线性代数练习题 (1)

合集下载

线性代数复习题带参考答案(一)

线性代数考试题库及答案第三章向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（）。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

线性代数练习题一

A
=
1
1
2
，（1）求
A 的特征值和特征向量；（2）求一个可逆矩阵
P，使
P 1 AP
为对角矩阵.
四、解答题设向量组1 ,2 ,3 ,4 线性无关，且向量 1 1 2 ，2 2 3 ，3 3 4 ，4 4 1 ，那
么向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关还是线性无关？说明理由.
0
2
−4
→
0
0
1
−2
0 0 −1 2 0 0 0 0
对应的同解方程组为
x1 x3
− −
x2 − 2 x4
x4
= 0 ，即
= 0
x=1 x3 =
x2 + 2 x4
x4
取自由未知量
x2 x4
=
1 0
及
0 1
，
1 1
得基础解= 系 ξ1
= 10 ,ξ2
0
−1 −1 1 1
−1
A − 3E = −1
−1
→
0
0
，得基础解系 ξ1
=
1
，
故
c
−1
1
（且
c
≠
0
）为对应于特征值
λ1
=
3
的全部特征向
量.
当 λ2 = 1 时，令 ( A − E ) x = 0 ，即
第1页共2页
1 −1 1 −1
1
A − E = −1
1
→
0
0
，得基础解系
3. 解： A=
1
−1
2
−1
→
0
−4
6
−5
3 1 0 2 0 −8 12 −10

线性代数总复习题(一)

九．设 A、B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB = BA ．证明：∵ A, B 都是 n 阶对称阵．
∴ AT = A ， B T = B ．
∴ AB 是对称阵 ⇔ ( AB ) = AB
T
⇔ B T AT = AB ⇔ BA = AB
十．求下面矩阵的特征值和特征向量：
1．设 D1 =
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
， D2 =
an1 an −1,1 a11
an 2 an −1,2 a12
ann an −1, n a1n
，则 D1 与 D2 的关系是（
C
）．
（A） D2 = D1 分析： rn 依次与 rn −1 , rn − 2 ,
∴ i = 2 ， k = 5 ；或 i = 5 ， k = 2 ．
．若 i = 2 ， k = 5 ，则列标排列 32145 的逆序数为 3，这一项的符号为“ − ” ．若 i = 5 ， k = 2 ，则列标排列 35142 的逆序数为 6，这一项的符号为“ + ”
∴ i =5，k = 2．
（2） R ( A ) = 2 ；（3） R ( A ) = 3 ．（1） R ( A ) = 1 ；
−2 3k ⎞ ⎛ 1 −2 3k ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ( k − 1) 解： A = ⎜ −1 2k −3 ⎟ ∼ ⎜ 0 2 ( k − 1) ⎟． ⎜ k −2 3 ⎟ ⎜ 0 0 −3 ( k + 2 )( k − 1) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ （1）当 k ≠ −2 且 k ≠ 1 时， 2 ( k − 1) ≠ 0 ， −3 ( k + 2 )( k − 1) ≠ 0 ， R ( A ) = 3 ． ⎛ 1 −2 −6 ⎞ ⎜ ⎟ （2）当 k = −2 时， A ∼ ⎜ 0 −6 −9 ⎟ ， R ( A ) = 2 ． ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −2 3 ⎞ ⎜ ⎟ （3）当 k = 1 使， A ∼ ⎜ 0 0 0 ⎟ ， R ( A ) = 1 ． ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 9； (2) 1；(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】(1) τ(9)=11; (2) τ(1)=36;(3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)=(1)2n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式4512312123122x x x D x xx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解：设 123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)0200001030000004； (2)1230002030450001.【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)214131211232562-----； (2) abac ae bd cd de bfcf ef-------； (3)10011001101a b c d ---； (4) 1234234134124123. 【解】(1) 125062312101232562r r D+---=--;(2) 1114111111D abcdef abcdef --==------;21011111(3)(1)11101100111;b c D a a b cd c c d d d dabcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.10412022200441012301110004r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1) 22222()111a ab b a a b b a b +=-；(2) 2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++； (3) 232232232111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++(4) 20000()000n n a b a b D ad bc c d cd==-ONN O；(5)121111111111111nn i i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏L L M M M . 【证明】(1)1323223()()()2()2001()()()()()2()21c c c c a b a b b a b b a b a b ba b a b b a b a b ba b a b a b a b --+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b cc c c cc d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端.(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11xx x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c ==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc ++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)0000000(),n n n n a b aba b a b D abc dc dc d c d d c ad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-ONONN O NO据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=-L 2().n n D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+L L LL L L L L L L L L L LL LLL但由归纳假设11121111,n n n i iD a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑L 从而有11211211121111111111.n n n n n i i n n nn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏L L L8. 计算下列n 阶行列式.(1) 111111n x x D x=LL M M ML(2) 122222222232222n D n=L L L LL L L L L； (3)000000000000n x y x y D x y y x=L L LL L L L L L L . (4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-=L ； (5)2100012100012000002100012n D =LL LM M MM M L L. 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n 1),得11111[(1)],11n x D x n x=+-L L M M M L 将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---LL M M M L(2) 213111222210000101001002010002n r r n r r r r D n ---=-MLL L L M M M M M L按第二行展开222201002(2)!.00200002n n =---L LL M M M M L(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000000(1)(1).n n n n n n n n x y y x y x y D x y x y x y y xxyx x y y x y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-L L L L M M M M M M L L M M MM M LL(4)由题意，知1112121222120121101221031230n nn n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==----L L L LL M M MM M MM LL122111111111111111111111n n ------------LL LM M MM M L L后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行012211221111112000020000200000000022n n n n --------=-L L L LL LM M M M M M MM M L LL按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)2002n n n n n n -----=---LL M M M L按第列展开. (5) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012n D ==+LL L L L L LLLM M MM M M M M M M M M M M M L L L LLL122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=L 由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=-L 得 11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n nn na a a a a a D a a a ++=+LL M M M L【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11nii a=+∑，得232323123111111,11n n nn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑L LLM MM M L将第一行乘（1）后加到其余各行，得23111010011.00100001n nnn i i i i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑L L LM M M M L10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠=L ）.1111123222211223322221122331111123n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=L L MM M M L L. 【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -=L ,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n ij b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏L LL L L L L L LL 11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+=同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) 12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩ (2) 121232343454556 1,56 0,56 0, 560, 5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;121052*********23140123123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.122112120133123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2, 1.D D D Dx x x x D D D D========- 12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111aa b=-即(a +1)2=4b .15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=；（2）500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3） []32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（5） 111213212223313233100011001a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（6） 1210131010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】(1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()ij iji j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 1252012400430009⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(AB )≠A 2B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ，则=A O ； (2) 若2=A A ，则=A O 或=A E ； (3) 若AX =AY ，≠A O ，则X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0(2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y .4. 设101A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k .【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A L 5. 100100λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =，求23A ,A 并证明：121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A =今归纳假设121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k k k k k k k k k kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A= 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =6. 已知AP =PB ，其中100100000210001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P =求A 及5A .【解】因为|P |= 1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PBP而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PBP PB P A7. 设a bc d ba d c c d ab dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b cd b a d c a b c d a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E 于是有22222()a b c d =-+++A . 8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X AY Y Bz X AY ABz z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B AB 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) ABBA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= B ,故(B 2)′=B ′·B ′= B ·(B )=B 2;(ABBA )′=(AB )′(BA )′=B ′A ′A ′B ′= BAA ·(B )=ABBA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= BA +A ·(B )= (AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，ABBA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d a a bcd c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦.由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数.13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得11122233333323232302300023222.023333c b c cb c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5) 5200210000830052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦L O ，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1) 5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2)121012001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3) 12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4) 100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5) 1200250000230058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而1110022110≠- 故112311101111122.02211130122110221112x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）1=（A 1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)1. 【证明】（1）因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |·|B |·B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |·|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A 1,从而(A 1) *=|A 1|(A 1)1=|A |1A . 于是A * (A 1) *=|A |A 1·|A |1A =E ,所以(A 1) *=(A *)1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A 1=A ′. 由(2)(A *)1=(A 1) *,得(A *)1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X AY且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211************--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ；(3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 010100043100001201001010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B同理(2) X =100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.034102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若kA =O (k 为正整数)，证明：121()k ---L E A =E +A+A ++A .【证明】作乘法212121()()k k k k k ----=-----=-=E A E +A+A ++A E +A+A ++A A A A A E A E,L L L 从而EA 可逆，且121()k ---L E A =E +A+A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A 1及(A +2E )1. 【证】因为A 2A 2E =0, 故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-A A E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E,A E A E E,A E A E E. 由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A+B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A 2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E即A 2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A 22. 设1-P AP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ，求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A P P P P ΛΛ 23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++L ，记01()mm f a a a =+++L A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ，证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P . 【证明】(1)232311232200,00λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,000kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L L L L A E +A++A ++++++ (2) 由(1)与A =P 1BP ,得B =PAP 1.且B k =( PAP 1)k = PA k P 1,又0111011011()()().mm m m mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B B E PAP PA P P E A+A P P A P L L L24. a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc c d c d ad bca bc ab bd a ad ab bd ad bc ac cd cb d ac cd ad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2) 1n *-=A A .【证明】（1）若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)1=|A |( A *)1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n , 若|A |≠0，则| A *|=|A |n 1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n 1.26. 设52003200210045000073004100520062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1) AB ; (2)BA ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k (k 为正整数). 【解】(1)2320001090000461300329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB =; (2) 19800301300003314005222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦BA =;(3) 11200250000230057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)k k =-A . 27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）00310021********-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00其中1230012;,01025001⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.000030001000001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A A A A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r L ααα线性无关，证明向量组12,,,r L βββ也线性无关，这里12.i i +++L β=ααα【证明】设向量组12,,,r L βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k L 使得1122.r r k k k +++=L 0βββ把12i i +++L β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0L L L ααα.又已知12,,,r L ααα线性无关，故1220,0, 0.r rr k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩L L L L L 该方程组只有惟一零解120r k k k ====L ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r L βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案.8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==L L α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n L ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=L α1,2,,i n =L 组成的，所以12,,,n L ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t L 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -==L L α是线性无关的.【证明】任取nr 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n rr r n r r r n nnnt t t t t t t t tt t t ---+++-≠L M M M M LL M M M ML从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r L ααα也线性无关.10. 设12,,,s L ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r L ααα线性表出.证明：12,,,r L ααα为12,,,s L ααα的一个极大线性无关组.【证明】若 12,,,r L ααα(1)线性相关，且不妨设12,,,t L ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s L ααα的一个极大无关组，这与12,,,s L ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r L ααα必线性无关且为12,,,s L ααα的一个极大无关组. 11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),110101002a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a 2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121110002a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ要使3β可由123,,ααα线性表出，需ba +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0).13. 设12,,,n L ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n L ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n L ααα线性表示，则单位向量12,,,n L εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n L ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n L ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n L ααα线性相关，所以α能由12,,,n L ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组12,,,m L ααα与12,,,s L βββ秩相同且12,,,m L ααα能经12,,,s L βββ线性表出.证明12,,,m L ααα与12,,,s L βββ等价.【解】设向量组12,,,m L ααα (1)与向量组12,,,s L βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r L ααα (3)和12,,,r L βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ij jj a i r ===∑L αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r =L β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设A 为m ×n 矩阵，B 为s ×n 矩阵.证明：max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有max{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir L ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k , 12,,,j j jk L βββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir L ααα表示，若α属于B 的行向量组，则它可由12,,,j j jk L βββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir L ααα,12,,,j j jk L βββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ×n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ×s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r .【证明】设A =(A s ,P s ×(ns )),因为A 为行无关的s ×n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ×n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ×s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ×(ns ))=(KA s ,KP s ×(n s)) 知R (B )=r ,即B 行无关.19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x L )｜12,,,n x x x L ∈R 且12n +++L x x x ＝0}是否构成向量空间为什么【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y L L αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++=L L αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++=L L L L L 所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400000=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,0131000001310000=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),110011001110101101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,111000x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX .则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦M A B 作初等行变换因有↔A E ,故123,,ααα为R 3的一个基，且1212323(,)(,,),3312⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ββααα即1123212323,332=+-=--βαααβααα.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1) 12341241234123442362242322312338;x x x x ,x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2)1231231232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 【解】(1)412213223123(1)14236142362204211021()322313223112338123381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦A b M 32434243324142360129200426100112614236142360129201292,0011260011260042610007425r r r r r r r +↔++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得12342343444236 292 126 7425x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 所以1234187,74211,74144,7425.74x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩解②①×2得 x 22x 3=0③① 得2x 3=4 由⑥得 x 3=2,由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=22x 3 2x 2 = 10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(10,4,2)T . 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) 123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)1234123412341234 5 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ (3) 1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4)123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)。

线性代数习题1(附答案)

线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则 A = .2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .3.向量组112α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性关4.如果矩阵 14000400x x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的，则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1111a a a a a a A aa a a aa⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为二.单项选择题(每小题4分,共20分)1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵，则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .TC AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >4. 若向量组,,a b c 线性无关,,,a b d 线性相关, 则 ( )(A) a 必可由 ,,b c d 线性表示. (B) b 必不可由 ,,a c d 线性表示. (C) d 必可由 ,,a b c 线性表示. (D) d 必不可由 ,,a b c 线性表示.5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则12A 等于 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101111 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10121 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11121(D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201212三.(14分) 设 3521110513132413D --=----D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作,,ij ij M A 求11121314112131.A A A A M M M M ++++++及四. (10分) 已知 21311122,20,13225A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求 X AX B =使.五.(10分) 判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.()()()()()123451,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,141,2,2,0,2,1,5,10a a a a a =-===-=六.(10分) 用基础解系表示下面方程组的全部解:12341234123422124522x x x x x x x x x x x x a+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩七(16分) 已知A 是n 阶方阵,且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆,并求逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分, 共24分) 1．144。

线性代数习题1

习题一一.单项选择题1.三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则下列矩阵中非奇异矩阵是（）． A.2+A E ； B. 2-E A ； C.-E A ； D.3-A E . 答案：A解因为若λ为三阶矩阵A 的特征值，则0λλ-=-=A E E A ，也即当λ为矩阵A 的特征值时，矩阵,λλ--A E E A 为奇异矩阵. 由于2λ=-不是矩阵A 的特征值，所以20+≠A E ，即矩阵2+A E 非奇异. 故答案A 正确.2.与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似的矩阵是（）． A.110021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B.110010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.101010002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.101021001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 答案：C解由于答案A ，B ，C ，D 均为上三角矩阵，其特征值均为1231,2λλλ===，它们是否与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似，取决于对应特征值121λλ==四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即()1R -=B E .由于只有答案C 对应的()1R -=B E ，即对应121λλ==有两个线性无关的向量，所以答案C 正确.3.二次型),,(321x x x f 22112263x x x x =++的矩阵是（）. A.1113-⎛⎫⎪-⎝⎭； B.1243⎛⎫ ⎪⎝⎭； C. 1333⎛⎫ ⎪⎝⎭； D. 1513⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C解因为),,(321x x x f 22112263x x x x =++112213(,)33x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以二次型矩阵为1333⎛⎫=⎪⎝⎭A ，故答案C 正确. 4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确.二、解答下列各题1.试证:由123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)T T T ===ααα所生成的向量空间就是3R . 证设123(,,)ααα=A ，因为011101110=A 20=-≠于是()3R =A ，故123,,ααα线性无关.由于123,,ααα均为三维且秩为 3. 所以123,,ααα为此三维空间的一组基，故由123,,ααα所生成的向量空间就是3R .2.利用施密特正交化方法，将向量组化T 1(011),α=，，T 2110,α=（，，）T3101α=（，，）为正交的单位向量组．解令1β=T 1011α=（，，）， 2β=2121111111(1,1,0)(0,,)(1,,)2222T T T T T αβαβββ-=-=-，3β=31323121122T T T T αβαβαββββββ--，=11111(1,0,1)(0,,)(,,)22366T T T---=（T)32,32,32-，再将向量组123,,βββ单位化，即得到正交的单位向量组．T T T12363(),),)33γγγ==． 3.判别矩阵211020011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵．解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 211020012λλλ----=2(2)(1)λλ--- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,2λλλ===对于11λ=，解齐次线性方程组() -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系1(1,0,1)T =-α. 对于232λλ==，解齐次线性方程组(2) -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系2(1,0,0)T =α，3(0,1,1)T =-α.由于A 有三个线性无关的特征向量，故A 可对角化．令123110(,,)001101ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P 则1100020002-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP4.求一个正交变换将二次型322322214332x x x x x f +++=化为标准形.解二次型的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，其特征多项式为20032032(2)23023λλλλλλλ---=-=---A E )1)(5)(2(λλλ---=令0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1,5,2321===λλλ当21=λ时, 解方程组(2) -=A E x 0，由0000122012001021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E . 得基础解系 1100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α.当52=λ时，解方程(5) -=A E x 0，由3001005022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E 得基础解系 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当13=λ时，解方程() -=A E x 0，由100100022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E 得基础解系 3011α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.将123,,ααα单位化，得1100β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,20β⎛⎫ = ⎝,30β⎛⎫ =- ⎝⎭于是正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321************1y y y x x x . 且标准形为 23222152y y y f ++=． 5.判别二次型),,(321x x x f =322123222144465x x x x x x x --++是否为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为520262024-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .由于1150a =>，5226026-=>-，520262840024-=--=>-A即A 的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的.三、证明题如果A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶正交矩阵，证明1-B AB 为n 阶实对称矩阵．证因为111()()()T T T T T T T ---==B AB B A B B A B 又A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶正交矩阵，所以T =A A 及T =B B E ，即1()T -=B B于是 11()()T T T T T --==B AB B A B B AB 1-=B AB 所以1-B AB 为n 阶实对称矩阵．习题2一.单项选择题1.与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似的矩阵是（）． A.110021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B.110010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.101010002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.101021001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 答案：C解由于答案A ，B ，C ，D 均为上三角矩阵，其特征值均为1231,2λλλ===，它们是否与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似，取决于对应特征值121λλ==四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即()1R -=B E .由于只有答案C 对应的()1R -=B E ，即对应121λλ==有两个线性无关的向量，所以答案C 正确.2.设矩阵A 与B 相似，其中12312001x ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，已知矩阵B 有特征值1,2,3，则=x （）． A.4； B.3-； C.4-； D.3. 答案：A解因为相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵A 的特征值为1,2,3. 由11123x ++=++，得4x =，故答案A 正确. 3.设,A B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，则（）.A. A 与B 相似；B. =A B ；C. A 与B 有相同的特征值；D. ()()R R =A B 答案：D解因为A 与B 合同，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T=B C AC ，故()()R R =A B故答案D 正确.4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确. 二、解答下列各题1.已知3R 的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，求向量(2,0,0)Tα=在此基下的坐标.解设112233k k k αααα=++，则123,,k k k 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+002323121k k k k k k 的解.解得1231,1,1k k k ===-，所以向量α在此基下的坐标为(1,1,1)T-.2.求矩阵211020011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 的特征值和特征向量解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 211020012λλλ----=2(2)(1)λλ--- 令0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,2λλλ===对于11λ=，解齐次线性方程组() -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系1(1,0,1)T=-α，于是A 的属于11λ=的全部特征向量为11c α（1c 为不等于零的常数）对于232λλ==，解齐次线性方程组(2) -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系2(1,0,0)T =α，3(0,1,1)T =-α，于是A 的属于23,λλ的全部特征向量为2233c c +αα（23,c c 为不全等于零的常数）.3.试求一个正交相似变换矩阵，将实对称矩阵001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为对角矩阵.解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 010(1)(1)1λλλλλλ--=--+- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1,1,0321-===λλλ对于10λ=，解方程组(0) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 1(0,1,0)=α；对于21λ=，解方程组() -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 2(1,0,1)α=；对于13-=λ，解线性方程组() +=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 3(1,0,1)α=-. 分别将123,,ααα单位化得T T T123(0,1,0),,(βββ===，令1230(,,)1000βββ⎛== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q ，则 1000010001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ .4.用配方法将二次型22123131323(,,)222f x x x x x x x x x =+++化成标准形, 并写出所用变换的矩阵：解对二次型配方，得222212313132313323(,,)222()2f x x x x x x x x x x x x x x =+++=+++22213223()()x x x x x =+-++令 11322323y x x y x y x x =+⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 即112322323x y y y x y x y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩,写成矩阵形式为112233111010011x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，变换矩阵为111010011C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭在此变换下二次型化为规范形 222123f y y y =-+. 5.当t 为何值时，二次型),,(321x x x f =3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为 1112125t t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A . 此二次型正定的充要条件为 0111>=a , 11t t =21t ->0, 254t t =--A >0，由此解得 054<<-t . 三、证明题若矩阵A 与B 相似，试证明（1）A 与B 有相同的特征多项式和特征值；（2）A 与B 的行列式相等，即A B =.证（1）由相似定义可知，存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B ，于是1111()B E P AP P P P A E P P A E P A E λλλλλ-----=-=-=-=-即A 与B 的特征多项式相同，因而有相同的特征值.（2）由1B P AP -=，有11B P AP P A P A --===，即A 与B 的行列式相等.习题3一.单项选择题1.设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则（）． A.λλ-=-A E B E ； B.A 与B 有相同的特征值和特征向量； C.A 与B 都相似于一个对角矩阵； D.对于任意常数t ，t -A E 与t -B E 相似. 答案：D解因为由A 与B 相似不能推得=A B ，所以答案A 错误；相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B 错误；由A 与B 相似不能推出A 与B 都相似于一个对角矩阵，所以答案C 错误；由A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，所以11()t t t ---=-=-P A E P P AP E B E所以，对于任意常数t ，t -A E 与t -B E 相似. 故答案D 正确.2.设A 为n 阶实对称矩阵，则（）． A.A 的n 个特征向量两两正交；B.A 的n 个特征向量组成单位正交向量组；C.A 的k 重特征值0λ，有0()R n k λ-=-A E ；D.A 的k 重特征值0λ，有0()R k λ-=A E .答案：C解由实对称矩阵特征值的性质可知，对于实对称矩阵A 的k 重特征值0λ，有0()R n k λ-=-A E . 故答案C 正确.3.设矩阵2001002005-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则与A 合同的矩阵是（）.A.100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； B. 300020005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； C. 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D. 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭答案：A解两矩阵合同时，其正惯性指数相同，且负惯性指数也相同，只有答案A 满足题意. 故答案A 正确.4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确. 二、解答下列各题1.已知3R 的两个基为123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)T T T ααα==-=123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,3)T T T βββ===求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵P .解取矩阵123(,,)ααα=A ，123(,,)βββ=B ，对()A B M 作初等行变换()=A B M 111123100234100234010010111143001101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭故过渡矩阵234010101⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭P .2.设矩阵20131405x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可相似对角化, 求x .解矩阵A 的特征多项式为2201||31(1)(6)45x λλλλλλ--=-=----A E , 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,6λλλ===因为A 可相似对角化，所以对于121λλ==, 齐次线性方程组() -=A E x 0有两个线性无关的解, 因此()1R -=A E . 由101101()30003404000x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E 知当3x =时()1R -=A E , 即3x =为所求.3.试求一个正交相似变换矩阵，将实对称矩阵111111111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为对角矩阵.解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 2111111(3)111λλλλλ--=--- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为3,0321===λλλ对于120λλ==，解齐次线性方程组(0) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 1(1,1,0)=-α ，T 2(1,0,1)α=-对于33=λ，解齐次线性方程组(3) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 3(1,1,1)α=将向量组12,αα正交单位化得T T12,,ββ== 将向量3α单位化得T3β=，令 123(,,)βββ=Q 0⎛ = ⎝则 1-Q AQ 000000003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 4.用配方法化二次型2221231231213(,,)3524=+++-f x x x x x x x x x x 为标准形, 并写出所用变换的矩阵.解先将含有1x 的项配方.2221231231213(,,)3524=+++-f x x x x x x x x x x=21x +1232(2)x x x -+223(2)x x -－223(2)x x -+223x +235x=2123(2)x x x +-+222x +324x x +23x再对后三项中含有2x 的项配方，则有123(,,)f x x x =222123233(2)2()x x x x x x +-++- 令 1123223332y x x x y x x y x=+-⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即所作变换为 1123223333x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,写成矩阵形式为112233113011001x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，变换矩阵为113011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C在此变换下二次型化为标准形为 2221232f y y y =+- 5.当t 为何值时，二次型),,(321x x x f =322123222122x tx x x x x x ++++为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为210112012t t ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 此二次型正定的充要条件为 1120a =>, 1112>0, 2102t =->A ；由此解得 22<<-t .三、证明题（1）设,A B 都是n 阶方阵，且0≠A ，证明AB 与BA 相似．（2）如果矩阵A 与B 相似，且A 与B 都可逆，证明1A -与1B -相似. 证（1）因为0≠A ，则A 可逆.由于11()()()--==A AB A A A BA BA所以AB 与BA 相似.（2）因为矩阵A 与B 相似，所以存在一个可逆矩阵P ，使得1P AP B -= 所以 111()P AP B ---=，即111P A P B ---=，所以1A -与1B -相似.。

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数习题,数学

第一章练习题（一）一、填空题 1. 设xxx x x xD x f 412412102132)(==，则4x 项的系数为，3x 项的系数为，常数项为 . 2. 五阶行列式的含乘积5243142531a a a a a 的项的符号为 . 3. 设方程0111111211122221121112=-------n n n n n n n a a a a a a a a a xxx其中)1,,2,1(-=n i a i 是互不相等的实常数，则方程的全部解为 . 4. 设A 为3阶方阵，4-=A ，设i α为A 的第i 个列向量，于是),,(321αααA =，则行列式=+12134,,3αααα .5. 设4阶方阵)(432γ,γ,γα,A =，)(432γ,γ,γβ,B =，其中432,,,γγγβα,为4维列向量，且3,2=-=B A ，则=+B A 2 .6. 已知x 的一次多项式111111111111111)(------=xx f ，则其根为 . 二、选择题1. 五阶行列式)det(ij a D =中应有一项为（）. （A ）4453452311a a a a a （B ）5445342311a a a a a （C ）4452352311a a a a a （D ）4451352312a a a a a2. 四阶行列式44332211000000a b a b b a b a 的值等于（）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 3. 记347534453542333322212223212)(---------------=x x x xx x x x x x x x x x x x x f ，则方程0)(=x f 的根的个数为（）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 已知四阶行列式4D 第1行的元素依次为1，2，1-，1-，它们的余子式依次为2，2-，1，0，则4D =（）.(A) 3- (B) 5- (C) 3 (D) 5 5. 已知n 阶行列式1110111=D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于（）. (A) 0 (B) 1 (C) 1- (D) 2 6. 五阶行列式=---------=aa a a a a a a a D 1111000110001100015（）.(A) 54321a a a a a -+-+- (B) 4)1(a - (C) 5)1(a - (D) 4 三、计算题1. 计算n 阶行列式121001001001111-=n n a a a a D，其中01210≠-n a a a a .2. 计算n 阶行列式nn n n nn n y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++=111111111212221212111.3. 计算四阶行列式3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a D +++=.4. 解方程0)1(111121111111111=----xn x x.5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++22221d z c y b x a d cz by ax z y x ，其中d c b a ,,,为不同的数. 四、证明题 1. 证明行列式nn ny xx yy x x y x y x D 1)1(00000000000000+-+==.2. 用归纳法证明：])()[(21nnn a x a x xaaaa x a aa a x aa a a x D -++=------=.3. 证明：333222111333332222211111c b a c b a c b a c c b kb a c c b kb a c c b kb a =++++++.。

线性代数第一张练习题

线性代数第一张练习题1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2?anjn，其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?ann?a11A11?a12A12a1nA1n，a21?an1而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11的项数是!.注意：含有任何元素a的项数都是!.ij2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.a11a12a22?an2a1na2n?ann3、?、n列都加到第一列，则行中的2、解答：将a21?an1列式中有一列元素全为零，所以aij等于零. a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.00b4.解答：方法1按第一列展开a100b40a2b300b2a30?a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3.方法交换2，4列，再交换2，4行 a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a2D00b4=a1b4b1a2a4b3b2a3.方法Laplace展开定理：设在n行列式k个行，由这k中任意取定了行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。

所以按2，3行展开a10a2b300b2a30b100a4ij00b4?2?3?2?3a1b4b1a2a4b3b2a3=a1b4b1a2a4b3b2a3.4. 若n阶行列式aij满足a ?Aij,i，j?1,2,?，n,则aij?0.解答：由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?anna21?an1?a11A11?a12A12a1nA1n?a211?a12a1n?0.225. 若n阶行列式aij的展开式中每一项都不为零,则aij解答：反例如二. 单项选择题1?24?812481xxx23?0.1224?0.1. 方程?0的根为.1,2,3； 1,2,?2； 0,1,2； 1,?1,2. 解答：11?24?812481xxx23111??0，所以根为1,2,?2.a11a12a22a32a13a23?aa332a11a13a23a33a11?a12a21?a22?a31?a32 2. 已知a21a31,那么2a212a31.a； ?a；2a；?2a.2a11a13a23a33a11?a12a31?a32a11a31a13a23a33a12a22?-2aa32解答：a212a31a21?a22?2a21。

线性代数练习册练习题—第1章行列式

第1章行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是。

3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （）.（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有（）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（）.（A ）3,2==l k ，符号为正（B ）3,2==l k ，符号为负（C ）2,3==l k ，符号为正（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是（）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于（）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为（）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数练习题(1-2章)答案

线性代数练习题（行列式·矩阵部分）一、填空题1．n 阶行列式1000010000100001=n D （主对角线元素为1，其余元素均为零）的值为 1 。

2．设行列式D =1211225141201---x，元素x 的代数余子式的值是－14 。

3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭４．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5．5阶行列式D=a aa aa a a a a ---------1101100011000110001=54321a a a a a -+-+-+6．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。

8. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= －12 。

9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零，结论是(1,2,)j j D x j n D== 。

10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1=*1A A。

11. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4E=0,则A -1=1(2)4A E - 。

12.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234246836912481216⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭13. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A =13,*A = 9 。

14．=++++xx x x 22222222222222223(8)x x +15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn(-1)二、选择题1. 设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案线性代数是数学的重点知识，多进⾏试题练习提⾼⾃⼰的能⼒。

以下是由店铺整理线性代数试题及答案，希望⼤家喜欢! 线性代数试题及答案(⼀) 说明：在本卷中，AT表⽰矩阵A的转置矩阵，A*表⽰矩阵A的伴随矩阵，E表⽰单位矩阵。

表⽰⽅阵A的⾏列式，r(A)表⽰矩阵A的秩。

⼀、单项选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错癣多选或未选均⽆分。

1.设3阶⽅阵A的⾏列式为2，则 ( )A.-1B. C. D.1 2.设则⽅程的根的个数为( )A.0B.1C.2D.3 3.设A为n阶⽅阵，将A的第1列与第2列交换得到⽅阵B，若则必有( ) A. B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶⽅阵，下列命题中正确的是( ) A. B. C. D. 5.设其中则矩阵A的秩为( )A.0B.1C.2D.3 6.设6阶⽅阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为( )A.0B.2C.3D.4 7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为( )A.-10B.-4C.3D.10 8.已知线性⽅程组⽆解，则数a=( ) A. B.0 C. D.1 9.设3阶⽅阵A的特征多项式为则 ( )A.-18B.-6C.6D.18 10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为( )A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3 ⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

11.设⾏列式其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为__________. 12.设则 __________. 13.设A是4×3矩阵且则 __________. 14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的'秩为__________. 15.设线性⽆关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表⽰，则r与s的关系为__________. 16.设⽅程组有⾮零解，且数则 __________. 17.设4元线性⽅程组的三个解α1，α2，α3，已知则⽅程组的通解是__________. 18.设3阶⽅阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________. 19.设矩阵有⼀个特征值对应的特征向量为则数a=__________. 20.设实⼆次型已知A的特征值为-1，1，2，则该⼆次型的规范形为__________. 三、计算题(本⼤题共6⼩题，每⼩题9分，共54分) 21.设矩阵其中均为3维列向量，且求 22.解矩阵⽅程 23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和⼀个极⼤⽆关组. 24.设3元线性⽅程组 , (1)确定当λ取何值时，⽅程组有惟⼀解、⽆解、有⽆穷多解? (2)当⽅程组有⽆穷多解时，求出该⽅程组的通解(要求⽤其⼀个特解和导出组的基础解系表⽰). 25.已知2阶⽅阵A的特征值为及⽅阵 (1)求B的特征值; (2)求B的⾏列式. 26.⽤配⽅法化⼆次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0. 线性代数试题及答案(⼆)【线性代数试题及答案】。

线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次的？并求出此吋的最大公因式.解显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

线性代数习题1(附答案)

考研线性代数习题及答案（一）

考研线性代数基础习题及答案（一）1．计算下列二阶行列式：．计算下列二阶行列式：（1）3125--；（2）log 11log a b b a )1b ,a 0,¹>且（b a ；（3）x x y x yx+-；（4）21111t t t +-+. 解：1）= (-3)×5-(-1)×2=-132）=log log 10b aa b ×-= 3）=22()()x x y x y y -+-= 4）=(t +1)(t 2-t +1)-1=t 32．计算下列三阶行列式：．计算下列三阶行列式：（1）111101112---；（2）12111516312---；（3）0230ba cbc a-；（4）111c b ca b a---. 解：1) =1×0×(-2)+1×1×(-1)+(-1)×1×1-(-1)×0×(-1)-1×1×1-(-2)×1×1=-1 2) =1×15×(-2)+2×16×3+(-1)×(-1)×1-(-1)×15×3-16×1×1-(-2)×2×(-1)=92 3) =2()30000b c ac a b c abc ´´+-´´+---= 4) =22222211abc abc b a c a b c +-+++=+++3．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性：．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性：（1）264315；（2）542163. 解：1）6G = 偶排列偶排列 2）9G = 奇排列奇排列4．确定i 和j 的值，使得9级排列级排列（1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列；成偶排列；（2）3 9 7 2 i 1 5 j 4成奇排列. 解：1）当8,3i j ==时成偶排列时成偶排列 2）当8,6i j ==时成奇排列时成奇排列5．利用行列式定义计算下列行列式．利用行列式定义计算下列行列式（1）010010100101001D =；（2）12340000000000a a D a a =. 解：1）(2143)21124334(1)1D a a a a G =-= 2）(2143)142332411234(1)D a a a a a a a a G=-=6．利用行列式性质计算下列行列式：．利用行列式性质计算下列行列式：（1）313023429722203-；（2）3211040220110102；（3）1234234134124123；（4）213131071242115-----. （5）xy x y y x y x x yxy+++; （6）222a b c a b c b c a b cac a b++++++. 解：1) =312103430455223121--=-=--- 2) =10100002602100302=--3) =100010001113110010101601222124411111104-==-------- 4) =10001001138100085521005725401151143==------5) =00x x x y x x y yx y x x y x xx y y x y +++++=0000xyx y y x x y x y y x y x yx y x-++--- 332()x yxyx y x y xy x x y y =+=-+-+-6) =222a b c a bc b c a b c a c a b++++++ =22a b ca b c a b c c b c ab ca c ab ++------++++ 111()22a b c cb c ab cac a b--=++++++=111()022022a b c b c a b c a c c a b --++++++++ 111()0()022a b c a b c a b a cc a b--=++++-++++ =32()a b c ++7．计算下列行列式：．计算下列行列式：（1）1123103230n n nD --=--；（2）111222121212n n n n a a a n a a a nD a a a n++++++=+++（n ≥2）；（3）11221110001100011000010011n n n n a a a a D a a a +-----=---；（4）0121111111000101210001n i n na a a D a i n a a +-=¹=（其中0，，，，，）.解：1) 10001200!1n D n n-==-2) 1°当n =2时，12n D a a =-2°当n ＞2时，11111222222122120212n nn n n n a a a n a a na a a n a a n D a a a na a n++++++++=+=++++3) 110000110000110010001000011n D+--==-4) 01211201111110000000010000nn n i i n na a a D a a a a a a a +=-æö==-ç÷èøå8．解方程：．解方程：（1）2212134526032113212x x ---=--+-- （2）11001()01001x y z x x y z y z=其中、、均为实数. 解：1)22(9)(1)0x x --=3x =±或1x =± 2)22211x y z ---=0x y z ===9．用克拉默法则解下列线性方程组：．用克拉默法则解下列线性方程组：（1）123123133243421132411x x x x x x x x x --=ìï+-=íï-+=î（2）1234123423412342513232222420x x x x x x x x x x x x x x x -++=ìï++-=ïí++=-ïï-++=î解：1)1234112412141142311234111124311432113,,1211211211342342342324324324x xx --------====------------2) 12251115112111113121311231032223220222214201422042D D D -----===----34251125111121113243220322211214D D ----==---- 312412341,0,,1DDDDx x x x DDDD\=======-10．k 取何值时，下面的方程组仅有零解？取何值时，下面的方程组仅有零解？（1）320720230x y z kx y z x y z +-=ìï+-=íï-+=î（2）0020kx y z x ky z x y z ++=ìï+-=íï-+=î解：1) ) 当当32163725630,,5213kk k --=-¹¹-即时仅有零解仅有零解2) ) 当当1111(1)(4)0,14,211kk k k k k -=+-¹¹¹-即且时仅有零解仅有零解（B ）1．填空题．填空题（1）设1234134()124123x f x x x=，则方程f (x )=0的根为____________；（2）1111111111111111xx y y +-+-=________________；（3）设行列式3040222207005322--，则第四行各元素余子式之和的值为__________；（4）n 阶行列式阶行列式00010000001n a a D a a==__________ （5）设n 阶行列式阶行列式13521120010301n n D n-=则D n 的第一行各元素的代数余子式之和11121n A A A +++= ______________. 解：1) ()(2)(3)(4)0f x x x x =---= 2,3,4x x x \===2) =22x y 3) -284) 2nn a a--5) 21!(1)nk nk =-å2．选择题．选择题（1）下列行列式中，不等于零的是（）下列行列式中，不等于零的是（）. A ．1231110.50.50.5---B. 1231110.5 1.5 2.5 C. 1531210.54 2.5D. 111412125---- （2）已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（）. A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m（3）多项式10223()71043173x x x f x x-=--中的常数项是（中的常数项是（）. A ．3 B ．-3 C ．15 D ．-15 （4）设行列式1234123412341234()a a a a x a a a x a f x a a xa a a xa a a --=--，则方程()f x =0的根为（的根为（）. A ．1234,a a a a ++ B ．12340,a a a a +++ C ．1234,a a a a --D ．12340,a a a a ----（5）n 阶行列式D n 为零的充分条件是（为零的充分条件是（）. A ．主对角线上的元素全为零．主对角线上的元素全为零B ．有(1)2n n -个元素都等于零个元素都等于零 C ．至少有一个（n -1）阶子式为零）阶子式为零D ．所有（n -1）阶子式均为零）阶子式均为零解：D 、A 、A 、B 、D 3．证明：32222()22a b c a a b b c a b a b c ccc a b----=+---. 证明证明: : : 左左=111()2222a b c bb c a bc cc a b++---- 33111()00()0a b c b c aa b c c a b=++---=++---4．证明：1111111112222222222a bb cc aa b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++. 解：11111111112222222222ab c c a b b c c a ab c c a b b c c a a b c c a b b c c a ++++=+++++++++左 =1112222ab cab c a b c5．计算下列n 阶行列式：阶行列式：（1）0000100002001000000nD n n=-；（2）123121221321321221n n n n n D n n nn n ---=---- ；（3）210001210000021012n D ---=--；（4）12323413452121n n D n n =-. 解：解： 1) (1)(2)((1),(2)1,)2(1)!(1)!n n n n nnD n n --G --=-=-2) 11111111110222111120022211111nn n n n Dn n n ------------=--=---12(1)2(1)n nn --=-+3) 100000210001200100012n D n ---=--=+-- 4) 1231341(1)145221111n n n n D n +=- =1230111(1)01112111n n n n n-+-(1)12(1)(1)2n n n n n +-+=-×6．用数学归纳法证明．用数学归纳法证明2112122222122122121111n n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a a a a a ++==++++12cos sin(1)sin n q qq+=2cos sin 3sin q q q==sin(1)sin k qq=sin(2)sin k qq=又又111x x x =解：211112122212111()1n n i j j i n n nn n a a a a a a D a a a a a --£££-==-Õ123,0n D D D x D ===== 11231,0n D x x x x D \======10．若齐次线性方程且．若齐次线性方程且1234123412341234020300x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=ìï+++=ïí+-+=ïï+++=î有非零解，则a 、b 应满足什么条件？应满足什么条件？解：当11112110113111a a b =-即2(1)4a b +=时,方程组有非零解方程组有非零解..。

线性代数练习题及答案解析(一)

线性代数练习题及答案解析（一）一、行列式1、排列25341的逆序数为 7 ；2、排列643125的逆序数是 9 ；3、方程211123049x x =的根为 2,3 ；（范德蒙行列式） 4、行列式D=162021304---中，元素－3的代数余子式是（ A ）（A ）10 （B ）2 （C ）－10 （D ）－2 考点：代数余子式定义5、(1)三阶行列式det()ij D a =中含有因子1322a a 的项为 132231-a a a ，含有因子1223a a 的项为 122331a a a . 考点：行列式展开式的定义规则(2)四阶行列式det()ij D a =中含有因子1123a a 的项为 12233144a a a a 或12233441-a a a a .6、设n 阶行列式60D =，且D 中的每列的元素之和为6，则D 中的第三行的代数余子式之和为 10 .考点：行列式的性质6，行列式按行（列）展开7、(1)设n 阶行列式det()ij D a =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）. 考点：行列式按自己的行（列）展开等于行列式，如行（列）与代数余子式的行（列）不一致则等于零。

A 、10nijij i aA ==∑；B 、10nijij j aA ==∑； C 、1nijij j aA D ==∑； D 、121ni i i aA D==∑(2)若4阶行列式D 中第2行的元素212223242,1,3,0,a a a a ====余子式212M =,2223241,3,0M M M ===则D= -12 .注意：代数余子式与余子式的区别。

行列式的展开只与代数余子式有关。

(3)若3阶行列式D 中第1行的元素1112133,2,5,a a a ===代数余子式114A =,12131,2,A A =-=则D= 20 .8、行列式112233440000000a b a b b a b a =（ B ）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2 x3 1 x1 9、对于线性方程组 x1 x 2 3x3 2 ，讨论，为何值时方程组有无穷多解， 2 x x x 2 3 1
并在有无穷多解时求其通解。 10、已知向量组 1 , 2 , 3 线性相关，向量组 2 , 3 , 4 线性无关. 证明：
(1) 1 能由 2 , 3 线性表出； (2) 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出.
11、设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* ，证明： A* A
n 1
.
1,0,0, 1 ） 12、利用 Schmidt 法化 α1 =(1,1,0,0) ， α 2 =(1,0,1,0) ，α3 =（， α 4 =(-1,1,1,-1) 为规范正交向量组.
26、设 n 阶方阵 A，若 R A n 2 ，则 Ax 0 的基础解系所含向量的个数为 27、已知 Ax b 有两个不同的解 x1 , x2 ，则 Ax 0 有一个非零解为
1 a 1 T 28、若 A 0 1 ，且 A A ，则 a
3
三、计算题
x a a
1、 Dn
a
x a
a a x
x12 1
2、 D
x1 x2 x 1
2 2
x1 xn x2 xn
2 xn 1
x2 x1 xn x1
a2
xn x2
3、 D3 b 2
c2
a 12 a 22 b 12 b 22 c 12 c 22
15、设 Amn ， Bmn 为矩阵，则 R A B R A RB 。（ 16、设 A =0，则 R A 0 。（））
）
17、线性方程组 Ann X 0 只有零解，则 A 0 。（
18、若 AX b 有无穷多解，则 AX 0 有非零解。（） 19、若可逆矩阵 P, Q 使得 PAQ B ,则 R( A) R( B) 。（）
22、， 1， 2 线性相关，则， 1， 2， 3 线性 23、， 1， 2， 3 线性无关，则 1， 2， 3 线性 24、由 m 个 n 维向量组成的向量组，当 25、 Amn x b 有唯一解的充要条件是
关关
时，向量组一定线性相关，有无穷多解的充要条件是，无解的充要条件是
3 0 0 15、 0 2 3 0 5 8
1

16、设 n 阶方阵 A 满足 A2 2 A E 0 ，则 A 1
1 2 4 17、要使矩阵 2 1 的秩取得最小值，则 1 1 0
18、列向量组 1， 2，， n 的秩， n 的秩与矩阵 1， 2， 19、设 1 1 2 1 ， 2 0 5 3 ， 3 2 4 2 ，则向量组 1 , 2 , 3 的秩
5 1 3 2 0 1 1 5 3
， D 的 (i, j ) 元的余子式和代数余子式依次记作 M ij ， Aij .
3
4、设 D
1 1 2
4 1 3
求 M11 M 21 M 31 M 41 5、设 A 是 3 阶方阵，且 A
1 1 ，求行列式 3 A 2 A 的值。 2
x1 ax 2 x3 0 7、讨论 a 取何值时，方程组 x1 x 2 x3 0 有非零解？在有非零解时，求其通解。 x x ax 0 2 3 1
x1 2 x 2 x3 0 2 x 5 x 2 x 0 1 2 3 8、求齐次线性方程组的基础解系及通解。 x1 4 x 2 7 x3 0 x1 3x 2 3x3 0
12、设 A 为三阶方阵， A 3 ，则 5 A 1 2 A =
cos 13、设 A sin sin ，则 A 1 cos
a b 1 1 14、设 A c d ，当 ad bc 时， A 存在，此时 A
5
30、向量组 1， 2，（， n 的秩为零的充要条件是它们全为零向量。 31、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（）
32、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（
）
二、填空题
1、排列 32514 的逆序数为 2、已知排列 1s46t5 为奇排列，则 s、t 依次为
20、若 1， 2，（）， n 线性无关，且 k11 k 2 2 k n n 0 ，则 k1 k 2 k n 0 。 21、单独的一个零向量是线性相关的。（） 22、两个等价向量组，若一个线性无关，则另外一个也线性无关。（））
， n （ n 2 ）线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。 23、向量组 1， 2，（
24、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。（
1
）
25、向量组 1， 2，（， n 线性相关，则 n 必可由 1， 2，， n1 线性表示。
1
3、四阶行列式
2
3
4 0 6
号中元素 a 23 的代数余子式为
6 4
1 7 9 5
5 2 8 3
4、 a11a23a32a44 在四阶行列式中应带
0 0 a 0
5、
0 b 0 0 0 0 0 c d 0 0 0

3 6、 1 2 3 2 1 1 7、 2 3 2 1 3
4
4 1 2 1 3 4 5 2 5、设 A ， 1 4 2 14 1 1 3 1
（1）求 R A ；（2）求 A 的列向量组的一个最大无关组；（3）把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 6、设 A 为列满秩矩阵, AB C ,求证:线性方程 BX 0 与 CX 0 同解.
13、证明：若向量组 , , 线性无关, 则向量组 , , 亦线性无关.
2， 0 14、设 1 1 0， 7， 14 ， 4 2，， 1， 2， 4 ， 2 0， 3， 1， 2 ， 3 3， 1， 5， 6 ， 5 1， 1，
求此向量组的秩和一个最大无关组，并用该最大无关组表示其余向量。
x1 1 x2 12 x3 13 2 3 x x 2 x3 2 15、设线性方程组 1 2 2 求证：若 1 , 2 , 3 , 4 两两不等，则此线性方程组无解. 2 3 x1 3 x2 3 x3 3 2 3 x1 4 x2 4 x3 4
0， 1， 1 ， 4 0， 20、设 1 1， 1， 1， 1 ， 2 0， 1， 1， 1 ， 3 0， 0， 0， 1 线性
关
0， 1 ， 4 0， 21、已知 1 1， 0， 0 ， 2 0， 1， 0 ， 3 0， 2， 1 ，则用 1， 2， 3 表示 4 1 0
1 1 9、 0 1
2
10、设 A 1,2, B 2,1 ，则 AT B

99

1 2 3 11、设 A 0 3 2 ，则 A 0 0 6

1

4、设 A ， B 为 n 阶方阵，如有矩阵关系式 AB AC ,则 A 0 时必有 B C 。（ 5、若 A2 B 2 ，则 A B 或 A B 。（） 6、若 AB AC ， A 0 ，则 B C 。（） 7、设 A ， B 为 n 阶方阵，且 A 可逆，若 AB O ,则 B 可逆。（ 8、设 A 是 n 阶方阵，若 A 0 ，则必有 A 可逆。（） 9、若矩阵 A 满足 A 2 0 ，则 A 0 。（）
1
）
10、对 n 阶可逆方阵 A ， B ，必有 AB A1 B 1 。（
1
））
11、对 n 阶可逆方阵 A ， B ，必有 A B A1 B 1 。（ 12、设 A ， B 为 n 阶方阵，则必有 A B A B 。（ 13、设 A ， B 为 n 阶方阵，则必有 AB BA 。（ 14、若矩阵 A 与 B 等价，则 A B 。（）））
1 1 0 1 6、已知 A 0 0
1 1 ，求 A1 . 1 n
四、解答题
1、设 1 2 3 ， 1 1 / 2 1 / 3 ，（1）计算 T 、 T ；（2）求 T 。
T T

n
0 1 2 2 3 2、解方程 1 1 4 X 1 5 。 2 1 0 3 6 0 3 3 3、设矩阵 A 1 1 0 ，且 AX A 2 X ，求解未知矩阵 X 。 1 2 3 0 1 0 1 1 4、设矩阵 X 满足方程 X AX B ，其中 A 1 1 1 , B 2 0 ，求 X 。 1 0 1 5 3
《线性代数》练习题一、判断题
1、四阶行列式中含因子 a11a 23 的项为 a11a23a34a42 和 a11a23a32a44 。（ 2、设 D 为六阶行列式，则 a61a52a43a34a25a16 是 D 中带负号的项。（ 3、排列 nn 1321 的逆序数为 n 。（））））
））
26、若向量组 1， 2，（， n 线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。 27、两个向量线性相关，则他们的分量对应成比例。（） )
28、若向量不能由 1， 2，， n 线性表示，则 1， 2，， n , 线性无关 ( 29、任意 n 1 个 n 维向量必线性相关。（））

线性代数练习题 (1)

线性代数复习题带参考答案(一)

线性代数练习题一

线性代数总复习题(一)

线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题1(附答案)

线性代数习题1

线性代数练习题及答案10套

线性代数习题,数学

线性代数第一张练习题

线性代数练习册练习题—第1章 行列式

线性代数习题集(带答案)

线性代数练习题(1-2章)答案

线性代数试题及答案

线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

线性代数习题1(附答案)

考研线性代数习题及答案（一）

线性代数练习题及答案解析(一)

线性代数练习册练习题—第1章行列式