第6章树和二叉树(2)
目前最完整的数据结构1800题包括完整答案树和二叉树答案
第6章树和二叉树部分答案解释如下。
12. 由二叉树结点的公式：n=n0+n1+n2=n0+n1+(n0-1)=2n0+n1-1，因为n=1001,所以1002=2n0+n1,在完全二叉树树中，n1只能取0或1,在本题中只能取0，故n=501，因此选E。
42.前序序列是“根左右”，后序序列是“左右根”，若要这两个序列相反，只有单支树，所以本题的A和B均对，单支树的特点是只有一个叶子结点，故C是最合适的，选C。
A或B 都不全。
由本题可解答44题。
47. 左子树为空的二叉树的根结点的左线索为空（无前驱），先序序列的最后结点的右线索为空（无后继），共2个空链域。
52．线索二叉树是利用二叉树的空链域加上线索，n个结点的二叉树有n+1个空链域。
部分答案解释如下。
6．只有在确定何序（前序、中序、后序或层次）遍历后，遍历结果才唯一。
19．任何结点至多只有左子树的二叉树的遍历就不需要栈。
24. 只对完全二叉树适用，编号为i的结点的左儿子的编号为2i(2i<=n)，右儿子是2i+1（2i+1<=n）37. 其中序前驱是其左子树上按中序遍历的最右边的结点（叶子或无右子女），该结点无右孩子。
38 . 新插入的结点都是叶子结点。
42. 在二叉树上，对有左右子女的结点，其中序前驱是其左子树上按中序遍历的最右边的结点（该结点的后继指针指向祖先），中序后继是其右子树上按中序遍历的最左边的结点（该结点的前驱指针指向祖先）。
44．非空二叉树中序遍历第一个结点无前驱，最后一个结点无后继，这两个结点的前驱线索和后继线索为空指针。
三.填空题1.(1)根结点(2)左子树(3)右子树2.(1)双亲链表表示法(2)孩子链表表示法(3)孩子兄弟表示法3．p->lchild==null && p->rchlid==null 4.(1) ++a*b3*4-cd (2)18 5.平衡因子6. 97. 128.(1)2k-1 (2)2k-19.(1)2H-1 (2)2H-1(3)H=⎣log2N⎦+110. 用顺序存储二叉树时，要按完全二叉树的形式存储，非完全二叉树存储时，要加“虚结点”。
数据库系统l试题库及答案 第6章 树和二叉树
第6章树和二叉树6.1知识点: 树和二叉树的基本概念一、填空题1.高度为h，度为m的树中至少有___________个结点，至多有______________个结点。
2.树的结点是由及若干指向其子树的组成；结点拥有的子树数称为；度为0的结点称为；度不为0的结点成为；树中结点的最大度数称为；树的最大层次称为_____________。
3.对于一棵具有n个结点的树，该树中所有结点的度数之和为___________。
4.如果结点A有3个兄弟结点，而且B是A的双亲，则B的度是___________。
5.二叉树是另一种树形结构，它的特点是。
6.一颗度数为k且有2k-1个结点的二叉树称为。
7.深度为k，且有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称之为。
8.一棵深度为6的满二叉树有个分支结点和个叶子。
9.一棵具有257个结点的完全二叉树，它的深度为。
10.设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有个叶子结点，有个度为2的结点，有个结点只有非空左子树，有个结点只有非空右子树。
11.由3个结点可以构成__________种形态的的二叉树，可以构成种形态的树。
12.将含有82个结点的完全二叉树从根结点开始顺序编号，根结点为第1号，其他结点自上向下，同一层自左向右连续编号。
则第40号结点的双亲结点的编号为。
13.一棵高度为5的完全二叉树中，最多包含有____________个结点。
14.一棵具有n个结点的二叉树，若它有n0个叶子结点，则该二叉树上度为1的结点n1=____________。
15.在高度为h（h>=0）的二叉树中至多可以有__________个结点，至少可以有___________个结点。
16.n个结点的二叉树最大高度是____________,最小高度是_______________。
二、选择题1.( ）不含任何结点的空树（）。
A.是一棵树B.是一棵二叉树C.是一棵树也是一棵二叉树D.既不是树也不是二叉树2.（）一棵度为4的树中度为1、2、3、4的结点个数为4、3、2、1，则该树的结点总数为（）。
第6章树和二叉树
9
6.1.4 树的存储结构
3.孩子兄弟表示法 孩子兄弟表示法 在结点中设置两个指针域， 在结点中设置两个指针域，一个指针域指向该结 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。
2
6.1.1树的定义 树的定义
结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 子树 称为结点的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 最大值称为树的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点 终端结点或 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点或叶 子 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 孩子结点和双亲结点： 孩子结点和双亲结点：树中一个结点的子树的根结点称 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点， 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点，称 为结点的祖先。 为结点的祖先。
17
6.2.2 二叉树的性质
性质4 具有n（ 性质 具有 （n>0）个结点的完全二叉树的深度 ）个结点的完全二叉树的深度h= log 2 n + 1 证明： 证明： 根据完全二叉树的定义可知深度为h-1层及以上的结点构成 根据完全二叉树的定义可知深度为 层及以上的结点构成 满二叉树，因此由性质2得深度为 得深度为h的完全二叉树满足 满二叉树，因此由性质 得深度为 的完全二叉树满足 n>2h-1-1和n≤2h-1 和 整理后得到 2h-1≤n<2h 不等式两边取对数， 不等式两边取对数，得 h-1≤log2n<h 由于h为正整数 为正整数， 由于 为正整数，因此 h= log 2 n + 1
树和二叉树——精选推荐
第6章 树和二叉树内容概要：本章主要介绍树，二叉树，最优二叉树的相关概念和操作，存储结构和相应的操作，并在综合应用设计中，给出了对应算法的C 语言实现。
教学目标1．理解各种树和森林与二叉树的相应操作。
2．熟练掌握二叉树的各种遍历算法，并能灵活运用遍历算法实现二叉树的其他操作。
3．熟练掌握二叉树和树的各种存储结构及其建立的算法。
4．掌握哈夫曼编码的方法。
5．通过综合应用设计，掌握各种算法的C 语言实现过程。
基本知识点：树和二叉树的定义、二叉树的存储表示、二叉树的遍历以及其它操作的实现、树和森林的存储表示、树和森林的遍历以及其它操作的实现、最优树和赫夫曼编码重点：二叉树的性质、二叉树的遍历及其应用，构造哈夫曼树。
难点：编写实现二叉树和树的各种操作的递归算法。
本章知识体系结构：课时安排：6个课时树的定义 树树的性质 树的逻辑表示法 树形表示法 树的存储结构 双亲存储结构 文氏表示法凹入表示法 括号表示法 孩子存储结构 孩子双亲存储结构二叉树二叉树的定义 二叉树的性质二叉树的逻辑表示法（采用树的逻辑表示法）二叉树的存储结构二叉树的顺序存储结构先序遍历 中序遍历 后序遍历二叉树的遍历 二叉树的链式存储结构（二叉链） 由先序序列和中序序列构造二叉树 由中序序列和后序序列构造二叉树二叉树的构造 二叉树的线索化 哈夫曼树二叉树和树之间的差别 二叉树与树、森林之间的转换二叉树和树课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握树、二叉树的基本概念和术语，二叉树的性质教学重点二叉树的定义、二叉树的性质、链式存储结构教学难点二叉树的性质、链式存储二叉树的基本操作组织教学一、树的定义二、树的基本概念三、二叉树的定义、性质四、二叉树的顺序存储结构和链式存储结构五、小结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握二叉树遍历的三种方法及二叉树的基本操作教学重点二叉树的遍历算法教学难点中序与后序遍历的非递归算法组织教学一、复习二叉树的定义二、遍历二叉树的三种方法三、递归法遍历二叉树四、二叉树的基本操作五、总结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标理解树与森林的转换，掌握哈夫曼树教学重点哈夫曼树教学难点树与森林的转换组织教学一、导入二、树与森林三、哈夫曼树四、小结作业习题6课堂情况及课后分析前面几章讨论的数据结构都属于线性结构，线性结构的特点是逻辑结构简单，易于进行查找、插入和删除等操作，可用于描述客观世界中具有单一前驱和后继的数据关系。
全国计算机等级考试四级复习纲要：树和二叉树
全国计算机等级考试四级复习纲要：树和二叉树(2)二叉树的顺序存储结构二叉树的顺序存储结构由一个一维数组构成，二叉树上的结点按某种次序分别存入该数组的各个单元。
显然，这里的关键在于结点的存储次序，这种次序应能反映结点之间的逻辑关系(父子关系)，否则二叉树的基本运算就难以实现。
由二叉树的性质5可知，若对任一完全二叉树上的所有结点按层编号，则结点编号之间的数值关系可以准确地反映结点之间的逻辑关系。
因此，对于任何完全二叉树来说，可以采用“以编号为地址”的策略将结点存入作为顺序存储结构的一维数组。
具体地说就是:将编号为i的结点存入一维数组的第i个单元。
在这一存储结构中，由于一结点的存储位置(即下标)也就是它的编号，故结点间的逻辑关系可通过它们下标间的数值关系确定。
(3)双亲表示法树上每个结点的孩子可以有任意多个，但双亲只有一个。
因此，通过指向双亲的指针而将树中所有结点组织在一起形成一种存储结构是十分简法的。
树的这种存储表示方法称为双亲表示法。
在双亲表示法下，每个存储结点由两个域组成:数据域———用于存储树上结点中的数据元素;“指针”域———用于指示本结点之双亲所在的存储结点。
值得注意的是，“指针”域的类型定义可以有两种选择。
第一种是将其定义为高级语言(如C语句)中的指针类型。
通过将存储结点中的指针域定义为高级语言中的指针类型，就得到各种链式存储结构，如单链表、二叉链表、孩子链表等等。
第二种选择是将“指针”域定义为整型、子界型等型。
严格地说，无论选择上述哪种定义，得到的都是链式存储结构，因为在这两种定义之下，各存储结点之间的联结是通过“指针”完成的，而且这些指针反映了结点之间的逻辑关系。
为了区别这两种链式结构，通常将指针域定义为高级语言中的指针类型的各种链式存储结构(如单链表、二叉链表等等)称为“动态链表”，相应的指针称为“动态指针”;将指针域定义为整型、子界型等类型的各种键式存储结构称为“静态链表”，相应的“指针”称为:“静态指针”。
计算机学科专业基础综合数据结构-树与二叉树(二)
计算机学科专业基础综合数据结构-树与二叉树(二)(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}单项选择题{{/B}}(总题数：44，分数：44.00)1.在下面关于树的相关概念的叙述中，正确的是______。
∙ A.只有一个结点的二叉树的度为1∙ B.二叉树的度一定为2∙ C.二叉树的左右子树可任意交换∙ D.深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：只有一个结点的二叉树的度为零。
二叉树的度可以为0、1、2；二叉树的左右子树不能任意交换。
2.已知一算术表达式的中缀形式为A+B+C-D/E，后缀形式为ABC*+DE/-，其前缀形式为______。
∙ A.-A+B*C/DE∙ B.-A+B*CD/E∙ C.-+*ABC/DE∙ D.-+A*BC/DE（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：根据题目给出的中缀和后缀表达式可以得到其算术表达式为：(A+B*C)-D/E，前缀表达式：-+A*BC/DE。
3.算术表达式a+b*(c+d/e)转为后缀表达式后为______。
∙ A.ab+cde/*∙ B.abcde/+*+∙ C.abcde/*++∙ D.abcde*/++（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：根据表达式a+b*(c+d/e)可知其后缀表达式为abcde/+*+。
4.某二叉树的先序遍历序列为IJKLMNO，中序遍历序列为JLKINMO，则后序遍历序列是______。
∙ A.JLKMNOI∙ B.LKNJOMI∙ C.LKJNOMI∙ D.LKNOJMI（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：由先序和中序遍历序列确定一棵二叉树，再给出这棵二叉树的后序遍历序列。
[*] 由此图可以确认后序遍历的序列为LKJNOMI。
5.设森林F对应的二叉树为B，它有m个结点，B的根为P，P的右子树结点个数为n，森林F中第一棵树的结点个数是______。
数据结构二叉树习题含答案
第 6 章树和二叉树1．选择题（ 1）把一棵树变换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（）。
A．独一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子（ 2）由 3 个结点能够结构出多少种不一样的二叉树？（）A． 2 B ． 3 C ． 4 D． 5（ 3）一棵完整二叉树上有1001 个结点，此中叶子结点的个数是（）。
A． 250 B ． 500 C ． 254 D． 501（ 4）一个拥有 1025 个结点的二叉树的高h 为（）。
A． 11 B ． 10 C．11 至 1025 之间 D ．10 至 1024 之间（ 5）深度为 h 的满 m叉树的第 k 层有（）个结点。
(1=<k=<h)k-1B kCh-1 hA． m ． m-1 ． m D．m-1（ 6）利用二叉链表储存树，则根结点的右指针是（）。
A．指向最左孩子 B ．指向最右孩子 C ．空 D ．非空（ 7）对二叉树的结点从 1 开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左、右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，可采纳（）遍历实现编号。
A．先序 B. 中序 C. 后序 D.从根开始按层次遍历（8）若二叉树采纳二叉链表储存结构，要互换其全部分支结点左、右子树的地点，利用（）遍历方法最适合。
A．前序B．中序C．后序D．按层次（9）在以下储存形式中，（）不是树的储存形式？A．双亲表示法 B ．孩子链表表示法 C ．孩子兄弟表示法D．次序储存表示法（ 10）一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树必定满足（）。
A．全部的结点均无左孩子B．全部的结点均无右孩子C．只有一个叶子结点D．是随意一棵二叉树（ 11）某二叉树的前序序列和后序序列正好相反，则该二叉树必定是（）的二叉树。
A．空或只有一个结点B．任一结点无左子树C．高度等于其结点数 D ．任一结点无右子树（ 12）若 X 是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点，且 X 不为根，则 X 的前驱为（）。
tree2_
根节点有右孩子吗?
6.4.2 森林和二叉树的转换
森林和二叉树的转换
树 与 二 叉 树
6.4.3 树和森林的遍历
树的遍历
先根遍历 后跟遍历
先根遍历:RADEBCFGHK 后根遍历:DEABGHKFCR
6.3 遍历二叉树 6.4 树和森林
树的存储结构 树和森林的转换 树和森林的ห้องสมุดไป่ตู้历
6.5 6.6 6.7 6.8
树与等价问题 哈夫曼树及其应用 回溯法与树的遍历 树的计数
6.4.1 树的存储结构
双亲表示法
便于涉及双亲的操作 求结点的孩子时需要遍历整棵树
//-----------树的双亲表存储表示----------// #define MAX_TREE_SIZE 100 typedef struct PTNode { TElemType data; int parent; //双亲位置域 }PTNode; typedef struct{ PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int r,n; //根的位置和结点数 }PTree;
线索链表的存储结构
//Link==0:指针,Thread==1:线索
typedef enum {Link,Thread} PointerTag; typedef struct BiThrNode { TElemType data; struct BiThrNode *lchild,*rchild; //左右孩子指针 PointerTag LTag, RTag; //左右标志 }BiThrNode, *BiThrTree;
中序线索二叉树
NIL a + e / * b f 1 b 1 中序遍历:a+b*c-d-e/f NIL + *
第6章树和二叉树(2)培训讲学
第6章树和二叉树(2)第六章树和二叉树一、选择题1．算术表达式a+b*（c+d/e）转为后缀表达式后为（）A．ab+cde/* B．abcde/+*+ C．abcde/*++ D．abcde*/++2. 设森林F对应的二叉树为B，它有m个结点，B的根为p,p的右子树结点个数为n,森林F中第一棵树的结点个数是（）A．m-n B．m-n-1 C．n+1 D．条件不足，无法确定3．若度为m的哈夫曼树中，其叶结点个数为n，则非叶结点的个数为（）。
A．n-1 B．⎣n/m⎦-1 C．⎡(n-1)/(m-1)⎤ D．⎡n/(m-1)⎤-1E．⎡(n+1)/(m+1)⎤-14．深度为h的满m叉树的第k层有（）个结点。
(1=<k=<h)A．m k-1 B．m k-1 C．m h-1 D．m h-15. 若X是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点，且X不为根，则x的前驱为( )A.X的双亲B.X的右子树中最左的结点C.X的左子树中最右结点D.X的左子树中最右叶结点6. 引入二叉线索树的目的是（）A．加快查找结点的前驱或后继的速度 B．为了能在二叉树中方便的进行插入与删除C．为了能方便的找到双亲 D．使二叉树的遍历结果唯一7．由3 个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（）A．2 B．3 C．4 D．58．下述编码中哪一个不是前缀码（）。
A．（00，01，10，11） B．（0，1，00，11） C．（0，10，110，111）D．（1，01，000，001）二、判断题1. 给定一棵树，可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。
2．将一棵树转成二叉树，根结点没有左子树；3. 在中序线索二叉树中，每一非空的线索均指向其祖先结点。
4. 一棵哈夫曼树的带权路径长度等于其中所有分支结点的权值之和。
5．当一棵具有n个叶子结点的二叉树的WPL值为最小时，称其树为Huffman树，且其二叉树的形状必是唯一的。
三、填空题1．一棵树T中，包括一个度为1的结点，两个度为2的结点，三个度为3的结点，四个度为4的结点和若干叶子结点，则T的叶结点数为___ ___。
《数据结构——C语言描述》第6章：树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。
第六章-树和二叉树
之
树 和 二 叉 树 13
1 2 3 A B C
4 5 6 7 0 D E F
8 0
9 10 0 G
¾ 二叉树顺序存储的算法描述
数 据 结 构
¾ 初始化二叉树
之
树 和 二 叉 树 14
#define Max_Size 100 typedef int TElemType; typedef TElemType SqBT[Max_Size+1]; void InitBT(SqBT bt){//设置空树 int i; for(i=1;i<=Max_Size;i++) bt[i]=0; }
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 19
¾ 后序遍历顺序二叉树算法 void PostBT(SqBT bt,int i){ if(i>Max_Size||!bt[i]) return; PostBT(bt,2*i); PostBT(bt,2*i+1); printf("%3d ",bt[i]); }
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 4
5. 孩子结点、双亲结点、兄弟结点、堂兄弟 结点、祖先结点、子孙结点…… 6. 结点的层次从根开始，根为第一层，根的 孩子为第二层；若某结点在第L层，则其 子树的根就在第L+1层。 7. 树的深度或高度：树中结点的最大层次。 8. 有序树：如果将树中结点的各子树看成是 从左至右有次序的；反之，则是无序树。 9. 森林：是m棵互不相交的树的集合。
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 25
¾ 打印一维数组 void printSq(SqBT bt){ int i; printf("\nSeqArray:"); for(i=1;i<=Max_Size;i++) printf("%3d ",bt[i]); }
数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章 树与二叉树
6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的定义与基本操作 定义：我们把满足以下两个条件的树型结构叫做二 叉树（Binary Tree）： （1）每个结点的度都不大于2； （2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一 个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相 等，对应结点的相关关系也像等），则称这两棵树同构。
二叉树的基本结构由根结点、左子树和右子树组成
如图示
LChild Data RChild
Data
LChild RChild
用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍 历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树(记做DLR)。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树(记做DRL)。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树(记做LDR)。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根 (记做LRD)。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树 (记做RDL)。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根 (记做RLD)。
(8) NextSibling（Tree，x）： 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不 是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则 返回“空”。
基本操作:
(9) InsertChild（Tree，p，Child）： 树Tree存在，p指向Tree 中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中， 做p所指向结点的子树。
第六章树与二叉树教案 二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码
即 k-1 ≤ log2 n < k
因为 k 只能是整数，因此， k =log2n + 1
问题：
一棵含有n个结点的二叉树，可能达 到的最大深度和最小深度各是多少？
1
答：最大n,
2
最小[log2n] + 1
第六章 树和二叉树教案
二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码
树是常用的数据结构
•家族 •各种组织结构 •操作系统中的文件管理 •编译原理中的源程序语法结构 •信息系统管理 •。。。。
2
6.1 树的类型定义 6.2 二叉树的类型定义
6.2.3 二叉树的存储结构 6.3 二叉树的遍历
二叉树上每个结点至多有两棵子树， 则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。
性质 2 ：
深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个 结点（k≥1）。
证明：
基于上一条性质，深度为 k 的二叉
树上的结点数至多为
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
（等比数列求和）
k
k
(第i层的最大结点数) 2i1 2k
i 1
i 1
性质 3 ：
对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶 子结点（0度节点）、n2 个度为 2 的结 点，则必存在关系式：n0 = n2+1。
证明：
设 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又 二叉树上分支总数 b = n1+2n2
而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。
数据结构 第六章 树和二叉树
F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
文件夹n
第六章 树与二叉树
森林的遍历
(4) 广度优先遍历(层次序 遍历) ：
数据结构
若森林F为空，返回； 否则 依次遍历各棵树的根 结点； 依次遍历各棵树根结 点的所有子女； 依次遍历这些子女结 森林的二叉树表示 点的子女结点。
45
二叉树的计数 由二叉树的前序序列和中序序列可唯 一地确定一棵二叉树。例, 前序序列 { ABHFDECKG } 和中序序列 { HBDFAEKCG }, 构造二叉树过程如 下：
三个结点构成的不同的二叉树
8
用二 叉 树 表达实际问题
例2 双人比赛的所有可能的结局
开始
甲
开局连赢两局 或五局三胜
乙
甲
甲 甲 乙
乙
乙 甲 乙 甲 甲 乙
甲
乙 甲
乙
乙
甲
乙甲
乙
甲
乙 甲 乙
二叉树的性质
数据结构
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i －1个结点。(i 1) [证明用数学归纳法] 性质2 高度为k的二叉树最多有 2k-1个结点。 (k 0) [证明用求等比级数前k项和的公式]
前序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 访问根结点 (V)； – 前序遍历左子树 (L)； – 前序遍历右子树 (R)。
遍历结果 -+a*b-cd/ef
27
数据结构
后序遍历 (Postorder Traversal)
后序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 后序遍历左子树 (L)； – 后序遍历右子树 (R)； – 访问根结点 (V)。
数据结构
36
左子女-右兄弟表示法 第一种解决方案
严蔚敏《数据结构》教学笔记第六章 树和二叉树
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严蔚敏数据结构教学笔记
CountLeaf( T->rchild, count); // 统计右子树中叶子结点个数 } }
2、求二叉树的深度(后序遍历) int Depth (BiTree T ) { if ( !T ) depthval = 0; else { depthLeft = Depth( T->lchild ); depthRight= Depth( T->rchild ); depthval = 1 + (depthLeft> depthRight?depthLeft:depthRight); } return depthval; }
五、遍历算法的应用举例: 1、统计二叉树中叶子结点的个数(先序遍历) void CountLeaf (BiTree T, int& count) { if ( T ) { if ((!T->lchild)&& (!T->rchild)) count++; CountLeaf( T->lchild, count); // 统计左子树中叶子结点个数 9
LeftChild(T, cur_e); RightSibling(T, cur_e);
TreeEmpty(T); TreeDepth(T);
TraverseTree(T, Visit()); 插入： InitTree(&T); CreateTree(&T, definition);
Assign(T, cur_e, value); InsertChild(&T, &p, i, c); 1
3、复制二叉树(后序遍历) // 生成一个二叉树的结点 BiTNode *GetTreeNode(TElemType item, BiTNode *lptr , BiTNode *rptr ){ if (!(T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode)))) 10
第6章树和二叉树(下)-数据结构简明教程(第2版)-微课版-李春葆-清华大学出版社
6.6
【例6.16】 已知先序序列为ABDECFG，中序序列为DBEACGF，
给出构造该二叉树的过程。
解：构造该二叉树的过程如下所示。
根：A 左先序：BDE 右先序：CFG 右中序：DBE 右中序：CGF
二
叉 树
根：B 左先序：D 右先序：E
根：C 左先序：空 右先序：FG
的
右中序：D 右中序：E
右子树中
序序列， 有n-k-1 个结点
的
构 造
若bk前面有k个结点，则左子树有k个结点，右子树有n-k-1 个结点。
可以求出左右子树的中序序列和后序序列。
这样根结点是确定的，左右子树也是确定的，则该二叉树是 确定的。
6.6
【例6.17】 已知一棵二叉树的后序遍历序列为DEBGFCA，
中序遍历序列为DBEACGF，给出构造该二叉树的过程。
间 的
以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针转动45度，使之结
转
构层次分明。
换
【例6.18】 将图6.27(a)所示的树转换成二叉树。 解：转换的过程:
A
A
6.7
BC D
二
叉 树
EF
G
与
一棵树
树 之
A
间
的
B
转
换
E
C
相邻兄弟之间 加连线(虚线)
BC D
EF
G
删除与双亲 结点的连线
转换后的二叉树
A BC D
【例6.15】 一棵二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列相同，
说明该二叉树的形态。
解：二叉树的先序遍历序列为NLR，中序遍历序列为LNR:
NLR = LNR
二 则L应为空（因为N为空后其L、R没有意义）。
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第六章树和二叉树
一、选择题
1．算术表达式a+b*（c+d/e）转为后缀表达式后为（）
A．ab+cde/* B．abcde/+*+ C．abcde/*++ D．abcde*/++
2. 设森林F对应的二叉树为B，它有m个结点，B的根为p,p的右子树结点个数为n,森林F中第一棵树的结点个数是（）
A．m-n B．m-n-1 C．n+1 D．条件不足，无法确定
3．若度为m的哈夫曼树中，其叶结点个数为n，则非叶结点的个数为（）。
A．n-1 B．⎣n/m⎦-1 C．⎡(n-1)/(m-1)⎤ D．⎡n/(m-1)⎤-1 E．⎡(n+1)/(m+1)⎤-1 4．深度为h的满m叉树的第k层有（）个结点。
(1=<k=<h)
A．m k-1 B．m k-1 C．m h-1 D．m h-1
5. 若X是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点，且X不为根，则x的前驱为( )
A.X的双亲
B.X的右子树中最左的结点
C.X的左子树中最右结点
D.X的左子树中最右叶结点
6. 引入二叉线索树的目的是（）
A．加快查找结点的前驱或后继的速度 B．为了能在二叉树中方便的进行插入与删除
C．为了能方便的找到双亲 D．使二叉树的遍历结果唯一
7．由3 个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．下述编码中哪一个不是前缀码（）。
A．（00，01，10，11） B．（0，1，00，11） C．（0，10，110，111） D．（1，01，000，001）
二、判断题
1. 给定一棵树，可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。
2．将一棵树转成二叉树，根结点没有左子树；
3. 在中序线索二叉树中，每一非空的线索均指向其祖先结点。
4. 一棵哈夫曼树的带权路径长度等于其中所有分支结点的权值之和。
5．当一棵具有n个叶子结点的二叉树的WPL值为最小时，称其树为Huffman树，且其二叉树的形状必是唯一的。
三、填空题
1．一棵树T中，包括一个度为1的结点，两个度为2的结点，三个度为3的结点，四个度为4的结
点和若干叶子结点，则T的叶结点数为___ ___。
【山东大学 2001 三、2 (2分)】
2．设二叉树中每个结点均用一个字母表示，若一个结点的左子树或右子树为空，用．表示，现前序
遍历二叉树，访问的结点的序列为ABD.G...CE.H..F．．，则中序遍历二叉树时，访问的结点序列为(1)
_ _;后序遍历二叉树时，访问的结点序列为(2) __。
【南京理工大
学 1999 二、3（4分）】
3. 在一棵存储结构为三叉链表的二叉树中，若有一个结点是它的双亲的左子女，且它的双亲有右子
女，则这个结点在后序遍历中的后继结点是_____ _。
【中国人民大学 2001 一、4 （2分）】
4．具有n个结点的满二叉树，其叶结点的个数是___ ___。
【北京大学 1994】
5．有数据WG={7，19，2，6，32，3，21，10}，则所建Huffman树的树高是(1) __，
带权路径长度WPL为(2) __。
【南京理工大学 1999 三、6（4分）】
6．有一份电文中共使用 6个字符:a,b,c,d,e,f,它们的出现频率依次为2,3,4,7,8,9，试构造一棵哈
夫曼树，则其加权路径长度WPL为(1)_ _，字符c的编码是(2) _ _。
【中国矿业大学2000 一、7（3分）】
7．下面是中序线索树的遍历算法，树有头结点且由指针thr指向。
树的结点有五个域，分别为数据域 data，左、右孩子域 lchild、rchild和左、右标志域 ltag,rtag。
规定，标志域为1是线
索，O是指向孩子的指针。
inordethread(thr)
{p=thr->lchild;
while ((1)_ _____)
{ while((2) _ ____) p= (3) ___;
printf(p->data);
while((4)_____ ____) { p=(5) ___；printf(p->data);}
p= (6)_;}
} 【南京理工大学 2000 三、1（6分）】
四、应用题
1．从概念上讲，树，森林和二叉树是三种不同的数据结构，将树，森林转化为二叉树的基本目
的是什么，并指出树和二叉树的主要区别。
【西安电子科技大学2001软件二、1（5分）】
2. 由二叉树的中序序列及前序序列能唯一的建立二叉树，试问中序序列及后序序列是否也能唯
一的建立二叉树，不能则说明理由，若能对中序序列DBEAFGC和后序序列DEBGFCA构造二叉树。
【南京理工大学1998 四、(3分)】
3．对于二叉树T的两个结点n1和n2，我们应该选择树T结点的前序、中序和后序中哪两个序列来判断结点n1必定是结点n2的祖先,并给出判断的方法。
不需证明判断方法的正确性。
【复旦大学 1999 五 (10分)】
4．设二叉树BT的存储结构如下:
其中BT为树根结点的指针，其值为6,Lchild,Rchild分别为结点的左、右孩子指针域,data为结点的数据域。
试完成下列各题:
（l）画出二叉树BT的逻辑结构;
（2）写出按前序、中序、后序遍历该二叉树所得到的结点序列;
（3）画出二叉树的后序线索树。
【中国矿业大学 2000 二、 (15分)】
五、算法设计题
1．设计算法返回二叉树T的先序序列的最后一个结点的指针，要求采用非递归形式，且不许用栈。
2．设计算法：统计一棵二叉树中所有叶结点的数目及非叶结点的数目。
【南开大学 2000 三、1】
六，上机实验
赫夫曼编/译码器
要求：
（1）建立赫夫曼树，生成赫夫曼编码，即实现算法6.12
（2）实现编码，利用建立的赫夫曼树，对字符串“THIS PROGRAM IS MY
FA VORITE”进行编码
（3）实行译码，利用建立好的赫夫曼树，对上述编码进行译码。
测试数据：
字符集和频度字符频度空格186
A 64
B 13
C 22
D 32
E 103
F 21
G 15
H 47
I 57 J 1 K 5
L 32 M 20 N 57 O 63 P 15 Q 1 R 48 S 51 T 80 U 23 V 8 W 18 X 1
Y 16 Z 1。