2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.2 数学归纳法应用举例课件1 新人教B版选修2-2

(2)假设当n=k时不等式成立,即有:
1 1 1 1 2 k,
23
k
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1 2 k 1 ,
23
k k 1
k 1
2
k k 1 1 k k 1 1 2
k 1.
k 1
k 1
故 :1 1 1 1 1 2 k 1.
23
k k 1
即当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.
即当n=k+1时,命题成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.
(4)数学归纳法证明不等式问题：
例1、用数学归纳法证明:
1 1 1 13 (n 2, n N*). n 1 n 2 2n 24
证:(1)当n=2时, 成立.
左边=
1 21
2
1
2
1 3
1 4
14 24
13 24
13 ( 1 1 ) 13
1
13 .
24 2k 1 2k 2 24 (2k 1)(2k 2) 24
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 n N, n 2 都成立.
例2、证明不等式: 1 1 1 1 2 n(n N*).
23
n
证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.
1 22
1 32
1 k2
(k
1 1) 2
2
1 k
(k
1 1) 2
1 ak
)
1 2
(
k
k 1
1 ) k k 1
k.
ak 1
S k 1
Sk
1 2 (ak1
1 ) ak 1
k ak21 2
k ak1 1 0
ak1 k 1 k (ak1 0).
故当n=k+1时,结论也成立.
根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.
数学归纳法证明整除问题：
例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
,
不等式
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
1 1 1 13 , k 1 k 2 2k 24
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1
(k 1) 1 (k 1) 2
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 ( 1 1 1 )
k 1 k 2
2k 2k 1 2k 2 k 1
例3、求证:
1
1 22
1 Βιβλιοθήκη Baidu2
1 n2
2 1 (n N , n 2). n
证:(1)当n=1时,左边= 1
1 22
5,右边=
4
2
1 2
3 2
,由于
5 4
3 2
,故不等式成立.
(2)假设n=k( k N, k 2 )时命题成立,即
1
1 22
1 32
1 k2
2 1. k
则当n=k+1时,
1
例1、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且
用数学归纳法证明: an n n 1.
2Sn
an
1 an
.
证:(1)当n=1时, a1 S1 =1,结论成立.
1 2
(a1
1 a1
)
a12
1
a1
1,
1
11
(2)假设当n=k时,结论成立,即ak k k 1. 则当n=k+1时,
Sk
1 2
(ak
用上假设 递推才真
点题
写明结论
才算完整
数学归纳法的核心思想
1、数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可 靠的基础上，利用命题自身具有的传递性， 运用“有限”的手段，来解决“无限”的问 题。 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不 足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到 一般、由有限到无穷.
(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除
则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1
=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1) 因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除, 所以上式右边能被x2+x+1整除.
数学归纳法及其应用举例
一、复习引入：
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论:
（1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件
（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也
正确；
假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论.
因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.
例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.
证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
例2、用数学归纳法证明: An 5n 2 3n1 1(n N *) 能被8 整除.
证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 Ak 5k 23k1 1 是8的倍数. 那么: Ak1 5k1 2 3k 1 5(5k 2 3k1 1) 4(3k1 1) 5Ak 4(3k1 1)
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立.
(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.
则当n=2k+2时,有 x2k2 y2k2 x2 x2k y2 y2k
x2(x2k y2k ) y2k (x2 y2) x2(x2k y2k ) y2k (x y)(x y) x2 (x2k y2k )、y2k (x y)(x y) 都能被x+y整除.