2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)

2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：⑴C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） ⑵设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2。

2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C ：x ²4＋y ²9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数）⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； ⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值。

【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 ⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA …………10分3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程；⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。

解：⑴因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

……5分 ⑵将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12。

4.【2015·全国Ⅱ】在直线坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcosαy ＝tsinα(t 为参数，t ≠0)其中0≤α≤π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：p =2sinθ，C 3：p =23c osθ。

⑴求C 1 与C 3 交点的直角坐标；⑵若C 1 与C 2 相交于点A ，C 1 与C 3 相交于点B ，求|AB |的最大值。

解：⑴曲线C 2的直角坐标方程为2220,x y y +-=曲线C 3的直角坐标方程为220.x y +-=联立222220,0.x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和3.2⎫⎪⎪⎝⎭⑵曲线C 1的极坐标方程为 (),0,0.a R a θρρπ=∈≠≤<其中 因此A 的极坐标为()2sin ,,a a B的极坐标为(),.a a所以2sin 4sin .3AB a a a π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当56a π=时，AB 取得最大值，最大值为4.5.【15北京理科】在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cosθ＋3sin θ)＝6的距离为． 【答案】1【解析】先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.6.【15年广东理科】已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ－π4)＝2，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为 。

． 【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭和点74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为2d ==． 7.【15年广东文科】在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ²y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为 。

【答案】()2,4-【解析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-。

8.【15年福建】在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cost y ＝－2＋3sint(t为参数)，.在极坐标系与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴非负半轴为极轴中，直线l 的方程为2rsin (q －p4)＝m ，(m ∈R )。

⑴求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；⑵设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【答案】⑴ 22129x y ，0x y m ；⑵2m=-32．【解析】⑴消去参数t ，得到圆的普通方程为22129x y ,由2sin()m 4，得sin cos m 0,所以直线l 的直角坐标方程为0x y m . ⑵依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |22，解得2m=-329．【15年陕西理科】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12ty ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ．⑴写出圆C 的直角坐标方程；⑵P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】⑴()2233x y +-=；⑵()3,0．【解析】⑴由223sin ,23sin ρθρρθ==得， 从而有()2222+23,+33x y y x y =-=所以.⑵设13(3t,t),C(0,3)2P 又,则22213|PC |331222t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.10.【15年江苏】已知圆C 的极坐标方程为ρ²＋22sin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径. 611.【2016·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t (t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。

解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.12.【2016·全国卷Ⅱ】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.13. 【2016·全国Ⅲ】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值．d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2kπ＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.14．【2016年北京理11】在极坐标系中，直线ρcosθ－3sinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A ，B 两点，则|AB |＝． 【答案】2【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角方程：直线为：10x -=， 圆为：()2211x y -+=，直线过圆心()1,0，故2AB =．15．【2016年江苏理21】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝32t，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosθy ＝2sinθ，(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解析】椭圆C 的普通方程为：2214y x +=，将直线l 的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得：2211124t ⎫⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭，即27160t t +=，解得：10t =，2167t =-． 16．【2016年上海理16】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）A ．ρ＝6＋5cosθB ．ρ＝6＋5sinθC ．ρ＝6－5cosθD ．ρ＝6－5sinθ【答案】D【解析】依次取0θ=，2π，π，32π，结合图形可知，只有65sin ρθ=-满足条件，故选D ． 17.【2016年天津理14】设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ²y ＝2pt，（t为参数，p ＞0）的焦点F ，准线l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72P ，0，AF 与BC 相交于点E ．若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为 ． 6【解析】抛物线的普通方程为：22y px =，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，7||322p CF p p =-=，又||2||CF AF =，则3||2AF p =，由抛物线的定义得：3||2AB p =，所以A x p =，则||2A y ，由//CF AB 得：EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF ==，所以262CEF CEA S S ∆∆==92ACF ACE CFE S S S ∆∆∆=+=所以132922p ⨯=6p =18.【2017·全国Ⅰ理】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917 .由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.19.【2017·全国Ⅱ理】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋3.当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.20.【2017·全国Ⅲ文】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)． 联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.21．【2017·北京理】在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外．又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.22．【2017·天津理】在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．【答案】2【解析】由4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0，得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，半径为1， ∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|232＋22＝34＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．23．【2017·江苏】在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解:直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2s －22＋4|5，当s ＝2时，d min＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.。