破解高考数学压轴题之 参数方程

第二节参数方程

目录

第二节参数方程 (1)

考点一求曲线的参数方程 (3)

考点二参数方程与普通方程的互化 (3)

考点三圆和圆锥曲线的参数方程问题应用及其最值问题 (5)

考点五直线的参数方程及其应用 (10)

考点六利用参数法求轨迹方程 (13)

考点七极坐标参数方程的综合应用 (13)

一、基础知识

1．曲线的参数方程

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝f (t )，

y ＝g (t )，并且对于t

的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化

(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．

(2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则

得曲线的参数方程⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝f (t )，y ＝g (t ).

3．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为(

)00cos sin x x t t y y t α

α

=+⎧⎨

=+⎩为参数． 注意：直线的参数方程可以写成这样的形式：(

)00x x at

t y y bt

=+⎧⎨

=+⎩为参数，当221a b +=且b >0时，0t M M =

此时，我们可以认为cos sin a b αα==，若[)0απ∈，，则α为倾斜角。

直线参数方程的标准形式的应用

过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是(

)00cos sin x x t t y y t α

α

=+⎧⎨=+⎩为参数，若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则.

①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.

②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪

t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.

(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋r cos θ，

y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．

(3)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．

考点一 求曲线的参数方程 求曲线的参数方程的一般步骤

第一步：设点．建立适当的直角坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标 第二步：选参．选择合适的参数

第三步：表示．依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系式，并由此分别解出由参数表示的x ，y 的表达式

第四步：结论．用参数方程的形式表示曲线的方程．

典例１：如图所示，△ABP 是等腰直角三角形，B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求顶点P 在第一象限的轨迹的参数方程.

考点二 参数方程与普通方程的互化

[解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．

[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．

[典例] 已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩

(θ为参数)．

(1)求直线l 和圆C 的普通方程；

(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．

[题组训练]

1．将下列参数方程化为普通方程．

(1)⎩⎨⎧

x ＝12

(e t ＋e －

t )，y ＝1

2(e t

－e

－t

)

(t 为参数)． (2)⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2tan 2θ，

y ＝2tan θ(θ为参数)．

2．将下列参数方程化为普通方程，并说明他们各表示什么曲线：

（1

）1

1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数) （2）sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)

（3）2211

x t t y t t ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) (4)22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(02θπθ≤≤，为参数)

（5）11x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+

⎪⎩

(t 为参数)

3.把参数方程化为普通方程

(1) ⎩⎨⎧+==θθ2cos 2sin y x (R θ∈，θ为参数)； （2）⎩⎨⎧=+=θθθθcos sin cos sin y x (R θ∈，θ为参数）；

(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t t y t t x 1211 (1t ≠,t 为参数)； （4）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x (t 为参数).