经验分布函数及其应用

经验分布函数及其应用

经验分布函数定义

定义：设12n x x x ⋯，，

，是总体(离散型、或连续型，分布函数F(x)未知)的n 个独立观测值，按大小顺序可排成12***n x x x ≤≤⋯≤ 。若1**k k x x x +＜＜ ，则不超过x 的观测值的频率为函数，就等于在n 次重复独立试验中事件{}x ξ≤的频率。

()110,=,,1,2,,1

1,k k n

n x x k x x x k n n

x x x F *

**+*⎧≤⎪⎪<≤=-⎨⎪>⎩*⎪…… 我们称此函数()n F x 为总体的经验分布函数或样本分布函数。

简单性质：

1.对于每一组观测值1,2,i i x i ξ*=*=，……,n ，()n F x *单调，非降，左

连续且在1,2,i x x i =*=，……,n 点有间断点，在每个点的跳跃值都是1

n 。

2.显然

()01n F x ≤≤，具有分布函数的其他性质。 3.()n F x *为样本12n x x x ⋯，，

，的函数，是一统计量，即为一随机变量，由于12n x x x ⋯，，

，相互独立且有相同的分布函数()F x ，

因而它等价于n 次独立重复试验的伯努利概型中事件{}x ξ≤发生k 次其余n k - 次不发生的额概率，即有：

{}{}()()1()k n k k k n n k P F x C F x F x n -⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭

4.格列汶科定理

设总体ξ 的分布函数为()F x ，经验分布函数为

()n F x *，对于任何实

数x ，记 ()()sup n x n F x F x D -∞<<*+∞=-

则有lim 01n n P D →∞⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪

⎪⎩⎭ 其中n D 也为一统计量用来衡量()n F x *与()F x 之间在所有的x 的值

上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量n D 以概率为1地收敛于0，也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。

经验分布函数的收敛性

经验分布函数在统计中有着非常重要的作用, 是理论分布函数与实际数据间的桥梁, 本科教材中已经指出, 当样本容量足够大时, 经验分布函数依概率收敛于总体分布函数,所以, 统计推断才得以以样本为依据, 而得到合理的结果。而事实上, 经验分布函数与总体分布函数还有更进一步的收敛关系, 下简单介绍之

我们采用R语言中ecdf(stats)函数，ecdf()所属R语言包：stats，

以下用的是采用数学方法画出经验分布函数的代码：

经验分布函数是一个随机变量，而经验分布函数的观测值就是普通意义上的分布函数，它具有分布函数的一切性质。