Jordan标准型

方法：
用矩阵的相似化简研究问题 Jordan化方法
重点：
2.1 线性变换的对角表示
背景： T(1 2 …n) = (1 2 …n)
1. (12 …n) 线性无关
1 2 n
一、变换T的特征值与特征向量 1. 定义(p35 ，定义2.1) 2. 求解分析：(p35 ，定理2.1)
3. 重要的线性变换
例题1 下列矩阵哪些是Jordan块？
2 1 1 1 0 2 0 2
4 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0
J1( 1 ) wenku.baidu.com J 1 ( 2 ) 1) 形式： 2) Jordan矩阵举例 J m ( m ) 3) 特点 元素的结构
例题3
证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。
2.2 Jordan 矩阵介绍
目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩 阵结构----Jordan矩阵。 一、 Jordan 矩阵 1. Jordan 块(p40，定义2.3)
1. 2. 3.
形式： 值 J( ) 确定因素：矩阵的阶数 Jordan 块矩阵的例子： 1 1 1
15
23 P 1 15
二、矩阵的化零多项式
(Annihilating polynomials of Matrices)
问题：AFn×n ， A0，是否存在非零多项式g（）， 使 得 g( A )=0？ 1. 化零多项式（P.52） 如果 g(A) = 0，则g()被称为矩阵A的化零多项式。
2. 矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵 的非实数特征值对应的Jordan 块以共 轭对出现。 3. 矩阵AHA相似于矩阵AAH
4 . 设矩阵AFm×n ，矩阵BFn×m ，则AB和BA 的非零特征值相同。 讨论：若A、B都是方阵， 1. AB和BA的特征多项式是否相同？ 2. AB和BA的最小多项式是否相同？ 3. AB和BA是否相似？
Jordan链条{，y2，…，ynj}
) 0 ) y2 ) y3 y 2
特征向量
) y n j y n j 1
广义特征向量
方法步骤：
由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i ) 的阶数。 由特征值i 对应的线性无关的特征向量的个数确 定 J(i) 中Jordan 块的个数 由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定 Jordan块的阶数 链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块 构成JA
a1 A a0 I
2 . 性质（定理2 . 7）
• AX = 0 X g(A)X= g(0 )X • P -1 AP =B P -1 g(A)P= g(B)
A1 •A A2 Ak
g( A1 ) g( A2 ) g( A ) g( Ak )
例题1 (p44，例题5)
例题2 (p45，例题6)
例题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。
3 4 0 1 1 0 A 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0
例题4 (p46，例题7)
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：
例题1 设 g( ) 4 5 对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。 解 3 3 2 1
3 2
1
A 7 1
6 2
3 P 2
2
1 P 1 2
1 g( A ) P
要点：
矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。 g（ A ）= 0 的决定因素。 存在性问题。
Cayley-Hamilton 定理（P.52， 定理、2 . 7）： AFn×n，f ( )= det( I–A)，则f ( A )= 0。 Cayley 定理的应用举例： 使Ak ( kn)降阶至不超过n-1次的多项式。 f（ 0） 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。
A的特征值就是T的特征值
2. Ti= ii ； L{ i}是不变子空间

A的特征向量是T的特征向量的坐标
例题1(p37 ，例题2.1) 3、 特征向量的空间性质 1) 特征子空间： 2) 特征子空间的性质：(p36 ，定理2.2)
Vi是不变子空间 i j，则ViVi={0} 若i是ki重特征值，则1dimViki
矩阵多项式（重点是计算） 矩阵的化零多项式（Cayley 定理） 最小多项式
Jordan标准形的应用
相似不变性 Jordan化的方法
一、矩阵多项式 m m 1 1. 定义 g( ) am am1 a1 a0
g( A ) am A am1 A
m
m 1
2 Jordan 矩阵
Jordan矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是Jordan 矩阵
3
Jordan 标准形
定理2 . 5 (p41)
含义： Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。
A相似于BJA相似于JB
二、方阵A的Jordan 标准形的求法
目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA 和P的构成。 求法与步骤： ks k1 k2 f ( ) I A ( 1 ) ( 2 ) ( s )
证明JA和JAT的Jordan 块J和JT相似。
证明方法： S 取逆向单位矩阵S， 证明：SJ=JTS 1 1 1
（backward identity ）
3、矩阵A ，
T A
， A
HA 和A
设A为n 阶方阵，则下列结果成立：
1. 矩阵A相似于矩阵AT
T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki
定理2. 4(p39) T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。
例题2 已知{1，2 ，3 }是空间V3（F） 的基，T是空间上如下定义的线性变换， T（ 1 ）= 1 T（ 2 ）=2 2 T（ 3 ）= 1 +t 2+2 3 讨论：t为何值，T有对角矩阵表示
g ( r 1 ) ( ) ( r 1 )! g( ) 2! g ( ) g( )
g( ) ( ) g( ) g 1 2! 1 g( ) g ( ) g( J ) J( ) g( ) 1 r r mr g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成
A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵
I r
0
A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。
A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵
I
I
2 (p47，例题8) 设A为阶方阵，证明矩阵A和AT 相似。 证明思想：
证明A和AT 相似
证明 Jordan 矩阵JA和JAT相似
定理2.8：mA（ ）= ( 1
P.54
) ( 2 ) ( s ) 1 ti ri
t1 t2 n1 n2
ts
定理2.9：mA（ ）=
( 1 ) ( 2 ) ( s )
ns
ni 是i对应的Jordan块的指数。
3 变换对角矩阵表示的条件 定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条 件是T的最小多项式是一次因子的乘积。 例题1 （P.56， eg10） 4×4 ，m （ )=( 1 ) ( 2 )2 例题2 设A R A
推论： 1) 若i是单特征值，则dimVi =1 2) V1+V2+=Vs= V1V2Vs 3) V1V2Vs Vn（F）
二、线性变换矩阵对角化的充要条件
f ( ) I A ( 1 )k1 ( 2 )k2 ( s )ks
三、最小多项式
1 定义（P.54， 定义2 . 5）
mA（ ）是最小多项式
mA（ A） =0 mA（ ）在化零多项式中次数最低。 mA（ ）最高次项系数是1。 mA（ ）整除任何化零多项式
r1 r2 rs
2 mA（ ）的结构：
设f（ ）= I–A= ( 1 ) ( 2 ) ( s )
矩阵A和JA的特征值相等
J1( 1 ) J 2 ( 2 ) JA J s ( s )
AP Pi J i ( i ) i
细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上，有
( A i I ( A i I ( A i I ( A i I
第1章习题选讲
要点： 线性空间的表示形式：
集合表示形式：Vn（F）=｛ 满足的性质｝ 向量生成形式：L{1，2，·，m } · ·
子空间类型：
L{1，2，·，m } · · W1＋W2 矩阵AF m×n，两个子空间 不变子空间
1. 线性变换的表示 2. 线性变换的数量关系
线性变换：
第2章：Jordan标准形介绍
Jordan Canonical Form
第2章：Jordan标准形介绍
问题：
对线性空间中的线性变换T，求一组基{1，2 ，， n} {1，2 ，， n} 和矩阵J ，使 T: J
• 矩阵J 尽可能简单。 • 矩阵J的结构对任何变换可行
内容：
首选A为对角形 线性变换的对角化问题。 建立J 一般的结构 Jordan标准形理论。 Jordan方法及其应用
3 矩阵多项式 g(A ) 的计算 方法： Jordan块
J1( 1 ) J 2( ) P 1 A p J k ( ) nn
g ( J1 ) g( J 2 ) P 1 g( A ) p g( J k ) nn
求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。
例题3 设
g( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )
是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩 阵。
相似问题中的一些矩阵结果
1. 幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵
幂等矩阵（idempotent）： A 2 =A
幂零矩阵（nilpotent）： A0， k为正整数，Ak=0 乘方矩阵（involutary）： A 2 = I