向心运动

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物理[新课标· 必修2]
1．和直线运动一样，在圆周运动中，Δv、a、F三个量的 方向也总是相同的． 2．在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体的合加速度．
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(多选)关于向心加速度的物理意义，下列说法正确 的是( )
【答案】
AD
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向心加速度的公式和应用
【问题导思】 1．向心加速度有哪些计算公式？ 2．试讨论向心加速度与半径的关系？ 3．向心加速度公式适用于非匀速圆周运动吗？
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1．公式
2 v2 4π an＝ ＝ω2r＝ 2 r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv. r T
情感、 通过a与v、ω之间关系的讨论，要明确每一个 态度与 结论都有其成立的条件，培养科学而严谨的 价值观 思维方式.
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●课标解读 1．知道匀速圆周运动是变速运动，并具有向心加速度． 2．知道向心加速度的表达式，能选择公式进行有关计算． 3．理解加速度与速度、速度变化量的区别． 4．体会匀速圆周运动向心加速度的分析方法．
a1 3 A. ＝ a2 2 a2 2 C. ＝ a3 1
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a1 2 B. ＝ a2 3 a2 1 D. ＝ a3 2
图554
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v2 a1 r2 【解析】 由于皮带不打滑，v1＝v2，a＝ ，故 ＝ ＝ r a2 r1 2 a2 2 ，A错，B对．由于右边两轮共轴转动，ω2＝ω3，a＝rω ， 3 a3 r2 1 ＝ ＝ ，C错、D对． r3 2
重
点
难
点
1.向心加速度的定义．(重点) 2.向心加速度的公式及其应 用．(重点) 3.向心加速度的方向．(难点) 4.向心加速度与Δv的关 系．(难点)
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感受圆周运动的向心加速度
1.基本知识 (1)实例分析 ①地球绕太阳做近似的匀速圆周运动， 地球受太阳的力是万 有引力，方向由地球中心指向 太阳中心 ． ②光滑桌面上一个小球由于细线的牵引， 绕桌面上的图钉做 匀速圆周运动．小球受到的力有 重力 、桌面的 支持力 、细线 的 拉力 ． 其中 重力 和 支持力 在竖直方向上平衡，合力 总 是指向圆心．
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对于图中的地球和小球，它们受到了什么样的外力作用？ 它们的加速度大小和方向如何确定？
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●教学流程设计
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课 标 解 读 1.理解向心加速度的产生 和向心加速度的概念． 2.知道向心加速度和线速 度、角速度的关系式． 3.能够用向心加速度公式 求解有关问题.
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温哥华冬奥会上，在男女双人花样滑冰项目中， 我国运动员申雪、赵宏博摘取了金牌，实现了二人多年的奥运 梦想．如图553所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员 以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若运动员的转 速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运 动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心 加速度大小．
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3．探究交流 如图551所示，地球在不停地公转和自转，关于地球的自 转，思考以下问题：
图551 (1)地球上各地的角速度大小、线速度大小是否相同？ (2)地球上各地的向心加速度大小是否相同？
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)
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
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【解析】 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向 则沿圆周的切线方向．所以，向心加速度的方向始终与速度方 向垂直，且方向在不断改变．物体做匀速圆周运动时，只具有 向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运 动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心．
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1．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速 度． 2．物体做非匀速圆周运动时，合加速度既有沿切线方向的 分量，又有指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是 向心加速度．
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2．(多选)(2014· 玉溪高一检测)如图554所示，皮带传动装 置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝ 3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带 不打滑．向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的 是( )
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测
5
向心加速度
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(教师用书独具)
●课标要求
1.理解向心加速度的产生及向心加速度的概 知识与 念． 技能 2.理解向心加速度与线速度、角速度的关系． 1.在理解向心加速度概念的基础上，推导其表 过程与 达式． 方法 2.学会用向心加速度的知识解释有关现象，求 解有关问题．
【解析】 向心加速度始终与线速度方向垂直，故向心加 速度只表示线速度的方向改变的快慢，不表示线速度的大小改 变的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度是描述物 体运动路程变化快慢的物理量，C错误．
【答案】 B
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1．(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B．向心加速度的方向保持不变 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
2．an与r的关系 图象如图552(a)(b)所示．
图552
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3．理解 (1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角 速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加 或周期的减小而增大． (2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比． (3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
【提示】
(1)地球上各地自转的周期都是24 h，所以地球
上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据 v＝ωr可知各地的线速度大小不同． (2)地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据an＝ω2r 可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同.
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4．变速圆周运动的向心加速度 做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度 有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度 表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快 慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆 心．
向心加速度
1.基本知识 (1)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向
圆心 ，这个加速度叫做向心加速度．
v2 (2)公式：①an＝ r
；②an＝ ω2r .
(3)方向：沿半径方向指向圆心 ，时刻与线速度方向垂直．
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2．思考判断 (1)圆周运动的加速度一定指向圆心．(×) (2)曲线运动中，v1、v2和Δv＝v2－v1的方向一般不在一条 直线上．(√) (3)匀速圆周运动的向心加速度大小不变．(√)
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向心加速度的方向及意义
【问题导思】 1．向心加速度是描述什么的物理量？ 2．匀速圆周运动和非匀速圆周运动的加速度有什么不同？
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1．物理意义 描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快 慢，不表示其大小变化的快慢． 2．方向 总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方 向垂直，方向时刻改变． 3．圆周运动的性质 不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的， 所以圆周运动一定是变加速曲线运动．
【答案】 3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2
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向心加速度与合加速度 在一般圆周运动中，合加速度通常有两个分量：切向加速 度和向心加速度．切向加速度表示速度大小变化的快慢；向心 加速度表示速度方向变化的快慢．
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A．它描述的是线速度大小变化的快慢 B．它描述的是线速度方向变化的快慢 C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢 D．它描述的是角速度变化的快慢
【审题指导】 (1)加速度是描述速度变化快慢的物理量．
(2)向心加速度的方向与速度方向始终垂直．
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(教师用书独具)
●新课导入建议 通过前面的学习我们知道在现实生活中，物体都要在一定 的外力作用下才能做曲线运动，如图教551所示(课件展示)．
地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动
小球绕桌面上的图钉做匀速圆周运动
图教551
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图553
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【审题指导】 单位制中的单位．
(1)转速为30 r/min，其单位应换算成国际
(2)两运动员的转速相同．
【解析】 男女运动员的转速、角速度是相同的， 由ω＝2πn得ω＝2×3.14×30/60 rad/s＝3.14 rad/s. v 4.8 由v＝ωr得r＝ ＝ m＝1.53 m. ω 3.14 由a＝ω2r得a＝3.142×1.53 m/s2＝15.1 m/s2.
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●教学地位 本节内容是在原有加速度概念的基础上来讨论“匀速圆周 运动速度变化快慢”的问题． 向心加速度的方向是本节学习的难点和重点．要化解这个 难点，首先要抓住要害，该要害就是“速度变化量”．对此， 可以先介绍直线运动的速度变化量，然后逐渐过渡到曲线运动 的速度变化量，并让学生掌握怎样通过作图求得曲线运动的速 度变化量，进而最后得出向心加速度的方向． 向心加速度的表达式是本节的另一个重点内容．让学生在 老师的指导下自己推导得出.
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(2)结论猜测 一切做匀速圆周运动的物体的合力和加速度方向均指向
圆心 ．
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2．思考判断 (1)匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心．(√) (2)匀速圆周运动的加速度总指向圆心．(√) (3)匀速圆周运动是加速度不变的运动．(×)
【答案】 BD
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4．向心加速度的注意要点 (1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方 向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大 小．向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢． (2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的 计算．包括非匀速圆周运动．
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3．探究交流 v2 甲同学认为由公式an＝ 知向心加速度an与运动半径r成反 r 比；而乙同学认为由公式an＝ω2r知向心加速度an与运动半径r成 正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．
【提示】 他们两人的观点都不准确，当v一定时，an与r 成反比，当ω一定时，an与r成正比.