高中立体几何证明线垂直的方法(学生).doc

高中立体几何证明线线垂直方法

（ 1）通过“平移” , 根据若a // b,且b 平面 , 则 a 平面

1．在四棱锥 P-ABCD中，△ PBC为正三角形， AB⊥平面 PBC， AB∥ CD， AB=1

DC，E为PD中点 . 求证：

AE

2

⊥平面 PDC. D

A

E

B C

P

2．如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是正方形， PA⊥底面 ABCD，∠ PDA=45°，点 E 为棱 AB 的中

点．求证：平面 PCE⊥平面 PCD；

P

F

E A D

B C

（第 2 题图）

3. 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，AB 平面PAD ,AB//CD,PD AD , E是 PB的中点， F 是

CD 上的点，且DF 1

AB,PH为PAD 中 AD 边上的高。2

（ 1）证明：PH 平面 ABCD ；

（ 2）若PH 1，AD 2， FC 1，求三棱锥 E BCF 的体积；（ 3）证明：EF 平面 PAB .

4.如图所示 , 四棱锥P ABCD底面是直角梯形BA AD , CD AD , CD 2AB, PA底面ABCD, E为

PC的中点, PA＝ AD。

证明:BE平面PDC;

5. 在三棱锥P ABC 中， AC BC 2，ACB 90o，AP BP AB， PC AC ．

P

（Ⅰ）求证：PC AB ；

（Ⅱ）求二面角 B AP C 的大小；

A B

C

6. 如图，在三棱锥P ABC 中，⊿ PAB是等边三角形，∠PAC=∠ PBC=90 o

证明： AB⊥ PC

（ 3）利用勾股定理

7. 如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA CD , PA 1,PD 2.

求证 : PA平面ABCD；

P

D

A

B C

8. 如图 1，在直角梯形ABCD中，AB // CD，AB AD ，且AB AD 1

1．现以AD为一边CD

2

向形外作正方形ADEF ，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折，使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直， M 为

ED 的中点，如图2．

（ 1）求证：AM∥平面BEC；

E M D C

（ 2）求证：BC 平面 BDE ；

图 1

F A B

E

图 2

F M

D C

9. 如图，四面体ABCD中， O、 E 分别是 BD、 BC的中点， A B

CA CB CD BD 2, AB AD2.

A

（1）求证：AO平面 BCD；

（2）求异面直线 AB与 CD所成角的大小；

D

O

C

B E

10. 如图，四棱锥S-ABCD 中，AB BC , BC CD，侧面SAB为等边三角形，

AB BC 2, CD SD 1．

（Ⅰ）证明： SD面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面 SBC所成角的大小．

（ 4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1 D1中 O为正方形 ABCD的中心， M为 BB1的中点.

求证： D1O⊥平面 MAC.

12．如图，正三棱柱ABC— A1B1C1的所有棱长都为2， D为 CC1中点 .

求证： AB1⊥平面 A1BD；

13. 如图，已知正四棱柱ABCD— A1B1C1D1中，过点 B 作 B1C的垂线交侧棱CC1于点 E，交 B1C于点 F，求证： A1C⊥平面 BDE；

（ 5）利用直径所对的圆周角是直角

14.如图， AB是圆 O的直径， C是圆周上一点， PA⊥平面 ABC.

（ 1）求证：平面PAC⊥平面 PBC；

（ 2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径 AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

P

A .CO

B D

15. 如图5，在圆锥PO 中，已知PO = 2 ，⊙O的直

径AB 2 ,C 是狐AB的中

点，

D 为AC 的中点．

证明：平面POD 平面PAC ;

16. 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面 ABCD ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M ．

P

求证：平面 ABM ⊥平面 PCD ；

M

A

D

O

B

C