运用公式法分解因式(1)
运用公式法因式分解
运用公式法因式分解一、教学目标1. 认知目标：分解因式的意义.2. 能力目标：掌握公式法分解因式的步骤，灵活运用公式法分解因式.二、教学重难点1. 重点：观察各项多项式是否含有公因式.2. 难点：提取公因式要提“全”提“净”;合理选用公式进行因式分解.三、教学过程（一）温故1. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方式：(a-b)2＝a2-2ab＋b2(a+b)2＝a2+2ab＋b23. 练一练（二）知新例1. 把下列各式分解因式：(1) (a+b)2 -1 (2) x4-1(1) (a+b)2 -1解析：应先观察多因式的特征，后利用公式法分解.解： (a+b)2 -1=(a+b)2 -12=(a+b+1)(a+b-1)(2) x4-1解析：发现两项均可写成平方的形式，并且两项符号相反，故可用平方差公式分解，且注意一定要分解彻底.x4-1= x4-12=(x2+1)(x2-1)= (x2+1)(x+1)(x-1)小练手1:(1) (x-3y)2-4x2(2) 9(a+2b)2-4(a-b)2例 2. x3-xy2分析：观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，根据其特点，首先采取提公因式法，之后利用公式法分解。
x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)小小总结：分解因式步骤：提取公因式法---公式法---直到各个因式能化简到不能化简为止.小练手2(x-3y)2-4x2 9(a+2b)2-4(a-b)2例 3.把下列各式分解因式：(1) m2-12m+36 (2) –a2+2ab-b2(1) m2-12m+36解析：直接利用完全平方差公式m 2-12m+36=(m-6)2(2) –a 2+2ab-b 2解析：先提取-1，之后利用完全平方差公式–a 2+2ab-b 2=-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b)2 小练手 3：(1) 19 m 2+1+23m (2)x 4+16y 2-8x 2y例 4.2a 3b+8a 2b 2+8ab 3解析：先提取公因式，然后再利用完全平方式。
231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
《公式法》因式分解PPT(第1课时)
B．-m ²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m ²+n ² 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
合作探究
探究点三 问题1：把下列各式分解因式: （1）9（m+n）²－（m－n）²; （2）2x³－8x. （3）x 4-1 解：（1）9（m+n）²－（m－n）²
4.3 公式法
第1课时
八年级下册
-.
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
前置学习
1.填空
①25x²＝ (__5_x__)²
③0.49b²＝ (_0_._7_b_)²
⑤1
4
b²＝
(__12_b__)²
②36a4 ＝ (__6_a_²_)² ④64x²y²＝ (__8_x_y_)²
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形 式 2 .公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
课后作业
1．对于任意整数n，多项式(n＋7) ²－(n－3) ²的值都能( A )
随堂检测
1．判断正误 （1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘） （ ✔） （ ✘） （ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
公式法分解因式(一)教案
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－ b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（ b）2
=（3a+ b）（3a－ b）.
［师］那么这两道题中a2、b2分别对应着谁？
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
课题：运用公式法（1）
*******
班级：三年四班
教学目标
（一）教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.从右向左可以看作是整式乘法中的平方差公式，从左向右可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，两项的符号相反，整体来看是两个整式的平方差.
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
【设计意图】：帮助学生意识到平方差公式中的a、b既可以表示单项式也可以表示多项式。通过分解到每个因式不能再ห้องสมุดไป่ตู้解为止来培养学生数学思维的严谨性。
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
小专题( 六 ) 因式 分解的几种常见方法
小专题
因式分解的几种常见方法
（六）
-2-
专题概述
因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1.提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而 将多项式化成两个因式乘积的形式. 2.运用公式法:由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,因此把乘法公式反过来,就可以用 来把某些多项式分解因式. 3.分组分解法:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因 式a;把它后两项分成一组,并提取公因式b,从而得到a( m+n )+b( m+n ),又可以提取公因式 m+n,从而得到( a+b )( m+n ).
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。
所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。
三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。
（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。
3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。
用公式法进行因式分解第一课时课件
因式分解
我们把多项式a² ＋2ab＋b²和
a² －2ab＋b²叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
(1)二次三项式。 (2)两数的平方和，两数积的2倍。
a2+2Βιβλιοθήκη b+b2 =(a+b)2. a2−2ab+b2 =(a−b)2.
两数的平方和，加上（或者减去）这两 数的积的2倍，等于这两数和或差的平方. 像 a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平式
当堂达标：
1.选择题：下列各式能用平方差公式分解因式的 是（ D ） A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y D. - X² + y² 2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
考考你
除了平方差公式外，还有哪些公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a-b)2=a2-2ab+b2 ;
怎样用语言表述
两数和或差的平方，等于这两数的平方和 加上（或者减去）这两数的积的2倍.
完全平方公式：
完全平方公式 (a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是： (a－b)2 = a²－2ab＋ b² 两个数的平方 和，加上(或减 整式乘法 去)这两数的积 2 a²＋2ab＋ b² = (a＋b) 的2倍，等于这 a²－2ab＋ b² = (a－b)2 两数和(或差)的 平方。
用公式法进行因式分解
教学目标 1.理解运用平方差公式和完全平方公式分 解因式与整式乘法是相反的变形. 2.学会运用平方差公式和完全平方公式分 解因式，并且分解到底. 3.培养观察分析问题的能力. 4.体会“整体”“换元”的数学思想和方 法.
公式法因式分解(1)
例4 如图，求圆环形绿地的面积.
解： π352 - π152 = π(35 -15 ) = (35 +15)(35-15)π 20 π = 50 · = 1000 π (m2)
2 2
答：圆环形绿地的面积是 1000 π m2
——说说本节课你的收获
问题：
记住平方差公式了吗？它有什么特 点？ 运用平方差公式要分几个步骤？ 在使用过程中我们该注意什么？
x2-25
第⑴、⑵两式从左到右是什么变形？ 第⑶、⑷两式从左到右是什么变形？
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差。
a b (a b)(a b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与
这两个数的差的积。
下列各式中，能用平方差公式分解因式的有:
——运用公ห้องสมุดไป่ตู้法
授 课 人：程辛贤
课前提问
1、什么叫因式分解？我们已学 过什么因式分解的方法？
2、因式分解与整式乘法有什么关 系？
在横线上填上适当的式子，使等号成立：
1、(x+5) (x-5) = _____ 2-b2 a 2、(a+b) (a-b) = _____ 3、x2-25 = （ _____ x+5） (x-5) (a-b) 4、a2-b2 = (a+b)_____
练习：用平方差公式分解因式：
(1) -0.01+9a2 (2) -36y2+25x2
例 3 分解因式
x4 - y4
解：原式= (x2)2 - (y2)2 = ( x2+ y2) ( x2-y2) = ( x2+ y2) (x+y)(x-y) 练习 :（1）81x4
用乘法公式分解因式课件1
(1) x2-1 =(x+1)(x-1) (3)x2-4y2 =(x+2y)(x-2y)
公告
男女选手轮 流答题，最 后统计，胜
(2)m2-9 =(m+3)(出m的-3团) 体为
“智能冠军
(4) 25x2-4 =(5x+2)(5x”-2)
(5) 0.01s2-t2 =(0.1s+t)(0.1s-t)(6) 121-4a2b2=(11+2ab)(11-2ab)
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》七年级下册
6.3 用乘法公式分解因式（1）
计算:
（1）101×99 （2）992-1
=(100+1)(100-1) =(99+1)(99-1)
=1002 –1
=100 × 98
=9999
=9800
整式 乘法
(a b)(a b) a2 b2
(2) 8a3 2a =2a(4a2-1)
=2a(2a+1)(2a-1)
(3) 27a3bc 3ab3c
=3abc(9a2-b2)
=3abc(3a+b)(3a-b)
1、分解因式
4x2–y2=(4x+y)(4x-y )
诊断分析：
公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2–y2中4x2 相当于a2 ,则2x相当于“a”.
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例把下列各式分解因式：
(1)-m2n2+4p2 (2) 9 x2 - 1 y2 (3)(x+z)2-(y+z)2
25 16
解:（1）原式=（2p)2-(mn)2 = (2p+mn)(2p-mn)
因式分解公式法1
将下列多项式因式分解：
13x312x
2a3ab2
(1)解：原式=3x(x²-4)=3x(x+2)(x-2)
(2)解：原式=a(a²-b²)=a(a+b)(a-b)
交流与小结：
归纳:因式分解的一般步骤： 1）一提 提公因式 2）二套 套用公式
注意：分解必须彻底。
1、判断下列各式能用平方差公式分解因式吗？
× x2+y2 × -x2-y2
√ -x2+y2
4x2y2
√
仔细填一填
1 9 y 2 3y 2
2 36 x 2 6 x 2
25
5
3 9 t 2 3 t 2
4
2
三、合作探究
例1 把下列多项式因式分解．
14x2y2
2252 x4y2
解：原式=(2x)²-y² 解：原式=(5x)²-(2y)²
解:(x+y)²-(x-y)² =[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)] =(x+y+x-y)(x+y-x+y) =2x·2y =4xy
把 x 4 y 4 因式分解．
解:原式=(x²)²-(y²)²
注意：在因式分解时， 必须进行到每一个因
=(x²+y²)(x²-y²) 式都不能分解为止。
分解因式注意事项：
1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。 2、分解之后要看每一项是否分解彻底。 3、答案要写成最简形式。
=(x²+y²)(x+y)(x-y)
将下列多项式因式分解：
1x4 16
29x43y 62
用公式法进行因式分解
12、4用公式法进行因式分解（第1课时）学法指导:1．教学方法：讲练结合法、自主学习、小组探究合作．2．学生学习本节时，要注意：（1）进一步弄清因式分解与整式乘法的区别和联系。
（2）分解因式时，要先观察题目的结构特征，看使用哪个公式，同时要养成及时检验的学习习惯。
学习目标1．理解运用公式法因式分解的含义，熟记因式分解公式。
2．搞清楚每个公式的特征，能运用公式进行因式分解。
3．探究逆用乘法公式的过程中培养逆向思维和观察能力。
学习重难点：1、重点：用公式法进行因式分解。
2、难点：“灵活”运用平方差、完全平方公式解决实际问题。
学习过程：（一）温故知新，情境导航：1、什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么?2、因式分解与整式乘法有什么区别和联系？你能对a 2-b 2，a 2+2ab+b 2，n 2-4进行因式分解吗？（二）课堂探究：探究一：平方差篇（一）根据乘法公式计算：① =_________ ② =_________③ =_________（二）根据等式的对称性填空① =_________② =_________③ =_________(2)(2)m m +-()()a b a b -+)22)(22(-+n n 42-m 22b a -442-n讨论：对比（一）和（二）你有什么发现？结合上面规律把平方差公式反过来进行因式分解，你会得到什么？（学生总结）平方差公式因式分解特征：典题探讨（1）4 x 2-25 (2) 16a 2 -9 b 2探究二：完全平方差篇（一）根据乘法公式计算：① =_________ ② =_________③ =_________（一）根据乘法公式计算：① =_________ ② =_________③ =_________讨论：对比（一）和（二）你有什么发现？结合上面规律把完全平方公式反过来进行因式分解，你会得到什么？（学生总结）完全平方公式因式分解特征：例2：把下列各式进行因式分解: (1)25x 2+20x+4 (2)9m 2-6mn+n 2 （3）（三）课堂小结，回顾反思学习了本节课，你有什么收获？如何利用乘法公式进行因式分解？说出来与大家分享吧！2)(b a +2)(b a -2)2(+m 222b ab a ++222b ab a +-442++m a 41x x 2++（四）课当堂检测1、因式分解(1) 4x 2-16y 2 (2)64m 2-25n 2(3)4x 2-12xy+9y 2 (4)81m 2-144mn+64n 22、多项式4 x 2-x 加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？并对其进行因式分解（五）课后作业必做题：习题12.4第1题。
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。
通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。
公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。
例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。
3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。
例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。
4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。
例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。
5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。
例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。
除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。
例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。
根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。
因式分解的常用方法(7种)
因式分解的常用方法(7种）把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式） 因式分解X 2-1 (X+1)(X-1)整式乘法一、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？（1）取各项系数的最大公约数；（2）取各项都含有的相同字母；（3）取相同字母的最低次幂．二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1） (a+b)(a-b) = a 2-b 2(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3= a 3+b 3 (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3+a 2b+ab 2-a 2b-ab 2-b 3= a 3-b3 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c]2=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a 3+ab 2+ac 2-a 2b-abc-ca 2)+(a 2b+b 3+bc 2-ab 2-b 2c-abc)+(a 2c+b 2c+c 3-abc-bc 2-c 2a) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
运用公式法因式分解
八 年 级 数 学 备 课 组
=2x(x2-22)
=2x(x+2)(x-2)
1、x2+y2=(x+y)(x-y)
（
）
2、x2-y2=(x+y)(x-y)
3、-x2+y2=(-x+y)(-x-y)
（
（
）
）
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4、-x2-y2=-(x+y)(x-y)
5、-x2+y2=-(x+y)(x-y) 6、-x2+y2=(y+x)(y-x)
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（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ，它们 有什么共同特征？ （2）尝试将它们分别写成两个因式的乘 积，与同伴交流.
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事实上，把乘法公式 (a+b)(a-b) =a2 –b2 反过来，就得到
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a2-b2=(a+b)(a-b)
例1 把下列各式分解因式：
b
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a
（1）已知, x+ y =7, x-y =5,
求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.那么 ax+ay+x2-y2呢？
（2）如果4x2-9y2=31，并且x,y都是 自然数，求x,y的值.
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今天你学到了什么？
1、利用平方差公式进行因式分解 2、当多项式的各项有公因式时,通常先提 出这个公因式,然后进行因式分解
（
（ （
）
） ）
运用适当的方法分解因式:
七年级数学运用公式法分解因式
( 16 a2 b2 (ab 4)(ab 4)
例2、把下列各式分解因式
(1) (m n) 6(m n) 9
2
(m n) 3
m n 3
2
2
(m n)2 2(m n) 3 3 2
2
2
(2) 9(a b) (a b)
x 25
2
x 6 xy 9 y
( x 5)( x 5) (3x y)(3x y)
9x y
2 2
完全平方公式：
a 2 2ab b 2 (a b)2 a 2 2ab b 2 (a b) 2
平方差公式：
a2 b2 (a b)(a b)
(4)
a b （a b)(a b) 2 2 2 2 36a 25b (6a) (5b) (6a 5b)(6a 5b)
2 2
随堂练习： 1、填空（把下列各式写成完全平方的形式）
(1) 25a 2 ( 5a ) 2 (4) y 8 y 16 (
2
小结： 1、内容归纳： （1）因式分解的方法：公式法 （2）因式分解的3个公式 2、方法归纳 在运用公式分解因式时，要通过观察、分 析、判断所给多项式是否符合公式的特征，弄 清所给多项式中，相当于公式的a,b分别是什 么，正确地运用公式。
作业：
教科书习题8.5第4题。
； / 硅藻泥加盟
猪猪爬还要难看！爷居然要模仿那种字体，实在是有失颜面！可是为咯婉然，他全都忍下咯。现在他才晓得，她の字居然那么漂亮，居然能让他误以为是字帖！第壹卷 第533章 倩兮看着那清新秀丽又别失力道の字体，他真是越看越喜欢，字如其人，像她那样娇娇柔柔、小小巧巧の人，选择那种字体真是太适合她咯，怪别得能写得那么好。相反，无论是 颜体大楷还是米芾狂草，气势都太过大气滂沱，她那么娇弱の人实在是撑别起来，选择倪瓒の簪花小楷作为她の首选主攻方向真是选得太对咯。在心中暗暗夸赞完水清の字体，王 爷又禁别住欣赏起她の文采。虽然只是事无巨细地记忆咯每壹天府里发生の大大小小事情，但是就算仅仅只是壹各流水账，就算水清只是随意地写写而已，可是呈现在他面前の那 各汇报，遣词造句甚为得体，字斟句酌，言简意赅，又极富文采，读起来朗朗上口、壹气呵成，就好像那些事情就真切地发生在他の眼前似の。特别是再跟小福子の那各语句别通、 错字连篇，他要连蒙带猜才能读懂の汇报两相比较，那各如字帖般の汇报别晓得要好上好些倍，完全就是云泥之别。那就是他の侧福晋？娶回府里当咯他五年の侧福晋，居然才华 是那么出众？以前他只晓得她の“诡计多端”，她の桀骜别驯，她の倔强冷漠，今天他真是第壹次充分地领略到她の另壹面。更重要の是，从她汇报の内容上来看，与小福子の内 容壹模壹样，说明她没什么丝毫の隐瞒和做假，尽职尽责地履行着她の职责。原本留下小福子是为咯防范她有啥啊别轨企图，现在却变成咯有力地证明咯她是多么の忠于职守，多 么の诚实无欺。既有出众の文采，又有坦诚の心灵，简直就是壹块稀世珍宝，静静地陪伴咯他五年の时光，可是他怎么就壹点儿也没什么发现呢？是啥啊蒙蔽咯他の双眼，让他别 但没什么珍视她の美好，反而屡屡产生误会，甚至是令她蒙受咯别白之冤？可是他壹贯自诩看人の眼光既独到又老辣，几乎从来就没什么看错过人，可是那壹次，他有点儿心虚气 短起来，竟然败在咯排字琦の手下。假设别是排字琦壹意孤行，极力地推荐水清，那块稀世珍宝别晓得还要被蒙蔽多久才会放射出它璀璨而夺目の光芒？壹时理别出头绪の他禁别 住提起笔，另寻咯壹页纸，在上面无意识地写咯起来，壹边写壹边苦苦地思索着，企图寻找出答案。满脑子浮想联翩，使他竟别知刚刚落笔都写咯些啥啊，所以待他回过神儿来之 后，定睛壹看，才惊讶地发现他刚刚写在纸上の，居然是壹句诗：手如柔荑，肤如凝脂，领如蝤蛴，齿如瓠犀，螓首蛾眉，巧笑倩兮！美目盼兮！望着自己无意识地写下の，出自 《诗经•卫风•硕人》の诗句，完全就是心之所想，跃然纸上，他の眼前别禁浮现出水清那娇俏の模样：时而天真、时而倔强、时而温顺、时而愤怒、时而骄傲、时而冷漠、时而 ……各式各样表情の水清，轮番地出现在他の眼前，令他の眉头锁得更紧。第壹卷 第534章 心乱想着想着，他有些自我解嘲地笑咯笑，“巧笑倩兮，美目盼兮”，他有那么多の 公文别看，居然还有闲功夫胡思乱想啥啊呢？于是随手就将那页胡乱写咯些诗句の纸，连带着那四十三页纸の管家汇报，壹并随手塞进咯书桌の抽屉里。虽然他将那些纸页放进咯 抽屉里，虽然他开始专心致志地看起咯公文，可是破天荒地，竟又莫名其妙地心烦气燥起来。在他の诸人中，除咯淑清以外，全都大字别识壹各，即使是识字の淑清，也仅仅是只 识得别到百十来各字。可就是那区区别到百十来各字，也使她在壹众女眷中立即脱颖而出，卓而别群。而他又是壹各汉学造诣极深の人，即刻视淑清为知己。所以，虽然她持宠而 骄、小脾气别断，仍然能够独享二十年专房独宠。那也是排字琦空有高贵の出身、纯正の血统、尊贵の地位，空有嫡福晋の名分，最终也未能与他修成正果の最主要の原因。而他 现在才发现，那各被他别情别愿地娶进府里已经有五年の侧福晋，别仅仅是能读书会写字，更是写得壹手好文章，即使是每日の小小の管家汇报全都当作壹篇大作来对待，字字珠 玑、条理清晰、文字流畅、用语准确，读起来简直就是栩栩如生、畅快淋漓。那四十三页纸の管家汇报，搅得他心绪别宁、坐立别安，如此强烈地冲击着他の大脑。那是壹各啥啊 样の诸人？才华横溢，聪明伶俐，饱读诗书，足智多谋、模样秀美，淡定从容，谦虚谨慎，怎么她身上の那些美德全都是他喜欢の？壹想到那里，他の眼前别由自主地浮现出她の 模样，昨日里她怀抱着五小格对他和十三小格笑吟吟の模样。眼看着日头有些偏斜咯，他才发现，计划中要完成の事情壹件也没什么办完，满脑子里想の全是她！再那样下去，公 务全要被耽搁咯。可是，即使公文全要被耽误咯，也无法阻挡住他迫别急待地想要晓得他娶回府中の那各宝藏中，还埋藏着好些奇珍异宝の念头。根本无法踏实下心来の他于是索 性将公文壹推，吩咐秦顺儿，去怡然居。“回爷，奴才跟怡然居说您啥啊时候到？”“别用传口信儿咯，现在就去。”没什么得到提前通报，怡然居里无论是主子还是奴才们都各 自忙着自己手中の事情，以至于作为全府之中最高领导到来の时候，竟然没什么壹各奴才在大门口恭迎他の大驾光临。对于怡然居从主子到奴才壹贯如此懒散の局面，他已经见惯 别怪咯。平心而论，那样の结果也别能完全算是水清の责任，他几乎从别过来，那五、六年来，他才
公式法分解因式
公式法分解因式公式法是一种将函数拆解为多个因式相乘的方法，用于分解多项式的因式。
它是数学中的一种重要的技巧，尤其在解决代数方程和求解多项式零点时经常使用。
公式法的基本思想是寻找函数的因式，并将其分解为多个较简单的因式相乘。
下面将详细介绍公式法分解因式。
步骤一：判断函数的类型首先，我们需要确定给定函数的类型，以便于采取相应的公式法。
函数可以是多项式函数、有理函数或三角函数等。
不同类型的函数需要采用不同的分解方法。
步骤二：因子分解在确定了函数的类型之后，我们需要寻找函数的因子。
对于多项式函数，我们可以使用多项式的因式分解公式，如二次函数或三次函数的因式分解公式。
对于有理函数，我们可以使用有理函数的因式分解公式。
而对于三角函数，我们可以使用特定的三角函数的因式分解公式。
步骤三：分解因式接下来，我们将找到的因子进行分解。
对于多项式函数，我们可以使用多项式的因式分解公式进行因式分解。
对于有理函数，我们可以使用有理函数的因式分解公式进行因式分解。
对于三角函数，我们可以使用特定的三角函数的因式分解公式进行因式分解。
步骤四：合并因式在完成因素的分解后，我们可以将所有的因素合并到一起，形成最终的因式分解结果。
这些因式相乘就可以得到原函数。
公式法分解因式的优点是能够将复杂的函数分解为多个较简单的因式相乘，从而让计算更加方便快捷。
公式法在代数方程的求解和多项式零点的求解中有着广泛的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过分解因式来简化问题的解决过程，从而得到更加清晰简洁的结果。
需要注意的是，公式法分解因式需要对不同种类的函数有一定的了解和掌握。
对于不同类型的函数，我们需要使用相应的公式法进行分解。
此外，公式法的应用也需要一定的经验和技巧，通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用公式法分解因式。
运用公式法分解因式
运用公式法分解因式一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
例5、 分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。
例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1).七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。
例7、 分解因式：(x 2+4)2-16x 2.作 业（3.16）：1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）(A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）(A)22x y +(B)222x xy y -+ (C)222x xy y +- (D)22x xy y ++ 3、 41x -的结果为（ ）Ａ．22(1)(1)x x -+Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 4、代数式42281969x x x x ---+，，的公因式为（ ） Ａ．3x -Ｂ．2(3)x + Ｃ．3x + Ｄ．29x + 5、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ）Ａ．40 Ｂ．40± Ｃ．20 Ｄ．20±6、填空： 22()m mn ++= ．7、利用因式分解计算2100991981=++ ． 8、 分解因式：241x -= ．分解因式：24a -= ．9、（1）运用公式法计算：222218161301181--．（2）用简便方法计算：228001600798798-+×． 10、 分解因式：（1）221664a x ax ++（2）216(23)a b -+ 11、把下列各式分解因式．（1）249x -； （2）224169x y -； （3）2125a -+； （4）220.01625m n -． 12、把下列各式分解因式．（1）2816a a ++；（2）2(2)6(2)9a b a b ++++； （3）221222x xy y ++； （4）2244mn m n ---． 13、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值． 14、把下列各式分解因式．（1）269x x ++； （2）242025x x -+； （3）222816a b abc c -+；（4）221424a ab b ++； （5）2()4()4a b a b +-++． 15、把下列各式分解因式．（1）20042003()16()m n m n --- ； （2）22222()4x y x y +-．16、把(1)(3)1x x --+分解因式．真 实 自 测：选择题1、代数式x 4－81,x 2－9,x 2－6x ＋9的公因式为（ ）A 、x +3B 、（x +3）2C 、x －3D 、x 2+92、若9x 2－m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m=（ ）A 、12B 、24C 、±12D 、±243、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（ ） A 、3或28 B 、3和－28 C 、－23和14 D 、－23和－14 4、下列变形是因式分解的是（ ）A 、x 2+x －1=（x +1）（x －1）+x ,B 、（3a 2－b 2）2=9a 4－6a 2b 2＋b 4C 、x 4－1=（x 2+1）（x +1）（x －1）,D 、3x 2+3x =3x 2（1+x1）5、若81－k x 4=（9+ 4x 2）（3+2x ）（3－2x ）,则k 的值为（ ）A 、1B 、4C 、8D 、166、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（ ）A 、91a 2+32ab ＋b 2 B 、a 2－6a ＋36 C 、－4x 2+12x y －9y 2 D 、x 2+x ＋41 7、在有理数范围内把y 9－y 分解因式，设结果中因式的个数为n,则n=（ ），A 、3，B 、4C 、5D 、68、下列多项式不含因式a+b 的是（ ）A 、a 2－2ab ＋b 2B 、a 2－b 2C 、a 2+b 2D 、（a+b ）49、下列分解因式错误的是（ ）A 、4x 2－12x y+9y 2=（2x +3y ）2,B 、3x 2y+6x y 2+3y 3=3y （x 2+2x y+y 2）=3y （x +y ）2C 、5x 2－125y 4=5（x －y 2）（x +y 2）D 、－81x 2+y 2=－（9x －y ）（9x +y ）10、下列分解因式正确的是（ ）A 、（x －3）2－y 2=x 2－6x +9－y 2,B 、a 2－9b 2=（a+9b ）（a －9b ）C 、4x 6－1=（2x 3+1）（2x 3－1）,D 、2x y －x 2－y 2=（x －y ）2填空题11、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为 。
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1.定a , b 2.变形式 3 .写结果. ●注意:最终结果要保证不能再分解为止,也 就是说分解要彻底.
随堂练习:
1.判断正误:
(1) x2+y2=(x+y)(x-y) (2)x2-y2=(x+y)(x-y) (3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y) (4)-x2-y2=-(x+y)(x-y)
• (7)9a2p2 –b2q2
• (8) -16x4 +81y4
• (1) a2-81
解原式＝a2－92
•
＝(a＋9)(a－9)
• (2) 36- x2
解原式＝62－x2
•
＝(6＋x)(6－x)
• (3) 1－16b2
解原式＝12 － (4b)2
＝ (1＋4b)(1－4b)
• (4) m2 – 9n2
(2)9a2-
1 b2=(3a)2-( 4
1 2
b)2=(3a+ 12
b)(3a-
1 2
b)
确定多项式中的a和b是利用平方差公式分解
因式的关键．
练一练
• (1) a2-81
(2) 36- x2
• (3) 1- 16b2
(4) m2 – 9n2
• (5) 0 .25q2 -121p2 (6) 16公式:
两个数的和与两个数的差的积等于这两 个的平方差：
(a+b)(a-b)=a2-b2 反过来，就得到：
a2-b2=(a+b)(a-b)
例题讲解
例１ 把下列各式分解因式：
1
（１) 25 —16x2
(2) 9a2— 4 b2
解:（１）25 -16x2=52 -(4x)2=(5+4x)(5-4x)
解原式＝ m2－(3n)2
＝ (m＋3n)(m－3n)
• (5) 0 .25q2 －121p２
解原式＝(0.5q)2 － (11p)2
• ＝(0.5q+11p)(0.5q-11p)
• (6) 169x2 －4y2
解原式＝(13x)2－(2y)2
•
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
• (7)9a2p2 －b2q2
解原式＝(3ap)2－(bq)2
＝(3ap＋bq)(3ap－bq) (8) -16x4 ＋81y4 解原式＝81y4－16x4 ＝(9y２)2－ (4x２)2 ＝(9y2+4x2)(9y2-4x2) ＝(9y2+4x2)〔 (3y)2-(2x)2〕 ＝(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)
利用 平方差公式分解因式的步骤:
(×)
(√ )
(× )
(× )
2.分解因式:
(1)a2b2-m2
( 2) (m-a)2-(n+b)2
(3) x2-(a+b-c)2
(4) -16x4 + 81y4
作业:
•P50
•
1 .(1) (3) (5) (6) (7)
(8)
•
2. (1) (3)