经验分布函数及其应用
经验分布函数
（1）均匀分布U(a,b) 1)unifrnd (a,b)产生一个[a,b] 均匀分布的随机数
2)unifrnd (a,b,m, n)产生m行n列的均匀分布随机数矩阵 当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不 知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在 何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
f分布的逆累积分布函数 伽玛分布的逆累积分布函数 几何分布的逆累积分布函数 超几何分布的逆累积分布函数 正态分布的逆累积分布函数 泊松分布的逆累积分布函数
X=tinv(p,v) X=Unidnv(p,N) X=unifinv(p,A,B)
学生氏t分布的逆累积分布函数 离散均匀分布的逆累积分布函数 连续均匀分布的逆累积分布函数
(2)方差未知(检验法)
方差未知时,采用检验法,MATLAB函数为 h=ttest(x,m ,alpha,tail) 各参数意义同上,同样ttest函数也有几个常见 用法: [h,p]=ttest(参数) [h,p,ci]=ttest(参数)
（3）泊松分布 参数估计命令为 [lambdahat,lambdaci]=poissfit(x,alpha) 返回参数的估计值和置信区间. （4）均匀分布(已知,未知) 参数估计命令为 [ahat,bhat,aci,bci]=unifit(x,alpha) 返回值分别为参数的估计值和置信区间. （5）指数分布 参数估计命令为 [lambdahat, lambdaci]=expfit(x,alpha)
解：输入a1=a';b=a1(:); %将矩阵变成数列 [p1,p2,p1ci,p2ci]= normfit (b) 或者： a1=a';b=a1(:); 均值、标准差的极 [p,pci]=mle('norm',b) 输出:[p1,p2,p1ci,p2ci]= normfit (b) 大似然估计分别 为:600和195.6436 p1 =600 p2 =196.6292 均值95%的置信区 p1ci = 560.9845 间为:(561.6536， 639.0155 638.3464)； p2ci =172.6418 标准差95%的置信 228.4192 区间为:(170.6834， 或phat =600.0000 195.6436 220.6038)； pic = 561.6536 170.6834 638.3464 220.6038
NA序列下经验分布函数的渐近正态性及其应用
1. Introduction
Random variables {X1 , · · · , Xn ; n ≥ 2} are said to be negatively associated (NA), if for every pair of disjoint subsets A1 and A2 of {1, 2, · · · , n}, Cov[g1 (Xi , i ∈ A1 ), g2 (Xj , j ∈ A2 )] ≤ 0, where g1 and g2 are increasing for every variable (or are decreasing for every variable), such that covariance exists. Random variables sequence {Xj ; j ∈ N } are said to be negatively associated if every subfamily is negatively associated. This definition was introduced by Joag-Dev and Proschan[1]. Because of its wide application in reliability theory problems, statistical mechanics, probability/stochastic processes and statistics, the notion of NA random variables have received more and more attention recently. Let X1 , X2 , · · · , Xn be a strictly stationary negatively associated random variable sequence with distribution (d.f.)F, and set F (x) = P (X > x) for the survial function, where X is distributed according to F ; Of course, F (x) = 1 − F (x). The estimate Fn (x) is the empirical d.f. based on X1 , X2 , · · · , Xn , and F n (x) = 1 − Fn (x).
数列极限知识点
数列极限知识点数列极限是高等数学中的重要概念。
在微积分、数学分析等各个领域都有着广泛的应用。
本文将对数列极限的相关概念、性质及其在实际问题中的应用进行详细阐述。
一、数列极限的定义首先，了解数列极限的定义是非常关键的。
一个数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中每一项都趋于某个常数L，这个常数L就是这个数列的极限。
具体的数学表达式如下：lim an = L (n → ∞)其中，an为数列中的第n项，L为这个数列的极限。
二、数列极限的性质了解数列极限的性质，可以更好地理解它在实际问题中的应用。
下面，介绍数列极限的一些性质：1.极限的唯一性当数列极限存在时，它在数轴上的值是唯一的。
也就是说，在数列的所有子数列中，都只存在一个极限值。
2.局部有界性如果一个数列有有限的极限，那么它在数轴上一定是有界的，也就是说，存在一个范围，可以将这个范围内的所有数列项都包含在内。
3.保号性如果一个数列的极限是正数，那么数列中所有的项都是正数。
如果极限是负数，那么数列中所有的项都是负数。
4.夹逼定理对于任意一个数列，如果它的所有项都被夹在两个趋向于同一个极限值的数列之间，那么这个数列的极限也趋向于这个极限值。
5.单调有界定理如果一个数列是单调递增（或递减）且有界的，那么它的极限就存在。
三、数列极限的应用数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
其中一些典型应用包括：1.距离、速度、加速度等模型在物理学、工程学等领域，常常需要通过数学模型来描述距离、速度、加速度等概念。
这些数学模型往往可以表示为数列的形式，以此来描述运动、变化等现象。
2.统计学中的统计量在统计学中，常常需要对一组数据进行分析，计算各种统计量（如平均数、标准差等）。
这些统计量也往往可以表示为数列的形式，以此来描述数据的分布情况。
3.经验分布函数经验分布函数是一种描述随机变量分布的函数形式，它的计算也经常涉及到数列极限的概念。
四、结语数列极限是高等数学中的重要概念，掌握了数列极限的相关概念和性质，以及应用范围，可以更好地理解和应用它。
经验分布函数_概述说明以及解释
经验分布函数概述说明以及解释1. 引言1.1 概述经验分布函数是一种统计工具，用于描述和分析随机变量的分布情况。
它是一种非参数的方法，不需要对概率分布进行假设，因此被广泛应用于各个领域的数据分析中。
通过经验分布函数，我们可以了解到样本数据的累积概率分布，并将其与理论概率分布进行比较。
1.2 文章结构本文将以以下方式呈现关于经验分布函数的研究内容：首先，在第二部分中，我们将对经验分布函数的定义进行详细解释，包括相关的理论介绍、数学表达式以及直观解释。
然后，在第三部分中，我们将探讨经验分布函数在不同领域中的应用场景，例如数据分析与可视化、生物统计学和工程领域等。
接着，在第四部分中，我们将介绍经验分布函数的计算方法和算法实现。
这包括基本思想与步骤、常见的计算方法和公式推导以及算法实现和代码示例。
最后，在第五部分中，我们将给出总结主要观点和研究结果，并对经验分布函数未来发展提出展望和建议。
1.3 目的本文的目的是为读者提供对经验分布函数的全面理解。
通过详细介绍经验分布函数的定义、应用场景以及计算方法，希望能够帮助读者更好地应用经验分布函数进行数据分析，并为未来经验分布函数在各个领域中的发展提供一些启示和建议。
2. 经验分布函数的定义:2.1 理论介绍:经验分布函数是统计学中常用的一种非参数估计方法，用于描述一个随机变量的累积分布函数（CDF）。
该函数基于观测数据样本，通过对每个观测值的累计概率进行排序和求和得到。
它能够直观地展示数据集中数值的分布情况。
2.2 数学表达式:假设我们有一个由n个独立随机观测值组成的样本集合X={x₁, x₂,..., xn}，其中每个xi代表一个随机变量。
经验分布函数F(x)在某个特定点x处的取值表示小于或等于x的样本比例。
数学上，经验分布函数可以表示为：F(x) = (1/n) * Σ(i=1 to n) [I(xi ≤x)]其中[ ]表示指示函数，当括号内条件满足时取值为1，否则为0；Σ表示求和运算；i代表索引变量。
分布函数及其应用简析
1
2
，也即
Y
~b
(5,e
原2
)，P
嗓
Y
=k
瑟
=C
k 5
e
原2k
(1
原e
原2
)
5原k
，
e
k=0,1,2…,5
P嗓 Y 逸1 瑟 =1原P嗓 Y <1 瑟 =1原P嗓 Y =0 瑟
其中 P嗓 Y =0 瑟 =C05(e原2)0(1原e原2)5抑0.4833
所以 P嗓 Y 逸1 瑟 抑0.5167
在以上的分析中，关键的是第一步，回答
保山学院学报
分布函数及其应用简析
杨海丽
（保山学院 数学学院，云南 保山 678000）
[摘 要] 分布函数是《概率论与数理统计》中重要的内容之一，从分布函数的定义出发，深刻揭示泊松定
理、正态分布的标准化定理等内容的实质，借助数学建模的思想强调以分布函数为基础的计算问题，最后
以学生考试成绩分布图刻画分布函数的直观含义。
定义1给出的分布函数的定义适用于连
续型随机变量和离散型随机变量，对于连续
型的随机变量，比如表示气温的变化，灯泡的
寿命，排队等待的时间等的变量，有以下的定
义方式:
定义2[1]: 如果对于随机变量X的分布函数 F(x)，存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实
乙x
数x，有 F(x)=P嗓 X臆x 瑟 = f(t)dt （2-1） 原肄 则称X 为连续型随机变量，称f(x)为X 的概
第 38 卷窑第 5 期
保山学院学报
2019 年 10 月
助学生更为直观的理解概念。结合曲线y=f(x)
的图像以及定积分的几何意义不难理解F(x)。
经验分布函数
经验分布函数在数理统计中，有时需要用到经验分布函数。
我们可以把它理解为，利用部分样本的信息所得到的分布函数。
由于我们没有必要获得全部样本，因此这里就暂且不讨论完整的经验分布函数了。
经验分布函数是对经验的一种近似描述。
这种方法既简单又直观，还能够给予我们清晰、形象的印象。
通过查阅资料发现，经验分布函数主要应用在几何分析领域，也即一个已知结果，求未知结果或者多组结果进行比较。
我们可以很轻易地从经验分布函数得到最优化模型的参数值，再将该参数值代入相关方程式，便能得到其他更加复杂的结果。
虽然这些结果非常复杂，但是我们却往往会忽略它们的含义。
因此，建立正确、准确的经验分布函数，有助于我们更好地理解各种结果之间的联系与差异，并且能够促使我们找到解决方案。
经验分布函数和统计分布函数的区别如下：1.分布函数通常取自变量，而经验分布函数通常取自然变量；2.概率密度分布函数总是连续的（例外情况除外），而经验分布函数是离散的。
经验分布函数通常表示数学期望和标准差的线性组合，而统计分布函数则通常表示一条曲线的斜率。
3.经验分布函数通常包括分位点、四分位点等经典特征，而统计分布函数仅包括两个独立随机变量的和等概率事件的概率分布。
4.当两个或多个分布有共同的基础数据集时，经验分布函数和统计分布函数可以互相转换。
5.经验分布函数与概率密度函数的重要区别在于前者是用样本数据估计参数，后者是用参数反映样本数据的分布。
6.经验分布函数只考虑实测数据的统计规律，而不考虑由于试验误差引起的数据分布的不规则性。
7.统计分布函数与经验分布函数都受到参数估计方法及样本大小的限制。
8.利用经验分布函数预测未知参数的方法称作回归分析法，此方法是统计推断中的主要方法之一。
9.在进行线性回归分析时，当可决系数是1/2时，其回归方程可写成经验分布函数公式。
10.经验分布函数是估计未知参数的先决条件，但是它不能保证得到精确无偏的估计。
11.用回归分析预测未知参数时，回归系数 K 的选择原则是:在所研究的经济范围内,用当前人均收入水平计算出的 K 值尽可能小。
矩估计和经验分布函数关系
矩估计和经验分布函数关系矩估计是一种利用样本矩来估计总体参数的方法，其思想是利用样本矩来推断总体矩，从而得到总体参数的估计值。
矩估计的基本思想是通过样本矩来推断总体矩，然后利用总体矩来推断总体参数的值。
矩估计的一般步骤如下：1. 确定估计的总体参数类型（如均值、方差等）。
2. 将总体参数用矩的形式表示出来。
3. 对应地，用样本矩估计总体矩。
4. 用估计出的总体矩代替总体矩，从而得到总体参数的估计值。
举个例子来说明矩估计的过程：假设有一个总体，它的均值和方差分别为μ和σ^2。
现在我们想对这个总体的均值进行估计。
首先，我们将均值用矩的形式表示出来：μ=E(X)，其中X是总体的随机变量。
然后，我们用样本平均数来估计总体均值，即μ̂=1/n∑xi，其中xi是总体中的样本，n是样本量。
由于样本平均数是样本的一阶矩，我们可以用它来推断总体均值，即μ̂=E(X̂)，其中X̂是样本平均数。
最后，我们将估计出的总体均值μ̂代替总体均值μ，从而得到总体均值的估计值。
与矩估计相关的另一个重要概念是经验分布函数。
经验分布函数是由样本数据生成的经验分布，它是一个类似于累积分布函数的函数，能反映数据的分布情况。
经验分布函数的定义如下：对于一个样本数据x1, x2, ..., xn，经验分布函数F_n(x)定义为：F_n(x) = (1/n) ∑(xi≤x), x∈R其中，(xi≤x)表示样本中小于等于x的数据个数，n表示样本数量，R表示样本数据空间。
经验分布函数可以用来刻画样本数据的分布情况，从而帮助我们进行统计分析。
它与矩估计的关系在于，矩估计所依赖的样本矩恰好可以通过经验分布函数来计算。
例如，某个总体的二阶矩为μ2，那么它的样本二阶矩可以用经验分布函数来计算：E(X²) = ∫x² f(x)dx = ∫x² dF(x)其中f(x)为总体的概率密度函数。
对上式进行离散化处理后，可以得到样本二阶矩的计算公式：1/n (x1²+x2²+...+xn²) = 1/n ∑[xi≤xj] xi²这里，[xi≤xj]表示样本数据中小于等于xj的数据中，有多少个数据小于xi。
r语言经验分布函数
R语言经验分布函数介绍R语言是一种广泛应用于统计学和数据分析的编程语言，它提供了丰富的函数和包来处理数据。
其中，经验分布函数（Empirical Distribution Function, EDF）是R语言中一种常用的数据分布函数，用于描述样本中各个取值的累积分布情况。
本文将深入探讨R语言中经验分布函数的原理、应用以及相关的注意事项。
经验分布函数：原理与定义经验分布函数是根据一组有限样本数据，通过统计分析得到的描述该样本分布情况的函数。
其定义如下：F̂n(x)=1n∑Ini=1(X i≤x)其中，F̂n(x)是经验分布函数，X i是样本中的第i个观测值，n是样本中的观测值数量，I(A)是指示函数，若事件A发生则为1，否则为0。
经验分布函数表示的是小于等于x的观测值占总观测值数量的比例。
经验分布函数具有以下特点： 1. 经验分布函数在x取值范围内单调不减。
2. 经验分布函数的值域在[0,1]之间。
3. 经验分布函数在观测值出现时的增量为1/n。
经验分布函数的计算在R语言中，可以使用ecdf()函数计算经验分布函数。
以下是一个简单的例子：# 创建一个包含观测值的向量x <- c(1, 3, 2, 5, 4)# 计算经验分布函数ecdf_x <- ecdf(x)# 打印经验分布函数的值print(ecdf_x(3))输出结果为0.6，表示在样本中大约有60%的值小于等于3。
除了使用ecdf()函数，还可以使用cumsum()函数自行计算经验分布函数。
以下是一个示例：# 创建一个包含观测值的向量x <- c(1, 3, 2, 5, 4)# 对观测值排序sorted_x <- sort(x)# 计算经验分布函数ecdf_x <- cumsum(rep(1, length(sorted_x)))/length(sorted_x)# 打印经验分布函数的值print(ecdf_x[which(sorted_x == 3)])输出结果同样为0.6。
证明经验分布函数依概率收敛到分布函数
证明经验分布函数依概率收敛到分布函数是概率论中一个重要的定理，也是推动概率论向前发展的基石。
该定理表明，当样本数量趋于无穷大时，每个样本的频率的期望值收敛到概率分布函数的期望值。
证明这一定理的关键在于，每个样本的频率服从参数为概率分布函数的标准误差函数，即每个样本的频率和概率分布函数的期望值之间的误差服从标准正态分布。
另外，为了证明该定理，我们还需要使用大数定律，根据大数定律，当样本数量趋于
无穷大时，每个样本频率的期望值将收敛到概率分布函数的期望值。
此外，还可以使用置信度定理和中心极限定理来证明该定理。
置信度定理表明，在一
定的置信水平下，样本的频率服从概率分布函数的期望值；而中心极限定理表明，当样本
数量趋于无穷大时，每个样本的频率的期望值收敛到概率分布函数的期望值。
综上所述，通过大数定律，置信度定理和中心极限定理，可以证明经验分布函数依概
率收敛到分布函数。
这一定理不仅在概率论中有重要意义，而且在实际应用中也具有重要
意义，可为各种统计分析提供有效的数据支持。
matlab中ecdf函数 -回复
matlab中ecdf函数-回复MATLAB中的ecdf函数是用于计算并绘制经验累积分布函数（ECDF）的函数。
ECDF提供了将样本数据分布转化为概率的方法。
在本文中，我们将一步一步地回答关于ecdf函数的各种问题。
我们将介绍如何使用ecdf 函数来计算和绘制ECDF，并探讨一些相关的应用和技巧。
第一部分：ecdf函数的基本使用（300-500字）开始时，我们将重点介绍ecdf函数的基本使用方法。
首先，我们需要理解什么是ECDF以及其在统计学中的重要性。
ECDF是一个对数据集进行建模的非参数方法。
它根据数据中的累积概率来估计事件发生的概率，并可以用来比较不同数据集之间的分布。
在MATLAB中，我们可以使用ecdf函数来计算给定数据集的ECDF。
该函数的基本语法如下所示：matlab[F, X] = ecdf(data);其中，data是包含样本数据的向量，F是包含ECDF值的向量，X是与F 对应的数据点向量。
我们将通过一个示例来演示如何使用ecdf函数。
我们首先生成一个随机样本数据集，并将其存储在一个向量中：matlabdata = rand(100, 1);然后，我们可以使用ecdf函数计算该数据集的ECDF：matlab[F, X] = ecdf(data);通过这样做，我们可以得到数据点向量X和累积概率向量F。
第二部分：绘制ECDF图表（300-500字）有了数据点向量X和累积概率向量F，我们可以绘制ECDF图表。
绘制ECDF图表的方法有很多，但最常见的是使用plot函数。
我们可以使用以下代码将数据点向量X和累积概率向量F绘制为曲线：matlabplot(X, F);这将生成一个曲线表示ECDF，并将数据点向量X作为横轴，累积概率向量F作为纵轴。
除了基本的ECDF图表之外，我们还可以添加一些额外的元素来增强可视化效果。
例如，我们可以添加标题、横轴和纵轴标签、图例等。
这些都可以通过使用MATLAB的相关函数和选项来实现。
总体与样本直方图条形图及经验分布函数
4 i1
(1
e 2xi
)
0,
xi 0, i 1,2,3,4 其它
6.1.2 样本与抽样
【例6.2】已知总体X的分布为P{X = i} = 1/4，
i = 0,1,2,3,抽取n=36的简单随机样本X1,X2,...,X36, 36
36
E(Y ) E( X i ) 36E( X ) 54, i 1
36
5
D(Y ) D( i1 X i ) 36D( X ) 36 4 45
又因为n
=
36较大，依中心极限定理，Y
36
X近i 似
服从正态分布 N(54,45) ，所以
i 1
P{50.4
Y
64.8}
P 50.4
54
Y
54
64.8
例如，在质量检验中，随机抽出n件产品，测 得的数据x1，x2，...，xn，就称它们是样本观测 值．
在抽样前，不知道样本观测值究竟取何值，应 该把它们看作为随机变量，记作X1，X2，...，Xn， 称其为容量为n的样本.
（在不会混淆的情况下，有时我们也将观测数据 x1，x2，...，xn称为样本，如“质量控制问题”中 的30个数据，也可以说成是一个容量为30的样 本）．
【数理统计简史】
社会统计学派始于19世纪末，首创人物是德国 的克尼斯（K. G. A. Knies），他认为统计学是一 个社会科学，是研究社会现象变动原因和规律性 的实质性科学．各国专家学者在社会经济统计指 标的设定与计算、指数的编制、统计调查的组织 和实施、经济社会发展评价和预测等方面取得了 一系列的重要成果．德国统计学家恩格尔 （C.L.E.Engel，1821-1896）提出的“恩格尔”系 数，美国经济学家库兹涅茨和英国经济学家斯通 等人研究的国民收入和国内生产总值的核算方法 等，都是伟大的贡献．
通俗解释核密度估计
通俗解释核密度估计摘要：一、核密度估计的概念与感性认识1.密度函数的概念2.经验分布函数二、核密度估计的方法与应用1.非参数检验方法2.边界效应与处理3.风险价值预测模型三、核密度估计的优缺点1.优点2.缺点正文：核密度估计是一种非参数检验方法，用于估计未知密度函数。
在概率论中，它起着重要作用，解决了给定样本点集合求解随机变量的分布密度函数问题。
核密度估计不仅具有实用性，而且其原理易懂，应用广泛。
首先，我们从密度函数的概念入手。
密度函数是分布函数的一阶导数，它可以描述随机变量在某个取值范围内的分布情况。
那么，如何估计密度函数呢？一个简单而有效的方法是经验分布函数。
经验分布函数是指所有小于某个值的样本的概率，它可以近似地表示密度函数。
核密度估计是经验分布函数的非参数检验方法之一。
它由Rosenblatt（1955）和Emanuel Parzen（1962）提出，又名Parzen窗口估计。
核密度估计在概率论中的应用广泛，如非参数回归、密度估计、模式识别等领域。
然而，核密度估计在估计边界区域时会出现边界效应。
为了解决这一问题，可以在单变量核密度估计的基础上，建立风险价值的预测模型。
通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以得到不同的风险价值预测模型。
核密度估计具有以下优点：1.易于理解：核密度估计的原理简单，易于理解和掌握。
2.适用性广泛：核密度估计可用于非参数回归、密度估计、模式识别等领域。
然而，核密度估计也存在一定的缺点：1.边界效应：在估计边界区域时，核密度估计会出现边界效应，影响估计结果的准确性。
综上所述，核密度估计是一种实用的非参数检验方法，可以用于估计未知密度函数。
尽管它在估计边界区域时存在一定的局限性，但通过加权处理和改进算法，可以有效提高估计结果的准确性。
经验分布函数及其应用
经验分布函数及其应用经验分布函数定义定义：设12n x x x ⋯，，，是总体(离散型、或连续型，分布函数F(x)未知)的n 个独立观测值，按大小顺序可排成12***n x x x ≤≤⋯≤ 。
若1**k k x x x +＜＜ ，则不超过x 的观测值的频率为函数，就等于在n 次重复独立试验中事件{}x ξ≤的频率。
()110,=,,1,2,,11,k k nn x x k x x x k n nx x x F ***+*⎧≤⎪⎪<≤=-⎨⎪>⎩*⎪…… 我们称此函数()n F x 为总体的经验分布函数或样本分布函数。
简单性质：1.对于每一组观测值1,2,i i x i ξ*=*=，……,n ，()n F x *单调，非降，左连续且在1,2,i x x i =*=，……,n 点有间断点，在每个点的跳跃值都是1n 。
2.显然()01n F x ≤≤，具有分布函数的其他性质。
3.()n F x *为样本12n x x x ⋯，，，的函数，是一统计量，即为一随机变量，由于12n x x x ⋯，，，相互独立且有相同的分布函数()F x ，因而它等价于n 次独立重复试验的伯努利概型中事件{}x ξ≤发生k 次其余n k - 次不发生的额概率，即有：{}{}()()1()k n k k k n n k P F x C F x F x n -⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭4.格列汶科定理设总体ξ 的分布函数为()F x ，经验分布函数为()n F x *，对于任何实数x ，记 ()()sup n x n F x F x D -∞<<*+∞=-则有lim 01n n P D →∞⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 其中n D 也为一统计量用来衡量()n F x *与()F x 之间在所有的x 的值上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量n D 以概率为1地收敛于0，也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。
经验分布函数简介
经验分布函数简介1 概念如果我们想知道某个随机变量X的分布F，这在⼀般情况下当然是⽆法准确知道的，但如果我们⼿上有它的⼀些独⽴同分布的样本，可不可以利⽤这些样本？⼀个很简单的办法就是，把这些样本的“频率”近似为随机变量的“概率”。
经验分布函数（empirical distribution function）：给每个点1/n的概率质量，得到CDF：ˆFn(x)=∑n i=1I(X i≤x)n2 性质经验分布函数，有什么性质？它可以很好地近似真实的分布函数吗？我们给出如下⼏个定理。
定理：对于任意给定的x，有E(ˆF n(x))=F(x)；V(ˆF n(x))=F(x)(1−F(x))n→0；MSE=F(x)(1−F(x))n→0；ˆFn(x)P⟶F(x)。
Glivenko-Cantelli定理：X1,…,X n∼F，那么supx|ˆF n(x)−F(x)|P ⟶0更准确地说，上式其实是⼏乎必然收敛的。
Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (DKW) Inequity：X1,…,X n∼F，那么∀ϵ>0，有P supx|ˆF n(x)−F(x)|>ϵ≤2e−2nϵ2利⽤DKW不等式，可以构造出F的⾮参数的1−α置信带：定义L(x)=max ˆFn(x)−ϵn,0，U(x)=maxˆFn(x)+ϵn,0，其中ϵn=12n log(2α)，那么有P[L(x)≤F(x)≤U(x),∀x]≥1−α3 应⽤经验分布函数有什么⽤？它可以⽤来计算⼀些statistical functional（统计泛函）。
假设要计算的statistical functional为T(F)，那么，可以利⽤经验分布函数，代替未知的分布函数，计算出θ=T(F)的plug-in estimator（嵌⼊式估计量）：ˆθ=T(ˆFn)。
如果存在某个r(x)使得T(F)=∫r(x)dF(x)，那么T就称为linear functional（线性泛函），这是因为这样的T必定满⾜T(aF+bG)=aT(F)+bT(G)。
常见的分布函数Word版
6数理统计的基本概念6.1 基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。
能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。
了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。
了解正态总体的某些常用抽样分布。
6.2 内容提要6.2.1 总体和样本1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。
总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。
2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。
3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。
4 样本的联合分布*该部分内容考研不作要求。
若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为∏==ni i n x F x x x F 121)(),,,(若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为∏==ni in x f x x x f 121)(),,,( (6.1)若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211}{},,,{ (6.2)其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。
6.2.2 样本分布1 频率分布设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l *且n n li i =∑=1。
经验分布和分布函数
经验分布和分布函数经验分布是统计学中的一个重要概念，用于描述一组数据的分布情况。
它是通过对数据进行排序并计算累积频率来得到的。
分布函数是经验分布的数学表达形式，用于描述随机变量的概率分布。
本文将详细介绍经验分布和分布函数的定义、性质以及应用。
一、经验分布经验分布是指对一组数据进行统计分析后得到的分布情况。
具体而言，它是通过对数据进行排序，并计算每个数据所占的累积频率来得到的。
经验分布可以用图表的形式展示，常见的有频率分布直方图和累积分布曲线。
频率分布直方图是经验分布的一种可视化方式，它将数据分成若干个区间，然后统计每个区间内的数据个数或频率，并将其绘制成柱状图。
通过观察直方图，我们可以直观地了解数据的分布情况，比如数据的集中程度、偏斜程度等。
累积分布曲线是经验分布的另一种可视化方式，它是将数据按照大小排序后，计算每个数据所占的累积频率，并将其绘制成曲线图。
通过观察累积分布曲线，我们可以得到更详细的数据分布信息，比如数据的分位数、中位数等。
二、分布函数分布函数是经验分布的数学表达形式，用于描述随机变量的概率分布。
分布函数是一种单调递增的函数，它的定义域是整个实数集，值域是[0,1]。
对于一个随机变量X，它的分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P表示概率，X ≤ x表示随机变量X的取值小于等于x的事件。
分布函数的性质如下：1. F(x)是一个单调递增的函数，即对于任意的x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)。
2. 分布函数是右连续的，即对于任意的x，有lim┬(h→0⁺)〖F(x+h) = F(x)〗。
3. 分布函数的极限值在0和1之间，即lim┬(x→-∞)F(x) = 0，lim┬(x→+∞)F(x) = 1。
分布函数的求解需要根据具体的概率分布形式进行推导，常见的概率分布包括正态分布、均匀分布、指数分布等。
通过分布函数，我们可以计算随机变量X在某个区间内的概率，或者计算它的分位数等。
经验分布函数定义
经验分布函数（Empirical Distribution Function）1. 定义经验分布函数（Empirical Distribution Function，简称EDF）是统计学中一种描述样本数据分布的非参数方法。
它用于估计总体的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。
经验分布函数是一个阶梯函数，它以样本数据点为基础，给出了每个数据点在总体中的累积概率。
2. 用途经验分布函数可以帮助我们理解和描述样本数据的分布情况。
通过观察经验分布函数的形状和特征，我们可以得到关于总体分布的一些直观感受，并进行进一步的推断和分析。
具体应用包括但不限于以下几个方面：2.1 数据探索与可视化经验分布函数可以通过绘制阶梯图来展示样本数据的累积概率情况。
这种可视化方式直观地展示了数据在整个总体中所占比例的变化情况，帮助我们发现异常值、离群点等重要信息。
2.2 总体推断与假设检验在统计推断中，经验分布函数也常常被用于进行总体参数的估计和假设检验。
通过比较两个经验分布函数的差异，我们可以判断两个样本是否来自同一总体。
经验分布函数还可以用于估计总体分位数、密度函数等未知参数。
2.3 模型检验与拟合经验分布函数还可以用于模型检验和拟合。
在构建概率模型时，我们需要判断所选模型是否能够较好地拟合数据。
通过比较经验分布函数和理论分布函数的差异，我们可以评估模型的优劣，并选择最佳拟合模型。
3. 工作方式经验分布函数的计算步骤如下：3.1 数据排序将样本数据按照从小到大的顺序进行排序。
3.2 计算累积概率对于每个数据点，计算其在整个样本中的累积概率。
具体计算公式为：F n(x)=该数据点前面的数据个数总样本量其中，F n(x)表示第n个观测值在整个样本中的累积概率，x表示观测值。
3.3 绘制阶梯图根据计算得到的累积概率，绘制阶梯图。
将每个数据点的横坐标设置为该数据点的值，纵坐标设置为对应的累积概率。
经验copula函数
经验copula函数Copula函数是一种用于建立多元随机变量之间依赖关系的数学工具。
它可以将多个随机变量的分布函数连接起来，从而得到它们之间的联合分布函数。
Copula函数在金融、保险、气象、环境等领域都有广泛的应用。
Copula函数的基本思想是将多元随机变量的联合分布函数分解为边缘分布函数和一个称为Copula函数的中间部分。
边缘分布函数是每个随机变量的分布函数，而Copula函数则描述了随机变量之间的依赖关系。
Copula函数的形式可以是任意的，但必须满足一些基本条件，如单调性、正定性、对称性等。
Copula函数的应用非常广泛。
在金融领域，Copula函数可以用于建立不同资产之间的依赖关系，从而进行风险管理和投资组合优化。
在保险领域，Copula函数可以用于建立不同风险因素之间的依赖关系，从而进行风险评估和保险定价。
在气象和环境领域，Copula函数可以用于建立不同气象和环境因素之间的依赖关系，从而进行天气预测和环境监测。
Copula函数的优点在于它可以处理非线性和非正态的依赖关系。
传统的线性相关系数只能描述线性关系，而Copula函数可以描述任意形式的依赖关系。
此外，Copula函数还可以处理高维数据，即多个随机变量之间的依赖关系。
然而，Copula函数也存在一些限制。
首先，Copula函数的选择需要一定的经验和技巧，不同的Copula函数适用于不同的数据类型和依赖关系。
其次，Copula函数的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。
最后，Copula函数的应用需要一定的统计学知识和经验，否则可能会出现误解和错误。
Copula函数是一种非常有用的数学工具，可以用于建立多元随机变量之间的依赖关系。
它在金融、保险、气象、环境等领域都有广泛的应用，但也存在一些限制。
因此，在应用Copula函数时需要谨慎选择，并结合实际情况进行分析和判断。
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经验分布函数及其应用
经验分布函数定义
定义：设12n x x x ⋯，，
，是总体(离散型、或连续型，分布函数F(x)未知)的n 个独立观测值，按大小顺序可排成12***n x x x ≤≤⋯≤ 。
若1**k k x x x +＜＜ ，则不超过x 的观测值的频率为函数，就等于在n 次重复独立试验中事件{}x ξ≤的频率。
()110,=,,1,2,,1
1,k k n
n x x k x x x k n n
x x x F *
**+*⎧≤⎪⎪<≤=-⎨⎪>⎩*⎪…… 我们称此函数()n F x 为总体的经验分布函数或样本分布函数。
简单性质：
1.对于每一组观测值1,2,i i x i ξ*=*=，……,n ，()n F x *单调，非降，左
连续且在1,2,i x x i =*=，……,n 点有间断点，在每个点的跳跃值都是1
n 。
2.显然
()01n F x ≤≤，具有分布函数的其他性质。
3.()n F x *为样本12n x x x ⋯，，
，的函数，是一统计量，即为一随机变量，由于12n x x x ⋯，，
，相互独立且有相同的分布函数()F x ，
因而它等价于n 次独立重复试验的伯努利概型中事件{}x ξ≤发生k 次其余n k - 次不发生的额概率，即有：
{}{}()()1()k n k k k n n k P F x C F x F x n -⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭
4.格列汶科定理
设总体ξ 的分布函数为()F x ，经验分布函数为
()n F x *，对于任何实
数x ，记 ()()sup n x n F x F x D -∞<<*+∞=-
则有lim 01n n P D →∞⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪
⎪⎩⎭ 其中n D 也为一统计量用来衡量()n F x *与()F x 之间在所有的x 的值
上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量n D 以概率为1地收敛于0，也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。
经验分布函数的收敛性
经验分布函数在统计中有着非常重要的作用, 是理论分布函数与实际数据间的桥梁, 本科教材中已经指出, 当样本容量足够大时, 经验分布函数依概率收敛于总体分布函数,所以, 统计推断才得以以样本为依据, 而得到合理的结果。
而事实上, 经验分布函数与总体分布函数还有更进一步的收敛关系, 下简单介绍之
我们采用R语言中ecdf(stats)函数，ecdf()所属R语言包：stats，
以下用的是采用数学方法画出经验分布函数的代码：
经验分布函数是一个随机变量，而经验分布函数的观测值就是普通意义上的分布函数，它具有分布函数的一切性质。