高中数学选修2_3计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结
第一章基数原理
1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”
3.两个计数原理的区别:
如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.
4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
（1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m
n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m
n
用于计算， 或m n
A )!
(!
m n n -=()
n m N m n ≤∈*,, 用于证明。

n
n
A =!n =()1231⨯⨯⨯⨯- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m
n C 表示
（2）组合数公式: (1)(2)(1)
!
m m n n
m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算，
或)!
(!!
m n m n C m n -=
),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

（3）组合数的性质：
①m n n m n C C -=．规定：10=n C ； ②m n C 1+＝m n C +1-m n
C . ③ n C C n n n ==-11 ④1=n
n C
6.二项式定理及其特例：
（1）二项式定理()()
*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n n n n n n n n
r r r 1
10
展开式共有n+1项，其中各项的系数{}()n C n ,,2,1,
0r r ∈叫做二项式系数。

（2）特例：1
(1)1n r r
n n
n x C x C x x +=++++
+.
7.二项展开式的通项公式： r r r 1r b a C T n n -+= （为展开式的第r+1项） 8．二项式系数的性质：
（1）对称性：在()n
b a +展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,
即m
n n m n C C -=，直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当2
1
r +<
n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的
后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当n 是偶数时，在中间一项2
2n +T 的二项式系数2n n
C 取得最大值；
当n 是奇数时，在中间两项2
1n +T ，2
3n +T 的二项式系数12n n
C
-，12n n
C
+取得最大值．
9.各二项式系数和： （1）
=+++n 21
0n n n n C C C C n 2，
（2）1
5
3
1
4
2
2
-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ．
10.各项系数之和：（采用赋值法）
例：求()932y x -的各项系数之和
解：()992728190932y a y x a y x a x a y x ++++=-
令1,1==y x
，则有()()132329
92109
-=-=++++=-a a a a y x ，
故各项系数和为-1
第二章 概率
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i 的概率p 1，p 2,..... , p i ,......, p n ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2，… n ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1．
5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布
6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为m 时的概率为
为和中的较小的一个()(0,n M )m n m M N M
n
N
C C P X m m l l C --==≤≤， 7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做
条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率 8、公式：
.
0)(,)()
()|(>=
A P A P
B A P A B P
9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件。

(|)
()P B A P B =
10、n 次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，一
般就称它为n 次独立重复试验
11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数设为X ．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中 ，事件
A 恰好发生k 次的概率是()k k n k
n P X k C p q -==（其中 k=0,1, ……,n ）
于是可得随机变量X 的分布列如下：
这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 二项分布，记作X ～B(n ，p) 。

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为
则称1122()n n E X x p x p x p =+++为离散型随机变量X 的数学期望或均值（简称为期
望）．
13、方差:22
21122()(())(())(())n n D X x E X p x E X p x E X p =-+-+
+-叫随机变量X
的方差，简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：
15、正态分布：
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
)
,(,21
)(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e x f x σμσ
π
的图像，其中解析式中的实数、μσ是参数，且0σ>，、μσ分别表示总体的期望与标准差．
期望为μ与标准差为σ的正态分布通常记作2
(,)μσN ，正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。

16、正态曲线基本性质：
期望
方差
两点分布
()E X p = ()D X pq = 二项分布，X ～ B （n,p ） ()E X np = ()D X npq =
超几何分布N ，M ，n
()nM
E X N
=
（1）曲线在x 轴的上方，并且关于直线x=μ对称．
（2）曲线在x=μ时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．
（3）曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
17、3σ原则：
容易推出,正变量在区间(2,2)μσμσ-+以外取值的概率只有 4.6%,在(3,3)μσμσ-+以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
(,)68.3%P μσμσ-+= (2,2)95.4%P μσμσ-+= (3,3)99.7%P μσμσ-+=。