信息学竞赛班数据结构专项培训教程—— 03栈和队列

§3栈和队列§3.1 栈栈（stack）是一种仅限于在称为栈顶（top）的一端进行插入和删除操作的线性表，另一端则被为栈底（bottom）。

不含元素的空表称为空栈。

栈的特点：后进先出（Last In First Out），简称：LIFO。

栈的表示和实现和线性表类似，栈也有两种存储结构。

（1）．顺序栈顺序栈即采用的顺序存储结构来表示栈，通常采用数组来实现。

采用顺序栈受数组空间的约束，有“溢出”的可能，编程前应作空间估算，若有溢出可能，应作溢出判断及相应的处理。

在一个程序中，常常会出现同时使用多个栈的情形。

为了不因栈上溢而产生错误中断，必须给每个栈预分一个较大的空间，但这并不容易做到，因为栈实际所用的最大空间很难估计；而且各个栈的实际使用量在使用期间是变化的，往往会有这样的情况，即其中一个栈发生上溢，而另一个栈还是空的。

设想，若令多个栈共享空间，则将提高空间的使用效率，并减少发生栈上溢的可能。

所以，可以采用两个栈共享空间的方法：假设在程序中需设两个栈，并共享一维数组空间。

则利用“栈底位置不变”的特性，可将两个栈的栈底分别设在数组空间的两端，然后各自向中间伸展（如图），仅当两个栈的栈顶相遇时才可能发生上溢。

（2）．链栈采用链式存储结构的栈简称链栈。

对于链栈，不含产生单个栈溢出的情况，但要记得回收结点空间（dispose（p）），否则会出现整个空间被占满，new（p）过程无法实现（即无法申请新的结点空间）的情况。

【练习】 回文串识别输入一字符串，判断它是否为一回文串。

所谓回文串是指去掉其中的空格与标点符号等非字母符号后，从前后两个方向读到的串相同，例如：ten animals I slam in a net. （我将十只动物装在网里）输入：一字符串 输出：Yes 或No§3.2 队列队列（queue ）是所有的插入都在一端进行，而所有的删除都在另一端进行的线性表。

允许插入的一端称为队尾（rear ），允许删除的一端称为队头（front ）。

队列的特点：先进先出（|First In First Out ），简称：FIFO 。

队列的表示和实现和栈一样，队列也有顺序存储和链式存储两种表示和实现方法。

在顺序存储结构中，同样有溢出可能，即元素因队满而无法入队。

对于队列来说，可以采用循环队列的技巧，仅当队头与队尾相遇时为队满。

【例3.2.1】逐行打印二项展开式 (a + b )i 的系数：杨辉三角形 (Pascal’s triangle)要求：采用队列实现！输入： n ——层数（n<50）25 a 1 a 2 a 3 …… a n出队列出队列队头 队尾 队头 队尾 1 1 i = 11 2 121 5 5 131 4 6 4 141 5 10 10 5 15 16 15 20 15 6 16【算法思路】分析第 i 行元素与第i+1行元素的关系目的是从前一行的数据可以计算下一行的数据从第 i 行数据计算并存放第 i+1 行数据从数据结构上，可设计一个足够长的一维数组，以实现上述算法。

【练习】根据上述思路分析，用队列的方法完成例3.2.1。

【练习】再用二维数组，用其它方法完成例3.2.1。

【练习】侦察兵队列有一个侦察班，由11人组成，其中6名是老侦察员，5名是新侦察员。

一次执勤要穿越敌人的一道封锁线。

根据当时的情况，队伍只能单线纵向排列，且前面第一、二人越过后，第三个人要返回报告情况，该侦察员随后编到队伍的末尾。

接着第四、五人越过，第六人报告并排到末尾。

依此类推。

最后三人一齐顺次过去。

越过封锁线后，队伍便形成老、新交替的队形。

请问，穿越前队伍该怎样排？要求：采用队列实现！输出：O表示老队员，Y表示新队员【练习】倒水问题[问题描述]有三个分别装有a升水、b升水和c升水的量筒（c>b>a>0，且b与a互质）, 如果c 筒装满水，a与b均为空筒，三个筒相互倒水且不准把水倒往三个筒之外，一个往另一个筒倒水记为一次倒水。

问是否能量出d升水(c>d>0)，若能，请求出最少的倒水次数使它能倒出容量为d的水的方案。

[输入格式]数据存放在当前目录下的文本文件“water.in”中。

文件中以一行的形式存放四个正整数，分别a、b、c、d的值。

[输出格式]答案输出到当前目录下的文本文件“water.out”中。

第一次行是最少的倒水次数Q，第二起的Q行是每次例水时量简的水量，依次为a、b、c （输入与输出数据中同一行相邻两个数之间用空格区分。

）[输入输出举例]water.in3 7 10 5water.out10 90 0 10 0 0 103 0 7 0 7 30 3 7 3 4 33 34 0 4 60 6 4 3 1 63 6 1 0 1 92 7 1 1 0 92 0 8 1 7 20 2 8 3 5 23 2 5（仅有第二组才是最优的一个解。

）§3.3 栈的应用实例§3.3.1 中缀表达式和后缀表达式对于高级语言程序中的表达式，在编译时求解用栈来实现。

任何一个表达式是由操作数（常量、常量名、变量名）、运算符（算术、关系和逻辑三种运算符）和界限符（左、右圆括号，结束符）所组成。

运算符在两个操作数之间的表达式，如a+b、e*f-d等，称为中缀表达式。

求值时，一般会有运算符号的优先权和结合权问题。

例如：a+b*c-d，我们知道b*c要先求，但编译器只能从左到有逐一检查，检查到加号时尚无法知道是否可执行，待检查到乘号时，因乘号运算优先级比加号高，所有a+b不可以被执行，待继续基础到减号时，方可执行b*c。

而后缀表达式是运算符在两个操作数之后，如ab*，也称为“逆波兰式”。

后缀表达式可以顺序计算求值，所以编译程序常把中缀表达式变换成后缀表达式，然后再求值。

下表是中缀表达式所对应的后缀表达式：(一)、将中缀表达式转换成后缀表达式在转换过程中为了确定计算次序，要按运算符的优先级进行，各运算符优先级如下表，优先级数大的先执行。

【例3.3.1】将中缀表达式转换成后缀表达式。

输入：中缀表达式，如：B * (D-C) + A输出：后缀表达式，如：BDC-*A+【算法思想】设立一个栈来实现中缀表达式变后缀表达式。

设中缀表达式在字符数组E中，E的末尾再加‘#’作为结束符，将转成后缀表达式，存于字符串A中。

对E中表达式自左向右扫描，遇数直接送到A中，若遇到运算符就考虑进栈，进栈的原则是保持栈顶的运算符优先级最高。

即若欲进栈的算符是‘( ’或欲进栈的运算符优先级大于栈顶运算符的优先级，则将算符入栈，否则从栈中退出算符送至A中，直至欲进栈的算符优先级大于栈顶算符的优先级，这时才将欲进栈的算符入栈。

若遇到‘)’时，将栈中算符退出送入A 中，直至退出‘( ’为止。

若遇表达式结束符‘#’，则依次退出栈中算符送入A 中。

根据上述算法，将中缀表达式B * (D -C) + A 转换成后缀表达式BDC -*A+ 的过程图3_1所示。

【参考程序段】const m=100;var E , A , S : array [1..m] of char;{ E 中为中缀式，A 中为后缀式，S 为栈}i , j , t : integer; procedure postexp; begini:=1; j:=1; t:=0;while E[ i ]<>’#’ do begin case E[ i ] of‘a ’.. ‘z ’, ‘A ’.. ‘Z ’ : beginA[ j ]:=E[ i ]; j:=j+1; end; ‘(’ : begint:=t+1; S[ t ]:= ‘(’; end; ‘)’ : beginwhile s[ t ]< > ‘(’ do beginA[ j ]:=s[ t ]; j:=j+1; t:=t -1; end; t:=t -1; end; ‘+’, ‘-’ : beginwhile (t< >0) and (s[t]< > ‘(’) do begin A[ j ]:=S[ t ]; j:=j+1; t:=t -1; end;t:=t+1; s[ t ]:=E[ i ]; end; ‘*’, ‘/’ : beginwhile (t< >0) and (S[ t ]= ‘*’ or S[ t ]= ‘/’) do beginA[ j ]:=S[ t ]; j:=j+1; t:=t -1;扫描E 栈S 转换至A B * B * * ( B ( * ( B D * ( - BD -* ( -BDC * BDC) + BDC -+ + BDC -*A BDC -*A# BDC -*A+ 图3_1end; {while}t:=t+1; S[ t ]:=E[ i ];end;end; {case}i:=i+1;end; {while}while t< >0 do beginA[ j ]:=S[ t ]; j:=j+1; t:=t-1;end;A[ j ]:= ‘#’;end;(二)、对后缀表达式求值计算一个后缀表达式的值，在算法上比中缀表达式要简单得多，这是因为后缀表达式有两个优点：表达式无括号，也不需考虑运算符的优先级。

【算法思想】对后缀表达式求值要使用一个栈来实现。

自左至右扫描后缀表达式，若遇数就入栈，若遇到运算符就从栈中退出两个数进行运算，并把计算结果入栈。

如此下去，直至遇到结束符“#”为止。

最后栈底元素值为所求得的结果。

【练习】将一个中缀表达式转换成后缀表达式，并对后缀表达式求值。

输入格式：（输入文件bds.in）第一行：中缀表达式，运算数均为大写字母，运算符含乘方‘^’第二行开始：每行为表达式中字母，及其对应的值，输入顺序按字典排序输出格式：（输入文件bds.out）第一行：该中缀表达式所对应的后缀表达式第二行：该表达式的值输入输出举例：§3.3.2 地图着色问题对地图着色，可使用“四染色”定理，它是计算机科学中的著名定理之一，可以用不多于四色对地图着色，使相邻的行政区域不重色。

应用这个定理的结论，利用回溯算法可对一幅给定的地图染色。

作为地图四色的示例如图 3_3所示，图中01、02、03、04、05、06、07为行政区编号，1色、2色、3色、4色为各区域的颜色，称为色数。

【算法思想】从编号为01的区域开始逐一进行染色，对每个区域用色数1，2，3，4依次进行试探，并尽可能取小色数。

若当前所取色数与周围已染色的区域不重色，则把该区的色数入栈，否则依次使用下一色数进行试探。

若从1色至4色均与相邻的某区域发生重色，则需退栈回溯，修改栈顶区域的色数。