人教版高中数学必修五课时作业1：§3.4 基本不等式√ab≤(a b)_2(一)
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一、基础过关
1．若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值是()
A.3－1
B.3＋1
C．23＋2 D．23－2
答案 D
解析由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 3
⇒a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－23，
而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )
＝2
4－23＝2(3－1)．
∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立． 2． 若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是
( )
A ．a 2＋b 2>2ab
B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b
≥2 答案 D
解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误． 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a
b
≥2
b a ·a b
＝2. 3． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是
( )
A.1x ＋y ≤14
B.1x ＋1
y ≥1 C.xy ≥2
D.1xy
≥1 答案 B
解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y
4＝1，
∴1x ＋1y ＝1
4
(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 4． 设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b
的最小值为
( )
A ．8
B ．4
C ．1
D.14
答案 B
解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋
b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2 b a ·a
b
＝4， 当且仅当a ＝b ＝1
2
时，等号成立．
5． 若a <1，则a ＋1
a －1
有最____(填“大”或“小”)值，为_______．
答案 大 －1
解析 ∵a <1，∴a －1<0，
∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a
≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1
≤－1.
6． 若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．
答案 a ≤2
解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立． ⇔a ≤x ＋1
x ，x ∈(0,1]恒成立
∵x ∈(0,1]，x ＋1
x
≥2，∴a ≤2.
7． 设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c .
证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab
c 也都是正数．
∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab
c ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab
c ≥a ＋b ＋c . 当且仅当a =b =c 时，等号成立。 二、能力提升
8． 已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是
( )
A ．a ＋b ＋
1
ab
≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫
1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2ab
D.2ab a ＋b
>ab 答案 D 解析 ∵a ＋b ＋
1ab ≥2ab ＋1ab
≥22，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·
2 1
ab
＝4，B 成立； a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab
≥2ab ，C 成立；
a ＋
b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，2ab
a ＋
b ≤ab .
9．设0 ( ) A ．log a b ＋log b a ≥2 B ．log a b ＋log b a ≥－2 C ．log a b ＋log b a ≤－2 D ．log a b ＋log b a >2 答案 C