高三数学辅导精讲精练

高三数学辅导精讲精练18

1．已知函数f (x )＝x 2

－8ln x ，g (x )＝－x 2

＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；

(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解析(1)因为f ′(x )＝2x －8

x

，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.

又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝

2

x ＋2

x －2

x

，

又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0

又g (x )＝－(x －7)2

＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．

欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪

⎧

a ≥2，a ＋1≤7，

解得2≤a ≤6.

(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，

令h (x )＝2x 2

－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .

因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．

又h ′(x )＝4x －8x

－14＝

2

x －4

2x ＋1

x

，且x >0，

所以当x >4时，h ′(x )>0；当0

即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.

2．(·衡水调研)设函数f (x )＝x 2

＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m

恒成

立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．

解析(1)由1＋x >0，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．

f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1

＝

2x x ＋2x ＋1

.

由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1

∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．

(2)由(1)知，f (x )在[1

e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴

f (x )min ＝f (0)

＝0.

又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2

－3>1e 2＋1，

∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2

－e.

∵不等式m

＋2m ＋e 2

恒成立，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

－m 2

＋2m ＋e 2

≥f x

max

，

m

即⎩⎪⎨⎪⎧

－m 2

＋2m ＋e 2

≥e 2

－3，m <0⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2

－2m －3≤0，

m <0⇒

⎩⎪⎨⎪⎧

－1≤m ≤3，m <0

⇒－1≤m <0.

∵m 是整数，∴m ＝－1.

∴存在整数m ＝－1，使不等式m

＋2m ＋e 2

恒成立．

3．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋

ln

－x

x

>12

； (3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

解析(1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1

x

，

∴当－e≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－10，此时

f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.

(2)由(1)知f (x )在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f (x )在区间[－e,0)上的最小值为1，

即f (x )min ＝1.所证不等式即f (x )>12－ln －x x .

令h (x )＝12－ln －x x

， 则h ′(x )＝

ln

－x －1

x

2

. 当－e≤x <0时，h ′(x )≤0，故h (x )在[－e,0)上单调递减． ∴h (x )max ＝h (－e)＝1e ＋12<12＋1

2

＝1＝f (x )min .