考研数学易出错题2010

敬请数学3高人指教：（本人思路上暴露的毛病是什么，以10年试题为例）

选择3 ：fx gx 都存在2阶导。g"(x)<0, g （xo ）=a 是g(x)的极限，f(g(x))在xo 取得极大值充分条件？？？？？？（此题毫无思路）（是基础不牢还是练手不够？？）

（3）设函数()f x ，()g x 具有二阶导数，且''()0g x <，若0()g x a =是()g x 的极值，则(())f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是（ ）

A '()0f a <

B '()0f a >

C ''()0f a <

D ''()0f a > 【详解】

根据已知得0'()0g x =，0''()0g x <。因此0

00[(())]''(())'()0x x f g x f g x g x ===，故要

想0x 为(())f g x 的极大值点，只需0

[(())]''

0x x f g x =<即可。即

2

00000[(())]''

''(())['()]'(())''()'()''()0x x f g x f g x g x f g x g x f a g x ==+=<。因此只需

'()0f a >。

故选B

【评注】本题考查一元函数的极值，只要记住如下定理即可，觉得没思路说明基本的定理还不熟，应该是基础的问题

设函数()f x 在0x 处存在二阶导数且'

0()0f x =，那么

ⅰ）若''

0()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值；

ⅱ）若''0()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值。

17题：M=xy+2yz 在约束条件,x2+y2+z2=10下的最大值和最小值

（构造拉格朗日函数,xyz ƛ，分别求偏导，难道真是这样繁琐的求下去？）

（考试时见数据繁琐，顿时相当头疼，结果……）

17（本题满分10分）

求函数M=xy+2yz 在约束条件x 2+y 2+z 2

=10下的最大值和最小值 【详解】

令(,,)2u f x y z xy yz ==+，222(,,)10x y z x y z ϕ=++- 构造辅助函数222(,,,)(,,)(10)F x y z f x y z x y z λλ=+++-， 求解下列方程组：

0F f x

x x

ϕλ

∂∂∂=+=∂∂∂

0F f y

y

y

ϕλ

∂∂∂=

+=∂∂∂

0F f z z

z

ϕλ∂∂∂=+=∂∂∂

(,,)0F x y z ϕλ

∂==∂

解得52

λ=时点(1,5,2)--和点(1,5,2)-

52

λ=-

时点(1,5,2)和点(1,5,2)---

将得到的4个点代入(,,)2u f x y z xy yz ==+中可得：

(1,5,2)55u f =--=-，(1,5,2)55u f =-=-

(1,5,2)55u f == ，(1,5,2)55u f =---=

可知函数在条件2

2

2

0x y z ++=下的最大值为55，最小值为55-

【评注】本题综合考查条件极值的计算，这种题目没有特殊的方法，只能构造拉格朗日函数，再求导，具体解题步骤如下。考研对偏导数的考查难点就在于计算量往往稍大，但也不会太夸张，像这个题如果计算准确的话也不会太麻烦。平时如果多练一些的话还是比较容易做出来的。

求函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的极值点的方法：

1）.作拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+ 2）.解方程(,)(,)0(,)(,)0(,)0

x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪

+=⎨⎪

=⎩

（这三个方程其实是找拉格朗日函数(,,)L x y λ的驻点） 3）.根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值。

18 ：⎰0

1|lnx|[ln(1+x)]ndx 和⎰0

1

|lnx|[x]ndx 比较大小n=12……

（自己思路：提出⎰0

1

|lnx|，相当于比较|[ln(1+x)] n 次和x n 次大

小。令函数

F(x)=ln(1+x)/x,求这个函数的极小值，然后1阶导甚至2阶导找出最小值点判断这个函数的极小值和1的大小。）（看到答案，我崩溃了，⎰01

积分，函数x 的范围就是从零到一！考试时，根本没

想到。基础？概念？练笔？

18（本题满分10分）

（Ⅰ）比较()[]dt t n nt x

+⎰1111

与() ,2,111

=⎰n dt nt t x

的大小，说明理由

（Ⅱ）设()[]() ,2,11111

=+=

=⎰n dt t n nt M

M n

x

n 求极阳 n M lim

【详解】

（1）.由题意可知积分区域相同，比较两式的大小只需要比较被积函数在区域内的大小即可 即比较[]ln ln(1)n

t t +和ln n

t t 的大小 在(0,1)区间上ln 0t <所以上边两式变为

[]1(ln )ln(1)n

f t t =-+，2(ln )n f t t =-

令[][]

(ln )ln(1)ln(1)ln(1)

(

)(ln )n

n

n

n

n

t t t t f t t

t

t

-+++=

=

=-

当1n ≥时，上式01f <<，所以积分面积[]1

10

ln ln(1)ln n

n

t t dt t t dt +<⎰⎰

（2）因为11

11

1

ln ln ln 1

n n n t t dt t tdt tdt

n +=-=-

+⎰⎰⎰

1

11

1

11

ln ln 1

1

n n t

t

t

d t n n ++=-

+

++⎰

又因为 1(1)

ln lim ln lim

0n n t t t t t t

+-+→→==，所以10

lim

ln 0n

n t t dt →∞

=⎰

ω→n