《电磁场与电磁波》期末复习题-综合

《电磁场与电磁波》平时测试题1

1、由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。（20分）

2、某半径为a 的带电导体球，已知球体电位为U ，求空间电位分布及电场强度分布。（要求利用分离变量法求解）（20分）

3、填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a ，外导体内半径为c ，介质的分界面半径为b 。两层介质的介电常数为1ε和2ε，电导率为1γ和2γ。设内导体的电压为0U ，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）同轴线单位长度的电容及漏电阻。（20分）

4、真空中长直线电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题4图所示，求直导线与三角回路之间的互感M 。（20分）

第4题图 第5题图 下面3题选做1题。

5、（选做）计算半球形接地器的电容。（请自己建立物理模型）（20分）

6、（选做）同轴线的内导体是半径为a 的圆柱，外导体是半径为b 的薄圆柱面。内、外导体间充有磁导率分别为1μ和2μ两种不同的磁介质，如题5图所示。设同轴线中通过的电流为I ，试求：

（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；（2）单位长度的自感。（20分） 7、（选做）真空中，电荷按体密度⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=2201a r ρρ分布在半径为a 的球形区域内，其中0

ρ为常数。试计算球内、外的电场强度和电位函数。（20分）

《电磁场与电磁波》平时测试题1参考答案

1、由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。（20分） 解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有 ρ=⋅∇=⨯∇D E ,0 即

q dV S d D dV D V

V

S

==⋅=⋅∇⎰

⎰⎰ρ （5分）

根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷q 有q r E =⋅2

4πε，所以距离该点电荷r 处的电场强度为 ε

π2

4r q

e E r

= （5分） 静电场为无旋场，因此有 ϕ-∇=E ， （ 5分） 则 ρϕεϕεε=∇-=∇⋅∇-=⋅∇=⋅∇2E D 所以有 ε

ρ

ϕ-

=∇2

（5分） 2、 某半径为a 的带电导体球，已知球体电位为U ，求空间电位分布及电场强度分布。（要

求利用分离变量法求解）（20分）

解：0

ϕϕ=⎧≤⎨

=-∇=⎩U r a E 当时， （2分）

22

21()0000ϕ

ϕϕϕϕϕ==→∞→∞⎧=⎧⎪∇=⎪⎪⎪

>=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩

⎩

r a r a r r d d r r dr dr r a U U

当时，（8分） 120ϕϕϕϕ=→∞⎧=-+⎪⎪⇒=⇒=⎨⎪

=⎪⎩r a r c c r aU U r （5分）

2()()sin ϕθϕθθϕ∂∂∂=-∇=-++∂∂∂=r

r e e aU E e r r r r aU

e r

（5分） 3、填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a ，外导体内半径为c ，介质的分界面半径为b 。两层介质的介电常数为1ε和2ε，电导率为1γ和2γ。设内导体的电压为0U ，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）同轴线单位长度的电容及漏电

阻。

解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，则由d S

I =⎰

J S

可得电流密度 2r I r

π=J e ()a r c << （3分）

介质中的电场 11

1

2r

I

r γπγ=

=J

E e ()a r b <<（2分） 22

2

2r

I

r γπγ=

=J

E e ()b r c <<（2分）

由于 012d d b

c

a

b

U =+=

⎰⎰

E r E r 1

2ln

ln 22I b I c a b

πγπγ+（3分） 于是得到 120

212ln()ln()

U I b a c b πγγγγ=

+（2分）

故两种介质中的电流密度和电场强度分别为

120

21[ln()ln()]

r

U r b a c b γγγγ=+J e ()a r c <<（1分）

20

121[ln()ln()]

r

U r b a c b γγγ=+E e ()a r b <<（1分）

10

221[ln()ln()]

r

U r b a c b γγγ=+E e ()b r c <<（1分）

（2）同轴线单位长度的漏电阻为02112

ln()ln()

2U b a c b R I γγπγγ+=

=（2分） 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为12

212ln()ln()

C b a c b πεεεε=

+（3分）

4、真空中长直线电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如图所示，求直导线与三角回路之间的互感M 。

解 直线电流产生的磁场02I

B e r

φ

μπ=（4分） 则磁通02μπΦ=

•=⎰

⎰

S

S I

B dS dS r

（4分） 如图所示，三角形面积为()2

3

r d S -=

题4 图

对上式两边取微分，得

()23

r d dS dr

-=

，（4分）