几何五大模型之五(燕尾定理)

燕尾定理
燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，
::ABO ACO S S BD DC ∆∆=
O
F
E D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题 证明燕尾定理：
如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==
S 3
S 1S 4S 2E
D
C
B
A
【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；
三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；
三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；
综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.
例题精讲
【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在
BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30
，求阴影部分面积.
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，
AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △
面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相交于
点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．
X
Q
P
A B
C
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分
的面积各是多少?
A
B
C
D
E F
【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC
的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．
A
B
C
D
E F
【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影
部分)的面积为多少？
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米
?
x y y x A
B
C
D E F
G
E D C
B
A
【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边
形BODC 的面积为________．
O
F
E D
C
B
A
【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形
AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
B
A
【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的
面积是_____平方厘米．
E
D
【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．
F
E D
C
B A
【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？
A
B
C
D
E O
【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？
A B C
D
E O
【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且
13AE AB =，1
4CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的
面积之和为 ．
B
E
【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
O F E
D
C
B
A
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =
G
F E
D
C
B
A
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，
且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I H
G
F
E
D
C B
A
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形
ABC 的面积．
I
H G F
E
D
C
B
A
【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，
2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．
B
【巩固】如图在ABC △中，
1
2
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值． I
H
G F
E
D
C
B
A
课后作业
1、如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占
ABC △ 面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？
3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．
4、如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?
A
B
C
D
E F
5、如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
O F E
D
C
B
A。