1，△APQ 的周长为2，所以QP ＝DQ ＋PB ＝BM ＋PB ＝PM ，由QC ＝CM ，则△CQP ≌△CMP ，故∠PCQ ＝∠PCQ ＝45°．ACBD Q图4 MACBD Q图2。