高校食堂窗口设置

吉林财经大学2009-2010学年第二学期《数学模型》期末试卷考试形式：论文课程模块：成绩：论文题目：高校食堂窗口设置问题专业：数学与应用数学班级： 0803姓名：王艳菊学号： 1101080321高校食堂窗口设置问题一、摘要随着我国高校的扩招及教育事业的发展，高校食堂在不断扩大其自身容量的同时，其在高校发展中扮演的作用也越来越重要，同时高校食堂也面临着经营管理方面问题的严峻挑战。

高校学生对食堂服务怨声载道,其中等待时间过长的问题尤为突出。

如何有效利用有限的人力、物力资源提高服务质量和效率成为高校食堂赢利的关键。

在此讨论高校食堂服务系统窗口设置的优化问题。

根据各工作日不同时间段内顾客的多少适当地增减窗口，从而在顾客平均等待时间和银行服务窗口数量之间找到一个最优的状态。

在顾客等待时间容许的情况下,使银行所设的窗口最少从而使食堂的收益达到最大。

本文运用排队论原理针对高校食堂窗口设置问题建立了多服务窗口等待制M/ M/ N（即泊松输入、负指数分布服务、N个服务台）模型，最终求得了我校应在非周末、节假日设置7个食堂窗口；对于周末、节假日设置5个食堂窗口是使学生和食堂达到满意程度的最优窗口设置数量。

关键词排队论食堂窗口 M/ M/ N模型二、问题重述随着我校办学的不断发展，后勤工作，特别是直接面对学生的食堂工作，显得日趋重要。

我们在食堂常常看到这样一种现象：由于在开餐的高峰期，学生就餐的人数多，而服务窗口较少，使得学生抱怨排队等待的时间太长。

再有，如果服务窗口太多，对于食堂来讲浪费了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方面发展。

如何使双方都达到满意，这是我们迫切需要解决的实际问题。

请运用数学模型原理解决食堂服务窗口设置数量问题。

三、基本假设与符号说明（一）基本假设：（1）学生到达食堂的时间是独立的，服从一种特定的概率分布；（2）服务时间是独立的，服从一种特定的概率分布；（3）所有到达的学生都进入排队系统，并在那里直到服务结束；（4）排队系统有一个无限队列，因此可以容纳无限量的学生；（5）学生服务优先规则是先到先服务；（6）工作时间足够长，能使服务系统达到稳定状态；（7）每一个学生由一个服务窗口单独提供服务。

（二）符号说明：λ：学生到达强度；n：食堂窗口数量；m：食堂中的学生数量；μ：食堂单个窗口的服务率；ρ：系统的服务强度；1L：队长（平均学生数）；sL：队列长（等待的平均学生数）；qL：平均忙着的服务窗口个数；fW：学生等待时间；qs W ：学生逗留时间；),(p n C ：学生等待的概率；)(t t P m ∆+：在t t ∆+时刻系统中有m 个顾客（即状态为m ）的概率。

三、模型的建立与求解3.1模型原理：排队论是研究排队系统的理论，又称为随机系统的理论，它提供了很多不同的排队模型，通过这些排队模型能够找到服务成本和服务水平之间较好的平衡。

排队系统是由输入过程、排队规则和服务方式等3个组成部分。

输入过程指各种类型的顾客按怎样的规律到来.主要类型有定长输入、泊松输入和爱尔朗输入。

其中泊松输入适用最广泛。

排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。

主要有损失制、等待制和混合制。

服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客,每一顾客服务了多长时间。

主要有定长分布、负指数分布、爱尔朗分布几种方式。

排队现象是指顾客以特定的或变化不定的速度到来,按照一定的服务规则接受服务员服务的过程。

排队系统是指存在着排队现象的系统。

主要研究和计算的数量指标有:(1)队长,系统中的全部顾客数； (2)队列长,系统中排队的顾客数；(3)顾客在系统中的逗留时间,包括顾客排队等候及被服务的时间； (4)顾客在系统内排队等候时间；(5)忙期,指服务机构连续接待顾客的时间长度,即指服务强度。

为了叙述方便,引入下列记号:令M 代表泊松输入或负指数分布服务,于是泊松输入、负指数分布服务、N 个服务台的排队系统写成M/ M/ N 。

3.1.1单服务窗等待质排队模型（M/ M/ 1)排队模型M/ M/ 1表示顾客源为有限的，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数λ的泊松分布；单服务台，队长无限，先到先服务；各顾客的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布。

1.确定系统在任意时刻t 的状态为m 的概率已知顾客的到达规律服从参数为λ的泊松分布，服务时间服从参数为μ的负指数分布；若有m 个顾客，只有一个接受服务，其余的顾客排队等待，有无限个位置可排队，于是在时间间隔),[t t t ∆+内有： 1）有一个顾客到达的概率为)(t t ∆+∆ολ. 2）没有一个顾客到达的概率为)(1t t ∆+∆-ολ.3）有一个顾客被服务完的概率为)(t t ∆+∆ομ. 4）没有一个顾客被服务完的概率为)(1t t ∆+∆-ομ. 5）多余一个顾客到达或服务完离去的概率为)(t ∆ ο。

则在t t ∆+时刻系统中有m 个顾客（即状态为m ）的概率)(t t P m ∆+，可能的情况见表一。

表一 m 状态的概率)(t t P m ∆+这是一个生灭过程，四种情况是相互独立的事件，则有)()()()1)(()(11t t t P t t P t t P t t P m m m m ∆+∆+∆+∆-=∆+-+ολμλ，整理得tt t P t P t P t t P t t P m m m m m ∆∆+++--=∆-∆+-+)()()()()()()(11ολμμλ ， 并令0→∆t ，则得)()()()()(11t P t P t P dtt dP m m m m -++++-=λμμλ ，.,2,1L =m 当0=m 时，类似地，可有)()()(100t P t P dt t dP μλ+-=， 为求稳态解，假设当∞→t 时，)(t P m 的极限存在，即有0)()()()()(11=+++-=-+t P t P t P dtt dP m m m m λμμλ ， 则10P P μλ=，11)(-++=+m m m P P P λμμλ ，.1>m这是关于m P 的差分方程，也反映了系统状态的转移关系，即每一状态都是平衡的，见图一。

求得01)/(P P μλ=，递推可得)1()/(0≥=m P Pmm μλ.图一 M/ M/ 1的状态转移关系图令1/<=μλρ ，称为服务强度。

即为平均到达率与平均服务率之比。

由概率的性质：11=∑∞=m m P ，即1100=-=∑∞=ρρP P m m ，于是 1,)1(,10≥-=-=m P P m m ρρρ就是所求的系统状态为m 的概率。

2.系统的运行指标（1）队长（平均顾客数）：因为系统的状态为m ，由期望的定义得λμλρρρρ-=-=-==∑∑∞=∞=01)1(m m m m s m mP L .（2）队列长（等待的平均顾客数）：∑∑∞=-∞=-=--=-=1221)1()1()1(m m m m q m P m L λμρλρρρ ， （3）系统中顾客的逗留时间：系统中的一个顾客的逗留时间ω，服从于参数为λμ-的负指数分布，分布函数和分布密度分布为ωλμωλμλμωω)()()()(,1)(-----=-=e f e F ，所以有λμ-=1s W . （4）系统中顾客的等待时间：λμρμ-=-=1s q W W ，其中一个顾客平均服务时间为μτ /1=. (5)系统内多余k 个顾客的概率为{}∑∑==+=--=-=>=ki ki k k i k P k X P P 01)1(11ρρρ.下列关系式又称为运行指标的Little 公式：μλμλλ-=+===s q q s q q s s L L W W W L W L ,1,,. 3.1.2多服务窗等待质排队模型（M/ M/ N)上面分析的是只有一个窗口服务的情形，对于我们来讲高校食堂的服务窗口大体是这样的，见图二：图二 高校食堂窗口设置图这个系统可看成n 个M/ M/ 1型的子系统。

每个窗口的平均服务率μ不变，则每个窗口的平均到达率为λn 1，这时每个窗口的服务强度变为ρμλρnn 1'==. 类似的我们可求出每个窗口的平均队长和平均等待时间为ρρρρ-=-=n n n L 111'，)1()11(11'1ρλρρλρωn nn n -=-=.3.2 问题分析：对于学生到达食堂时,当其未能得到及时服务时,往往要排队等待,这就可以用排队论的有关原理来解决食堂窗口配置的问题。

根据学生到达食堂的实际情况,周末或者节假日超市的学生数要比平时相应的时间人数有明显的减少。

为便于研究,可以把学生到达看做符合泊松过程,而服务时间服从负指数分布。

因此,进一步说食堂服务系统可近似看做M/ M/ N 排队系统,即顾客到达为泊松流、服务时间服从负指数分布、多个服务台的排队系统。

设系统有n 个服务窗口，且各窗口工作是相互独立的，学生按泊松流到达的强度为λ；又各窗口服务时间为负指数分布，单个窗口的平均服务率为μ，则整个食堂窗口的平均服务率为μn 。

令μλρn /1 =，称为系统的服务强度。

当11> ρ时，系统就会出现排队现象，即有学生在排队等待。

在此约定只排一个队等候，拿个窗口出现空闲时，等候的学生按先后顺序前往空闲的食堂窗口接受服务。

系统的排队模型如图三。

图三 多服务窗口等待制模型M/ M/ n 框图由于系统没有限制学生来源和系统容量，故系统的可能状态集应为{}L ,,1,20E =，由此可以画出系统的状态流图如图四。

图四 M/ M/ n 模型状态流图如图四所示，状态)0(n k k ≤≤表示系统内有k 个服务窗口忙着接待学生，其余k n -个服务窗口空闲着；当n k >(到达系统的学生超过n ）时，n 个服务窗口均忙着接待学生，而余下的n k -个学生排队等候。

3.2 模型的建立在平衡条件下，系统状态概率的平衡方程为 10P P μλ=，k k k P k P P k )()1(11μλλμ+=++-+，n k ≤≤1， ， k k P n P P n )(1k 1μλλμ+=+-+ ， n k ≥。

由递推关系求得系统的状态概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤≤==-.,!!,0,!!01000n k P n n P nn n k P k n P k P k nn k k kk k ρρρ 当1/1<==μλρρn 时，由10=∑∞=k k P 有01101)11!!()!!(1P n k P nn k nn k kn k nk nk kkρρρρρ-+=+=∑∑∑-=-=∞=-，于是 11100)11!!(--=-+=∑ρρρn n P nn k k则可求得系统的运行指标 （1）队列长021110211111011)1(!)()1(!!)(P n n P n i P n iP P n k L nn i i nn k i n i k q ρρρρρρρρρ-=-===-=∑∑∑∞=-∞=∞=+（2）平均忙着的服务窗口个数∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=∞-=-=∞=---∞=-∞=-=-=∞==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+=+===1110001010011)()!1()!1(!!n k n k kk n k k n k k k nk n k knk n k kk n k k k k f P P P n n P k P n n nP k kP n kP P k k L ρρρρρρρ（3）队长ρρρρ+-=+=02111)1(!)(P n n L L L nf q s （4）学生等待时间02111)1(!)(P n n L W nqq λρρρλ-==（5）学生逗留时间μλρρρλ1)1(!)(02111+-==P n n L W n ss （6）学生等待的概率ρρρρ-=-====∑∑∑∞=-∞=∞=-n nP P P P n n P p n C n n nk nk n kn k n k nk k 1101!1),(服务强度ρ,它反映了工作人员的工作强度，其值越大,说明服务队列越长,工作人员空闲时间越少；反之则队列越短,工作人员空闲时间越多，若1/≥n ρ,则认为系统不稳定,排队长度会越来越长。