数学概念学习研究综述

数学概念学习研究综述南京师范大学 数学与计算机科学学院 李善良数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要地位，数学概念学习的原理是数学课程发展与数学教学的理论基础，以数学概念为载体，通过相关的数学思维过程训练，能培养学生主动获取知识与灵活思维的能力。

因而数学概念学习与教学的理论研究受到广泛的重视，现代认知心理学理论、数学教育哲学、数学教育研究方法的重大进展指导并促进数学概念的学习与教学研究。

这些研究从不同侧面和层面揭示了数学概念学习与教学的规律，为数学概念学习与教学的系统研究提供了基础，认真总结数学概念学习理论与实践研究成果，不仅有利于建立科学的数学概念学习理论，而且为建立科学的数学学习理论提供依据与基础，为便于分析，根据研究的侧重点不同，我们分为以下几类进行讨论：（1）关于数学概念学习的经验性研究；（2）关于数学概念学习的理论性研究；（3）关于数学概念学习的现代研究。

1 数学概念学习的经验性研究长期以来，在第一线教学的教师、教学研究人员、一些教育心理学工作者试图揭示数学概念的本质、数学概念学习的规律，他们通过对教学的观察与经验总结，提出了一些概括性的概念学习与教学意见，同时吸收借鉴一般的教育学、教学论、心理学中关于知识获得的认识，二者相结合提升成为数学概念教学的依据，为“怎样教”提供指导，其特点是“应该这样做”，而没有说明“为什么这样做”的原因，其本质是认识论的、经验式的 由于这些结论多是从经验中总结得出，从某些侧面反映了学生数学概念学习中的规律，因此，许多结论对数学教学确有指导性意义。

这些研究中所用的心理学名词、原理嫁接痕迹明显，而且多是感知觉等普通心理学的内容，“心理学+数学例子”就是其特色，由于使用的认识论、心理学理论、方法论的层次较低，使许多现象中蕴涵的规律未得以充分的揭示，或者发生不恰当的有时甚至是错误的解释。

文[1]~文[6]等著述均有这种体现 大量的中学数学教学杂志中的相关文章集中了这方面的研究，分析这些研究可以看到，有以下几方面主要共识，认为数学概念教学中应该注重：（1）概念产生背景、提出（或引入）过程；（2）概念本质属性；（3）建立概念之间的联系，建立概念的体系；（4）概念的巩固，包括符号、名称；（5）概念的实际运用；（6）概念学习的过程的认识。

由于缺乏心理学依据及较为严格的实验，凭经验而得的指导原则总有其不足之处，文[7]指出这种研究具有：将学生导向只注意死记硬背定义和结论，不利于数学思维能力的提高，难以形成数学能力，缺乏系统化等缺点。

2 数学概念学习的理论性研究数学概念学习的一般性理论研究是数学概念学习研究的基础，由于出发点不同，对概念学习研究的思想与方法不同，因而其理论也有很大的差异。

这些差异大致表现在4个侧面。

2．1从数学角度出发站在数学角度，数学家更多从数学开始，从对象开始研究数学学习，他们从自己的经验中反省，提出数学学与教的若干建议，其前提是假设学生头脑中的数学概念就是数学的形式化概念，学习的目标是形成这些形式化的结论，这些研究最大的不足是混淆数学概念的逻辑基础与认知根源，尽管这些建议具有个人色彩，没有统一性，没有心理学理论解释，但是其中也蕴涵着一些学习规律。

庞加莱、阿达玛较早对数学必理学作了阐述，波利亚、费赖登塔尔分别从解题与数学结构方面对数学学习作了广泛的探索，从中我们可以找到有关数学概念学习的论述，徐利治先生提出了抽象度分析方法，对数学概念的理解与建立过程作了分析，归结起来，这些研究有以下特征：（1）侧重于以逻辑结构代替心理结构。

其中影响较大的是布尔巴基学派的数学结构学8[−；布鲁纳的学科结构理论]10[。

说；皮亚杰关于人的数学认知结构与数学结构相似的假设]9这些理论有机地协调，成为一个整体，认为儿童的心理结构最终必须形成数学逻辑结构，学校数学学习就是要促进这种结构的形成，对数学学习及数学教育影响较大。

（2）在上述基础上，重对象、重结论、重结构、重形式化的学习与教学探索较为广泛。

（3）尽管也提出直觉、经验、操作、发现的作用，但更多的是强调像数学家那样去“顿悟、”“再发现”。

（4）这些学说或论述远高数学课堂教学实际，没有严格的心理学实验或现象的观察，同时很难与哲学分开，在一个论述中，往往出现哲学、心理学、数学混用的情形，数学概念被视为逻辑起点或公理系统中的定义。

2．2 从心理学角度出发关于数学概念的研究，一直受到心理学家的关注，早在1910年，F．N．Freeman就作了“关于儿童与成人的数的概念的形成”的研究]11[。

皮亚杰开创了类、数、几何表象、比例和概率推理等概念方面的研究工作，在20世纪初到70年代大约50年间，尽管在数的概念、几何概念等方面作了初步的研究，并作出了许多至今仍有价值的工作，但这些研究往往把数学作为心理学中的一个普通对象，没有突出数学概念学习的特殊性，虽然在心理学实验中，数学常常作为实验的材料，但只是把它视作普通的材料，所探索的数学概念学习规律与一般概念学习是一个水平的，这对初级数学概念某些侧面来说是合适的，然而对具有独特性特别是更高层次的数学概念来说，这些解释便没有力度，失去效应。

这些研究主要体现在以下几个方面。

（1）探索了某些初级数学概念的学习规律，如皮亚杰、布鲁纳、加涅、维果茨基、奥苏伯尔等人的研究。

（2）关于数学概念学习的发展理论研究，国内主要是对小学阶段的数学概念学习与发展的研究，例如林崇德等人的工作，集中表现在5~15岁儿童的长度、面积、容积、比例、概率、交集等数学概念的发展研究]12[。

（3）用一般的概念学习理论解释数学概念学习，把概念形成理论、概念发展理论、概念学习理论等内容迁移到数学概念学习中。

2．3 从数学教学角度出发数学教育研究人员追求的多是教学与课程中的操作侧面“教什么”、“怎样教”一直是他们关注的重点问题，这种研究试图对学生学习数学提出心理学的解释，找到依据，建立有关理论，以便指导教学。

虽然数学教学理论是否是一门科学至今未有定论，但至少从50年代开始，就有许多人对数学教学作了深入的思考，这些理论与假设多是经验式或思辩式。

他们借用了哲学的、教育学的、心理学的结论，对教学理象作解释，并自成系统，为数学教学提供指导，“数学教学法”逐步作为一门独立课程，角而在这些内容中，关于数学概念学习的内容很少，更多的是数学概念的逻辑学内容，例如伯拉基斯《中学数学教学法》，斯托利亚尔《数学教育学》等就是这方面的代表著述，这种现象直到20世纪80年代才有改观。

13所院校编《总论》、[苏]奥加涅相《中小学数学教学法》、[美]贝尔《中学数学的教与学》等研究对概念学习与教学作了专门论述。

分析这些研究可以看到在运用心理学于数学概念学习方面主要有以下内容：（1）一般心理学理论的应用，例如感知觉理论、行为主义学说等，斯涅普坎在这方面的工作是极为出色的]13[。

（2）皮亚杰、布鲁纳、奥苏伯尔、加涅理论的综合运用，例如曹才翰等人的工作]14[。

（3）现代认知心理学理论的运用。

例如郑毓信、R．Davis等学者的研究]1615[−。

2．4 从数学教育哲学角度出发对数学的认识，对数学学习的理解等内容，直接关系到数学学习理论的建立与实践指导。

在历史上，有一批数学家、哲学家试图从认识论角度揭示数学的本质、数学学习的机制，从牛顿、笛卡儿、柯西、克莱因、庞加莱的著作中可以看到，对数学概念的理解不同，其理论差异也比较大，尽管它们对数学教育确有过启发与推动作用，但从来能真正居高临下指导着数学学习理论的建构。

20世纪90年代Paul Ernest、郑毓信先生开创了数学教育哲学的研究，尤其是对数学的模式观和数学学习的建构主义观等思想的系统阐述与发展]1817[−，为数学教育心理学研究提供了哲学指导，我们从文[19]~文[21]等著述中也可看到现代数学学习研究中数学教育哲学所发挥的巨大作用。

3 数学概念学习的现代研究1970年国际数学教育心理学会（PME）成立之后，数学家和心理学家进行了有效的交流，开始对数学学习心理学有真正的关注，加上来自以下几个方面的影响，促进了数学学习理论研究。

（1）数学科学、计算机、人工智能领域的巨大成就。

（2）认知心理学的成熟，它的2个主要方向：知识结构取向一符号取向（符号网络模型，包括TCL 模型、激活一扩散模型、ACT-R 模型）和联结主义取向（神经网络模型）研究在理论与实验上取得较大进展]22[。

（3）建构主义观点的完善，对皮亚杰提出的建构主义思想有了全新的认识与扩展，通过对皮亚杰和维果茨基等理论的融合，人们对建构主义的本质有了透彻的认识。

（4）教育生态学、教育现象学、教学临床诊断研究法等研究方法的引入，使心理学与数学学习的研究从经验反省、实验室或逻辑推演的范式走向课堂教学的观察、生态学与社会学及历史文化的分析中]23[。

这些理论的逐渐成熟，为研究数学概念学习的特殊性侧面提供了科学理论、认识论、方法论的基础，在此基础上，数学概念学习的研究发生了本质的变化与突破，从传统的经验反省走向对课堂教学的细致观察与诊断；从一般的心理学实验走向揭示数学学习特殊性的研究；从对形式结论的研究走向历史文化的分析；从被动的接受学习走向主动的建构学习的研究。

几部重要的文献综述：Research in Mathematics Edu-cation、Handbook of Research on Mathematics Teach-ing and Learning 及Soviet Studies in the Psychology of Learning and Teaching Mathematics 等介绍了20世纪70年代至90年代的重要研究成果。

其主要特点是初期以借用认知心理学的成果与方法于数学学习研究中为主，中后期以发掘突出数学学习的特殊性为主，在以下几方面获得了重大的突破。

（1）对数学概念学习的认识，从模式观走向层次观，最终发展成为网络观。

对数学概念的理解，由行为主义的联结论、早期认知派的结构论，最终发展成为建构主义观点R．Skemp 认为一个概念在它的形成过程中“需要一定数量的经验，而这些经验之间具有某种共同的东西”]24[，在这个过程中起主要作用的是“分类”和“抽象”。

“理解一件事物表示把这件事物同化入一个适当的Schema 之中”]25[。

其观点实际上就是建构主义思想。

（2）对诸多数学概念的学习过程作了实证的研究，尤为重要的是，提出了数学教育的研究方法应该从“学说借用”转移到“学说构建”上来（包括教学实验法、临床谈话法以及“概念分析”法）]26[。

Carpenter＆ Moster “加法和减法概念的获得”，Karplus, Pulos, Stage“儿童的比例推理”，Behr, Lesh, Post, Silver “有理数概念”，Vergnaud “乘法结构”，Bishop “空间与几何”，Lesh, Landau, Hamilton“概念模式与问题解决”等课题对数学概念学习作了深入的研究]27[。