第二章 离散信号频谱的窗谱校正方法

A/2
t
X (f )
A/2
f
T0
-f 0
0
f0
时域波形
傅里叶变换模函数
(c)单频率谐波的时域波形和频谱模函数
xT ( t ) A
Y yK
yK−1
0
T
t
n 0 k-2 k-1 f0 k k+1 k+2
时域波形
离散频谱模函数
(d)单频率谐波离散频谱模函数 图2-2 单频率谐波离散频谱的误差产生原因
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根据傅氏变换的奇偶性质，当 w( t ) 是实偶函数时，W ( f ) 此时也为实偶函数。又由 傅氏变换的时移特性可知（如图2-2b），
F [ wT ( t )] = W ( f ) e − jπ⋅ f ⋅T ........................................................................................(2.4) 设有一周期信号 x ( t ) = ACos ( 2 π ⋅ f 0 ⋅ t + ϕ ) ,则其傅氏变换结果为（如图2-2c）：
∞
F [ x ( t ) ⋅ wT ( t )] =
−∞
∫ x( t ) ⋅ w
T
( t )e − j 2π ⋅ f ⋅t dt .............................................................(2.1)
其中， wT ( t ) 由对称窗 w( t ) 在时间上平移 T / 2 得到，即
函数，其 G ( v ) 是不同的。如果在同样的采样频率和同样的信号分析样本长度的情况下， 对加窗信号的频域抽样位置也就确定下来了，由于信号频率 f 0 的位置固定，即信号频域 峰值位置固定，则可得不管信号加了何种窗，所产生的频率误差都是一样的。 (2) 幅值校正 设窗函数的频谱模函数为W ( f ) ，则图2-4中主瓣函数为∶
X( f ) = A − jϕ A ⋅ e ⋅ δ ( f + f 0 ) + ⋅ e jϕ ⋅ δ ( f − f 0 ) ...............................................................(2.5) 2 2
根据卷积定理，加窗后的谐波信号 x ( t ) ⋅ wT ( t ) 的傅氏变换可表示为(图2-2d)：
谱调制而得到，因而可利用窗函数的频谱图形对傅氏分析结果进行校正，以求出真实的 频率、幅值和相位 (1) 频率校正
y W ∆ f+1 W∆ f x
∆f
[65][67]
。
y A yf+1 yf x 0 f f 0 f+1
0 ∆ f+1
图2-3 窗函数的频谱函数
图2-4 频率和幅值的校正
频率校正即求出信号幅值谱图上窗谱主瓣中心所处的横坐标 f 0 。设窗函数的频谱函 数 为 W ( f ) ， W ( f ) 对 称 于 Y 轴 （ 如 图 2-3 所 示 ） 。 对 于 任 一 ∆f ， 其 窗 谱 函 数 为
[141]
。
§2.2 单频谐波的频谱分析误差产生原因
无限长信号 x ( t ) （如振动信号、噪声信号等）的频谱分析所采用的方法为对信号进 行截取，然后再对截取得到的有限长度信号进行频谱分析。窗函数 w( t ) 的作用就相当于 对无限长的信号开一窗口，从窗口中取出一段数据，从而完成信号的截取。窗函数都是 选择实偶函数，并在时域上将窗函数的中心放于被分析的那段信号的中心。 加窗信号的傅氏变换为：
§2.3 离散频谱信号的窗谱校正方法
假设加窗信号的频谱主瓣中心为 f 0 （即为信号的真实频率），信号幅值为 A0 ；加窗 信号 FFT 结果的频谱中，最高的频谱频率为 f 1 ，高度为 Y1 ；次高谱线频率为 f 2 ，高度为
Y2 。显然， f 1 和 f 2 相差仅为一个频率分辨率，对此归一化后，即有 f 1 = f 2 ± 1 。当 f 1 > f 2 时取“+”号；当 f 1 < f 2 时取“—”号。加窗信号的频谱由窗频谱对信号真实频
m = F ( ∆f ) =
yf W ( ∆f ) ..........................................................................(2.11) = W ( ∆f + 1) y f +1
13⋅ W ( f − f 0 ) ....................................................................................................(2.7) 2
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显然，当 f = f 0 时， Y =
A ， Φ = ϕ 不存在泄漏情况，得到的幅值、相位和频率都是 2
准确无误差的。在大多数情况下，当 f ≠ f 0 时。由加窗信号的傅氏分析得到的频率 f 、 幅值 Y 和相位 Φ 并不是真实值，且有旁瓣产生，这就是所谓的离散频谱的栅栏效应、梳 状效应、能量泄漏和假频等（如图2-2d所示）。当信号真实频率位于两个相邻离散谱线中 间时，即 f K −1 = f 0 − ∆f s / 2 ， f K = f 0 + ∆f s / 2 （这里 ∆f s 为频率分辩率）时，求得的 信号幅值、相位和频率的误差最大。
∆f s = f s / N ( f s 为信号采样频率，N 为分析信号样本长度)等间隔频域抽样的结果（如图 2-
1 所示）
[78]
。
幅值
A
f
图2-1 频谱抽样的离散谱线 如果周期信号的频率正好 表2-1 离散频谱幅值、相位和频率误差表 矩形窗 幅值误差（％） 相位误差（ 0 ） 0--36.4 Hanning窗 Hamming 窗 0--15.3 0--18.3 落在某一谱线上，经 FFT 后得 到的频率、幅值和相位是准确 的。在一般情况下，信号频率 落于两条相邻谱线之间，由于 谱线不在主瓣中心，由峰值谱 线反映的频率和幅值都不准
m为窗谱主瓣中心两旁相隔为1的两谱线幅值比值，为 f 的函数，求上式的反函数： ∆f = G (m) ...............................................................................................................(2.12) 这样便可得到频率修正量 ∆f = f − f 0 。 在实际计算中，主瓣中心位于信号真实频率 f 0 处。在图2-4中 y f 和 y f +1 是幅值谱主 yf 代入式(2.12)可求出谱线修正量 ∆f 。频率校正 瓣内谱峰左侧和右侧的谱线，将 m = y f +1
W ( ∆f ) ，相应的信号离散频谱幅值为 y f ；对于处于Y轴右侧的 ∆f + 1 谱线，其窗谱函 数为 W ( ∆f + 1) ，相应的信号离散频谱幅值为 y f +1 ；由W ( ∆f ) 、 W ( ∆f + 1) 、 y f 和 y f +1
可求出 ∆f 的值，即求出了频率修正量 ∆f = f − f 0 。由于W ( f ) 的函数表达式为已知， 可构成一函数：
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±90 频率误差（Hz） ±0. 5∆f s
±90 ±0. 5∆f s
±90 ±0. 5∆f s
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确，相位误差更大。从理论上分析，加矩形窗时，最大误差可达 36. 4% ，即使加其他窗 时，也不能完全消除这一影响，在加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍 高达15. 3% ，相位误差将更大，表2-1是离散频谱只进行幅值恢复，不进行其他处理时幅 值、相位和频率误差
对窗长度 T = N / f s 作归一化处理，则 T = 1，且令 ∆f = f − f 0 代入上面两式可得： A Y = ⋅ W ( ∆f ) ...........................................................................................................(2.9) 2 Φ = −π ⋅ ∆f + ϕ ......................................................................................................(2.10)
w (t)
T W(f)
1
t -T/2 T/2
−2/Τ −1/Τ 0 1/Τ 2/Τ f
时域波形
窗谱模函数
(a)对称矩形窗函数的时域波形和频谱模函数
wT ( t )
T WT ( f )
1
t 0 T
−2/Τ −1/Τ 0 1/Τ 2/Τ f
时域波形
窗谱模函数
(b)实际窗函数的时域波形和频谱模函数
x(t) A
结果为∶
f 0 = ( f − ∆f ) f s / N .............................................................................................(2.13) N为分析长度， f s 为采样频率。可将 ∆f = G (m) 称为频率校正函数，对于不同的窗
[75,76,77,78]
。
[61]
由于计算机只能对信号的有限多个样本进行计算，信号的 FFT 谱分析也只能在时域 信号的有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断(加矩形窗)而产生泄漏 ， 使谱峰值减小，精度降低，求得的信号相位更是面目全非。在数字信号处理中，由 DFT 或 FFT 得 到 的 幅 值 谱 是 离 散 谱 ， 是 信 号 与 窗 函 数 频 谱 卷 积 后 ， 按 频 率 分 辨 率