高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
高中数学极坐标与参数方程
高中数学—极坐标与参数方程引言在高中数学中，我们学习了许多的数学概念和方法。
而在代数学的领域中，有两个重要的概念是极坐标和参数方程。
它们在解决复杂的几何图形和方程时发挥着重要的作用。
本文将介绍极坐标和参数方程的基本概念，并探讨它们在数学问题中的应用。
极坐标极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角两个参数来确定点的位置。
在极坐标中，每个点的位置由一个正实数和一个角度来表示。
极坐标表示方式在极坐标中，点的位置由两个数值表示，第一个数值表示极径（r），它表示点到原点的距离；第二个数值表示极角（θ），它表示点到正半轴的角度。
例如，一个点的极坐标表示为(r,θ)。
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正半轴的角度。
可以通过将直角坐标与极坐标之间的转换关系来获得极坐标的表示方式。
极坐标和直角坐标的转换在直角坐标系中，点的位置由两个坐标表示，即横坐标（x）和纵坐标（y）。
而在极坐标系中，点的位置由极径（r）和极角（θ）表示。
要将一个点的直角坐标转换为极坐标，我们可以使用以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中，“√”表示开方，“arctan”表示反正切函数。
根据这些公式，我们可以计算出一个点的极坐标。
同样地，我们也可以将一个点的极坐标转换为直角坐标。
转换公式如下所示：x = r × cos(θ)y = r × sin(θ)极坐标的应用极坐标在解析几何和物理学中有着重要的应用。
在一些复杂的几何问题中，使用极坐标可以简化计算，简化方程的表示和解决。
例如，在描述圆和椭圆的方程时，使用极坐标比直角坐标更简单。
此外，极坐标也可以用来描述旋转和周期性现象。
对于极坐标系中的点，我们可以将它们视为围绕原点进行旋转的向量。
极角表示向量的方向，而极径表示向量的长度。
参数方程参数方程也是一种表示几何图形的方法，与直角坐标系和极坐标系相比，参数方程可以描述出更复杂的图形。
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
2012高考数学分类汇编-极坐标与参数方程1. （安徽）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____。
2.（北京）直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。
3.（福建）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
4.( 广东) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1:(x t C t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩是参数） 和22cos :(2sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.5.（湖北）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .6.（湖南）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.7.（江苏）在极坐标中，已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8（江西）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。
高三极坐标与参数方程分类解析
第十七模块 极坐标与参数方程设P 是角θ终边上任意一点，θ为从ox 轴到射线OP 的到角， OP =ρ，由三角函数定义⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 由此可见P 点坐标只与θρ,有关， 把直角坐标系去掉y 轴，x 轴负半轴及x 轴上的刻度。
规定射线OP 上单位。
这样直角坐标系就变成极坐标系。
其中Ｏ叫极点，ρ叫极径，θ叫极角。
ｏx 叫极轴，()θρ,叫P 点的极坐标注把P 点顺时针或逆时针旋转π2后所得的点与P 点重合，所以 ()θπρ+k 2,都是P 点的极坐标。
所以极坐标系上任意点P 的极坐标不唯一。
一般情况下[)(]πππθ,2,0-∈或，在这个约定下，P 点的极坐标就唯一了。
探索直角坐标与极坐标的转化关系⑴极坐标()θρ,P 化直角坐标，()θρθρsin ,cos P ⑵直角坐标P （x,y ）化极坐标yx 22+=ρxy=θtan 利用点的位置求θ 注[)(]πππθ，或-∈2,0例把()13P ，-变成极坐标 ()21322=+=ρ，33tan -=θ，P 在第2象限，[)πθ2,0∈ ∴65πθ=在极坐标系中，圆C 的圆心为C ⎪⎭⎫⎝⎛6,6π,半径r=6 写出圆C 的极坐标方程 二、参数方程过去用含有x,y 的方程表示曲线，这样的方程是直角坐标方程。
现在用形如()()⎩⎨⎧==t g y t f x 方程表示曲线，它就是参数方程。
例1：把⊙C:R y x 222=+用参数方程的形式表示122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛R y R x 令⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin cos Ry R x即⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x反过来把⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x 化成参数方程，想一想怎么做？练习：把⊙C ：()()R b y a x 222=+--写成参数方程例2：写出过点()y x P 0,，倾斜角为α的直线l 的参数方程。
用t 表示有向线段P P的数量即P t P=注：有向线段的数量就是有向线段的长度加正负号有向线段的首字母为有向线段的起点，有向线段的方向由起点指向终点 当有向线段水平或垂直放置有向线段与坐标轴正方向同向时，符号为正，当有向线段倾斜放置，有向线段终点在始点上方，符号为正 过点()y x P 0,，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y t x y x想一想怎样把⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y t x y x 化成直角坐标方程？练习：已知直线l 经过点P （1,1），倾斜角6πα=⑴写出直线l 的参数方程 ⑵设l 与圆422=+yx 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 的距离之积答案 ：⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=21231t y t x ①x,y ）⑵设PB PA t t==21,∴tt PB PA 21⋅=⋅将①代入422=+yx 得()04132=-++t x221-=⋅tt∴tt PB PA 21⋅=⋅=2已知直线l 是过点P （-1,2），倾斜角为π32的直线，圆方程⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2πθρ ⑴求直线l 的参数方程⑵设直线l 与圆交于M,N 两点，求PN PM ⋅的值解：⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 23221 ⑵法一：代数法 圆⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2πθρ 化简得0322=+-+y x yx将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 23221代入圆方程 ()03263232=++++t t32621+=⋅=⋅tt PN PM法二：几何法l 为过P （-1,2），倾斜角为π32的直线， 过P 引圆的切线PT 圆C ：0322=+-+y x yxCNT圆心C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21，半径r=1 3272+=PC PN PM r PCPT⋅=+=-=326222问题与思考：l 为过P （1,1），倾斜角为4π的直线，设l 与⊙O ：422=+yx 交于M ，N ，求P M ·PN=？设l 与⊙O 交于A ，B2-=-=r PO r PA 2+=+=r PO r PB 222=-=⋅r PB PAP A ·PB=PM ·PN例：已知圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin 23cos 21y x 若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系。
2023年高考数学分类汇编极坐标与参数方程
2012高考数学分类汇编-极坐标与参数方程1000字极坐标1.极坐标的概念和表示极坐标是在平面直角坐标系中，以一个定点O为极点，以一个单位长度的线段为极轴，用一个有序数对(r,θ)表示平面直角坐标系中的一个点P，其中r是极点O与点P之间的距离，θ是极轴与线OP 之间的角度，且角度θ的单位是弧度制。
2.直角坐标系到极坐标系的转化确定一个直角坐标系到一个极坐标系的转化方法需要以下步骤：①确定直角坐标系的原点O和极轴的方向；②确定一个点P的坐标(x,y)以及极点O与点P之间的距离r和极轴与线OP之间的角度θ。
可得：r^2=x^2+y^2 ①tanθ=\\frac{y}{x} ②其中，当x>0时，θ为第一象限的角；当x<0时，θ为第二或第三象限的角；当x=0且y≥0时，θ为第一或第四象限的角；当x=0且y≤0时，θ为第二或第三象限的角。
3.某些极坐标图形的方程(1)圆心在极点处的极坐标方程：r=a，其中a为正数。
(2)以极点为端点的直线的极坐标方程：θ=k(k为常数)。
(3)不经过极点的圆的极坐标方程：r=a\\cdot cos(θ-θ_0)，或r=a\\cdot sin(θ-θ_0)，其中a为正数，θ=θ_0和θ=π+θ_0是圆上对称的两个点。
(4)心形线的极坐标方程：r=a(1+cosθ)，其中a为正数。
4.极坐标系下的一般曲线方程一般地，假设有一个极坐标系，其中极点为O，极轴为正x轴，单位长度为1。
如图，假设一点P在该极坐标系下的坐标为(r,θ)，P 到O的极角θ在x轴上的角度为α，OP边在x轴正半轴上的投影为P'，长度为x。
则，r=\\sqrt{x^2+y^2}，θ=\\arctan{\\frac{y}{x}}，x=r\\cosθ=r\\cos(\\arctan{\\frac{y}{x}})=\\sqrt{x^2+y^2}\\cos(\\arct an{\\frac{y}{x}})=\\frac{y}{\\tan(\\arctan{\\frac{y}{x}})+\ \frac{x}{\\sqrt{x^2+y^2}}},y=r\\sinθ=r\\sin(\\arctan{\\frac{y}{x}})=\\sqrt{x^2+y^2}\\sin(\\arct an{\\frac{y}{x}})=\\frac{y}{\\tan(\\arctan{\\frac{y}{x}})-\\frac{y}{\\sqrt{x^2+y^2}}}。
高中极坐标与参数方程知识点总结
高中极坐标与参数方程知识点总结1. 极坐标与参数方程的概念极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的数学表示方法。
极坐标的表示方式是使用极径和极角来确定一个点的位置，而参数方程则是使用两个参数来表示一个点的横纵坐标。
在极坐标中，一个点的位置由它到极点的距离（极径）和与极轴的夹角（极角）确定。
极坐标通常表示为(r,θ)，其中r表示极径，即点到极点的距离，而θ表示极角，即点与极轴的夹角。
参数方程则是使用参数来表示点的横纵坐标。
常见的参数方程形式是x=f(t)和y=g(t)，其中x和y表示点的横纵坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到点的坐标。
2. 极坐标的转换极坐标与直角坐标（笛卡尔坐标）之间可以相互转换。
下面是极坐标到直角坐标的转换公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是点在直角坐标系中的坐标，r是极径，θ是极角。
而直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中√表示开平方，arctan表示反正切函数。
3. 参数方程的性质参数方程可以用来描述一条曲线或图形。
通过改变参数的取值范围，可以观察到曲线的形态和特点。
•曲线方程：将参数方程解析为表达式形式，得到的就是曲线的方程。
例如，参数方程为x=f(t)和y=g(t)，将其解析为y=f(x)的形式，即可得到曲线方程。
•曲线的对称性：通过观察参数方程中各个参数的表达式，可以得到曲线的对称性。
例如，如果x=f(t)中含有关于t的奇函数，那么对应的曲线关于y轴对称；如果y=f(t)中含有关于t的偶函数，那么对应的曲线关于x轴对称。
•曲线的特殊点：通过令参数值为特定的数值，可以得到曲线上的特殊点。
例如，在参数方程x=f(t)和y=g(t)中，当t=a时，对应的点就是曲线上的一个特殊点。
4. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。
高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总
高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=⎧⎨=⎩为参数； 抛物线22y px =的参数方程是22()2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数 极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan yx θ=。
【题型1】参数方程和极坐标基本概念1．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
1)求曲线c 的极坐标方程2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ 即曲线c 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ (2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225-=23 .2．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝sin （θ＋4π），曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝a （a ＞0），射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2π＋ϕ与曲线C1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a 的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值． 解：（1）1C ：2)1()1(22=-+-y x ， 2C ：a y =， 因为曲线1C 关于曲线2C 对称，1=a ，2C ：1=y （2）)4sin(22||πϕ+=OA ；ϕsin 22||=OC ，【题型2】直线参数方程几何意义的应用1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点.（1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为⎛⎝，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =． 2．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
2011-2017新课标高考数学极坐标与参数方程分类汇编
2011—2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编1。
【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP→ =2OM→ ，P 点的轨迹为曲线C 2。
（1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求｜AB ｜。
【答案】（1）设P (x ， y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上,所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.(2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin 3πρ=。
所以21||||AB ρρ-==2。
【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标;（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
【答案】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ.所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-。
（2） 设()2cos ,3sin P ϕϕ,则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52。
艺术生高考数学专题讲义考点60极坐标与参数方程
艺术生高考数学专题讲义考点60极坐标与参数方程一、极坐标与参数方程的基本概念及性质1.极坐标：在平面直角坐标系中，以极轴为基准，通过极径和极角来确定一个点的坐标。
极坐标中，点的坐标表示为(r,θ)，其中r为极径，θ为极角。
2.参数方程：用一个参数t表示自变量，由参数方程可以将二维平面上的点的坐标表示为一对关于参数t的函数。
一般形式为{x=f(t),y=g(t)}。
二、极坐标和参数方程的转化1. 极坐标转参数方程：通过极坐标的关系式，将r和θ用参数t表示，并转化为参数方程。
例如，直角坐标系中的点{(x,y)}可以用极坐标{(r,θ)}表示，其中x=r cosθ，y=r sinθ。
将x和y分别用参数t表示，可得到参数方程{x=f(t), y=g(t)}。
2. 参数方程转极坐标：反过来，将参数方程中的x和y分别转化为极坐标中的r和θ。
例如，参数方程{x=f(t), y=g(t)}可以表示为极坐标{(r, θ)}，其中r²=f²(t)+g²(t)，tanθ=g(t)/f(t)。
1.圆的极坐标和参数方程：极坐标：r=a；参数方程：{x=a cosθ, y=a sinθ}。
2.直线的极坐标和参数方程：极坐标：θ=α；参数方程：{x=a sec(θ-α), y=a tan(θ-α)}。
3.椭圆的极坐标和参数方程：极坐标：r=a√(1-ε²cos²θ)；参数方程：{x=a cosθ, y=b sinθ}。
4.渐近线的极坐标和参数方程：极坐标：θ=π±α；参数方程：{x=a cos(θ±α), y=a sin(θ±α)}。
四、极坐标与参数方程的应用1.曲线的表示：极坐标和参数方程可以用来表示一些特殊的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
通过改变参数的取值范围和数值，可以得到不同形状的曲线。
2.确定曲线的方程：已知一些特征点的极坐标或参数方程，可以借助与直角坐标系的关系，确定曲线的方程。
专题26 极坐标与参数方程丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共27页)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—极坐标与参数方程目录题型一：极坐标与普通方程互化...........................................................1题型二：极坐标方程的应用...................................................................3题型三：参数方程与普通方程互化......................................................11题型四：参数方程的应用.....................................................................13题型五：极坐标与参数方程的综合应用. (21)题型一：极坐标与普通方程互化1．(2023年全国甲卷理科·第22题)已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】(1)3π4(2)cos sin 30ρθρθ+-=解析：(1)因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．(2)由(1)可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=．2．(2021年高考全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】(1)(222x y -+=；(2)P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，C与1C 没有公共点．解析：(1)由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；(2)设(),P x y ，设)MθθAP =，())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+-⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-32-< ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点．3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．(1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】解析：(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．4．(2015高考数学江苏文理·第23题)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径．【答案】(C 分析：先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径．解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系x y O ．圆C 的极坐标方程为2cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C ．题型二：极坐标方程的应用1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=．(1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】(120++=y m (2)195122-≤≤m 解析：【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以1sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13022++=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(())36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m ．2．(2020江苏高考·第22题)在极坐标系中，已知点1π(,3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】(1)1242ρρ==，(2))4π【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴= ，因为点B 为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =，又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由22340y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=．(2)cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴= ，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π3．(2019·全国Ⅲ·理·第22题)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)12cos (04M πρθθ=：≤≤,232sin (44M ππρθθ=：≤≤,332cos ()4M πρθθπ=-：≤≤；(2))6π或3π或2)3π或56π【官方解析】(1)由题设可得， ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ,2sin ,2cos ρθρθρθ===-．所以1M 的极坐标方程为2cos (04πρθθ=≤≤，2M 的极坐标方程为32sin ()44ππρθθ=≤≤，3M 的极坐标方程为32cos ()4πρθθπ=-≤≤．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若04πθ，则2cos θ=，解得6πθ=；若344ππθ，则2sin θ=，解得3πθ=或23πθ=；若34πθπ，则2cos θ-=56πθ=．综上P 的极坐标为)6π或3π或23π或5)6π．【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．4．(2019·全国Ⅱ·理·第22题)在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:C 4sin ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．()1当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；()2当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】()10ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()24cos ρθ=42ππθ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤.【官方解析】()1因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==.由已知得||||cos23OP OA π==.设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos 23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上.所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()2设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，cos 4cos OPOA θθ==，即 4cos ρθ=.因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【分析】()1先由题意，将03πθ=代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；()2先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】()1因为点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin3πρθ===；即3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以tan 3OM k π==因为直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为()43y x =--，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()2设(),P x y ，则OP y k x =，4AP y k x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP AP k k ⋅=-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02x ≤≤，24y ≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos 42ππρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤.【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第22题)在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求,A B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】见解析【解析】(1)设极点为O .在OAB △中，4(3,)A π，)2B π，由余弦定理，得AB =.(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=.6．(2018年高考数学江苏卷·第23题)[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为．解析：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．7．(2015高考数学新课标2理科·第2310分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．(Ⅰ)．求2C 与1C 交点的直角坐标；(Ⅱ)．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【答案】(Ⅰ)(0,0)和3(,)22；(Ⅱ)4．解析：(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,)22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．8．(2015高考数学新课标1理科·第23题)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中。
高三数学专题复习--极坐标与参数方程
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求
A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
极坐标及参数方程
坐标系与参数方程1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么⎩⎨⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yxx ≠0.2．直线的极坐标方程假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt .真题感悟1．(2021·)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为________． 2．(2021·)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t y ＝t2(t 为参数)，假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为________．3．(2021·)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .假设直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，那么椭圆C 的离心率为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，那么AB 的最小值为________．5．(2021·)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝________.6.[2021·XX 卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．7．[2021·XX 卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．8． [2021·XX 卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．题型与方法题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化例1 直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 (θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．变式训练1 直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)假设圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，XX 数a 的值．题型二 曲线的极坐标方程例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式训练2 (2021·)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．题型三 曲线的参数方程及应用例3 (2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．变式训练3直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)．(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．典例 (10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)求直线OM 的直角坐标方程；(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 规X 解答1．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，那么C 1与C 2的交点个数为________．3．点P (x ，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，那么yx 的取值X 围是________．4．假设直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，那么k ＝______.6．(2021·)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．专题限时规X 训练一、填空题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，假设以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么该曲线的极坐标方程是________．2．两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．3．曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t y ＝－1－t(t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，那么曲线C 的普通方程为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么AB＝________.二、解答题5．设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，求l 1与l 2间的距离．6．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．7．(2021·)在极坐标系中，圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8．直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合． (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．9．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)假设PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．10．(2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．2021、2021年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程一、选择题1 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为〔 〕A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和二、填空题2 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 那么|CP | = ______.3 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________4 ．〔2021年高考卷〔理〕〕在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________.5 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.假设极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,那么______AB = 6 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 省数学〔理〕卷〔纯WORD 版〕〕(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线C的参数方程为x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么的极坐标方程为_____________.7 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 那么圆220y x x +-=的参数方程为______ .x8 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩(为参数),假设以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么曲线c的极坐标方程为__________9 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在平面直角坐标系xoy 中,假设,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,那么常数a 的值为________.10．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.假设直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,那么椭圆C 的离心率为___________.三、解答题11．〔2021年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〔理〕〔纯WORD 版含答案〕〕选修4—4;坐标系与参数方程动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.12．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔WORD 版〕〕选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.直线PQ 的参数方程为 ()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.13．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.14．〔2021年普通高等学校招生全国统一招生考试XX 卷〔数学〕〔已校对纯WORD 版含附加题〕〕C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题总分值10分.在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.〔2021年高考新课标1〔理〕〕选修4—4:坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).[2021·XX 卷] 选修44：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[2021·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．[2021·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．。
坐标系与参数方程 高考数学必刷真题分类大全-专题18
专题18坐标系与参数方程考向一极坐标与参数方程【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y =，所以226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=，所以262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C的极坐标方程为ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且AB =，求直线l 的倾斜角．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B，已知)1P-，求PA PB ⋅.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C的参数方程为2222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程是11cos221sin2xyϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为1()ρθρ=∈R．(1)求曲线1C和曲线2C除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A，B分别为曲线1C和2C上的异于极点O的两点，且OA OB⊥，求OAB面积的最大值．10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且π2,6P⎛⎫-⎪⎝⎭，π2,6Q⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线1C的参数方程为2112x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和OQ所在圆2C的直角坐标方程；(2)已知点M的直角坐标为()0,1-，曲线1C和圆2C相交于A，B两点，求11||||MA MB-．1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1【解析】【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos 2α=±，进而可求tan α.(1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-，故2(2cos )142α-=--，解得2cos 2α=，进而tan 1k α==±因此斜率为±1．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，半径为2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．【答案】(1)2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交21【解析】【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin r q q =+，又，2C 的极坐标方程为222cos ρθ=，即2222x y +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-=-1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C =-=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin r q q =+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=，即tan 21θ=，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-；22280x y x +--=(2)π6或π2【解析】【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=．(2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-．所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++=整理得()23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=，解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P-，求PA PB ⋅.【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4.(2)12【解析】【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x tC y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x =，化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）.曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程332112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得2231311622t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】52(2)5151(,0))22⋃【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围.(1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭==+当12s =±时，d 52，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 52；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠，与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：1152k +>1152k -解得：5151()22k ---∈⋃6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，则其直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y (2)344【解析】【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得22202t t --=，∴12122,22t t t t +==-，显然12,t t 异号.由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==，∴()212121212121212121841111342||||24t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为222222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB =(2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214xy +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=．由22222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=，1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 4522αϕ--==25sin 5α=，5cos 5α=），故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 52d =，因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 1152245222AB d ⋅⋅=⨯=．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13sin ()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=，与13sin ()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=，即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=，解得：14π3θ=或20θ=，当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-，当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31+；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎫=-+⎪⎪⎭，因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312；33112>OAB 31.10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和 OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出 PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出 OQ所在圆的直角坐标方程即可；（2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可.(1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，因为点P 的直角坐标是(3,1)-，所以 OQ所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ．（注： PQ的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将32112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t 因为120t t <，由t 的几何意义得：121212121111113||||+-=-=+==t tMA MB t t t t t t。
2012高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
1. （安徽13）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____【解析】距离是_____圆224sin (2)4x y ρθ=↔+-=的圆心(0,2)C直线:()06l R x πθρ=∈↔-=；点C 到直线l2=2.北京9．直线t t y tx (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。
【解析】直线的普通方程01=-+y x ，圆的普通方程为922=+y x ，可以直线圆相交，故有2个交点。
【答案】23.福建22.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),3M N ，因为P 是线段M N中点，则(1,3P因此O P直角坐标方程为：.3y x =（Ⅱ）因为直线l上两点(2,0),(0,3M N∴l30y -=，圆心(2,，半径2r =.32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交.【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。
4.广东14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1:x t C t y =⎧⎪⎨=⎪⎩是参数）和2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.【解析】它们的交点坐标为_______(1,1)22212:(0),:2C y x y C x y =>+= 解得：交点坐标为(1,1)5.湖北16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点. 难易度：★ 解析：π4θ=在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=，将参数方程21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y 有0452=+-x x ，设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、，则有韦达定理2520=+=BA x x x ,又由于点P 点在直线x y =上，因此AB的中点)25,25(P .6.湖南9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =. 【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x ya +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =.【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 7.江苏C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，圆心为直线sin 32ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案】解：∵圆C 圆心为直线sin 32ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在sin 32ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=。
高中数学公式——极坐标与参数方程
高中数学公式——极坐标与参数方程
一平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系：
①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；
②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；
③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；
④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；
⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．。
(完整版)高考文科数学复习专题极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1) 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点 O引一条射线Ox，同时确立一个长度单位和计算角度的正方向( 往常取逆时针方向为正方向) ，这样就成立了一个极坐标系．此中，点O称为极点，射线 Ox 称为极轴．(2)极坐标 ( ρ，θ ) 的含义：设 M 是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对( ρ，θ) 称为点 M的极坐标．明显，每一个有序实数对 ( ρ，θ) ，决定一个点的地点．此中ρ 称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大差别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，关于给定的有序数对 ( ρ，θ) ，能够确立平面上的一点，可是平面内的一点的极坐标却不是独一的．(3) 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线 C 上的随意一点的极坐标知足方程f( ρ，θ ) ＝ 0，而且坐标合适方程f( ρ，θ ) ＝ 0 的点都在曲线 C 上，那么方程f ( ρ，θ ) ＝ 0 叫做曲线 C 的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1) 过极点且与极轴成φ 0角的直线方程是θ＝φ 0和θ＝π－φ 0，以下列图所示．(2) 与极轴垂直且与极轴交于点(a ， 0) 的直线的极坐标方程是ρ cosθ＝a，以下列图所示．(3) 与极轴平行且在x 轴的上方，与 x 轴的距离为 a 的直线的极坐标方程为ρsinθ＝a，以下列图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为 r 的圆的方程为ρ＝ r ，如图 1 所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为ρ＝ 2rcos_ θ，如图 2 所示．(3) 圆心在过极点且与极轴成πr 的圆的方程为ρ 2rsin_ θ，2的射线上，过极点且半径为如图 3 所示．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标 M(ρ，θ ) 化为平面直角坐标 M(x ， y) 的公式以下：x ＝ρ cos θ， 2＋ y 2， tan θ＝ y，或许 ρ＝ xy ＝ρ sin θx 此中要联合点所在的象限确立角 θ 的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数，即x ＝ f （ t ），M(x ， y) 都在这条曲线上，而且关于 t 的每一个同意值，由方程组所确立的点y ＝ g （ t ），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x ， y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．2．常有曲线的参数方程．(1) 过定点 P(x 0， y 0) ，倾斜角为 α 的直线：x ＝x 0 ＋ tcos α，y ＝y 0 ＋ tsin(t 为参数 ) ，α此中参数 t 是以定点 P(x ， y ) 为起点，点 M(x ， y) 为终点的有向线段PM 的数目，又称为点 P 与点 M 间的有向距离．依据 t 的几何意义，有以下结论：①设 A ， B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和 t B ，则 |AB| ＝ |t B － t A | ＝（ t B ＋ t A ） 2－4t A · t B ；t A ＋ t B②线段 AB 的中点所对应的参数值等于.2(2) 中心在 P(x 0， y 0) ，半径等于 r 的圆：x ＝x 0＋ rcos θ， ( θ 为参数 )y ＝y 0＋ rsinθ(3) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的椭圆：x ＝acos θ，x ＝ bcos θ， y ＝bsin( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asin θx ＝ x 0＋ acos α， 中心在点 P(x 0，y 0) ，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为y ＝ y 0＋ bsin α( α 为参数 ) ．(4) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的双曲线：x ＝asec θ，x ＝ btan θ， y ＝btan ( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asec θ(5) 极点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线：x ＝2p ，(t 为参数， p>0) ．y ＝2p1注： sec θ＝ cos θ .3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ， y 的限制．1．已知点 A 的极坐标为5π，则点 A 的直角坐标是 (2 ，－ 2 3) ．4，3π2．把点 P 的直角坐标 ( 6，－ 2) 化为极坐标，结果为2 2，－6 ．3．曲线的极坐标方程ρ＝ 4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋ (y －2) 2＝ 4．ππ4．以极坐标系中的点 1， 6 为圆心、1 为半径的圆的极坐标方程是 ρ＝ 2cos θ－ 6 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线 l ：x ＝ t ，为参数 ) 过椭圆 C ：x ＝ 3cos θ， (t y ＝ 2sin θy ＝ t －a( θ 为参数 ) 的右极点，则常数a 的值为 3．x ＝ t ，x ＝ 3cos θ， x 2 y 2分析： 由直线 l ： y ＝ t －a ， 得 y ＝ x － a. 由椭圆 C ：y ＝ 2sin θ， 得 9 ＝ 4 ＝ 1. 因此椭圆 C 的右极点为 (3 ，0) ．由于直线 l过椭圆的右极点，因此0＝ 3－ a ，即 a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点 P 的直角坐标为 (1 ，－3) ．若以原点 O 为极点， x轴正半轴为极轴成立极坐标系，则点P 的极坐标能够是 ( C)A. 1，－ πB. 2， 4π3 3π4πC. 2，－ 3D. 2，－ 32．若圆的方程为x ＝ 2cos θ， x ＝ t ＋1， y ＝ 2sin ( θ 为参数 ) ，直线的方程为(t 为参数 ) ，则θ y ＝ t －1直线与圆的地点关系是( B)A ．相离B ．订交C ．相切D．不可以确立3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，两种坐标x ＝ t ＋1，系中取同样的长度单位，已知直线l 的参数方程是 (t 为参数 ) ，圆 C 的极坐标方y ＝ t －3程是 ρ＝ 4cos θ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( D)A. 14B ．2 14C. 2D．2 2分析： 由题意可得直线和圆的方程分别为x －y － 4＝ 0，x 2＋y 2＝ 4x ，因此圆心 C(2，0) ，半径 r ＝ 2，圆心 (2 ，0) 到直线 l 的距离 d ＝ 2，由半径，圆心距，半弦长组成直角三角形，解得弦长为 2 2.l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝1，则直线 l 与圆 O ： x ＝3cosθ，( θy ＝ 3sin θ为参数 ) 的地点关系是 ( A)A ．订交B ．相切C ．相离D．过圆心分析： 动直线 l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 1，即圆心 (2 ，1) 在直线 l 上，又圆 O ：x ＝ 3cosθ，的一般方程为 x 2＋ y 2＝ 9 且 22＋ 12<9，故点 (2 ， 1) 在圆 O 内，则直线 l 与圆 Oy ＝ 3sin θ的地点关系是订交．二、填空题5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线y＝sinθ－ 2，C 的参数方程是( θ是参数 ) ，x＝ cosθ若以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线 C的极坐标方程可写为ρ2＋4ρ sin_ θ＋ 3＝ 0．分析：在平面直角坐标系y＝ sinθ－ 2，y＋2＝ sin θ，xOy 中，( θ是参数 ) ，∴根x＝ cos θx＝cos θ .据 sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，可得 x2＋(y ＋ 2) 2＝1，即 x2＋ y2＋ 4y＋3＝0. ∴曲线 C 的极坐标方程为ρ2＋4ρ sin θ＋ 3＝0.x＝ 2cos θ，6．在平面直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ( θ为参数 ) ，以原点 O为极y＝ 2＋ 2sin θπ点，以 x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2，2．三、解答题17．求极点到直线2ρ＝π ( ρ∈ R)的距离．sinθ＋4分析：由 2 ρ＝1sinπ ? ρ sin θ＋ρ cos θ＝ 1? x＋ y＝1，θ＋4|0 ＋0－1|2故d＝12＋12＝2.8．极坐标系中， A 为曲线ρ2＋2ρ cos θ－ 3＝0 上的动点， B 为直线ρ cos θ＋ρ sinθ－ 7＝ 0 上的动点，求|AB| 的最小值．x＝ cos θ，9．(2015 ·大连模拟) 曲线 C1的参数方程为( θ为参数 ) ，将曲线 C1上全部y＝ sinθ点的横坐标伸长为本来的 2 倍，纵坐标伸长为本来的3倍，获得曲线C2. 以平面直角坐标系xOy 的原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样的单位长度成立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－ 2sinθ)＝ 6.(1)求曲线 C2和直线 l 的一般方程；(2)P 为曲线 C2上随意一点，求点P 到直线 l 的距离的最值．分析： (1)由题意可得 C 的参数方程为x＝ 2cosθ，x2y2y＝ 3sinθ(θ为参数 ) ，即 C ：4＋3＝ 1，22直线 l ：ρ(cosθ－ 2sin θ ) ＝ 6 化为直角坐标方程为x－ 2y－ 6＝ 0.(2) 设点 P(2cosθ， 3sin θ ) ，由点到直线的距离公式得点P 到直线 l的距离为|2cosθ－ 23sinθ－ 6|d＝56＋ 43sin1θ－ cos θ＝2256＋ 4sin θ－π＝655π＝56＋ 4sin θ－6.2525因此5≤ d≤ 25，故点 P 到直线 l的距离的最大值为25，最小值为 5.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x＝ 1＋4cosθ，y＝ 2＋4sin ( θ为参数 ) ，θπ直线 l 经过定点P(3， 5) ，倾斜角为 3 .(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程．(2)设直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，求 |PA| ·|PB| 的值．x＝ 1＋4cos θ，2分析： (1) 由曲线 C 的参数方程( θ为参数 ) ，得一般方程为 (x － 1)y＝ 2＋ 4sin θ＋(y － 2) 2＝ 16，即 x2＋ y2－ 2x－ 4y ＝11＝ 0.1x＝ 3＋ t ，π2直线 l 经过定点 P(3 ， 5) ，倾斜角为3，直线的参数方程为3(t 是参数 ) ．y＝ 5＋2 t(2)将直线的参数方程代入 x2＋ y2－ 2x－4y － 11＝0，整理，得 t 2＋ (2 ＋3 3)t － 3＝ 0，设方程的两根分别为 t 1， t 2，则 t 1t 2＝－ 3，由于直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，因此 |PA| · |PB| ＝ |t 1t 2| ＝3.。
高考数学笔记 极坐标与参数方程
∴ C1 与 C2 的交点的极坐标分别为(
2, )， (2, ) ．
4
2
才哥数学
题型四：距离问题
例 1：已知曲线 C 的极坐标方程是 6 cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半
x 1 t cos
轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是
y t sin
x
y
4 5
5cos t 5sin t
消去参数 t
，化为普通方程
(x
4)2
(y
5)2
25
，
即
C1
：
x2
y2
8x
10 y
16
0
，将
x
y
cos sin
代入
x2
y2
8x
10 y
16
0
得，
2 8 cos 10 sin 16 0 ，
方法二，直线方程为 y x 4 ，圆心到直线 y x 4 的距离为 d 1 | AB | 2 1 1 2
2，
2
例 3 已知曲线 C 的极坐标方程是 2 cos ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半
轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线
x 2 cos t
例
2：已知曲线
C1
:
y
1
sin
t
x 4 cos
(t
为参数)，
C2
高考数学专项：极坐标与参数方程
考点梳理：
1．极坐标系 极坐标与直角坐标相互转化 公 ρ ＝x ＋y x＝ρcosθ 式： ， y y＝ρsinθ tanθ＝x
2
2
2
.
2.常见曲线的参数方程 过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直 x＝x0＋tcosα 线的参数方程是 (t y＝y0＋tsinα 是参数)，参数 t 的几何意义是 P0 到直线上任意一点 P(x，y)的有向 线段 P0P 的数量
圆心为 A(a，b)，半径为 r 的圆的 x＝a＋rcosα 参数方程为 (α 为参 y＝b＋rsinα 数)，
x y 椭圆 a2 ＋ b2 ＝1(a>b>0)的参数方 x＝acosθ 程： ，其中参数 θ 通 y＝bsinθ 常称为离心角．
考纲解读：
1.理解坐标系的作用，了解 在念，会在极 坐标系中用极坐标刻画点的位 置，能进行极坐标和直角坐标 的互化；
3.能在极坐标系中给出简单 图形表示的极坐标方程； 4.了解参数方程，了解参数 的意义； 5.能选择适当的参数写出直 线、圆、椭圆的参数方程；
2
2
考题预测：
1.极坐标与直角坐标的互 化； 2.极坐标与普通方程的互 化；
3.参数方程与普通方程的互 化； 4.方程互化的综合应用：求 交点、距离、弦长；
高中数学公式——极坐标与参数方程
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一 一对应关系。
2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。
3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨=⎩ 圆22(1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程（1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨=⎩（2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。
注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ；②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。
（3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数（4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅=||||MA MB +=1212121212||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因） 要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。
二、极坐标方程1.极坐标系的概念ρ=||OM 叫做点M 的极径, θ= xOM ∠叫做点M 的极角.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地,不作特殊说明时, 0ρ≥（后面有过极点的直线另外规定R ρ∈） 2.极坐标和直角坐标的互化(建议结合图像)点 直角坐标 极坐标互化公式3.一类特殊的直线：过极点（坐标原点）的直线（0απ≤<）直线()R θαρ=∈化为直角坐标方程即表示过原点、倾斜角为α的直线. 如2()3R πθρ=∈，化为直角坐标方程：_______ 如_____________,化为直角坐标方程：3y x =如()2R πθρ=∈，化为直角坐标方程：______注：①对于(,)P ρθ点，0,0,P P ρρ><当时点在极轴上方，当时点在极轴下方②(,)'(,)P P ρθρθ-点与点关于极点对称。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳一、极坐标题型1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数。
题目中常常给出一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为极坐标方程。
2.同一直线与圆的极坐标方程给定一条直线的极坐标方程，如$r=k\\theta$，同时给出一个与该直线相交于两点的圆的极坐标方程，求该圆的半径和圆心的极坐标。
3.圆内切于另一圆与直线的极坐标方程给定一个圆的极坐标方程，要求找出与该圆相切的另一个圆和直线的极坐标方程。
4.线段与圆的极坐标方程给定一段线段的两个端点的极坐标和长度，要求求出与该线段相切的圆的极坐标方程。
二、参数方程题型1.直线的参数方程给定一条直线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.圆的参数方程给定一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
3.曲线方程的参数化表示给定一个曲线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
三、极坐标与参数方程的转换题型1.极坐标转换为参数方程给定一个极坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.参数方程转换为极坐标给定一个参数方程，要求将其转化为极坐标方程形式。
四、解析法求参数方程的题型1.螺线的参数方程给定一个螺线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
2.抛物线的参数方程给定一个抛物线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
3.椭圆的参数方程给定一个椭圆的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
五、参数方程与直角坐标系之间的关系1.参数方程的直角坐标系方程给定一个参数方程，要求将其转化为直角坐标系方程。
2.直角坐标系方程的参数方程给定一个直角坐标系方程，要求将其转化为参数方程。
以上是高考数学中关于极坐标与参数方程的常见题型归纳。
掌握了这些题型的解题方法和转换技巧，就能够更好地应对高考数学中的相关题目。
在解题时，可以根据题目给出的信息选择合适的坐标系，利用相应的公式和性质进行计算，从而得出准确的答案。
希望同学们通过对这些题型的学习和练习，能够在高考中取得优异的成绩！。
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高考数学分类汇编-极坐标与参数方程题型160 极坐标方程化直角坐标方程1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B. ()π2θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π2θρ=∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,则CP = .3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16）在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21）在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为π4⎫⎪⎭,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin ,cos 1为参数a a y a x ⎩⎨⎧=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系.6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________.8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是 .9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 .11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）.A.B.C.D.12.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上,C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直,根据（1）中你得到的参数方程,确定D 的坐标.13.（2015陕西理23）在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为ρθ=． (1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标． 13.解析 （1）由2sin ρθρθ=⇒=,从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(2) d ==, 所以当0t =时,d 取得最小值,此时P 点的直角坐标为()3,0.14.（2015北京理11）在极坐标中,点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭到直线()cos 6ρθθ+=的距离为 .14. 解析 极坐标中的点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中的点为(,极坐标方程()cos 6ρθθ+=对应的直角坐标系方程为60x +-=,根据点到直线的距离公式13612d+-==.15.（2015广东理14）已知直线l的极坐标方程为2sin4ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭点A的极坐标为74Aπ⎛⎫⎪⎝⎭,则点A到直线l的距离为．15.解析依题已知直线:2sin4lρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭74Aπ⎛⎫⎪⎝⎭可化为直线:10l x y--=和点()2,2A-,所以点()2,2A-与直线l的距离为:2d==．故应填2．16.（2015湖北理16）在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0ρθθ-=,曲线C的参数方程为1,1x tty tt⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) ,l与C相交于A,B两点,则||AB=.16．解析因为()sin3cos0ρθθ-=,所以sin3cos0ρθρθ-=,所以30y x-=,即3y x=；由11ttx ty t-+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t得224y x-=.联立方程组2234y xy x⎧=⎪⎨-=⎪⎩,解得22xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即22A⎛⎝⎭,22B⎛⎫--⎪⎪⎝⎭,故AB==17.（2015湖南理16（Ⅱ））已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求||||MA MB ⋅的值. 17.解析 2. (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=. ①将 222y x +=ρ,x =θρcos 代入①式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x . ②(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入②,得018352=++t t . 设这个方程的两个实根分别为21,t t ,则由参数t 的几何意义即知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t18.（2015江苏21（C ））已知圆C的极坐标方程为2sin 404ρθπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,求圆C的半径．18.解析由题意得sin 422θθθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以()22sin cos 40ρρθθ+--=,即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=,从而222240x y y x ++--=,即()()22116x y -++=,故圆C．19.（2016北京理11）在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点, 则 AB =__________.19. 2 解析 解法一:在平面直角坐标系中,题中的直线圆的方程分别是2210,2x x y x -=+=.可得,A B 两点的坐标(,)x y ,即为方程组221(1)1x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩的解,用代入法可求得,A B两点的坐标分别为111,1,2222⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以由两点的距离公式可求得2AB =.解法二:直线的直角坐标方程为10x -=,圆的直角坐标方程为22(1)1x y -+=. 圆心()1,0在直线上,因此AB 为圆的直径,所以2AB =.20.（2016全国丙卷23）在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.20. 分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线1C 的参数方程普通方程,利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=代入曲线1C 的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点P 的坐标,然后利用点到直线的距离公式建立()PQ d α=的三角函数表达式,然后求出最值与相应的点P 坐标即可.解析 （1）1C 的普通方程为2213x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意,可设点P的直角坐标为),sin αα,因为2C 是直线,所以PQ 的最小值,即为P 到2C 的距离()d α的最小值,()π23d αα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()π2π6k k α=+∈Z 时,()d α取得最小值,最小值为,此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21.（2017天津理11）在极坐标系中,直线4cos 106ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.21.解析直线14sin 102ρθθ⎫++=⎪⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y ++=,由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=,得其直角坐标方程为222x y y +=,即()2211x y +-=,则圆心()0,1到直线的距离31=4d r ==<,知直线与圆相交,得它们的公共点的个数为2.22.（2017北京理11）在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为()1,0,则AP 的最小值为___________.22. 解析 由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,化为普通方程为222440x y x y +--+=, 即()()22121x y -+-=,由圆心为()1,2,P 为()1,0,则AP 最小值为1.故选D.23.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值．23．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，,则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,解得4cos ρθ=,化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠.（2）联结AC ,易知AOC △为正三角形,||OA 为定值．所以当高最大时,AOB △的面积最大,如图所示,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于点H ,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大,max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2=.题型161直角坐标方程化为极坐标方程1.(广东理14）已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1 处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为 ．2. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B. ()π2θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π2θρ=∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 3.（2014 湖南理 11）在平面直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线:C 2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________.4.（2014 江西理 11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段()101y x x =-的极坐标方程为（ ）. A.1cos sin ρθθ=+,02θπ B. 1cos sin ρθθ=+,04θπ C.cos sin ρθθ=+,02θπD. cos sin ρθθ=+,04θπ 5.（2015全国Ⅰ理23）在直角坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ,2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标为()4θρπ=∈R ,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN △的 面积.5.解析 （1）因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）解法一:3C 的直角坐标系方程为y x =,所以2C 的圆心到直线3C 的距离2d ==,所以MN ==所以212C MN S=△122=． 解法二:将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=, 解得1ρ=2ρ=,所以12ρρ-=即MN =2C 的半径为1,所以2C MN △的面积为12．6.（2016全国甲理23）在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为()22625x y ++=. （1）以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，，（t 为参数）,l 与C 交于A B 、两点,AB =求l 的斜率.6.解析（1）整理圆的方程得2212110x y x +++=,由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（2）解法一:将直线l 的参数方程代入圆C :2212110x y x +++=化简得,212cos 110t t α++=,设,A B 两点处的参数分别为12,t t ,则121212cos ,11t t t t α+=-⎧⎨=⎩,所以12||||AB t t =-===,解得23cos 8α=,l 的斜率tan 3k α==±. 解法二:设:l y kx =,其中tan k α=,如图所示,圆心到到l的距离d ===,故k ==. 题型162 参数方程化普通方程1. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = .2. (湖南理9） 在平面直角坐标系xOy 中,若,:()x t l t y t a =⎧⎨=-⎩为参数过椭圆3cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩,（ϕ 为参数）的右顶点,则常数a 的值为 . 3.（湖北理16）在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴）中,直线l与圆O的极坐标方程分别为sin24mπρθ+=（m为非零数）与bρ=．若直线l经过椭圆C的焦点,且与员O相切,则椭圆C的离心率为．4.(福建理21）在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为π4⎫⎪⎭,直线l的极坐标方程为πcos4aρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭,且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为)(sin,cos1为参数aayax⎩⎨⎧=+=,试判断直线l与圆C的位置关系.5.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C:22149x y+=,直线l:222x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）.（1）写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30︒的直线,交l于点A,求PA的最大值与最小值.6.（2014 江苏理21）[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为122xy⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）,直线l与抛物线24y x=相交于A,B两点,求线段AB的长．7.（2014 福建理21）B.（本小题满分7分）选修4—4:极坐标与参数方程已知直线l的参数方程为24x a ty t=-⎧⎨=-⎩,（t为参数）,圆C的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin4cos4yx,（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.8.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________.10.（2014 北京理 3）曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A.在直线2y x =上B.在直线2y x =-上C.在直线1y x =-上D.在直线1y x =+上11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）.A.B.C.D.12.（2015重庆理15）已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=3π5π0,44ρθ⎛⎫><< ⎪⎝⎭,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.12.解析 由直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-=t ty tx (11为参数）,得直线方程为02=+-y x ①由235cos 240,ππρθρθ⎛⎫=><< ⎪44⎝⎭,得()()22cos sin 4ρθρθ-=,故422=-y x ②联立式①,式②⎩⎨⎧=-=+-40222y x y x ,解得交点坐标为()2,0-,所以交点的极坐标为()2,π． 13.（2015全国Ⅱ23）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,0t ≠）,其中0πα<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,3:C ρθ=（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 的最大值.13.分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,联立即可求解；.（2）先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R,,进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B的极坐标为(),αα,由此可得:2sin AB αα=-π4sin 43α⎛⎫=- ⎪⎝⎭．解析 （1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为:220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0πα<． 因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα,B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-,当5π6α=时,AB 取得最大值,最大值为4． 命题意图 考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化,并能求出距离的最值. 14.（2015福建理21（2））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴）中,直线l()sin 4m m θπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值．14.分析 本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想．解析 （1）消去参数t ,得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=．sin 4m θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得sin cos 0m ρθρθ--=,所以直线的直角坐标方程为0x y m -+=． （2）依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2,2=,解得3m =-±．15.（2016江苏21 C ）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为()1122x t t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,椭圆C 的参数方程为()cos 2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,求线段AB 的长．15. 解析解法一（求点）:直线l 0y --=,椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,联立22014y y x --=⎨+=⎪⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此167AB ==．解法二（弦长）:直线l方程化为普通方程为y =-椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,不妨设()11,A x y ,()22,B x y ,联立得2244y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消y 得27610x x --=,3628640∆=+=>恒成立, 故12126717x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12AB x =-167==． 解法三（几何意义）:椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,直线恒过点()1,0,该点在椭圆上,将直线的参数方程()1122x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入椭圆的普通方程,得22141422t t ⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得27404t t +=,故10t =,2167t =-,因此12167AB t t =-=．16.（2017江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数）,曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．16.解析 直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C 上,设()22P s ,从而点P 到直线l 的距离224s d +==,当s =,min 5d =． 因此当点P 的坐标为()4,4时,曲线C 上点P到直线l ． 17.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,直线l 的参数方程为()41x a tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数.（1）若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 求a .17.解析 （1）当1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程为2219x y +=.联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d ==,其中3tan 4ϕ=．依题意得max d 解得16a =-或8a =.18.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数）,直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3cos sin 0l ρθθ+=：,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．18．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ①()21:2l y x k=+ ② ⨯①②,消k 可得224x y -=,即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=,联立2204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,解得ρ=,即M．题型163 普通方程化参数方程——暂无 1. (陕西理15C ）C.（坐标系与参数方程选做题）如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆220x y x +-= 的参数方程为 .x2. (全国新课标卷理23）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P Q ，都在曲线2cos 2sin x C :y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）上,对应参数分别为βα=与2πM α= （0<<2πα）,M 为PQ 的中点.（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 3. (辽宁理23）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为π4sin cos 4ρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数）,求a b ，的值. 4.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线,交l 于点A ,求PA 的最大值与最小值.5.（2014 辽宁理 23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 题型164 参数方程与极坐标方程的互化 1.（江西理15）(1)（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 ．2.（2016全国乙理23）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,0a >）.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=.（1）说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .2.解析 （1）将1C 化为直角坐标方程为()2221a x y +-=,从而可知其表示圆． 令cos x ρθ=,sin y ρθ=,代入得极坐标方程22s 2in 10a ρρθ+-=-．（2）将1C ,2C 化为直角坐标方程为22212:10y y C x a +-+-=,222:40C x y x +-=．两式相减可得它们的公共弦所在直线为24210x y a -+-=.又12,C C 公共点都在3C 上,故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=,0tan 2α=,即为2y x =,从而可知1a =．第2节 不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式 1.（江西理15）(2)（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --的解集为 ． 2.(福建理21）设不等式()2x a a *-<∈Ν的解集为A ,且A A ∉∈21,23.（1）求a 的值；（2）求函数2)(-++=x a x x f 的最小值.3.（2014 重庆理 16）若不等式2121222x x a a -++++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是____________.4.（2014 湖南理 13）若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则a =________.5.（2014 江西理 11）（1）（不等式选做题）对任意,x y ∈R ,111x x y y -++-++的最小值为（ ）.A.1B.2C.3D.46.（2014 陕西理 15）A.（不等式选做题）设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为 .7.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5:不等式选讲 设函数()1f x x x a a=++-()0a >. （1）证明:()2f x ；（2）若()35f <,求a 的取值范围.8.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设函数()211f x x x =-+-,()21681g x x x =-+,记()1f x 的解集为M ,()4g x 的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时,证明:()()2214x f x x f x +⎡⎤⎣⎦. 9.（2014 福建理 21）（本小题满分7分）选修4—5:不等式选讲 已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . （1）求a 的值；（2）若r q p ，，为正实数,且a r q p =++,求证:2223p q r ++. 10.（2015重庆理16）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5,则实数a =_______. 10.解析 当1a >-时,端点值为,1a - ． （1）当1x-时,()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；（2）当1x a -<<时,()()1221f x x a x x a =++-=-++； （3）当x a 时,()()12321f x x x a x a =++-=-+；如图所示:-1a由图易知:()min 15f a a =+=,解得6a =-（舍）或4=a ,所以4a =． 当1a <- 时,端点值为,1a - . （1）当xa 时,()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；（2）当1a x <<-时,()12()21f x x x a x a =--+-=--； （3）当1x - 时,()()12321f x x x a x a =++-=-+；如图所示:a-1由图易知:()min 15f a a =+= ,解得4=a （舍）或6a =-,即6a =-. 当1a =-时,()31f x x =+,()()min 10f x f =-=,与题意不符,舍. 综上所述:6a =-或4.11.（2015陕西理24）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (1)求实数a ,b 的值；(2)求11.解析 （1）由||x a b +<⇒b a x b a --<<-所以2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得31a b =-⎧⎨=⎩. （2）[]222112333t t ⎡⎤++-+⎢⎥ ⎝⎢⎥⎣⎦412163⨯=, +4t ,+t 的最大值为4,当1t 时取等号. 12.（2015山东理5） 不等式152x x ---<的解集是( ) ． A.()4-∞B ．(),1-∞C ．()1,4D ．()1,512.解析 令15y x x =---,则4,526,154,1x y x x x ⎧⎪=-<⎨⎪-<⎩,所以原不等式同解于如下三个不等式组的解集的并集:① 542x ⎧⎨<⎩；②15262x x <⎧⎨-<⎩③142x <⎧⎨-<⎩,解①得:x ∈∅,解②得:14x <；解③得:1x <．综上所述,原不等式的解集为{}4x x <．故选A ．评注 本题也可数形结合,而快捷的方法则是取特殊值验证． 13.（2015全国Ⅰ24）已知函数()12f x x x a =+--,0a >. （1）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 13.解析 （1）当1a =时,()1f x >,即12110x x +--->． 当1x-时,不等式化为40x ->,无解；当11x -<<时,不等式化为320x ->,解得213x <<； 当1x 时,不等式化为20x -+>,解得12x <．综上所述,当1a =时,()1f x >的解集为2,23⎛⎫⎪⎝⎭．（2）0a >,()12,1312,112,x a x f x x a xa x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩,如图所示,函数()f x 的图像与x 轴所围成三角形的三个顶点为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭,()21,0B a +,(),1C a a +, ()2213ABC S a =+△,即()22163a +>,解得2a >, 所以a 的取值范围是()2,+∞．14. ( 2015福建理21（3）) 已知0a >,0b >,0c >,函数()f x x a x b c =++-+ 的最小值为4． (1)求a b c 的值;(2)求2221149a b c 的最小值． 14.分析 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．解析 （1）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++,当且仅当ax b -时,等号成立．又0a >,0b >,所以a b a b +=+,所以()f x 的最小值为a b c ++．又已知()f x 的最小值为4,所以4a b c ++=． 当32x -时,化简得332x +,解得13x -,故13x -； 当32x <-时,化简得32x --,解得5x-,故5x -．故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭. 15.(2015江苏21（D ）) 解不等式232x x ++． 15. 解析 当32x -时,化简得332x +,解得13x -,故13x -；当32x <-时,化简得32x --,解得5x-,故5x -．故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．16.（2016上海理1）设x ∈R ,则不等式31x -<的解集为 ． 16. 解析 由题意131x -<-<,即24x <<,则解集为()2,4．故填()2,4． 17.（2016全国甲理24（1））已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集.求M ；17. 解析 （1）当12x <-时,()112222f x x x x =---=-<,所以112x -<<-；当1122x -≤≤时,()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时,()22f x x =<,所以112x <<．综上可得,{}|11M x x =-<<．18.（2016全国乙理24）已知函数()123f x x x =+--. （1）在如图所示的图形中,画出()y f x =的图像； （2）求不等式()1f x >的解集.18. 解析 由题意得3233212414()x f x x x x x x ⎧-+⎪⎪⎪=--<-<-⎨⎪⎪⎪⎩，，，．其图像如图所示.（2）当1x <-时,41x ->,解得5x >或3x <,故1x <-； 当312x -<时,321x ->,解得1x >或13x <,故113x -<或312x <<； 当32x时,441x x -+=->,解得5x >或3x <,故323x <或5x >． 综上所述,该不等式的解集为()()1,1,35,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．评注 或者可以由图形观察大致结果,但不能替代解题过程．19.（2016全国丙卷24）已知函数()|2|f x x a a =-+ （1）当2a =时,求不等式()6f x 的解集； （2）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时,()()3f x g x +,求a 的取值范围.19. 解析 （1）当2a =时,()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤. 因此, ()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤. （2）当x ∈R 时,得()()212f x g x x a a x +=-++-212x a xa-+-+≥1a a =-+,所以当x ∈R 时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥. ①当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解； 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[)2,+∞.20.（2017全国1卷理科23）已知函数()2–4f x x ax =++,()11g x x x =++-.（1）当1a =时,求不等式()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[]–11，,求a 的取值范围. 20.解析 （1）当1a =时,()24f x x x =-++为开口向下,对称轴为12x =的二次函数,()211121121x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，，,当(1,)x ∈+∞时,令()()f x g x ,即242x x x -++,解得x ⎛∈ ⎝⎦. 当[]11x ∈-，时,令()()f x g x ,即242x x -++,解得[]1,1x ∈-． 当()1x ∈-∞-，时,令()()f x g x ,即242x x x -++-,解得x ∈∅． 综上所述,()()f x g x的解集为1⎡-⎢⎣⎦．（2）依题意得242x ax -++≥在[]11-，上恒成立,即220x ax --≤在[]11-，恒成立,则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩,解得11a -． 故a 取值范围是[]11-，． 21.（2017全国3卷理科23）已知函数()12f x x x =+--． （1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +的解集非空,求m 的取值范围．21．解析 （1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩.由()1f x ,可得①当1x -时显然不满足题意； ② 当12x -<<时,211x -,解得1x ；③ 当2x 时,()31f x =恒成立.综上,()1f x 的解集为{}1x x .⑵不等式()2f x x x m -+等价于()2f x x x m -+,令()()2g x f x x x =-+,则()g x m 的解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦.而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩.①当1x -时,()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时,()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；④ 当2x 时,()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上所述,()max 54g x =⎡⎤⎣⎦,故54m .题型166 不等式的证明1. (全国新课标卷理22）选修4——5；不等式选讲 设a b c ，，均为正数,且1a b c ++=,证明:（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a--≥.2.（2014 新课标1理24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若0a >,0b >,且ab ba =+11. （1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ,使得632=+b a ？并说明理由.3.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设函数()211f x x x =-+-,()21681g x x x =-+,记()1f x 的解集为M ,()4g x 的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时,证明:()()2214x f x x f x +⎡⎤⎣⎦. 4.（2014江苏理）D ．[选修4-5:不等式选讲]（本小题满分10分）已知0x >,0y >,证明:()()22119x yxy xy ++++．5.（2014 福建理 21）（本小题满分7分）选修4—5:不等式选讲 已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . （1）求a 的值；（2）若r q p ，，为正实数,且a r q p =++,求证:2223p q r ++. 6.（2016江苏21 D ）设0a >,13a x -<,23ay -<,求证:24x y a +-<． 6. 解析 证明:由13a x -<可得2223ax -<,故22422233a ax y x y a +--+-<+=.7.（2016全国甲理24）已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集. （1）求M ；（2）证明:当a b M ∈，时,1a b ab +<+.7.解析 （1）当12x <-时,()112222f x x x x =---=-<,所以112x -<<-；当1122x -≤≤时,()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时,()22f x x =<,所以112x <<．综上可得,{}|11M x x =-<<．（2）当()11a b ∈-，，时,有()()22110a b -->,即22221a b a b +>+, 则22+2+1a b ab >222a ab b ++,则()()221ab a b +>+,即1a b ab +<+.8.（2016浙江理8）已知实数,,a b c （ ）.A.若221a b c a b c +++++≤,则222100a b c ++< B.若221a b c a b c ++++-≤,则222100a b c ++<C.若221a b c a b c ++++-≤,则222100a b c ++< D.若221a b c a b c ++++-≤,则222100a b c ++<8. D 解析 举反例排除法:对于选项A,可以令()222,a b a b c a b +=+=-+,例如令10,110a b c ===-,则22101011010101101+-++-≤=0,但是()2221010110100++->,所以选项A 不正确；对于选项B,可以令20,0c a b =+=,例如令10,100,0a b c ==-=,则221010*********-++--≤,但是()222101000100+-+>,所以选项B 不正确；对于选项C,可以令20,0a b c +==,例如令100,100,0a b c ==-=,则22100100010010001-++--≤=0,但是()2221001000100+-+>,所以选项C 不正确.故选D.9.（2016全国丙理21）设函数()cos 2(1)(cos +1)f x a x a x =+-,其中0a >,记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ；（3）证明2.f x A '（） 9. 解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---. （2）当1a时,()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤.因此32A α=-.当01a <<时,将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--.令()()2211gt at a t =+--,则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值,()1g a -=,()132g a =-,且当14at a-=时,()g t 取得极小值,极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 令1114a a --<<,解得13a >-且15a >,所以15a >. （i ）当105a<时,()g t 在()1,1-内无极值点,()1g a -=,()123g a =-,()()11g g -<,所以23A a =-.（ii ）当115a <<时,在同一坐标中画出函数y x =,32y x =-,2618x x y x++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由图,我们得到如下结论当115a <<时,2618a a A a ++=.综上,2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩. （3）由（1）得()()2sin21sin 21f x a x x a a α'=---+-. 当105a <时,()()1242232f x a a a A '+-<-=； 当115α<<时,131884a A a =++,所以()12f x a A '+<；当1a ≥时,()31642f x a a A '--=.所以()2f x A '；综上所述有()2f x A '.题型167 函数单调性在证明不等式中的应用1.（2016全国甲理21（1））讨论函数2()e 2x x f x x -=+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20;x x x -++> 1. 解析 证明:由已知得,函数的定义域为由已知得, 2x ≠-.因为()2e 2x xf x x -=+,所以()()()22224e e 222xx x x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭.因为当x ∈()()22-∞--+∞，，时,()0f x '>,所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增, 所以当0x >时,()2e 0=12x x f x ->-+,所以()2e 20xx x -++>.题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无 1.（2017江苏21 D ）已知,,,a b c d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明:8ac bd +．1.解析 由柯西不等式可得()()()22222ac bd a b c d +++,因为224a b +=,2216c d +=,所以()264ac bd +,因此8ac bd +．2.（2107全国2卷理科23）已知0a >,0b >,332a b +=,求证:（1）()()554a b a b ++；（2）2a b +．2．解析 （1）由柯西不等式得()()()2255334a b a b a b ++=+=≥,=即1a b ==时取等号．（2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+,所以()38a b +≤,即2a b +≤,当且仅当1a b ==时等号成立．。