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圆切线相似和锐角三角函数综合题中考专题复习无复习资料

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中考数学压轴专练专题05圆与三角函数、相似结合的综合问题(教师版)

中考数学压轴专练专题05圆与三角函数、相似结合的综合问题(教师版)

【典例分析】例 1 如图， AD 是△ABC 的外接圆⊙ O 的直径，点 P在 BC 延长线上，且满足∠ PAC=∠B．（1）求证： PA是⊙O 的切线；（ 2）弦 CE⊥AD 交 AB 于点 F，若 AF?AB=12 ，求 AC 的长．思路点拨（1）先根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余得出∠CAD +∠ D=90°，再根据同弧所对的圆周角相等和已知条件等量代换可得∠ CAD + ∠PAC=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；2）先判断出∠ B=∠ ACF ，进而判断出△ABC∽△ ACF，得出比例式即可得出结论．满分解答（ 2），，［来，DP，使∠ PDA＝∠ ADC．（1）求证： PD是⊙ O的切线；（2）若 AC＝3， tan∠ PDC ＝，求 BC 的长．思路点拨（1）求出∠ ODA+ ∠PDA=∠ADC+ ∠ DAO=9°0 ，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠ PDC= ∠DOC ，解直角三角形求出 = ，设 DC=4x ， OC=3x ，求出 3x+3=5x ，求出 x，即可得出答案．满分解答（ 1）证明：连接 OD∵OD=OA∴∠ ODA= ∠ OAD∵CD⊥AB 于点 C∴∠ OAD+∠ ADC=90°∴∠ ODA+∠ADC= 90°∵∠ PDA=∠ ADC ∴∠ PDA+∠ ODA =90° 即∠ PDO=90° ∴PD ⊥OD∵D 在⊙O 上∴PD 是⊙ O 的切线例3已知：如图①，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点 D ，且AB=5，AD=4 ，在AD 上取一点 G ，点P 是折线 CB ﹣BA 上一动点，以 PG 为直径作⊙ O 交AC 于点E ，连结PE ． 1）求 sinC 的值；使 AG=（2）当点 P 与点B 重合时如图②所示，⊙ O 交边AB 于点F ，求证：∠ EPG=∠FPG ；（3）点 P 在整个运动过程中：①当 BC 或AB 与⊙ O 相切时，求所有满足条件的 DE 长；②点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P ′，当P ′恰好落在 AB 边上时，求 △OPP ′与△OGE 的（3）①⊙ O 与AB 相切有两种情况，与 BC 相切有一种情况，如图 3、4、5，灵活运用切线的性质，三角函 数与勾股定理分别求解即可；②如图 3中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转 90°得到 P ， 当 P 恰好落在 AB 边上时，此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比满分解答 = × × ： ×× × 如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时， 连接 PE ，利用相似三角形的性质求得 7.AE= ，PE= ，即 GE=AE=25： 24 ；× × ×（2）如图 2 中，连接 GF,在 Rt△ABD 中， BD= =3 ，∵ BG 是直径，∴∠ BFG=∠ AFG=90° ，∴ FG= ，∵DG=AD ﹣AG=4 ﹣ = ，∴GD=GF ，∴∠ EPG= ∠FPG；（3）①如图 3中，当⊙ O与 BC相切时，作 OH⊥AB 于H，∴ GPC=∠ABC=90° ，∴GP∥AB，∴∠ CGP=∠ A，∴ sin ∠A=sin ∠ PGC，∴PC= ，∴ PG= =3，OH=PB=∴此时⊙ O 与 AB 相切，连接 PE，∵PG是⊙O 的直径，∴∠ PEC=∠CDB=9°0 ，∴PE∥BD，∴DE：CD=PB ：BC，∴DE= ；如图 4中，当点 P 在 AB 上，⊙O 与 BC 相切时，设切点为 T ，连接 OT ， GH ，延长 TO 交GH 于N ，连接易证四边形 BTNH 是矩形，∴ AE= ， ∴DE=AD ﹣ AE=4﹣ = ；如图 5 中，当⊙ O 与 AB 相切时， GP ⊥ AB ，连接PH，∴ PA=PH+AH= ， [ 来源 :]PE ，∵PE ∥BD，当 P 恰好落在 AB 边上时，如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时，满足条件；连接 PE ，∵PH=GH= ，AH=2 ，∴ PA= ，OP=OH= ， ∵PE ∥BD ， ∴PA ：AB=AE ：AD=PE ：BD ，=× × ： × × × =25 ：24；此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比 5=AE ： 4=PE ：3， ②如图 3 中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到 P ，∴ GE=AE ﹣ AG= ，∴△ OPP ′与△OGE 的面积之比 = × × ： × × × =25： 7； 综上所述，满足条件的 △OPP ′与△OGE 的面积之比为 25：24 或 25：7．例 4 如图，已知在 中， ， ， 是边 上一点，以 为圆心， 为半径的⊙ 与边 的另一个交点为 ，连结 、 ．1) 求△ABC 的面积；2) 设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；3) 如果 是直角三角形，求 的长．(1) 分别求出 BC 和BC 上的高； (2)作DM ⊥ AB 垂足为 M ，用含 x 的式子表示出AP 和DM ；(3)分∠ ADP ＝90° 和∠ PAD ＝ 90°两种情况求解 .满分解答(2) 如图，作 DM ⊥AB 垂足为 M ，（3） ∠ APD < 90 °，过 C 作CE ⊥AB 交 BA 的延长线于 E ，可得 cos ∠ CAE ＝. ∴ AE= ， PE= ，[ 来源:ZXXK]①当∠ ADP＝ 90°时，cos∠APD ＝cos∠CAE＝，则，解得 x＝；②当∠ PAD ＝ 90°时，，解得 x＝ .所以 PB 的值为或 .例 5 已知：如图， AB 为⊙ O 的直径， C 是 BA 延长线上一点， CP 切⊙ O 于 P，弦 PD⊥ AB 于 E ，过点 B 作 BQ⊥CP于Q，交⊙ O于 H，（1）如图 1，求证： PQ＝ PE；（2）如图 2，G是圆上一点，∠ GAB ＝ 30°，连接 AG交PD于F，连接 BF，若tan∠BFE＝3 ，求∠C的度数；（3）如图 3，在（ 2）的条件下， PD＝6 ，连接 QC交BC于点M，求 QM的长．思路点拨（1）连接 OP，PB，由已知易证∠ OBP= ∠ OPB= ∠QBP，从而可得 BP平分∠ OBQ，结合BQ⊥CP于点Q， PE⊥AB 于点 E 即可由角平分线的性质得到 PQ=PE；（2）如下图 2，连接 OP，则由已知易得∠ CPO=∠PEC=90°，由此可得∠ C=∠ OPE，设 EF=x，则由∠ GAB=3°0 ，∠ AEF=90°可得 AE= ，在 Rt△BEF 中，由 tan∠ BFE= 可得BE= ，从而可得 AB= ，则OP=OA= ，结合 AE= 可得 OE= ，这样即可得到 sin∠ OPE= ，由此可得∠ OPE=30°，则∠C=30°；满分解答（1）如下图 1，连接 OP，PB，∵ CP切⊙ O于 P，∴OP⊥CP于点 P，又∵ BQ ⊥CP 于点 Q，∴OP∥BQ，∴∠ OPB=∠ QBP，∵ OP=OB ，∴∠ OPB=∠ OBP，∴∠ QBP=∠OBP，又∵ PE⊥ AB 于点 E，在 Rt 中 ,tan∠ B FE=3 ∴∴∴∴∴在 Rt PEO 中,∴30°；∴在 Rt 中，，∴，∴ QB=9 ，在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，∴ AGB=9°0 ，∵ BAG=3°0 ，∴BG=6 ， ABG=6°0 ，过点 G作 GN ⊥QB交QB的延长线于点 N，则∠ N=90°，∠ GBN=18°0 -∠ CBQ- ∠ABG=6°0 ，∴BN=BQ· cos∠GBQ=3 ，GN=B·Q sin∠GBQ= ，∴ QN=QB+BN=12 ，∴在 Rt△QGN 中， QG= ，∵∠ ABG= ∠ CBQ=6°0 ，∴ BM 是△BQG 的角平分线，∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，∴ QM= .点睛：解本题第 3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、 BG的长及∠ CBQ= ∠ABG=6°0 ；（2）再过点 G作GN⊥QB并交 QB的延长线于点 N，解出 BN和GN的长，这样即可在 Rt△QGN 中求得 QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得 QM 的长了 .例 6已知如图，抛物线与轴相交于 B（1，0），C（5，0）两点，与 y轴的正半轴相交于 A 点，过 A，B，C 三点的⊙ P与 y轴相切于点 A，M 为轴负半轴上的一个动点，直线 MB 交抛物线于N，交⊙ P 于 D ．（1）填空:A 点坐标是___________________ ，⊙ P半径的长是 __ _ ， = ， = ， = ；（2）若 S△BNC :S△AOB ＝ 48:5，求 N 点的坐标；（3）若△AOB与以 A，B，D为顶点的三角形相似，求 MB·MD 的值．思路点拨1）先将 B、C 两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；2）根据 S△BNC ：S△AOB=48 ：5求出 N点的 y坐标，将 yN 代入抛物线方程即可求得MB?MD 的值．N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得满分解答（1）⊙ P 的半径 =3, = , = , = ；（3）过点 A 作直径 AQ 联接 BQ ，∴∠ ABQ=90o,∠BAO+ ∠AOB=90o,∵MA 与⊙ P相切于点 A，∴∠ OAB+∠BAO=90o, ∴∠ OAB= ∠AOB,而∠ AQB= ∠ADB,∴∠ OAB= ∠ADB, 而∠ AMB=AMD,∴△ MAB ∽△ MDA,,当△AOB ∽△ DBA 时，∠ ABD= ∠ AOB=90o,易证△AOB ∽△ BOM,则∴OM=∴; ⅱ当△AOB ∽△ DAB 时，∠ BAD= ∠AOB=90o,【变式训练】1．如图，直线 l 1∥l 2，⊙O 与 l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ．点 M 和点 N 分别是 l 1和l 2上的动点， MN 沿若∠ MON=9°0 ，则 MN 与⊙ O 相切；④ l 1和l 2的距离为 2，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1 个答案】 B解析】分析】 首先过点 N 作NC ⊥AM 于点C ，直线 l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ，⊙O 的半径为 1，易求l 1和 l 2平移．⊙ O 的半径为 1，∠ 1=60 °．有下列结论：① MN=；②若 MN 与⊙ O 相切，则 AM= ；③得 MN= = ，l1和 l2的距离为 2；若∠ MON=90° ，连接 NO并延长交 MA 于点 C，易证得CO=NO ，继而可得即 O到MN 的距离等于半径，可证得 MN 与⊙ O相切；由题意可求得若 MN 与⊙ O相切，则AM= 或．【详解】如图 1，如图 3，若∠ MON=9°0 ，连接 NO 并延长交 MA 于点 C，则△AOC ≌△ BON，故 CO=NO ，△MON ≌△ MOM′ ，故 MN 上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径．故③正确；如图 2，2．如图， AB ，BC 是⊙ O 的弦，∠ B=60°，点 O 在∠ B 内，点 D 为 上的动点，点 M ，N ，P 分别是 AD ，DC ，CB 的中点．若⊙ O 的半径为 2，则 PN+MN 的长度的最大值是（ ）A ．【答案】 D 【解析】 【分析】连接 OC 、OA 、 BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．首先求出 AC 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题【详解】 解：连接 OC 、OA 、BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．【点睛】B ．C ．本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，AB是⊙ O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD ＝3，则 AB 的值是（）A ．3 B．C．6 D．【答案】 B【解析】【分析】连接 OD ，由圆周角定理可得∠ DOC ＝ 60°，根据三角函数可求 OD的长，即可求 AB 的长．【详解】连接 OD ，【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键．4．如图，已知 AD ＝ 30，点B ，C 是 AD 的三等分点，分别以 AB 、BC 、CD 为直径作圆，圆心分别为 E 、F 、N ，则弦 MN 的长是 答案】 8解析】连接 PG 、MF ，过 F 作 FQ ⊥MN 于点 Q ，根据 AP 是⊙G 的切线，可证明 △AFQ ∽△AGP ，利用相似比，可求得 FQ=3，连接 F M ，在直角 △FQM 中根据勾股定理得到 MQ=4 ，则 MN=8 ．【详解】分析】[来源 :Z §X§X § K]G ，AP 切⊙ G 于点 P ，交⊙ F 于 M 、∴ FQ= PG=3，在直角△FQM 中， MQ== =4 ，则 MN=2MQ=8 ．故答案为： 8【点睛】本题主要考查切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且本题还考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．5．如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ABC=90°，AB=5 ，BC=10 ，连接 AC 、 BD ，以 BD为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE=3 ，则 AD 的长为.【答案】 2【解析】【分析】先证明△ADF ∽△ CAB，利用相似三角形的性质可得.再证明△DEF ∽△ DBA，利用相似三角形的性质可得，据此可求出 DF 的值，进而求出 AD 的值 .详解】如图所示，过点 D作DF ⊥AC于点 F，在 Rt △ABD 中，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ DEF=∠ DBA，又∵∠ DFE=∠ DAB =90°，∴ △DEF ∽△ DBA，即∴DF=2，∴AD=2 .故答案为： 2 .【点睛】本题主要了平行线的性质、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键 .6．如图，五边形是边长为的正五边形，是正五边形的外接圆，过点作的切线，与、的延长线交分别于点和，延长、相交于点，那么的长度是________答案】解析】分析】先证明 AG=AF ，由 SSS得到△OHD与△OED全等，得出∠ ODH= ∠ODE=5°4 ，证出∠ B=∠C=72°，设 GB=xcm ，由△DHB ∽△ GBD ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x 的值，即可得出结果．详解】连接 DG ，如图所示：∵BC 是⊙ O 的切线，∴OD⊥BC，∴∠ BFO=∠ CFO=9°0 ，在△OHD 与△OED 中，∴△ OHD≌△ OED （ SSS），∴∠ ODH= ∠ ODE=5°4 ，∴∠ HDB= ∠ EDC=3°6 ，∴∠ B=∠ C=72°，∴ BD=DH=DE=DC=GF ，∴GF= BC ，设 GB=x ，∵∠ BDH= ∠BGD ，∠ B=∠B，∴△ DHB∽△ GBD，∴ ，即，整理得： x2-2x-4=0 ，解得： x=1± （负值舍去），∴ AG=GB=1+ ，∴ AB=2+2 ；故答案为： 2+2 ．【点睛】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，切线的性质；熟练掌握正五边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．7．如图，已知在⊙ O中，直径 AB＝ 4，点 E是OA上任意一点，过 E作弦 CD⊥AB，点 F是上一点，连接 AF 交 CE 于点 H，连接 AC，CF，BD， OD.（1）求证： △ACH ∽△ AFC ；（2）猜想： AH ·AF 与AE ·AB 的数量关系，并证明你的猜想；（3）探究：当点 E 位于何处时， S △AEC ∶ S △BOD ＝ 1∶4？并加以说明．【答案】（ 1）详见解析；（ 2）AH ·AF ＝ AE ·AB ，证明详见解析； （3）当 OE ＝ （或 AE ＝ ）时，S △AEC ∶S △BOD ＝1∶4.解析】分析】 （1）根据垂径定理得到弧 AC=弧 AD ，再根据圆周角定理的推论得到∠ F=∠ACH ，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（ 2）连接 BF ，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质 证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为 AE ：OB ，进一步转化为 AE ：AO 的比，再根据半径的长求得 OE 的长．详解】(3)解：当 OE ＝ (或 AE ＝ )时， S △AEC ∶S △BOD ＝ 1∶ 4.∵直线 AB ⊥CD ，∴ CE ＝ED ，又∵ S △AEC ＝ AE ·CE ，【点睛】 能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．8．如图， 是 的直径， 是 上一点， ，S △BOD ＝ OB ·ED ，∴ ＝ ＝ ∵⊙ O 的半径∴ OE（2）若，，求的长 .【答案】（1）详见解析；（ 2） 2【解析】【分析】（1）连接 OC，由 AB 是直径可得∠ ACB=90° ，由 OA=OC 可得∠ BAC=OCA ，根据∠ ACD=∠B，∠B+∠ BAC=90°，通过等量代换可得∠ OCD=90°，即可得答案；根据∠ ACD= ∠B，∠ BAC=∠ADC=90°，可证明△ABC ∽△ ACD ，根据相似三角形的性质即可求出AC 的长.【详解】∴∴∴ 是的切线；【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键 . 9．如图所示，△ABC内接于⊙ O，AC是⊙O的直径，点 D是劣弧 AB的中点，过点D作直线 BC的垂线，分别交 CB，CA 的延长线于 E，F 两点．（1）求证： EF是⊙ O的切线；（2）若 EF＝8，EC＝6，求⊙ O的半径．【答案】（1）证明见解析；（ 2） .【解析】【分析】（1）连接 OD 交 AB 于点 G，依据垂径定理的推论可以得出OD ⊥ AB，结合题意易得 AB∥ EF ，进而不难得到 OD⊥ EF，即可证明结论；（2）先根据勾股定理求出 CF的长，由（ 1）知 OD∥CE，然后利用平行线分线段成比例列式求解即可求出⊙ O 的半径 .【详解】（1）证明：连结 OD，∵ D 是的中点，∴OD⊥AB.又∵ AC 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AB ，∴ OD ∥ CE.又∵ C E ⊥EF ，∴ OD ⊥ EF ， 即 EF 是⊙ O 的切线．本题主要考查了切线的判定，圆周角定理的推论，垂径定理定理的推论，平行线分线段成比例定理 条直线是圆的切线常用的方法有：①若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连 结过此点的半径，再证其与直线垂直；②若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂 线，再证垂足到圆心的距离等于半径 .10．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点，经过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 D ，连接 ∠BCD ＝∠ CAB ． E 是⊙ O 上一点，弧 CB ＝弧 CE ，连接 AE 并延长与 DC 的延长线交于点 F ． （1）求证： DC 是⊙O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为 3， sin ∠ D ＝ ，求线段 AF 的长．答案】 （1）见解析；（ 2） .解析】分析】 （1）连接 OC ，BC ，由 AB 是⊙ O 的直径，得到∠ ACB=90° ，即∠ 1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到 ∠1=∠2．得到∠ DCB+ ∠3=90°．于是得到结论；.证明一AC ，BC ，（2）根据三角函数的定义得到 OD=5，AD=8 ．根据弧 CB＝弧 CE得到∠ 2=∠4．推出 OC∥AF ．根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（2）解：在 Rt△OCD 中， OC＝ 3， sinD ＝∴ OD ＝ 5，AD ＝ 8．∵弧 CB ＝弧 CE，∴∠ 2＝∠ 4．∴∠ 1＝∠ 4．∴OC∥AF．∴△ DOC∽△ DAF．=本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图， AB 是半圆 O的直径，点 P在 BA的延长线上， PD切⊙O于点 C，BD⊥PD，垂足为 D，连接 BC.（1）求证： BC 平分∠ PBD；（2）求证： PC2＝PA·PB；（3）若 PA＝ 2，PC＝ 2 ，求阴影部分的面积（结果保留π）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） S阴影＝2 －π.【解析】【分析】（1）连接 OC，由 PD切⊙O 于点 C，得到 OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠ DBC= ∠BCO ，根据的预计实现的性质得到∠ OCB= ∠OBC ，等量代换得到∠ OBC= ∠ CBD ，于是得到即可；（2）连接 AC，由 AB 是半圆 O的直径，得到∠ ACB=90° ，推出∠ ACP= ∠ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据图形的面积公式即可得到结果．【详解】（ 1）连接 OC，∵PD切⊙O 于点 C，∴OC⊥PD，∵BD ⊥PD，∴BD ∥OC，∴∠ DBC＝∠ BCO，∵OC＝OB，∴∠ OCB＝∠ OBC，∴∠ OBC＝∠ CBD，∴BC 平分∠ PBD ；（3）∵ PC2＝PA·PB， PA＝2，PC＝2 ，∴PB＝6，∴ AB ＝ 4 ，∴O C＝2，PO＝4，∴∠ POC＝60°，∴ S阴影＝S△POC－ S扇形＝×2 ×2－＝2 －π.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．如图， AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线 CE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB＝10，CD＝ 4，求 BC 的长．【答案】(1)证明见解析； ( 2) BC＝2 或 4 ．【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由 AC 平分∠ DAB 得到∠ DAC= ∠CAB ，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA= ∠CAB ，接着利用平行线的判定得到 AD ∥CO，而 CD⊥AD ，由此得到 CD ⊥ AD ，最后利用切线的判定定理即可证明 CD 为⊙ O 的切线；(2)证明△DAC ∽△ CAB ，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可 .【详解】∴AD ∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙ O直径且 C在半径外端，∴CD 为⊙ O 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 .13．如图，在⊙ O中，AB是⊙ O的直径， AE是弦， OG⊥AE于点 G，交⊙O 于点D，连结BD交AE 于点F，延长 AE 至点 C，连结 BC．（1）当 BC=FC 时，证明： BC是⊙O 的切线；（2）已知⊙ O的半径，当tanA= ，求 GF 的长．答案】（1）见解析；（2）1解析】分析】1）由 OD⊥AE 可知∠ D + ∠ GFD =90°，由等腰三角形的性质可得∠ BFC=∠ FBC，∠OBD=∠D，从而可证∠ OBC =90°；(2)连接 BE，在 Rt△AOG 中，可求出 OG= 3， AG=4，由垂径定理得 GE= AG=4，然后通过证明FEB，可求出 GF 的长 .【详解】∵⊙ O 半径， tanA= ，∴ sinA= ,cosA= ．∴在Rt△AOG 中，OG=OA sinA=5× =3，AG=OA cosA=5× =4=GE ．△FGD ∽△【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质熟记切线的判定定理是解（ 1）的关键，证明△FGD∽△ FEB是解（ 2）的关键 . 14．如图， AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点E，点 P在⊙ O上，弦 PB与CD交于点 F，且 FC＝FB．（1）求证： PD∥CB ；（2）若 AB＝26，EB＝8，求 CD 的长度．答案】（1）证明见解析；（2）CD ＝24．解析】分析】1）欲证明 PD∥ BC，只要证明∠ P＝∠ CBF 即可；2）由△ACE ∽△ CBE，可得，求出 EC，再根据垂径定理即可解决问题详解】2）连接 AC ，∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝90°，∵AB ⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠ CEB ＝ 90°，∵∠ CAE+ ∠ ACE ＝90°，∠ ACE+∠BCE＝90°，∴∠ CAE ＝∠ BCE ，∴EC2＝144，∵EC>0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝24．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图⊙ O的内接△ABC中，外角∠ ACF 的角平分线与⊙ O相交于 D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为 H.问：（1） ∠PDC 与∠ HDC 是否相等，为什么？（2）图中有哪几组相等的线段？（3）当△ABC 满足什么条件时， △CPD ∽△ CBA ，为什么？答案】（ 1）相等，理由详见解析； （ 2）PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，ADACB ＝ 60 °时， △CPD ∽△ CBA.【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明△CDH ≌△ CDP 即可； （2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；（3）根据其中一个是直角三角形得到 AC 必须是直径． 再根据另一对角对应相等，＝∠ DCF ＝∠ ACB=60°才可．【详解】又∵ CD=CD ，∴△ CDH ≌△ CDP ，∴∠ PDC ＝∠ HDC .(2) ∵△ CDH ≌△ CDP ， ∴PC ＝HC ，DP ＝DH ，∵∠ DAP=∠ DBH ，∠ APD =∠BHD =90°， ∴△ADP ≌△ BDH ， ∴AP ＝BH ，AD ＝BD.BD ；(3)∠ ABC ＝ 90°且∠ 结合利用平角发现∠ PCD综上可得： PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，AD ＝BD.【点睛】 本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，圆周角定理的 推论等知识 .掌握全等三角形的判定和性质，能够根据已知的三角形的形状探索若相似应满足的条件是解答 本题的关键．16．如图 ,AB 是⊙ O 的直径, ⊙O 过 BC 的中点 D,DE ⊥ AC.求证: △BDA ∽△ CED.【答案】证明见解析 .【解析】【分析】不难看出 △BDA 和△CED 都是直角三角形，证明 △BDA ∽△ CED ，只需要另外找一对角相等即可，由于 是△ABC 的中线，又可证 AD ⊥BC ，即 AD 为 BC 边的中垂线，从而得到∠ B=∠C ，即可证相似． 【详解 】【点睛】 本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙ O ，交BC 于点D ，连接 AD ．过点 D 作DE ⊥ AC ，垂足为点 E ．（1）求证： DE 是⊙O 的切线；（2）当⊙ O 半径为 3，CE ＝ 2 时，求 BD 长．AD【答案】（1）证明见解析；（2）BD ＝2 ．【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙ 0的直径得∠ ADB=90° ，由AB=AC ，根据等腰三角形性质得 AD平分BC，即DB=DC ，则 OD 为△ABC 的中位线，所以 OD∥AC，而 DE⊥AC，则 OD ⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90° ，得出△DEC∽△ ADB ，得出，从而求得 BD?CD=AB?CE ，由 BD=CD ，即可求得 BD2=AB?CE ，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接 OD ，如图，∵AB 为⊙ 0 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴AD ⊥BC，∵AB ＝AC，∴AD 平分 BC，即 DB ＝DC，∵OA ＝OB，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙ 0 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．18．如图，为的直径，，为上一点，且 AC=BC ，为 BC 上的一动点，延长至，使得，连接．1）求证：直线是的切线；2）若点由点运动到点，则线段扫过的面积是_______ ．（结果保留）答案】（1）见解析；（2）解析】分析】1）做辅助线根据证明,由相似三角形性质即可解题 ,（ 2）作出图像得 S 阴影=S△ABQ -S△AOC -S扇形BOC,即可解题 .【详解】（ 1）证明：连接．，即．是的直径，直线是的切线．[来源 :ZXXK]【点睛】本题考查了三角形的相似 ,切线的证明 ,不规则图形求面积 ,中等难度 ,证明切线是解题关键 . 19．如图，⊙ O是△ABC 的外接圆， AB 是⊙ O的直径，经过点 A作AE⊥OC，垂足为点 D，AE 与BC交于点 F，与过点 B 的直线交于点 E，且 EB＝ EF．（1）求BE 是⊙ O 的切线；答案】（1）见解析；解析】分析】1）由 OB ＝ OC可得∠ OBC ＝∠ OCB ，由EB ＝ EF可知∠ EBC ＝∠ EFB，根据∠ AFC+ ∠OCB＝ 90°可知∠EBC+ ∠OBC＝90°，即可得结论；（2）由（ 1）可知∠ AEB+ ∠ EAB ＝ 90°，由∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°即可证明∠ AOD ＝∠ AEB ，设⊙ O 的半径为 r，根据 cos∠ AOD ＝ cos∠ AEB ＝可求出 r 的值，即可得 AB 的值，根据cos∠ AEB ＝＝可得 AE＝ BE，利用勾股定理求出 BE 的长即可 .【详解】（2）设⊙ O 的半径为 r，则 OA ＝OC＝r，又 CD＝ 1，∴OD＝r﹣1，∵∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°，∠ AEB+ ∠ EAB ＝90°，∴∠ AOD＝∠ AEB，∴cos∠ AOD ＝ cos∠AEB ＝，∴在 Rt△AOD 中， cos∠ AOD ＝＝，即＝解得： r＝，∵AB 是⊙ O 的直径，∴ AB ＝ 5 ，在 Rt △AEB 中，∴AE ＝ BE ，又 AE 2＝AB 2+BE 2，即（ BE ）2＝ BE 2+52， 解得： BE ＝ ．20．如图，已知 Rt △ACE 中，∠ AEC=90°，CB 平分∠ ACE 交AE 于点 B ，AC 边上一点 O ，⊙O 经过点 B 、C ，与 AC 交于点D ，与 CE 交于点F ，连结 BF 。

【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。

(完整版)初三圆与相似、三角函数专题总复习

(完整版)初三圆与相似、三角函数专题总复习

圆与相似、三角函数-、圆中方程问题•1、如图，已知AB是O O的直径，/ ABC=90 , OC与O 0相交于点D,连接AD并延长交BC于点E, BC=3 CD=2(1) 求O O的半径.(2) 取BE的中点F,连接DF,求证：DF是O O的切线.2、如图，已知直线PA交O 0于A、B两点，AE是O 0的直径.点C为O 0上一点，且AC平分/ PAE过C作CD丄PA垂足为Db(1)求证：CD为O 0的切线；⑵若DC+DA=6 O 0的直径为10 ,求AB的长度.弟Z3也阍、圆与相似1 .(桂林2010) 25 .(本题满分10分)如图，O O是厶ABC的外接圆，FH是O O的切线，切点为F , FH // BC,连结AF 交BC于E,/ ABC的平分线BD交AF于D，连结BF .(1)证明：AF平分/ BAC;(2)证明：BF = FD ;(3)若EF = 4, DE = 3,求AD 的长.F E F H2、(2011?菏泽)如图，BD 为O O 的直径，AB=AC , AD 交 BC 于点 E,AE=2 , ED=4 , (1)求证：△ ABE ADB ; (2) 求AB 的长；(3) 延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线 FA 与O O 的位置关系，并说明理由.3、( 2011?日照)如图，AB 是O O 的直径, (1) Z AOC=2 / ACD ; (2) AC 2=AB?AD .4、( 2009?广安)已知：如图， AB 是O O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交O O 于E ,连接 DE 、BE , 且/ C= / BED . (1)求证：AC 是O O 的切线; OA=10 , AD=16，求 AC 的长AC 是弦，CD 是O O 的切线，C 为切点，AD 丄CD 于点D .求证:(2 )若C5、( 2008?大庆)如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, BE平分/ ABC交AC于点E,点D在AB边上且DE丄BE .(1 )判断直线AC与厶DBE外接圆的位置关系，并说明理由；( 2)若AD=6 , AE=6 2，求BC的长.D F连结AF交BC于G,连结6、如图，Rt△ ABC中，/ ACB = 90°,以AC为直径作O O交斜边AB于点D, C FCF交AB于E(1) 求证：DF=EF(2) DE = 3 , FD = 5，求O O 的半径.7、( 2010芜湖)如图，BD是O O的直径，OA丄OB , M是劣弧AB上一点，过点M作O O的切线MP交OA 的延长线于P点，MD与OA交于N点.(1)求证：PM=PN ;卄3(2)若BD=4 , PA= AO，过点B作BC // MP交O O于C点，求BC的长.2(1) 求证：直线 PB 是O O 的切线; (2) 求 cos / BCA 的值.9、(2006?齐宁)如图，在 △ ABC 中，/ C=90°以BC 上一点O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点M ，交 BC 于点N . (1) 求证：BA?BM=BC?BN ;(2) 如果 CM 是O O 的切线，N 为OC 的中点，当 AC=3时，求AB 的值.三、圆与三角函数1、( 2007?济宁)如图，AB 为O O 的直径，弦 CD 丄AB 于点M ，过点B 作BE // CD ，交AC 的延长线于点 E , 连接BC . (1)求证：BE 为O O 的切线；(2)如果 CD=6 , tan / BCD= 1，求O O 的直径.28、如图所示，AC 为O O 的直径且PA 丄AC , BC 是O O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ,DB DPDC DO2、如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于H ，过CD 延长线上一点 点为G ,连接AG 交CD 于K . (1) 求证：KE=GE ；(2) 若KG 2=KD?GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；3(3) 在(2)的条件下，若 sinE= ，AK=2 5，求FG 的长.53、如图，在△ ABC , AB=AC ，以AB 为直径的O O 分别交 AC 、BC 于点D 、E ,点F 在AC 的延长线上，且/1CBF= - / CAB .2(1)求证：直线 BF 是O O 的切线；4、( 2009?北京)已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , AE 是角平分线，BM 平分/ ABC 交AE 于点M ，经过 B , M 两点的O O 交BC 于点G ,交AB 于点F , FB 恰为O O 的直径. (1) 求证：AE 与O O 相切；E 作O O 的切线交AB 的延长线于F .切(2)若 AB=5 , sin / CBF=-，求BC 和BF 的长.(2) 当BC=4 , cosC=丄时，求O O的半径.35、( 2012甘肃兰州，26,10分)如图，Rt △ ABC 中，/ ABC=90，以AB 为直径的O O 交AC 于点D, E 是BC 的 中点，连结DE OE6、如图，AB 是O O 的直径，BC 丄AB 于点B ,连接OC 交O O 于点E ,弦AD // OC ,弦DF 丄AB 于点G . (1) 求证：点E 是弧BD 的中点； (2) 求证：CD 是O O 的切线；(3) 若sin / BAD= 4 , O O 的半径为5，求DF 的长.57、已知：如图， AB 是O O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交O O 于E ,连接DE 、BE ,且/ C= / BED . (1) 求证：AC 是O O 的切线；⑴判断DE 与O O 的位置关系并说明理由;2 )若 tanC=5—,DE=2，求 AD 的长.(2) 若OA=10, AD=16，求AC 的长.8 如图，Rt△ ABC中，/ ABC=90°，以AB为直径作O O交AC边于点D , E是边BC的中点，连接DE. (1求证：直线DE是O O的切线；(2)连接OC交DE于点F,若OF=CF，求tan/ACO的值.9、如图，AB是O O的直径，CD是O O的切线，切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC，作/ DAC= / ACD , 作AF丄ED于点F,交O O于点G .(1求证：AD是O O的切线；(2)如果O O的半径是6cm, EC=8cm，求GF的长.E CF D10、已知，如图：在Rt△ ABC中，/ C=90° ,以BC为直径作O O交AB于D，取AC中点E,连结OE, ED的延长线与CB的延长线交于F .(1求证：DE是O O的切线;(2)如果O O的半径为3cm, ED=4cm，求sin / F的值.11、如图，AB为O O的直径，弦CD丄AB于点M，过点B作BE // CD，交AC的延长线于点E,连接BC .(1)求证：BE为O O的切线；丄屮1(2)如果CD=6 , tan/ BCD=，求O O 的直径.2。

(完整word版)圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

(完整word版)圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合2. 如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB = 90°以AC 为直径的O O 与AB 边交于点 D ，过点D 作O O 的切线，交BC 于点E.(1) 求证：点E 是边BC 的中点； ⑵求证：BC 2= BD-BA ;(3)当以点O , D , E , C 为顶点的四边形是正方形时，求证：△ ABC 是等腰直角三角形. 解：(1)连结 OD , v DE 为切线，•••/ EDC + Z ODC= 90° .•••/ ACB = 90°, ECD + Z OCD=90 ° •又 v OD = OC ，• / ODC = Z OCD ,•••/ EDC = Z ECD , • ED = EC. v AC 为直径，• /ADC = 90°,「./ BDE + Z EDC = 90°,/ B + Z ECD =90°, •/ B = / BDE , • ED = EB ,• EB = EC ,即点E 为边BC 的中点(2) v AC 为直径，•/ ADC = / ACB = 90° 又v/ B =/ B , •△ ABC CBD , • ABBC =BCBD , • BC2 = BD?BA1如图，BC 是O A 的直径，△ DBE 的各个顶点均在O =BC- BF.A 上，BF 丄DE 于点F.求证：BD-BEB E C⑶当四边形ODEC为正方形时，/ OCD = 45° .v AC为直径，•/ ADC = 90°, • / CAD =90 ° -/ OCD = 90°- 45°= 45 ° ,• Rt △ ABC 为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3. 如图，在△ ABC中，以AC为直径作O O交BC于点D，交AB于点G,且D是BC的中点，DE 丄AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1) 求证：直线EF是O O的切线；⑵已知CF = 5, cosA = 25,求BE的长.解：(1)连结OD.T CD = DB , CO = OA , A OD是厶ABC的中位线，•••OD// AB , AB = 2OD. •/ DE 丄AB , A DE 丄OD，即OD 丄EF,A 直线EF是O O的切线(2) •/ OD // AB，•/ COD = Z A , • cos/ COD = cosA = 25.在Rt△ DOF中，V/ ODF = 90°, • cos/ FOD = ODOF = 25.设O O 的半径为r，贝Urr+ 5= 25，解得r = 103,A AB = 2OD = AC = 203.在Rt△ AEF 中，v/ AEF= 90°,A cosA = AEAF = AE5 + 203= 25,A AE=143, • BE = AB —AE = 203- 143 = 24. (2015资阳)如图，在△ ABC中，BC是以AB为直径的O O的切线，且O O与AC相交于点D , E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是O O的切线；⑵连结AE，若/ C= 45 °,求sin / CAE的值.解：⑴连结OD , BD , V OD = OB，• / ODB =/ OBD. •/ AB 是直径，•/ ADB = 90°, •/ CDB = 90° .V E 为BC 的中点，• DE = BE，•/ EDB =/ EBD，•/ ODB +/ EDB = / OBD + / EBD，即/ EDO =/ EBO. V BC是以AB为直径的O O的切线，• AB 丄BC，•/ EBO= 90°, •/ ODE = 90°,A DE 是O O的切线⑵过点E作EF± CD于点F,设EF = x, V/ C= 45°,「仏CEF,^ ABC 都是等腰直角三角形，• CF= EF = x, • BE = CE = 2x,• AB = BC = 22x.在Rt A ABE 中，AE = AB2 + BE2 = 10x, • sin / CAE = EFAE = 10105. 如图，△ ABC内接于O O,直径BD交AC于点E,过点O作FG丄AB，交AC于点F,交AB于点H，交O O于点G.(1) 求证：OF -DE = OE-2OH ;(2) 若O O的半径为12,且OE ：OF : OD = 2 : 3 : 6，求阴影部分的面积.(结果保留根号)解：⑴V BD 是直径，•/ DAB = 90° .V FG 丄AB ,• DA // FO,• △ FOEADE , • FOAD = OEDE，即OF?DE = OE?AD. V O 是BD 的中点，DA // OH , • AD = 2OH , • OF?DE = OE?2OH ⑵VO O 的半径为12，且OE : OF : OD = 2 : 3 : 6,A OE= 4, ED = 8, OF= 6, • OH= 6•在Rt△ OBH 中，OB = 2OH，•/ OBH=30°，•/ BOH = 60°,A BH = BO?sin60° = 12X 32 = 63,A S 阴影=S 扇形GOB —S△OHB = 60X n X 122360 —12X 6X 63= 24 n —183类型三：圆与二次函数的综合6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A( —4, 0), B(1 , 0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0, 2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A , B, C三点的抛物线的解析式；⑵求点D的坐标；⑶设平行于x轴的直线交抛物线于E, F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好解：⑴y =—12x2 —32x + 2与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由.(2) 以AB为直径的圆的圆心坐标为0' (—32, 0),二O' C = 52 , 0 ' 0 = 32. v CD 为圆0 '的切线，•••O' C丄CD,•••/ O' CO+Z DC0 = 90° •又vZ CO' 0+Z O' CO = 90°,「.Z CO' O = Z DCO，二△ O'CO s^ CDO , • O' OOC = OCOD , • 322= 20D ,• OD = 83，•点D的坐标为(83, 0)(3) 存在.抛物线的对称轴为直线x=—32,设满足条件的圆的半径为|r|,则点E的坐标为(一32 + r, r)或F( —32 —r, r)，而点E在抛物线y=—12x2 —32x + 2 上，• r =—12(—32 + |r|)2—32( —32 + |r|)+ 2, • r1 = —1 + 292, r2=—1—292(舍去).故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为一1 + 2927. 如图，抛物线y = ax2+ bx —3与x轴交于A , B两点，与y轴交于点C,经过A , B , C 三点的圆的圆心M(1 , m)恰好在此抛物线的对称轴上，O M的半径为•设O M与y轴交于点D,抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；⑵设Z DBC = a , Z CBE = 3,求sin( —3 的值；(3) 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以P , A , C为顶点的三角形与厶BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意，可知C(0 , —3) , —b2a= 1，•抛物线的解析式为y= ax2 —2ax —3(a>0).过点M作MN丄y轴于点N , 连结CM ,贝U MN = 1 , CM = 5 , • CN = 2,于是m=—1. 同理，可求得B(3 , 0) , • a x 32 —2a x 3—3= 0,解得a= 1. •抛物线的解析式为y = x2 —2x —3 (2)由(1)得，A( —1 , 0) , E(1 ,—4) , D(0 , 1) , •△ BCE 为直角三角形，BC = 32 , CE = 2 , • OBOD = 31 = 3 , BCCE = 322=3, • OBOD = BCCE ,即OBBC = ODCE , • Rt △ BOD sRt A BCE ,得Z CBE = Z OBD = 3 ,因此sin( a —3 ) = sin(Z DBC —Z OBD) = sin Z OBC =COBC = 22⑶显然Rt△ COA s Rt△ BCE ,此时点0(0, 0).过点A作AP2丄AC交y轴的正半轴于点P2 ,由Rt△ CAP2s Rt△ BCE ,得P2(0 , 13).过点C作CP3丄AC交x轴的正半轴于点P3 , 由Rt△ P3CA s Rt△BCE,得P3(9 , 0).故在坐标轴上存在三个点P1(0 , 0) , P2(0 , 13) , P3(9 , 0),使得以P , A, C为顶点的三角形与△ BCE相似。

专题35 锐角三角函数与圆综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题35 锐角三角函数与圆综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题35 锐角三角函数与圆综合（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A为圆心，AB 为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．思路引领：（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，∴AB=BC2―AC2=62―(42)2=2，∵12AB•AC=12BC•AH，∴AH=AB⋅ACBC=2×426=432，∴BH=AB2―AH2=22―(432)2=23，∵AH⊥BD，∴BH＝HD=2 3，∴BD=4 3；（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：由（1）得：AH=432，BD=43，AB＝2，∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6―43=143，∵12AH•CD=12DM•AC，∴DM=AH⋅CDAC=432×14342=149，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=AD2―DM2=22―(149)2=892，∴cos∠DAC=AMAD=8922=492．总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=34．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（ ）A．1B．75C．32D．2思路引领：根据已知易求BC，AB的长，进而可以求出直角三角形斜边上的高，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为E，利用等面积法求出CE，然后放在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理求出BD，最后求出AD即可．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=3 4，∴BCAC=34，∴BC ＝3，∴AB =AC 2+BC 2=32+42=5，∵△ABC 的面积=12AB •CE =12AC •BC ，∴5CE ＝12，∴CE =125，在Rt △BCE 中，BE =BC 2―CE 2=32―(125)2=95，∵CE ⊥BD ，∴BD ＝2BE =185，∴AD ＝AB ﹣BD ＝5―185=75，故选：B ．总结提升：本题考查了解直角三角形，垂径定理，根据题目的已知条件添加辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在BC 延长线上，且满足∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC 是∠BAD 的平分线，sin B =35，BC ＝4，求⊙O 的半径．思路引领：（1）连接OA ，OC 与AB 相交于点E ，如图，由OA ＝OC ，可得∠OAC ＝∠OCA ，根据圆周角定理可得∠B =12∠AOC ，由已知∠CAD ＝∠B ，可得∠AOC ＝2∠CAD ，根据三角形内角和定理可得∠OCA +∠CAO +∠AOC ＝180°，等量代换可得∠CAO +∠CAD ＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC ＝∠DAC ，由已知可得∠BAC ＝∠B ，根据垂径定理可得，OC ⊥AB ，BE ＝AE ，在Rt △BEC 中，根据正弦定理可得sin B =CE BC =CE 4=35，即可算出CE 的长度，根据勾股定理可算出BE =BC 2―CE 2的长度，设⊙O 的半径为r ，则CE ＝OC ﹣CE ＝r ―125，在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2+AE 2，代入计算即可得出答案．证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC=AC，∴∠B=12∠AOC，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sin B=CEBC=CE4=35，∴CE=12 5，∴BE=BC2―CE2=42―(125)2=165，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r―12 5，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r―125）2+(165)2，解得：r =103．总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．类型二 利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．21313B ．31313C ．23D ．53思路引领：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，又∵点A ，B ，C 都在格点上，∴∠ADC ＝∠ABC ，在Rt △ABC 中，cos ∠ABC =BC AB =332+22=31313=cos ∠ADC ，故选：B ．总结提升：本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．针对训练1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O ，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A＝90°，∠B＝53.2°，AB＝200米．（1）求步道AD的长；（2）求步道围成的四边形ABCD的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）思路引领：（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径可得BD是⊙O的直径，根据勾股定理即可求解；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，解直角三角形求出AE、BE、AF、DF的长，证出四边形CDFE是矩形，即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）连接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD＝125×2＝250（米），∵AB＝200米，∴AD=BD2―AB2=2502―2002=150（米），答：步道AD的长是150米；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，在Rt△ABE中，∠B＝53.2°，AB＝200米，∴AE＝AB•sin 53.2°≈200×0.80＝160（米），BE ＝AB •cos 53.2°≈200×0.60＝120（米），∵∠BAE +∠ABE ＝∠BAE +∠DAF ＝90°，∴∠DAF ＝∠ABE ＝53.2°，在Rt △ADF 中，DF ＝AD •sin 53.2°≈150×0.80＝120（米），∴AF ＝90（米），∴EF ＝AE ﹣AF ＝70（米），∵AE ⊥BC ，DF ⊥AE ，∠BCD ＝90°，∴四边形CDFE 是矩形，∴四边形ABCD 的面积为：12×120×160+120×70+12×120×90＝23400（平方米）．答：步道围成的四边形ABCD 的面积是23400平方米．总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，以及圆周角定理，勾股定理的应用，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．类型三 利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3 （2021春•中原区校级月考）如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在圆O 上．（1）求证：AE ＝AB ；（2）填空：①当∠CAD ＝ °时，四边形OBED 是菱形．②当∠CAB ＝90°，cos ∠ADB =13，BE ＝2时，BC ＝ ．思路引领：（1）利用折叠的性质得出AC ＝AE ，∠C ＝∠AED ，再判断出∠C ＝∠ABC ，得出AB ＝AC ，即可得出结论；（2）①先判断出△AOD 是等边三角形，得出∠ADO ＝60°，进而求出∠ADE ＝120°，再求出∠C ＝∠ABC ＝∠DAC ＝30°；②先求出EF＝1，再判断出∠AEB＝∠ADB，利用锐角三角函数求出AE，进而求出AB，即可得出结论．（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，∵∠ABC＝∠AED，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴AE＝AB；（2）解：①如图，∵四边形AOED是菱形，∴DE＝OA＝AD，连接OD，∴OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，同理：∠ODE＝60°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DE，∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠C=12（180°﹣∠ADC）＝30°，故答案为：30°．②如图，过点A作AF⊥BE于F，由（1）知，AE＝AB，∴EF=12BE＝1，∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB=1 3，∴cos∠AEB=1 3，在Rt△AFE中，cos∠AEB==1 3，∴AE＝3EF＝3，由（1）知，AE＝AB，∴AB＝3，由（1）知，AB＝AC，∵∠CAB＝90°，∴BC=2AB＝32，故答案为：32．总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，锐角三角函数，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出∠ADC是解本题的关键．针对训练1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC 的值为 ．思路引领：先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用勾股定理计算出AC＝33，利用正且的定义得到tan∠ABC=3，然后根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC，从而得到tan∠ADC的值．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AC=AB2―BC2=62―32=33，∴tan∠ABC=ACBC=333=3，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC=3．故答案为3．总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC=3，AC＝5，求sin∠CBA．思路引领：（1）连接OB，根据切线的性质得出∠OBD+∠EBD＝90°，由圆周角定理得出∠CAB＝∠BAD，∠ABO+∠OBD＝90°，即可证得∠EBD＝∠ABO，根据等腰三角形的性质即可证得∠OAB＝∠OBA，从而证得结论；（2）连接CD，交OB于M，根据垂径定理得出OB⊥CD，CM＝DM，然后根据三角形中位线定理求得OM=52，然后G根据勾股定理得出r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3，解直角三角形求得sin∠ADC=ACAD=56，根据圆周角定理∠CBA＝∠ADC，即可求得sin∠CBA=56．（1）证明：连接OB，∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠EBD＝∠ABO，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAB＝∠EBD，∵弦BD＝弦BC，∴BC=BD，∴∠CAB＝∠BAD，∴∠EBD＝∠CAB；（2）解：连接CD，交OB于M，∵BC=BD，∴OB⊥CD，CM＝DM，∵OA＝OD，∴OM=12AC=52，设圆的半径为r，∴BM＝r―5 2，∵BD＝BC=3，∵OD2﹣OM2＝BD2﹣BM2，∴r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3或r=―12（舍去），∴AD＝2r＝6，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin∠ADC=ACAD=56，∴sin∠CBA=5 6．总结提升：本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求AC长度及阴影部分面积．思路引领：（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．（1）证明：如图，连接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠ODB +∠BDE ＝90°，即OD ⊥EC ，∵OD 是半径，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △COD 中，由于sin ∠OCD =45，设OD ＝4x ，则OC ＝5x ，∴CD =OC 2―OD 2=3x ＝AC ，在Rt △AOB 中，OB ＝OD ＝4x ，OA ＝OC +AC ＝8x ，AB ＝45，由勾股定理得，OB 2+OA 2＝AB 2，即：（4x ）2+（8x ）2＝（45）2，解得x ＝1或x ＝﹣1（舍去），∴AC ＝3x ＝3，OC ＝5x ＝5，OB ＝OD ＝4x ＝4，∵∠ODC ＝∠EOC ＝90°，∠OCD ＝∠ECO ，∴△COD ∽△CEO ，∴OC EC =CD OC ，即5EC =35，∴EC =253，∴S 阴影部分＝S △COE ﹣S 扇形=12×253×4―90π×42360=503―4π=50―12π3，答：AC ＝3，阴影部分的面积为50―12π3．总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．针对训练1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD=35，则线段AE的长是（ ）A．245B．5C．194D．225思路引领：连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF＝5，然后在Rt△AEF中利用正弦定义可求出AE的长．解：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD=ODOF=35，OD＝3，∴OF＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠F=AEAF=35，∴AE=35（3+5）=245．故选：A．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．第二部分专题提优训练1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为 ．思路引领：连接AD、BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BCD＝∠BAD，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．解：连接AD、BD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB=AD2+BD2=42+32=5，∴sin∠BAD=BDAB=35，由圆周角定理得：∠BCD＝∠BAD，∴sin∠BCD=3 5，故答案为：3 5．总结提升：本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC=5+4，tan A=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为 ．思路引领：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．解直角三角形求出CM，OM，根据OC≥OM﹣CM即可解决问题．解：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．∵AC，AB是⊙O的切线，∴MJ⊥AC，MT⊥AB，∴∠AJM＝∠ATM＝90°，∴∠A+∠JMT＝180°，∵∠JMT+∠FMT＝180°，∴∠A＝∠FMT，∴tan A＝tan∠FMT=1 2，∵MT＝2，∴TF＝1，FM=MT2+FT2=22+12=5，∴JF＝MJ+MF＝2+5，∴AJ＝2FJ＝4+25，∵AC＝2BC＝8+25，∴CJ＝4，∵∠CJM＝90°，∴CM=CJ2+MJ2=42+22=25，∵M（3，6），∴OM=32+62=35，∵OC≥OM﹣CM，∴OC≥35―25，∴OC≥5，∴OC的最小值为5．故答案为5．总结提升：本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．思路引领：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，∴OH=12OP=12×3=32，PH＝OP•cos30°＝3×32=332，在Rt△OHC中，CH=OC2―OH2=22―(32)2=72．∵CD＝2CH，∴CD=2×72=7．∴PC=PH―HC=332―72=33―72．（2）由（1）知：PD=CD+PC=7+33―72=33+72，PA＝5，∠P＝30°，∴S△PBC=12PB⋅PC⋅sin30°=12×1×33―72×12=33―78，S△PAD=12PD⋅PA⋅sin30°=12×33+72×5×12=5(33+7)8，∴S四边形ABCD=S△PAD―S△PBC=5(33+7)8―33―78=63+374．总结提升：本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．思路引领：（1）根据切线的性质，得出∠ABO＝90°，进而求出∠AOB＝60°，∠BOD＝120°，再根据圆周角定理得出答案；（2）根据等腰三角形的判定和性质可得AB＝DB，进而得出DB＝AB＝BF，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出OD⊥DF即可．（1）解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝60°，（2）证明：连接BD，∵OB＝OD，∠BOD＝120°，∴∠ODB=12（180°﹣60°）＝30°＝∠A，∴AB＝DB，又∵AB＝BF，∴DB＝AB＝BF，∴△ADF是直角三角形，即∠ADF＝90°，∵OD⊥DF，OD是半径，∴DF是⊙O的切线．总结提升：本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提．5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PD＝23，∠ABC＝60°，求BC的长．思路引领：（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，则可判断OD∥BE，所以∠ODA＝∠E，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠E，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO ＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30度得到BC的长．（1）证明：连接OD，如图，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC，∵PC⊥BE，∴OD∥BE，∴∠ODA＝∠E，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠E，∴AB＝BE；（2）解：∵OD∥BE，∴∠DOP＝∠ABC＝60°，在Rt△POD中，∵∠P＝90°﹣∠POC＝30°，∴OD=33PD=33×23=2，∴PO＝2OD＝4，∴PB＝PO+OB＝6，在Rt△PBC中，BC=12PB＝3．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．思路引领：（1）根据垂直定义可得∠E＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AE∥OC，然后利用平行线的性质可求出∠OCF＝90°，即可解答；（2）根据已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后证明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，从而利用相似三角形的性质求出AE，EF的长，最后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCF＝90°，∵OC是半⊙O的半径，∴EF与半圆O相切于点C；（2）∵AO＝3，BF＝2，∴OF＝OB+BF＝5，OC＝3，∴AF＝OF+OA＝8，∵∠OCF＝90°，∴CF=OF2―OC2=52―32=4，∵∠E＝∠OCF＝90°，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FEA，∴FCEF=OCEA=OFAF，∴4EF=3EA=58，∴EA=245，EF=325，∴CE＝EF﹣CF=12 5，在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=245125=2，∴tan∠ACE的值为2．总结提升：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握切线的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点， ．求证： ．（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．思路引领：（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP ＝∠OBP＝90°，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得∠AOP＝∠BOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP 中利用锐角三角函数进行计算即可解答．解：（1）已知：如图1，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP，求证：OP垂直平分AB，证明：连接OA、OB，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB，故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；（2）连接OA、OB，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠DAO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，∵OB＝OC，∴∠DCB＝∠OBC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，由（1）得：∠BOP＝∠AOP=12∠AOB＝30°，∵∠OBP＝90°，OB＝OC＝2，∴OP=OBcos30°=232=433，∴OP的长为43 3．总结提升：本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．。

专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题(解析版)备战2020年中考数学之解密压轴解答题命题规律

专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题(解析版)备战2020年中考数学之解密压轴解答题命题规律

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且»AN＝»BN，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．思路点拨（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得AC CNCM BC，即可求CM的长．满分解答（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM 平分∠ABD ，∴∠OBM ＝∠MBF ，∴∠OMB ＝∠MBF ，∴OM ∥BF ，∵MF ⊥BD ，∴OM ⊥MF ，即∠OMF ＝90°，∴MF 是⊙O 的切线；（2）如图，连接AN ，ONQ ¶¶AN BN=， 4AN BN ∴==AB Q 是直径，¶¶AN BN=， 90ANB ∴∠=︒，ON AB ⊥2242AB AN BN ∴=+22AO BO ON ∴===22981OC CN ON ∴=-=-=221AC ∴=，221BC =A NMB ∠=∠Q ，ANC MBC ∠=∠ACN MCB ∴∆∆∽ ∴AC CN CM BC= AC BC CM CN ∴=g g73CM ∴=g73CM ∴=【例2】如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cos D=35，请求出AC的长．思路点拨（1）连接OC，易证∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以∠P+∠COB=90°，从而可知半径OC⊥DC；（2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D=35，设半径为r，所以OH=r﹣2，从而可求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度．满分解答解：（1）DC与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半径OC⊥DC，∴DC与⊙O相切．（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=35，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC=OHOC=2rr=35，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=5【例3】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=23，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．思路点拨（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=23，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．满分解答解：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=23，BD=4，∴AB=6，∵E是»AB的中点，AB是⊙O的直径，∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，∴AE=∵E是»AB的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE EG AE，即EG•ED=2AE=18．【例4】如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．思路点拨（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．满分解答（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC AD AB OA，∴AD=65t，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴65t+t=6，∴t=30 11；（2）当⊙Q经过A点时，如图OQ=OA﹣QA=4，∴t=41=4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴PE BP OA AB=，∴PE=3.6，∴由勾股定理可求得：EF=2195，由垂径定理可求知：FG=2EF=419；（3）当QC与⊙P相切时，如图此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ AC AB OA=，∴62 106t t -=，∴t=18 13，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=30 11，∴当30 11＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．【例5】如图，△ABC内接于⊙O，2,BC AB AC==，点D为»AC上的动点，且10cos10B=.(1)求AB的长度；(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH CD DH=+.思路点拨（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得A D•AE的值；（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.满分解答（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=10cos10BFB==（2）连接DG，∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ，∴AD ：AF=AG ：AE ，∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，∵AF=22AB BF =3， ∴FG=13， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG ）=3×103=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN ， ∵AD=AD ，CD=ND ，∴△ADC ≌△ADN ，∴AC=AN ，∵AB=AC ，∴AB=AN ，∵AH ⊥BN ，∴BH=HN=HD+CD.【例6】已知如图，抛物线与轴相交于B(1，0)，C(5，0)两点，与y 轴的正半轴相交于A 点，过A ，B ，C 三点的⊙P 与y 轴相切于点A ，M 为轴负半轴上的一个动点，直线MB 交抛物线于N ，交⊙P 于D ．(1)填空:A 点坐标是____，⊙P 半径的长是_______，=____，=____，=____；(2)若S △BNC :S △AOB ＝48:5，求N 点的坐标；(3)若△AOB 与以A ，B ，D 为顶点的三角形相似，求MB·MD 的值．思路点拨（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；（2）根据S△BNC：S△AOB=48：5求出N点的y坐标，将yN代入抛物线方程即可求得N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MB•MD的值．满分解答(1) ⊙P的半径=3,=,=,=；（2）由（1）知抛物线的解析式为=，∴A点的坐标为（0，），所以OA=，而OB=1,BC=OC-OB=5-1=4,,∵S△BNC:S△AOB＝48:5,∴,设点N的纵坐标为，则有，解得，而抛物线最小值是，∴，在中，时，（不合题意，舍去），，∴符合条件的N点的坐标是（7，）；…（3）过点A作直径AQ联接BQ，∴∠ABQ=90º,∠BAO+∠AOB=90º,∵MA与⊙P相切于点A，∴∠OAB+∠BAO=90º,∴∠OAB=∠AOB,而∠AQB=∠ADB,∴∠OAB=∠ADB,而∠AMB=AMD,∴△MAB∽△MDA,∴,∴…ⅰ当△AOB∽△DBA时，∠ABD=∠AOB=90º,易证△AOB∽△BOM,则∴OM=,,∴;ⅱ当△AOB∽△DAB时，∠BAD=∠AOB=90º,∴BD是⊙P的直径，∴∠DCB=90º,而BD=2×3=6,BC=4,∴∵∠DCB=∠MOB=90º,∴OM∥CD,∴△MOB∽△DCB, ∴,∴,∴,∴;所以，若△AOB 与以A,B,D 为顶点的三角形相似，MB·MD 等于或 【变式训练】1．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．3【答案】D【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠，∴3)sin 603OM OC cm ︒==．∵30OCN ∠=o ，∴123,223ON OC CN ===，∴24CE CN ==，∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=⨯⨯=故选：D ．2．如图，在ABC ∆中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O e 与AC 相切于点D ，BD 平分ABC ∠，3AD OD =，12AB =，CD 的长是（ ）A ．3B ．2C ．33D ．3【答案】A【详解】 解：∵O e 与AC 相切于点D ，9033 30//90160636323033623AC ODADOAD ODODtanAADABD ABCOBD CBDOB ODOBD ODBODB CBDOD BCC ADOABC BC AB AC BCCBDCD BC∴⊥∴∠︒∴∴∠︒∠∴∠∠∴∠∠∴∠∠∴∴∠∠︒∴∠︒∴∠︒∴⨯QQQ，＝，＝，＝＝，＝，平分，＝，＝，＝，＝，，＝＝，＝，＝＝，＝＝，＝，＝＝＝；故选A．3．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA AB PD AC⊥⊥，于点D，连接AP，设AP x PA PD y＝，﹣＝，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C ．D ．【答案】C【详解】设：圆的半径为R ，连接PB ，则1sin 22AP ABP x R R∠==， CA AB ⊥Q ，即AC 是圆的切线，则PDA PBA α∠∠＝＝， 则2122x PD APsin x x R R α⨯=＝＝ 则212y PA PD x x R-+＝＝- 图象为开口向下的抛物线，故选：C ．4．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为A ．4B ．C ．6D ．【答案】B【详解】连结OD ，如图， ∵DF 是圆的切线， ∴OD ⊥DF ， ∴∠ODF=90°，∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC ， 而OD=OC ， ∴∠ODC=60°，∴∠ODC=∠A ， ∴OD ∥AB ， ∴DF ⊥AB在Rt △ADF 中，∠A=60°， ∴∠ADF=30°， ∴AD=2AF=2×2=4， 而OD ∥AB ，点O 为BC 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴AD=CD=4，即AC=8，∴AB=8， ∴BF=AB-AF=6， ∵FG ⊥BC ， ∴∠BGF=90°，在Rt △BFG 中，sinB=sin60°=， ∴FG=6×=3.5．如图，已知AB 是O e 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O e 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O e 的半径为4，6BC ，则PA 的长为（ ）A ．4B ．3C ．3D ．2.5【答案】A【详解】连接OD ， ∵PD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥PD ，∴∠PDO=90°，∵∠BCP=90°，∴∠PDO=∠PCB ，∵∠P=∠P ，∴△POD ∽△PBC ，∴PO ：PB=OD ：BC ，即PO ：（PO+4）=4：6，∴PO=8，∴PA=PO-OA=8-4=4，故选A.6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【答案】D【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，2222++=BE EC4845∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OF OCBE BC=，即5445OF=，解得：OF=5．故选D．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．35D．25【答案】D【详解】如图：连接BE，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5连接BE，∴∠BAC＝∠EDB，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°∴BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，∴△ABC∽△DEB，∴AB AC DE DB=，∴5553DB =，∴DB＝35，在Rt△ABD中，AD＝22BD AB-＝25，故选D．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=_____．【答案】23【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB=ADcos30︒=43，∴在Rt△ABC中，AC=AB•cos60°=43×12=23．故答案为23．9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=____．【答案】3．【详解】连接OM，OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得：AM=．故答案为．10．如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且60BPC ︒∠=，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是___．【答案】633+．【详解】过O 作OM AC ⊥于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 距离的最大，且点P 到AC 距离的最大值PM =，∵OM AC ⊥，60A BPC ︒∠=∠=，⊙O 的半径为6，∴6OP OA ==， ∴3363322OM ==⨯= ∴633PM OP OM =+=+，∴则点P 到AC 距离的最大值是633+，故答案为：633+．11．如图，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为___．【答案】12【详解】 解：作OH ⊥AB ，延长DC 交⊙O 于E ，如图，∴AH=BH=12AB=12， ∵CD ⊥OC ，∴CD=CE ， ∵∠ABD=∠DEA ，∠BCD=∠ECA ，∴△BCD ∽△ECA ，∴BC CD CE AC=， ∴CD•CE=BC•AC ，∴CD 2=（BH-CH ）（AH+CH ）=（12-CH ）（12+CH ）=14-CH 2， ∴214CH - ∴当CH 最小时，CD 最大，而C 点运动到H 点时，CH 最小，此时CD=12，即CD 的最大值为12．故答案为12． 12．如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD AB BC 、、都相切，切点分别为D E C 、、，半径1OC =，则AE BE ⋅=___________.【答案】1【详解】如图，连接 OE ，∵AD 、AB 与半圆 O 相切，∴ OE ⊥AB ，OA 平分∠DOE ，∴∠AOE=12∠DOE ， 同理∠BOE=12∠EOC ， ∵∠DOE+∠EOC=180°，∴∠AOE+∠BOE=90°，即∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，∴∠ABO=∠AOE ，∵∠OEA=∠BEO=90°，∴△AEO ∽△OEB ，∴AE ：OE=OE ：BE ，∴AE•BE=OE²=1，故答案为1.13．如图，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径AB ＝18，∠A ＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①¶¶BC BD=；②扇形OBC的面积为274π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．【答案】①③④．【详解】∵弦CD⊥AB，AB是直径，∴»»BC BD=，所以①正确；∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，∴扇形OBC的面积=2609273602ππ⨯⨯=，所以②错误；∵⊙O与CE相切于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，∴△OCF∽△OEC，所以③正确；∵AP•OP=(9-OP)•OP= -(OP-92)2+814，当OP=92时，AP•OP的最大值为814=20.25，所以④正确，故答案为：①③④．14．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧¶AC上取一点D，使¶¶CD AB=，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE 3= C D ，劣弧¶CD的弧长为π，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为3．【详解】（1）∵¶¶CD AB =，∴∠CAD ＝∠BCA ＝α＝∠EAD ，设：∠DCA ＝∠DEA ＝β，∠DCE ＝∠DEC ＝γ，则△ACE 中，根据三角形内角和为180°，∴2α+2β+2γ＝180°，∴α+β+γ＝90°，∴CE 是⊙O 的切线；（2）过点A 作AM ⊥BC ，延长AD 交CE 于点N ，则DN ⊥CE ，∴四边形AMCN 为矩形， 设：AB ＝CD ＝x ，则CE 3=， 则CN 12=CE 3=＝AM ，而AB ＝x ， 则sin ∠ABM 3=ABM ＝60°， ∴△OAB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，¶¶60360CD AB ︒==⨯︒2πr ＝π，解得：r＝3，故圆的半径为3．15．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）7 9 .【详解】（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝45，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3．又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2化简得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝79（另一负值舍去）．∴5759 AF xFC==．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)见解析；(2) tan∠BAD=11 2.【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴»AB=»AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC,∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10. 又BC＝45，设AE＝x, CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE CEBE⋅=648⨯=3,∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝12BD•AE，∴DH＝•11633105 BD AABE⨯==，∴BH＝2244 5BD DH-=，∴AH＝AB−BH＝10−446 55=，∴tan∠BAD=DHAH=336=112.17．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=43DC，求DFCF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【详解】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵CE=CF∴∠4=∠5，∵∠3=∠4，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴AD DF DF AC CE CF==，∵BD=43 DC，∴tan∠ABC=CDBD=34∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=34，∴sin∠ACD=35 ADAC=，∴DFCF=35ADAC=．18．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=4 5 .(1)求证：△DEB∽△DAE；(2)求DA，DE的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.【答案】(1)证明见解析；(2)DA=1607，DE=1207；(3)MD＝35235.【详解】(1)DE2＝DB·DA，∴DE DB DA DE=，又∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DAE；(2)∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，又∵AE=EF，BF=10，∴AB=BF=10，∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=45，∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=45，在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝45，得AE=ABcos∠EAD=8，∴226 BE AB AE=-=，∵△DEB ∽△DAE，∴6384 DE DB EBDA DE AE====，∵DB=DA-AB=DA-10，∴341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩的解，∴DA=1607，DE=1207；(3)连接FM，∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，∴点M在以BF为直径的圆上，∴FM⊥AB，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝AM AF得AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×45＝645，∴MD＝DA－AM＝16064352 7535-=.19．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）PD=4，OA=2．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE ∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴2DE=DF•DB；（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴PD POPE PB=，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴23PDPE=，即223PDPD=+，∴PD=4．20．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=43且CFCP=34时，求劣弧»BD的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）433．【详解】（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，∴∠FAC=∠EAC，即AC平分∠FAB；（2）∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2=CE•CP；（3）如图，作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴BM CM PM BM=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=3a，∴tan∠BCM=3 BMCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴»BD的长=1202343ππ⨯⨯=．21．如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P ，C 是⊙O 上一点，连结PC 交AB 于点E ，且∠ACP =60°，PA =PD ． （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若点C 是弧AB 的中点，已知AB =4，求CE •CP 的值．【答案】（1）PD 是⊙O 的切线．证明见解析.（2）8.【详解】（1）如图，PD 是⊙O 的切线．证明如下：连结OP ，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP ，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD ，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD 是⊙O 的切线．（2）连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵C 为弧AB 的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C ，∠CAB=∠APC ，∴△CAE ∽△CPA ，∴，∴CP•CE=CA 2=（）2=8．22．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】解：证明：(1)连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽， ∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．23．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O e 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O e 的切线；（2）求证：24BC CF AC =g ；（3）若O e 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16433π- 【详解】解：（1）如图所示，连接OD ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，而OB OD =，∴ODB ABC C ∠=∠=∠，∵DF AC ⊥，∴90CDF C ∠+∠=︒，∴90CDF ODB ∠+∠=︒，∴90ODF ∠=︒，∴直线DF 是O e 的切线；（2）连接AD ，则AD BC ⊥，则AB AC =， 则12DB DC BC ==， ∵90CDF C ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴CDF DCA ∠=∠，而90DFC ADC ∠=∠=︒，∴CFD CDA V V ∽，∴2•CD CF AC =，即24BC CF AC =g ；（3）连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∴30OAE OEA ∠=︒=∠，∴120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 4322OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠=V ， 212016443433603OAES OAE S S ππ︒︒=-=⨯⨯-=-V 阴影部分扇形 24．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）求证：B D 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根，且tan ∠PCD =13，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【详解】解：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD AC BQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=2105，∴BE=610，设OB=OD=R，∴OE=R﹣2105，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣2105）2+（610）2，解得：R=210，∴⊙O的半径为210．25．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【答案】（1）AD=26；（2）当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣26．【详解】（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=12AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE=22OD OE-=22；在Rt△ADE中，AD=22AE DE-=26；（2）当DP=DF时，如图2，点P与A重合，F与C重合，则AP=0；当DP=PF时，如图4，∴∠CDP=∠PFD，∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，∴∠DPF=∠C，∵∠PDF=∠CDP，∴△PDF∽△CDP，∴∠DFP=∠DPC，∴∠CDP=∠CPD，∴CP=CD，∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣26；当PF=DF时，如图3，∴∠FDP=∠FPD，∵∠DPF=∠DAC=∠C，∴△DAC∽△PDC，∴PC CDCD AC=，26 26=，∴AP=5，即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣6．。

人教中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类含答案

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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN ， ∠NPE=900—∠BMN ，∴∠MBN=∠NPE ． ∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．∵∠BPE=12∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=12BM ． ∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．3．已知Rt △ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边AC 交⊙O 于点D ，且AD=DC ，延长CB 交⊙O 于点E ．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．4．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．5．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴EH FH FHAB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2， 即点A （2，0），则点D （4，1）； （2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH ＝EB•sin ∠OBC 5CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．7．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）如图1，求证：KE ＝GE ； （2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sin E ＝35，AK ＝10，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3201013【解析】 试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，10a ，结合10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=AHHK =3，AK=2210AH HK a+=，∵AK=10，∴1010a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．8．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．9．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中，30ECF ∠=︒ tan EFECF CF∴∠= 3123EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.10．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题： （发现）（1）MN 的长度为多少；（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积．（探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．（拓展）当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．【答案】【发现】（1）MN 的长度为π3；（23P 的坐标为10（，）；或230）或230（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．【解析】 【分析】发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论； （2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]（1）∵P （4，0），∴OP =4． ∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803ππ⨯=． 故答案为3π； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=∴S 重叠部分=S △APQ 12=PQ ×AQ 3= 即重叠部分的面积为38． [探究]①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123303cos ==︒，∴点P 的坐标为（233，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 233=； ∴点P 的坐标为（233-，0）；[拓展]t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5，理由：如图5，当点N 运动到与点A 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =2； 当t ＞2，直到⊙P 运动到与AB 相切时，由探究①得：OP =1，∴t 411-==3，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，∴2＜t ≤3．如图6，当⊙P 运动到PM 与OB 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，此时t =4； 直到⊙P 运动到点N 与点O 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =5； ∴4≤t ＜5，即：t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（ ）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（ ）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。

中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。

（1）求证：AE∥BD。

（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。

突破专题 圆与相似锐角三角函数的综合-2022-2023学年九年级下册初三数学(沪科版)

突破专题 圆与相似锐角三角函数的综合-2022-2023学年九年级下册初三数学(沪科版)

突破专题圆与相似锐角三角函数的综合[TOC]引言本文档旨在对于圆与相似锐角三角函数的综合问题进行探讨和解析。

圆与三角函数是初中数学中的重要内容，相似锐角三角函数则是其中的深入拓展。

通过本文档的学习，我们将更加深入地了解圆和三角函数之间的关系，并且能够灵活运用相似锐角三角函数的知识解决实际问题。

一、圆的性质与三角函数1.1 重要定义圆：平面上到一点距离相等的所有点构成的图形。

圆心：圆上所有点到某一点的距离相等，称为圆的圆心。

半径：圆心到圆上任一点的距离。

直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段。

弧：圆上两点间的部分。

弦：圆上两点间的线段。

弧长：圆上两点间弧所对的弧长。

1.2 三角函数与圆在平面直角坐标系中，可以将角x引出到单位圆上对应的弧上，并以此来定义各种三角函数。

正弦函数：$\\sin x$ 是x角（简称x）终边上纵坐标与半径长的比值。

在单位圆上，纵坐标就是 $\\sin x$。

余弦函数：$\\cos x$ 是x角（简称x）终边上横坐标与半径长的比值。

在单位圆上，横坐标就是 $\\cos x$。

正切函数：$\\tan x$ 是x角（简称x）终边上纵坐标与横坐标的比值。

在单位圆上，纵坐标就是 $\\tan x$。

1.3 三角函数的基本性质三角函数的基本性质如下：•对于任意角x，有 $\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1$。

•对于任意角x，有 $\\sin x = \\cos (\\frac{\\pi}{2} - x)$ 和$\\cos x = \\sin (\\frac{\\pi}{2} - x)$。

•对于任意角x，有 $\\tan x = \\frac{\\sin x}{\\cos x}$。

二、相似锐角三角函数2.1 相似三角形在解决一些实际问题时，我们经常会遇到两个或多个三角形具有相似的情况。

相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。

相似三角形的判定条件：•AAA 判定法：两个三角形的对应角相等，则它们为相似三角形。

圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习-9(学生版)

圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习-9(学生版)

个性化教学辅导教案学生姓名年 级初三学 科数学授课老师日 期上课时间课 题圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习教学目标1、巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定2、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函3、数值，熟练应用它们解决相应的问题复习检查问题定位1、巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定2、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函3、数值，熟练应用它们解决相应的问题。

原因分析精准突破1.如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点， AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF=EF ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF ，且⊙O 的半径长为,求BD 和FG 的长度．2.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交△ABC 的外接圆⊙O 于点H ，过点H 作EF ∥BC 交AC 、AB 的延长线于点E 、F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若AH=8，DH=2，求CH 的长；（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC 的长．3.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径；（3）求sin ∠PCA 的值．4.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求DB 的长；（3）求S ：S 的值．△FAD △FDB 5.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．（1）求证：AP 是半圆O 的切线；（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD =BE•BC 成立？说明理由；2（3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．6.如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB，延长AB交DC于点E．（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC=AD•AB；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系；②若EC=，EB=5，求图中阴影部分的面积．27如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE 垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线．（2）当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．28.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若sin∠BAD=，，⊙O的半径为5，求DF的长．9.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．巩固练习1.已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．1）求证：AC是⊙O的切线；2）若OA=10，AD=16，求AC的长．2.如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=。

2023年九年级中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合(含解析)

2023年九年级中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合(含解析)

2023年中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合1．如图，△ABC 内接于△O ，且AB 为△O 的直径，OD△AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的△O 的切线交于点D ．（1）若AC=4，BC=2，求OE 的长．（2）试判断△A 与△CDE 的数量关系，并说明理由．2．如图，已知三角形ABC 的边AB 是△0的切线，切点为B ．AC 经过圆心0并与圆相交于点D 、C ，过C 作直线CE 丄AB ，交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CB 平分△ACE 。

（2）若BE=3，CE=4，求△O 的半径．3．如图，在 ABC 中， CA CB = ，BC 与 A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交 A 于点F ，连结BF.（1）求证：BF 是 A 的切线.（2）若 5BE = ， 20AC = ，求EF 的长.4．如图，已知BC 是△O 的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB=AD ，AC=CD ．（1）求证：△ACD△△BAD；（2）求证：AD是△O的切线．5．如图，AB是△O的直径，BC切△O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE△AB 于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）PE=PD（2）AC•PD=AP•BC6．如图，AB是△O的直径，弦CD△AB，垂足为H，连接AC，过BD上一点E作EG△AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．（1）求证：EG是△O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，CH ，求OM的长．7．如图，O是ABC的外接圆，直线EG与O相切于点E EG BC，连接AE交BC于点D．,//（1）求证： AE 平分 BAC ∠ ；（2）若 ABC ∠ 的平分线 BF 交 AD 于点F ，且 3DE = ， 2DF = ，求 AF 的长．8．如图，以 Rt ABC ∆ 的直角边 AB 为直径作 O 交斜边 AC 于点 D ，过圆心 O 作 //OE AC ，交 BC 于点 E ，连接 DE .（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由；（2）求证： 22DE CD OE =⋅ ；（3）若 4tan 3C =， 52DE = ，求 AD 的长. 9．如图， ABC 内接于,O AB 是 O 的直径， BD 与 O 相切于点B ， BD 交 AC 的延长线于点D ，E 为 BD 的中点，连接 CE ．（1）求证： CE 是 O 的切线．（2）已知 5BD CD == ，求O ，E 两点之间的距离．10．如图，已知直线PT 与△O 相切于点T ，直线PO 与△O 相交于A ，B 两点．（1）求证：PT 2=PA•PB ；（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．11．如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，OE△OA 交CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接AE.（1）求证：AE 是半圆O 的切线；（2）若PA ＝2，PC ＝4，求AE 的长.12．如图，AB 是△O 的直径，点C 、D 在圆上， BC ＝ CD ，过点C 作CE△AD 延长线于点E.（1）求证：CE 是△O 的切线；（2）若BC ＝3，AC ＝4，求CE 和AD 的长.13．将一副三角板Rt△ABD 与Rt△ACB （其中△ABD=90°，△D=60°，△ACB=90°，△ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD 中△D 所对直角边与Rt△ACB 斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 交于点 E ，分别连接EB ，EC ．（1）求证：EC 平分△AEB ；（2）求 ACE BEC SS 的值．14．如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB ＝AC ，过点B 作BD△AC 于D ，延长BD 交△ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF△CE 于F ，AE ，BC 的延长线交于点G.（1）判断EA 是否平分△DEF ，并说明理由；（2）求证：①BD ＝CF ；②BD 2＝DE 2+AE•EG.15．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，点E 是BC 的中点，以AC 为直径的△O 与AB 边交于点D ，连接DE.（1）判断直线DE 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD ＝3，DE ＝ 52，求△O 的直径. 16．如图，已知BC△AC ，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与△O 的交点，点D 是MB 与△O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且 AD AP =AM AO．（1）求证：PD是△O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求BPMD的值．17．如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：CB平分△ACE；（2）若BE=3，CE=4，求O的半径.18．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作△O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是△O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若△C=45°，求证：GF2=DG•OE．19．已知：如图，MN为△O的直径，ME是△O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分△DMN．求证：（1）DE 是△O 的切线；（2）ME 2=MD•MN ．20．如图，在 ABC ∆ 中， 90C ∠=︒ ， AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段 AB 上， O 交 AB 于点E ，交 AC 于点F ．（1）判断 BC 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 8AD = ， 10AE = ，求 BD 的长．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的△O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．（1）求证：BE=CE ；（2）若BD=2，BE=3，求AC 的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵AB 为△O 的直径，∴△ACB=90°，在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB== =2 ，∴OA= 12 AB= ，∵OD△AB ，∴△AOE=△ACB=90°，又∵△A=△A ，∴△AOE△△ACB ，∴OE OA BC AC = ，即 24OE = ，解得：OE= （2）解：△CDE=2△A ，理由如下：连接OC ，如图所示：∵OA=OC ，∴△1=△A ，∵CD 是△O 的切线，∴OC△CD ，∴△OCD=90°，∴△2+△CDE=90°，∵OD△AB ，∴△2+△3=90°，∴△3=△CDE ，∵△3=△A+△1=2△A ，∴△CDE=2△A ．【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出△ACB=90°，由勾股定理求出AB==2 ，得出OA= 12 AB= ，证明△AOE△△ACB ，得出对应边成比例即可得出答案；（2）连接OC ，由等腰三角形的性质得出△1=△A ，由切线的性质得出OC△CD ，得出△2+△CDE=90°，证出△3=△CDE ，再由三角形的外角性质即可得出结论．2．【答案】（1）证明：如图1，连接OB ，∵AB 是△0的切线，∴OB△AB ，∵CE 丄AB ，∴OB△CE ，∴△1=△3，∵OB=OC ，∴△1=△2，∴△2=△3，∴CB 平分△ACE ；（2）解：如图2，连接BD ，∵CE 丄AB ，∴△E=90°，∴，∵CD 是△O 的直径，∴△DBC=90°，∴△E=△DBC ，∴△DBC△△CBE ，∴CD BC =BC EC，∴BC 2=CD•CE ，∴CD=254=254，∴OC=12CD=258， ∴△O 的半径=258【解析】【解答】（1）证明：如图1，连接OB ，由AB 是△0的切线，得到OB△AB ，由于CE 丄AB ，的OB△CE ，于是得到△1=△3，根据等腰三角形的性质得到△1=△2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD 通过△DBC△△CBE ，得到比例式CD BC =BC EC，列方程可得结果． 【分析】此题是圆的应用，涉及有切线性质，等腰三角形性质和三角形相似对应边成比例进而求得线段的值、3．【答案】（1）证明：如图，连接 AD ，CA CB = ，CAB ABC ∴∠=∠ ，AE AC ⊥ ，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又 A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒ ，90ABD BAD ∴∠+∠=︒ ，BAE BAD ∴∠=∠ .又 AB AB = ， AF AD = ，()ABF ABD SAS ∴≌ ，90AFB ADB ∴∠=∠=︒ ，BF ∴ 是 A 的切线（2）解：由（1）得： 90AFB FAC ∠=∠=︒ ， //BF AC ∴ ，BEF CEA ∴∽ ，BE BF CE CA∴= ， 20CB CA == ， 5BE = ，552020BF ∴=+ ， 4BF ∴= ，3EF ∴==【解析】【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形的性质可证得△CAB=△ABC ，利用垂直的定义可求出△CAB+△EAB=90°；再利用切线的性质和余角的性质去证明△BAE=△BAD；然后根据SAS证明△ABF△△ABD，利用全等三角形的性质，可求出△AFB=90°，利用切线的判定定理，可证得结论.（2）由BF△AC，可证得△BEF△△CEA，利用相似三角形的性质可求出BF的长；再利用勾股定理求出EF的长.4．【答案】（1）证明：∵AB=AD，∴△B=△D，∵AC=CD，∴△CAD=△D，∴△CAD=△B，∵△D=△D，∴△ACD△△BAD（2）证明：连接OA，∵OA=OB，∴△B=△OAB，∴△OAB=△CAD，∵BC是△O的直径，∴△BAC=90°，∴OA△AD，∴AD是△O的切线．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到△CAD=△B，由于△D=△D，于是得到△ACD△△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到△B=△OAB，得到△OAB=△CAD，由BC是△O的直径，得到△BAC=90°即可得到结论．5．【答案】（1）证明：∵AB是△O的直径，BC是切线，∴AB△BC，∵DE△AB，∴DE△BC，∴△AEP△△ABC，∴EP AEBC AB…①，又∵AD△OC，∴△DAE=△COB，∴△AED△△OBC，∴212ED AE AE AE BC OB AB AB ===…②，由①②，可得ED=2EP ，∴PE=PD ．（2）证明：∵AB 是△O 的直径，BC 是切线，∴AB△BC ，∵DE△AB ，∴DE△BC ，∴△AEP△△ABC ，∴AP PE AC BC =， ∵PE=PD ，∴AP PD AC BC=，∴AC•PD=AP•BC ． 【解析】【解答】首先根据AB 是△O 的直径，BC 是切线，可得AB△BC ，再根据DE△AB ，判断出DE△BC ，△AEP△△ABC ，所以EP AE BC AB =；然后判断出2ED AE BC AB=，即可判断出ED=2EP ，据此判断出PE=PD 即可． 【分析】首先根据△AEP△△ABC ，判断出AP PE AC BC=；然后根据PE=PD ，可得AP PD AC BC=，据此判断出AC•PD=AP•BC 即可． 6．【答案】（1）证明：连接OE ，如图，∵GE=GF ，∴△GEF=△GFE ，而△GFE=△AFH ，∴△GEF=△AFH ，∵AB△CD ，∴△OAF+△AFH=90°，∴△GEA+△OAF=90°，∵OA=OE ，∴△OEA=△OAF ，∴△GEA+△OEA=90°，即△GEO=90°，∴OE△GE ，∴EG 是△O 的切线（2）解：连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，在Rt△OCH 中， 2222)r r -+=（ ，解得r=3，在Rt△ACH 中，AC===， ∵AC△GE ，∴△M=△CAH ，∴Rt△OEM△Rt△CHA ， ∴OM OE AC CH= ， 即= ，解得：OM= ． 【解析】【分析】（1）连接OE ，如图，通过证明△GEA+△OEA=90°得到OE△GE ，然后根据切线的判定定理得到EG 是△O 的切线；（2）连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，利用勾股定理得到 2222)r r -+=（ ，解得r=3，然后证明Rt△OEM△Rt△CHA ，再利用相似比计算OM 的长．7．【答案】（1）解：连接OE ．∵直线EG与△O相切于E，∴OE△EG．∵EG△BC，∴OE△BC，∴BE CE=，∴△BAE=△CAE．∴AE平分△BAC；（2）解：如图，∵AE平分△BAC，∴△1=△4，∵△1=△5，∴△4=△5，∵BF平分△ABC，∴△2=△3，∵△6=△3+△4=△2+△5，即△6=△EBF，∴EB=EF，∵DE=3，DF=2，∴BE=EF=DE+DF=5，∵△5=△4，△BED=△AEB，∴△EBD△△EAB，∴BE DEEA BE=，即535EA=，∴AE= 253，∴AF=AE-EF= 253-5=103．【解析】【分析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；（2）根据题意证明BE=EF ，得到BE 的长，再证明△EBD△△EAB 得到BE DE EA BE= ， 求出AE ，从而得到AF ． 8．【答案】（1）解：DE 是圆O 的切线证明：连接OD∵OE△AC∴△1=△3，△2=△A∵OA=OD∴△1=△A∴△2=△3在△BOE 和△DOE 中OE=OD ，△2=△3，OE=OE∴△BOE△△DOE （SAS ）∴△ODE=△OBE=90°∴OD△DE∴DE 是圆O 的切线（2）解：证明：连接BD∵AB 是直径∴△BDC=△ADB=△ABC=90°∵OE△AC ，O 是AB 的中点∴OE 是△ABC 的中位线∴AC=2OE∵△BDC=△ABC ，△C=△C∴△ABC△△BDC ∴2BC AC BC AC CD CD BC==⋅，即 ∴BC 2=2CD•OE∵BC=2DE，∴（2DE）2=2CD•OE ∴22DE CD OE=⋅（3）解：∵4tan3BD CDC==设：BD=4x，CD=3x∵在△BDC中，52DE=，∴BC=2DE=5∴（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）∴BD=4∵△ABD=△C∴AD=BD•tan△ABD=416 433⨯=【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明△2=△3，再证明△BOE△△DOE，可证出OD△DE，即可得证。

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题(第二课时)练习

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题(第二课时)练习

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题（第二课时）练习例1.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊙BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且⊙ODB＝⊙AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．练习1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊙CD于点E．（1）求证：⊙BME＝⊙MAB；（2）求证：BM2＝BE•AB；（3）若BE＝，sin⊙BAM＝，求线段AM的长．例2.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊙AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．练习2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG⊙AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：⊙ECF⊙⊙GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．例3.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分⊙ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：⊙ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan⊙ACD的值．练习3如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO⊙AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan⊙CAD＝，求sin⊙CDA的值．例4.如图，已知在⊙ABP中，C是BP边上一点，⊙P AC＝⊙PBA，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊙AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径及sin⊙ACE的值．练习4.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tan T的值；（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊙CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长．例5.如图，已知AO为Rt⊙ABC的角平分线，⊙ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan⊙CAO的值；（3）求的值．课后练习1.如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB．（2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值．2.如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．3.如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值；（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．4.如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．（1）如图1，若BD为⊙O直径．①求tan∠BAC的值；②求四边形ABCD的面积．（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．5.如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．①求证：△DAQ∽△AND；②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．。

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圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习
复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。

复习过程
一、热身练习
二、实战演练
三、巩固提高
2.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
3,求BD和FG的长度．
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2
3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；
（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC的长．
4.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径；
（3）求sin ∠PCA 的值．
5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是 BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）求DB 的长；
（3）求S △FAD ：S △FDB 的值．
6.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．
（1）求证：AP 是半圆O 的切线；
（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD 2=BE•BC 成立？说明理由；
（3）如图ii ，在满足（2）问的前提下，若OD ⊥BC 与H ，BE=2，EC=4，连接PD ，请探究四边形ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan ∠DPC 的值．
7.如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AD 和过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，且AC 平分∠DAB ，延长AB 交DC 于点E ．
（1）判定直线DE 与圆O 的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC 2=AD•AB ；
（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分） ①若CF ⊥AB 于点F ，试讨论线段CF 、CE 和DE 三者的数量关系；
②若EC=35，EB=5，求图中阴影部分的面积．
8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F ，交BC 于点G ， 连接PC ，∠BAC=∠BCP ，求解下列问题：（1）求证：CP 是⊙O 的切线．
（2）当∠ABC=30°，BG=32，CG=34时，求以PD 、PE 的长为两根的一元二次方程． （3）若（1）的条件不变，当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论 BG 2=BF•BO 成立？试写出你的猜想，并说明理由．
9.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦 DF ⊥AB 于点G ．
（1）求证：点E 是弧BD 的中点；
（2）求证：CD 是⊙O 的切线；
（3）若sin ∠BAD=
5
4，，⊙O 的半径为5，求DF 的长．
10.如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的 中点，连接DE ．
（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，求tan ∠ACO 的值．
11.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连接DE 、BE ，且∠C=∠BED ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC 的长．
12.如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 中点，OM 交AC 于 点D ，∠BOE=60°，cosC=
2
1，BC=32。

（1）求∠A 的度数；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）求MD 的长度．
13.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC=∠ACD ，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）如果⊙O 的半径是6cm ，EC=8cm ，求GF 的长．
14.已知，如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于D ，取AC 中点E ，连结OE ，ED 的延长线与CB 的延长线交于F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）如果⊙O 的半径为3cm ，ED=4cm ，求sin ∠F 的值．
15.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长线于点E ，连接BC ．
（1）求证：BE 为⊙O 的切线；
（2）如果CD=6，tan ∠BCD=
2
1,求⊙O 的直径．
16.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，E 是CB 延长线上一点，且∠BAE=∠C ．
（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线；
（2）若EB=AB ，cosE=5
4，AE=24，求EB 的长及⊙O 的半径．
17.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ， 点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．
（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．
（2）若BC=52，sin ∠BCP=5
5，求点B 到AC 的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长．
18.如图1，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC ，交直线BC 于点E ，交⊙O 于点D ．
（1）过点D 作MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 切线；
（2）求证：AB•AC=AD•AE ；
（3）如图2，AE 平分∠BAC 的外角∠FAC ，交BC 的延长线于点E ，EA 的延长线交⊙O 于点
D ．结论AB•AC=AD•A
E 是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．。

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