证券投资学 5 证券投资组合理论

E（R） B 100％ E F C 40％ A，60% B
最小标准差组合
A
100%
A σ
第二节 证券资产组合的效率前沿
三项风险资产的组合
三 项 资 产 组 合 的 效 率 前 沿
将三项风险资产按一定比例组合在一起，便构成了三项风险资产的组合。若
A、B、C三项资产的期望收益率分别为 RA RB RC ，标准差为
两风险资产A、B构成投资组合
固定比例，WA=WB=50%，组合收益率不变；
相关系数对组合风险的影响：
p
wA A wB B
2
wA A wB B
AB 1
AB 0
2 2 2 2 p wA A wB B
p
wA A wB B
P Var (aRA bRB CRC ) 0.1881 4.34%
如①图所示，三项资产A、B、C两两组合成AB、AC和BC三个资产组合集合。 但AB资产组合集合中的任一资产组合，都可以看作一项单独的资产如D，它可以与资 产C构成一组新的资产组合集合，如②中曲线DC所示。DC实际上是A，B，C三项资产各 按一定比例组合而成。 依此类推，我们可以构造出无数个不同的资产组合，这些资产组合在风险与收益平均
2
2 A
b
2
2 B
2abCOVAB
因为： AB
A B
COVAB
a
2
2 A
b
2
2 B
2ab AB A B
第二节 证券资产组合的效率前沿
如果：COVAB 4.70 或者
AB 0.1321
则资产组合AB的方差为：
Var (aRA bRB ) a 2 2 A b 2 2 B 2abCOVAB a 2 2 A b 2 2 B 2ab AB A B 0.52 0.05622 0.52 0.06332 2 0.5 0.5 0.1321 0.0562 0.0633 0.002027
第二节 证券资产组合的效率前沿
最优组合的确定 可行集（Feasible Set）：投资者利用金融 合的风险收益状况都可以在可行集中找 到对应的点。 有效组合（Efficient Portfolio）: 对每一风险水平，提供最大的预期收益 率（图a中的BCD部分） 对每一预期收益率水平提供最小的风险 （图a中的ABC部分）
1 2 N 1 2 1 2 2 p xi x j Covi , j i * * n i 1 j 1 i 1 n i 1 n
n n n
2
2
当 n 趋向无穷大，即随着证券组合中证券种类无限增加时，证券
2 P 趋向于零。 组合的风险
B
2 1 3可行集Fra bibliotek· DA
O
（a）
p
O
第二节 证券资产组合的效率前沿
显然，投资者只能将阴影区域的 边缘的某一部分，即曲线ERX上选择 他所需要的资产组合，而不会进入阴 影区域内，因为在ERX曲线上的资产 组合比起阴影区域内部的资产组合， 要么同样风险程度上有更高的期望收 益率，要么在同样收益率下有更低的 风险，ERX是这一资产组合集合的效 率前沿。
项 资 产 组 合 的 效 率 前 沿
N
N项风险资产构成的资产组合的期望收益率是各项资产期望收益率的
权重平均
E ( R) Wi E ( Ri )
i 1
n
方差
Var ( R) Wi WW j i j ij i
i 1 2 i i 1 j i
n
n
n
第二节 证券资产组合的效率前沿
N项风险资产可以构成许多资产组合，其集合是平面上的一个区域。
图中阴影区域为N项资产组合的集合，投资者可在此区域中任选，但不能超出，因
为无法改变各项资产收益和风险。 如图中所示。其中1点可能由40种资产
E Rp
有效集
E Rp
C
构成的组合，2点可能是由80种资产
构成的组合，3点则是由另外80种资产 构成的组合，或者同样80种资产，但 不同比例构成的组合，等等。投资者不能 超过这一区域，因为他们无法改变现 有各项资产的期望收益和风险程度。
标准差为：
p Var (aRA bRB ) 0.0456 4.56%
第二节 证券资产组合的效率前沿
用同样的方法，可以求得任一比例将A、B两资产组合后的资产组合的期望收益率 和标准差，所有这些资产组合构成一个资产组合，将各组数据在以标准差为横轴，期
望收益为纵轴的图上描出，可得到一条连接A、B两点的曲线。
况下，减小投资组合的风险。
第一节 证券投资组合理论概述
前提假设：马可维茨型投资者（Markowitz Optimizer ）
投资者用预期收益率来估计投资组合收益的大小，并用其波动性来衡
量组合的风险，而且每一项可供选择的投资在一定持有期内都存在确定的 预期收益率的概率分布。
投资者期望获得最大收益，但他们不喜欢风险，是风险厌恶者，即面
从图中可以看出，投资者可根据其需要，适当的选择资产A和资产B的比例，在曲 线ACEB上选择相应的风险与收益关系。 E（R） E F 40％ A，60% B
最小标准差组合
B 100％
C
A
100% σ
第二节 证券资产组合的效率前沿
两项风险资产的效率前沿
在资产A、B构成的所有组合中，图中C点所表示（A占56.7％，B占43.3％）的组合给 出最小的标准差，这一组合被称为最小标准差组合。 尽管投资者可以在曲线ACEB上任意选择投资 组合，但因为对应线段AC上的每一组合（如A）， 线段CEB上都有相应的一个组合（如F），其风险 程度（标准差）与AC线段上的对应组合相同，但 期望收益更高，根据风险回避型投资者追求效用最 大化的假设，投资者只会在AEB上选择其所需要 的资产组合。 线段CEB（即最小标准差组合与资产B之间的 全部组合）即为全部资产组合的效率前沿，又称有 效资产组合。
第五章
证券投资组合理论
第一节 证券投资组合理论概述
1952年，哈里· 马可维茨（Harry Markowitz）发表了一 篇题为《证券组合选择》的论文，这篇论文在后来被认为是 投资组合理论的开端； 关键结论：投资者应该通过同时购买多种证券而不是一
种证券来进行分散化投资，这样可以在不降低预期收益的情
B 6.33% ，将上述两项资产按照50％A与50％B的比例组合后得到资产组合
AB的期望收益率和方差分别为：
E (aRA bRB ) aE ( RA ) bE ( RB ) 0.5 4.60% 0.5 8.50% 6.55%
Var (aRA bRB ) a
若将 E( R ) 16%, 7.5%，相关系数 AC 0.15 , BC 0.2000 的资产Ｃ引入 C C
组合 AB中，ABC三项资产的比重分别为： a 0.33 b 0.33 c 0.34 则组合
ABCE (aRA bRB CRC ) 0.33 4.6%+0.33 8.60%+0.34 16% =9.765%
Var (aRA bRB CRC ) 0.332 0.0562 2 +0.332 0.06332 +0.34 2 0.075 2 +2 0.33 0.33 0.1321 0.0562 0.633 +2 0.33 0.34 0.15 0.0562 0.750 +2 0.33 0.34 0.20 0.0633 0.750 0.1887
对收益相同的两个资产时，投资者偏好风险较小的资产。 投资者完全根据预期收益率和风险做出决策，这样他们的效用曲线只
是预期收益率和预期收益率方差（或标准差）的函数。
投资者选择投资组合的标准是预期效用的最大化，即在既定的收益水 平下，使风险最小，或者在既定的风险水平下，使收益最大。
第一节 证券投资组合理论概述
C
F
N E A L B σ
计到L的存在
第二节 证券资产组合的效率前沿
与两项资产构成的资产组合相同，只要改变各项资产所占的比
例，就可以得到许多具有不同期望收益率与风险的资产组合，所有
这些资产组后构成一个资产组合集合所不同的是，这些资产组合集 合不再是一条直线，而是一个平面上的区域。
第二节 证券资产组合的效率前沿
则资产组合的期望收益率为：
A B C
E(aRA bRB CRC ) aE( RA ) bE( RB ) CE( RC )
方差为：
Var (aRA bRB cRC ) a 2 A2 b2 B 2 c 2 C 2 2abCOVAB 2bcCOVBC 2acCOVAC a 2 A2 b2 B 2 c 2 C 2 2ab AB A B 2bc BC B C 2ac AC A C
2
wA A wB B
AB 1
第二节 证券资产组合的效率前沿
两资产构成的投资组合的风险——收益状况
线段 CG 表示相关系数 AB 从 1 减小到-1 时，投资组合的风险——收益点的轨迹。
保持资产的相关系数不变而改变两项资 产的权数，我们将得到一系列的组合：其 轨迹类似于椭圆弧线，以资产 B 为起点， 经过上面提到的两资产权数相等时的点， 最后以资产 A 为终点。
B E A
E Rp
有效集
E Rp
X C
R
可行集
· D
O
（a）
p
O
第二节 证券资产组合的效率前沿
有 无 风 险 资 产 组 合 的 效 率 前 沿