2020年北京市高考数学文科试题(Word版)
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年北京市高考数学试卷(有详细解析)
2020年北京市高考数学试卷一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)已知集合A = {-1,0, 1, 2], B = {x|0<%<3],则AQB =()在复平而内，复数2对应的点的坐标是(1,2),贝ljf ・z某三棱柱的底面为正三角形.其三视图如图所示，该三棱柱的表而积为()已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()6. 已知函数n» = 2” 一咒一 1,则不等式门幻> 0的解集是()A. (-14)B. (-CO.-1) u (1,+co)C. (0,1)D. (-00,0) u (l,+oo)7. 设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为LP 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ 丄I于0,则线段凡2的垂直平分线() A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8. 在等差数列｛—｝中，a x = —9, a 5 = -l.idT n = a L a 2 ...a n (n= 1,2, ...),则数列｛几｝()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9. 已知a, /? 6 7? > 贝lj "存在Zc 6 Z 使得a = kn + (―l)k/?"是 asina = sm/?"的班级:姓名: 得分:1. B. {04}C ・{—1,1 ♦ 2} D.2. 3. A. l+2iB ・一2 + iD.在(仮一2)5的展开式中，咒2的系数为()A. —5B. 5C. —ioD. 104. A. 6 + V3B ・ 6 + 2^3C ・ 12 +V3D ・12 + 2齿5. A.4B. 5C.6D.7正(主)视图侧［左)视團()10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(TT Day).历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数" 充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切 的正6“边形)的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方 法，兀的近似值的表达式是()二、填空题(本大题共5小题，共25.0分) 11. 函数/(咒)=占+加兀的左义域是 _______ ・12. 已知双曲线C ：兰-兰=「则C 的右焦点的坐标为 ___________ : <7的焦点到英渐近线63的距离是 _____ .13. 已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP = ^(AB +AC)9则|而| = ____________ :•~PD= ______ •14. 若函数f(x) = sin(x + + cosx 的最大值为2,则常数©的一个取值为 ________ . 15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标 的企业要限期整改.设企业的污水排放量用与时间/的关系为0 = f(t),用 一空浮的大小评价在［①b ］这段时间内企业污水治理能力的强弱•已知整改期内, 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：① 在［如切这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强: ② 在0时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强： ③ 在十3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标：A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件“ 30。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学文及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学文一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x||x|＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B=( )A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{-2，0，1，2}D.{-1，0，1，2}解析：∵集合A={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，B={-2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}.答案：A2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数()()1111 11122iii i i+==+--+，共轭复数对应点的坐标(1122-，)在第四象限.答案：D3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A.1 2B.5 6C.7 6D.7 12解析：在执行第一次循环时，k=1，S=1.在执行第一次循环时，S=1-1122=.由于k=2≤3，所以执行下一次循环.S=115236+=，k=3，直接输出S=56.答案：B4.设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列-1，-1，1，1.满足-1×1=-1×1，但数列-1，-1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.答案：B5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )A.32fB.32 2fC.125 2fD.127 2f解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：()7127 122?2f f=.答案：D6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，，，PC=3，PD=22，可得三角形PCD不是直角三角形.==AC CD55所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD.答案：C，，，是圆x2+y2=1上的四段弧(如图)，点P其中一段上，7.在平面直角坐标系中，AB CD EF GH角α以Ox为始边，OP为终边.若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是( )A.ABB.CDC.EFD.GH解析：A、在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件.B、在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件.C、在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D、在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα.答案：C8.设集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}，则( )A.对任意实数a，(2，1)∈AB.对任意实数a，(2，1)∉AC.当且仅当a＜0时，(2，1)∉AD.当且仅当a≤32时，(2，1)∉A解析：当a=-1时，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，-x+y＞4，x+y≤2}，显然(2，1)不满足，-x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，4x+y＞4，x-4y≤2}，显然(2，1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确.答案：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2020•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（ ） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞） 【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2020•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（ ）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-， 所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=， 故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2020•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数x x1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减； 故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2020•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-； 此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2020•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>05a=（ ）6 B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率215c a e a a+===， 故2251,a a =+解得211,42a a ==， 故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2020•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数， 若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2020•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ， 根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=， 所以10.11210E E =； 故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2020•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PABS βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2020•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2020•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为 ，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2020•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1， 焦点F 到准线l 的距离为2， 故圆心为（1,0），半径为2， 所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2020•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2020•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线， 若m αP ，则l m ⊥； 故答案为若②③，则①.14、（2020•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可， 根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元， 故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯， 故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤； 故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2020•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin 2C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2020•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列， 可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++， 解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-； （Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5， 故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2020•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用（I ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125； （III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可； （II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率； （III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2020•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ， 故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形， 而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面； （Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面 在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可； （Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2020•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1， 根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=； （II ）设()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+， 解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++， 将直线y=kx+t 与椭圆方程联立， 得()222124220kxktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++， 故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程； （II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2020•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程； （II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =， 则1280,3x x ==， 因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-， 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=； （II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6， 则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==， 故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦， 所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤； 构造函数h （x ）=f （x ）-x ， 则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==， 故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤， 综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--， 则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==， 故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩， 故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(北京卷,含答案)
绝密★启封并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞U （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年高考数学北京卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学本试卷共5页，150分，考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{x |03}B x =＜＜，则A B = （ ）A .{1,0,1}-B .{0,1}C .{1,1,2}-D .{1,2} 2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2，则i z ⋅=（ ）A .12i +B .2i -+C .12i -D .2i -- 3.在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）A .5-B .5C .10-D .104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）正（主）视图侧（左）视图俯视图 A.6+B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）A .4B .5C .6D .7 6.已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x ＞的解集是（ ）A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞C .(0,1)D .(,0)(1,)-∞+∞7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l 、P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）A .经过点OB .经过点PC .平行于直线OPD .垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A .有最大项，有最小项 B .有最大项，无最小项C .无最大项，有最小项D .无最大项，无最小项9.已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）A .30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C .60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭-------------在------------------此-------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-----------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1AD E ；（Ⅰ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC △中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅰ）sin C 和ABC △的面积．条件①：7c =，1cos 7A =-； 条件②：1cos 8A =，9cos 16B =． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅰ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅰ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数()212f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅰ）过点()4,0B -的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j ＞，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =； ②对于{}n a 中任意项()3n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l ＞．使得2k n la a a =．（Ⅰ）若()1,2,n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；（Ⅰ）若()121,2,n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅰ）若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在-------------------此-------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析一、选择题 1.【答案】D 【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}AB =-=，故选：D .【考点】集合交集概念 【考查能力】分析求解 2.【答案】B【解析】由题意得12i z =+，i i 2z =-∴. 故选：B .【考点】复数几何意义，复数乘法法则 【考查能力】基本分析求解 3.【答案】C【解析】)52-展开式的通项公式为：()()55215522rrrrrrr T C C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C .【考点】二项式定理的核心是通项公式 4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D . 5.【答案】A【解析】设圆心(),C x y1，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以()3,4M为圆心，1为半径的圆，所以||1||5OC OM =+=≥，所以||514OC -=≥， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A .【考点】圆的标准方程 6.【答案】D【解析】因为()21x f x x =--，所以()0f x ＞等价于21x x +＞， 在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为()0,1，()1,2， 不等式21x x +＞的解为0x ＜或1x ＞.所以不等式()0f x ＞的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D .【考点】图象法解不等式7.【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ，Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B .【考点】抛物线的定义的应用 8.【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a =＜＜＜＜＜＜＜＜， 且由50T ＜可知()06,i T i i ∈N ＜≥， 由()117,ii i T a i i T -=∈N ＞≥可知数列{}n T 不存在最小项， 由于19a =-，27a =-，35a =-，43a =-，51a =-，61a = 故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B .【考点】等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想 9.【答案】C【解析】（1）当存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-时， 若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=⎡-+-⎤=-=⎣⎦； （2）当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12k k k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Ζ使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Ζ使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C .【考点】充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用10.【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴， 则3030π3sin tan n n n ︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A .【考点】圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n边形的周长 【考查能力】计算 二、填空题 11.【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x ⎧⎨+≠⎩＞，0x ∴>故答案为：(0,)+∞ 【考点】函数定义域 【考查能力】基本分析求解 12.【答案】()3,0【解析】在双曲线C中，ab =则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=， 所以，双曲线C=. 故答案为：()3,0【考点】根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离 【考查能力】计算 13.1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD =-∴，()0,1PB =-， 因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【考点】平面向量的模，数量积的计算，平面直角坐标系 【考查能力】计算14.【答案】π2（π2π,2k k +∈Z 均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f xx x x ϕϕθ=+++， 2，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：π2（π2π,2k k +∈Z 均可）.【考点】两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，平方关系的应用 【考查能力】数学运算 15.【答案】①②③ 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【考点】斜率应用，切线斜率应用，函数图象应用【考查能力】基本分析识别能力 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）23. 【解析】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB A B ∥且11AB A B =，1111A B C D ∥且1111A B C D =，11AB C D ∴∥且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11BC AD ∥， 1BC ⊄∵平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1BC ∴∥平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =， 设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由10n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅>==-=-⨯⋅＜.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 【考点】线面平行的证明，利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值 【考查能力】计算17.【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =,S =； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =S =.【解析】选择条件①（Ⅰ）7c =∵，1cos 7A =-，11a b +=2222cos a b c bc A =+-∵，()()222111721177a a a ⎛⎫=-+--⋅⋅-⎪⎝⎭∴8a =∴（Ⅱ）1cos 7A =-∵，(0,π)A ∈，sinA ==∴ 由正弦定理得：sin sin a c A C=，7sin C=，sin C =∴()11sin 118822S baC ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）1cos 8A =∵，9cos16B =，A，()0,πB ∈sin A ∴，sin B == 由正弦定理得：sin sin a b AB =，，6a =∴ （Ⅱ）()91sinsin sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+()11sin 116622S ba C ==-⨯【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式 【考查能力】基本分析求解18.【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34（Ⅱ）1336（Ⅲ）01p p ＜【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313113433436C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-⋅= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（Ⅲ）01p p ＜【考点】利用频率估计概率，独立事件概率乘法公式 【考查能力】基本分析求解 19.【答案】（Ⅰ）2130x y +-= （Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()()221121222||t S t t t +=⨯+⋅，不妨设0t ＞（0t ＜时，结果一样）时，则()4232414411442444t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，所以()()422223848114432444t t S t t t t +-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭ ()()()()()2222234123221244t t t t t t t -+-++==，由()0S t '＞，得2t ＞，由()0S t '＜，得02t ＜＜， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【考点】利用导数的几何意义求切线方程，利用导数求函数的最值20.【答案】（Ⅰ）22182x y +=（Ⅱ）1【解析】（1）设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=＞＞，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：21223241k x x k -+=+，212264841k x x k -=+.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y ＜，且：PQPB y PQy =，注意到：()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=⎡+++⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0P Q y y +=，P Q y y =-. 从而1PQPB y PQy ==. 【考点】解决直线与椭圆的综合问题21.【答案】（Ⅰ）22a =∵，33a =，23292a a =∉Z ，{}n a ∴不具有性质①； （Ⅱ）i ∀∵，j ∈*N ，i j ＞，()2212i j i j a a --=，2i j -∈*N ，22i i j ja a a -=∴，{}n a ∴具有性质①；n ∀∈*N ∵，3n ≥，1k n ∃=-，2l n =-，2(2)1122k l n k n la a a ---===，{}n a ∴具有性质②，； （Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a ＜＜＜＜＜，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =＜，存在2m ，满足22310m a a a =＜，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =＜，由0N 的定义可知：0m N ≥，另一方面，000221NNm N N a a a a a a ==＞，由数列的单调性可知：0m N ＞，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =＞，由数列的单调性可知0k l a a ＞＞， 而3kk k la a a a a =⋅＞，故3k ＜， 此时必有2k =，1l =，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤， 其中10a ＞，1q ＞，（10a ＜，01q ＜＜的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==＞，且11k m k a a q a +=≥（*） 由②得：存在s t ＞，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅＞，由数列的单调性可知：1t s k +＜≤， 由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+===＞（**）由（**）和（*）式可得：211111k s t k a q a q a q ---≥＞， 结合数列的单调性有：211k s t k ---≥＞， 注意到s ，t ，k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11k k a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=. 即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =＞，由数列的单调性可知0k l a a ＞＞， 而3kk k la a a a a =⋅＞，故3k ＜， 此时必有2k =，1l =，即2231a a a =，即1a ，2a ，3a 成等比数列，不妨设21a a q =，()2311a a q q =＞，然后利用性质①：取3i =，2j =，则224331121m a a q a a q a a q===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =， 否则，由数列的单调性可知341a a q ＜，在性质②中，取4n =，则24k k k k l la aa a a a a ==＞，从而4k ＜， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆＞，满足24k la a a =，若3k =，2l =，则：2341kl a a a q a ==，与假设矛盾； 若3k =，1l =，则：243411kla a a q a q a ==＞，与假设矛盾； 若2k =，1l =，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数k ，l ，可见341a a q ＜不成立，从而341a a q =， 同理可得：451a a q =，561,a a q =，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【考点】数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用 【考查能力】转化能力和推理能力。
2020年高考数学北京卷 试题+答案详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<，则A B = （）．A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A.12i +B.2i-+ C.12i- D.2i--3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5- B.5C.10- D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.6+B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A.(1,1)- B.(,1)(1,)-∞-+∞ C.(0,1)D.(,0)(1,)-∞+∞ 7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题:共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.参考答案一、选择题.1.【答案】D【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D.2.【答案】B【解析】由题意得12z i =+，∴2iz i =-.故选B.3.【答案】C【解析】)52-展开式的通项公式为()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得1r =，则2x 的系数为()()11522510C -=-⨯=-.故选C.4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭D.5.【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，∴圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心,1为半径的圆，∴||1||OC OM +≥5==，∴||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A.6.【答案】D【解析】∵()21xf x x =--，∴()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.∴不等式()0f x >的解集为()(),01,-∞+∞ .故选D.7.【答案】B【解析】如图所示，线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.8.【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，通项公式为()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，∵123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，50T <，∴()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，∴数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.∴数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选B.9.【答案】C【解析】（1）当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数,则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数,则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦（2）当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，∴存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．∴“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C.10【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn ︒，∴单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ︒，其周长为3012tan n n︒，∴303012sin 12tan303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选A.二、填空题.11【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，∴0x >,故答案为(0,)+∞.12【答案】(1)()3,0.【解析】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，∴双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+.故答案为()3,0;3.13【答案】(1)5；(2)1-.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，∴()22215PD =-+= ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .故答案为5；1-.14【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】∵()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1sin f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，∴()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.15【答案】①②③【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，∴甲的斜率的相反数比乙的大，∴甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，当甲企业在[]12,t t 这段时间内时，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，∴甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，都已达标；③正确；故答案为①②③.三、解答题16【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【解析】（Ⅰ）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，∴11//AB C D 且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，∴1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.17【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）3sin 2C =,63S =；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）7sin 4C =,1574S =.【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=2222cos a b c bc A =+- ,∴2221(11)72(11)7()7a a a =-+--⋅⋅-,∴8a =.（Ⅱ）2143cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得873sin sin sin sin 2437a c C A C C=∴=∴=113sin (118)863222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈ ，∴223757sin 1cos ,sin 1cos 816A AB B =-==-=,由正弦定理得：116sin sin 3757816a b a aa A B -=∴=∴=（Ⅱ）sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A=+=+918161684=+=11sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=.18【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；（Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p <.【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，∴3人中恰有2人支持方案一概率为2121311313((1()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <19【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）∵()212f x x =-，∴()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，∴切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，∵()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，∴()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果相同)，则()423241441144(2444t t S t t t t t++==++，∴()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，∴()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，∴2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.20【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1.【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆方程为22182x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得()222448x k x ++=，即()()222241326480k x k x k +++-=，则2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-，可得()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得()()222142Q k x y x -++=+.显然0P Q y y <，且PQPB y PQy =，注意到()1212442122P Q x x y y k x x ⎛⎫+++=-++ ⎪++⎝⎭()()()()()()()12211242422122x x x x k x x +++++=-+⨯++，而()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，∴0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.21【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详解解析；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）∵2*(2)1*,,,2,2i j i ja i j N i j i j N a --∀∈>=-∈，∴22i i j ja a a -=，∴{}n a 具有性质①；∵2*(2)11,3,1,2,22k l n k n la n N n k n l n a a ---∀∈≥∃=-=-===，∴{}n a 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k la a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a q s k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为11n n a a q-=.即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kkk la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设()22131,1a a q a a qq ==>，利用性质①取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q===，即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>，满足24k l a a a =，若3,2k l ==，则：2341k la a a q a ==，与假设矛盾；若3,1k l ==，则：243411k la a a q a q a ==>，与假设矛盾；若2,1k l ==，则：22413k la a a q a a ===，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，同理可得：455161,,a a q a a q == ，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.。
2020年北京市高考文科数学试卷(含解析版)
绝密★本科目考试启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 <x< 3} ，则A B =（）．A.{-1, 0,1}B.{0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2} 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅z =（）．D. -2 -iA.1+ 2iB.-2 +iC.1- 2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z =1+ 2i ，∴iz =i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.33 35-rrrr +15 53.在( x - 2)5 的展开式中， x 2 的系数为（ ）．A. -5 【答案】CB. 5C. -10D. 10【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可. 【详解】( - 2) 展开式的通项公式为： T= C r( x ) (-2) = (-2)C rx2，令5 - r = 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .25故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2C. 12 +D.12 + 2【答案】D5-r x 35【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2 的等边三角形，侧面为三个边长为2 的正方形，则其表面积为：S = 3⨯(2⨯ 2)+ 2⨯⎛1⨯ 2⨯ 2⨯sin 60︒⎫=12 + 2 3 .2 ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1 可得答案.【详解】设圆心C (x, y )，则化简得(x - 3)2 +(y - 4)2 =1，=1，所以圆心C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，(x -3)2 +(y - 4)2所以| OC | +1 ≥| OM | == 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，32+ 42当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x-x -1 ，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．(1, +∞) A.(-1,1) B. (-∞, -1)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃(1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x和y =x +1 的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f (x)= 2x -x -1，所以f (x)> 0 等价于2x>x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x和y =x + 1 的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1, 2) ，不等式2x>x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f (x)> 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OC. 平行于直线OP B. 经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ = PF ，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n}中，a1=-9 ，a3=-1 ．记T n=a1a2…a n(n =1, 2,…) ，则数列{T n}（）．A.有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d =a5-a1 =-1+ 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n=a1+(n -1)d=-9 +(n -1)⨯2 = 2n -11 ，注意到a1 <a2 <a3 <a4 <a5 < 0 <a6 = 1 <a7 <，且由T5< 0 可知T i< 0(i ≥ 6, i ∈N )，Ti 由Ti-1 =ai>1(i ≥ 7, i ∈N )可知数列{T n}不存在最小项，由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 =1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2 = 63 ，T4 = 63⨯15 = 945 .故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知α, β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“sin α= sin β”的（）．A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ时，若k 为偶数，则sin α= sin (kπ+β)= sin β；若k 为奇数，则sinα= sin (kπ-β)= sin ⎡⎣(k -1)π+π-β⎤⎦= sin (π-β)= sin β；(2)当sin α= sin β时，α=β+ 2mπ或α+β=π+ 2mπ，m ∈Z ，即α=kπ+(-1)k β(k = 2m)或α=kπ+(-1)k β(k = 2m +1)，亦即存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ．所以，“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“ sin α= sin β”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日（πD ay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．⎛30︒ 30︒⎫ ⎛30︒ 30︒⎫A.3n sinn +tan ⎪n B. 6n sin n+tan ⎪n⎝⎭⎝⎭⎛60︒ 60︒⎫ ⎛60︒ 60︒⎫C.3n sinn +tan ⎪n D. 6n sin n+tan⎪n⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似⎩y 值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为360︒ = 60︒， 每条边长为 n ⨯ 6 n2 s in 30︒ ，n所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin 30︒ ，n单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan30︒ ，其周长为12n tan30︒ ，nn12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭则π = 3n ⎛sin30︒+ tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率π 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 函数 f (x ) =1x +1+ ln x 的定义域是 ．【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 x > 0 ，∴ x > 0⎨x +1 ≠ 0 故答案为： (0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线C :x 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距6 3离是 ．26 3 3 3 PD |= 【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a = ，b = ，则c = 为(3, 0) ， = 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标双曲线C 的渐近线方程为 y =±2 x ，即 x ± 2所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 y = 0 ，= .故答案为： (3, 0) ； .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP = 1( AB + AC ) ，则| ；2PB ⋅ PD =．【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，3a 2 +b 2 3 12+ 25PD5cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2( )则点 A (0, 0) 、 B (2, 0) 、C (2, 2) 、 D (0, 2) ，AP = 1 AB + AC = 1 (2, 0) + 1(2, 2) = (2,1) ，2 2 2则点 P (2,1) ，∴ PD = (-2,1) ， PB = (0, -1) ，因此，故答案为：； -1.= ，PB ⋅ PD = 0 ⨯(-2) +1⨯ (-1) = -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数 f (x ) = sin(x + ϕ) + cos x 的最大值为 2，则常数ϕ 的一个取值为．【答案】 π （2k π + π, k ∈ Z 均可） 22【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f ( x ) =( x +θ ) ，可得 = 2 ，即可解出.【详解】因为 f ( x ) = cos ϕ sin x + (sin ϕ +1)cos x =sin ( x +θ ) ，所以 = 2 ，解得sin ϕ = 1 ，故可取ϕ = π . 2故答案为： π （ 2k π + π, k ∈ Z 均可）. 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业PD =(-2)2 +125 cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2ϕ + (sin ϕ +1)2要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W =f (t) ，用-f (b) -f (a)的大小评b -a价在[a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0, t1],[t1, t2],[t2, t3]这三段时间中，在[0, t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】-f (b) -f (a)表示区间端点连线斜率的负数，b -a在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0, t1 ],[t1, t2 ],[t2 , t3 ]这三段时间中，甲企业在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1 ,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为BB1的中点．（I）求证：BC1 // 平面AD1E ；（II）求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 .3【解析】【分析】（I）证明出四边形ABC1D1为平行四边形，可得出BC1 //AD1，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（I I）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：⎩⎩在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 ，则 AD 1 = (2, 0, 2) ， AE = (0, 2,1) ，A (0, 0, 0) 、A 1 (0, 0, 2) 、D 1 (2, 0, 2) 、E (0, 2,1)，设平面 AD E 的法向量为n = (x , y , z ) ，由⎧n ⋅ AD 1 = 0 ，得⎧2x + 2z = 0 ，1⎨n ⋅ AE = 0 ⎨2 y + z = 0令 z = -2 ，则 x = 2 ， y = 1，则n = (2,1, -2).cos < =-2 . 3因此，直线AA 与平面AD E 所成角的正弦值为2 .113【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC 中，a +b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：c = 7, cos A =-1 ；7条件②：cos A =1, cos B =9．816注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =3, S = 6 3 ；2选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =7, S =157.4 4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A, sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ） c = 7, cos A =-17a +b =11∴a= 8 +c2- 2bc cos A∴a2= (11-a)2+ 72- 2(11-a) ⋅7 ⋅(-1)7（Ⅱ）cos A =-1，A∈(0,π)∴sin A = =4 3 7 7n, AA >=1n ⋅AA1n ⋅AA1=-43⨯ 2a2=b21- cos2A1- cos 2 B a 由正弦定理得： sin A = c ∴8 sin C 4 3 7= 7 sin C ∴sin C = 3 2S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯8⨯ 3 = 6 2 2 2 选择条件②（Ⅰ） cos A = 1 , cos B = 9，A , B ∈(0,π )∴sin A 8 16 = 3 7, s in B == 5 7 8 16a =b ∴a = 11- a ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（II ） sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + sin B cos A =3 7 ⨯ 9 + 5 7 ⨯ 1 =7S = 1 ba sin C = 1(11- 6) ⨯ 6⨯7 = 15 78 16 16 8 42 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（I ） 分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II ） 从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；31- cos 2 A 男生女生支持不支持支持不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人250 人150 人250 人（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500 名男生和300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）1【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为33 ，该校女生支持方案一的概率为；4（Ⅱ）13,（Ⅲ）p <p 3610【解析】【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果；（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（III）先求p0，再根据频率估计概率p1，即得大小.2001【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为=，200+40033003该校女生支持方案一的概率为=；300+1004（Ⅱ）3 人中恰有2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3 人中恰有2 人支持方案一概率为：(1)2 (1-3) +C1(1)(1-1)3=13;（III）p1 <p34233436【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数f (x) = 12 -x2．（I）求曲线y =f (x) 的斜率等于-2 的切线方程；（II）设曲线y =f (x) 在点(t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t) ，求S (t)的最小值．【答案】（Ⅰ）2x +y -13 = 0 ，（Ⅱ）32 .【解析】【分析】12)⋅ ，( ) （I ） 根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（II ） 根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2 ，所以 f '( x ) = -2x ， 设切点为( x 0 ,12 - x 0 ) ，则-2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1 ，所以切点为(1,11) ，由点斜式可得切线方程 ： y -11 = -2 ( x -1) ，即2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然t ≠ 0 ，因为 y = f (x ) 在点(t ,12 - t 2 ) 处的切线方程为： y - (12 - t 2 )= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2 +12 ，令 y = 0 t 2 +12 ，得x = ，2t所以S (t ) = 1⨯(t 2 + t 2 +12 22 | t |不妨设t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，t 4 + 24t 2 + 1441 则 S t == (t 3+ 24t + 144) ， 4t4 t所以 S '(t ) = 1(3t 2 + 24 - 144 3(t 4 + 8t 2 - 48)) = 4t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12)3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)==，4t 24t 2由 S '(t ) > 0 ，得t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得0 < t < 2 ，所以 S (t ) 在(0, 2) 上递减，在(2, +∞) 上递增， 所以t = 2 时， S (t ) 取得极小值， 也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆C :x 2+y 2= 过点 A (-2, -1) ，且a = 2b ．a 2b21y + ⎨ 2 y y2 （I ） 求椭圆 C 的方程：（II ） 过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求| PB |的值．| BQ |【答案】（Ⅰ） x 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： x 2 y = 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 + 1 = 1a b⎧a 2 = 8 ⎪ a2⎪⎩b 2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b = 2故椭圆方程为： x 2+ = 1.82(2)设 M (x 1, y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2 ( x + 4)2 = 8 ，8 2即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =4k 2+1, x 1x 2 =64k 2 - 8 .4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1 - x 1 + 2 = -(2k +1)( x 1 + 4) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 21 1 1 12 2 22 2= ⨯= ，a n n a同理可得： y = -(2k +1)( x 2 + 4) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：=，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Qx + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤ 2 ⎢ 4k 2 +1+ 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2 - 8) + 3⨯(-32k 2 ) + 8(4k 2 +1)2 0 4k 2+1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{a n } 是无穷数列．给出两个性质：2①对于{a }中任意两项a i , a j (i > j ) ，在{a } 中都存在一项a ，使 i= a ；n n mm ja 2②对于{a n }中任意项a n (n …3) ，在{a n } 中都存在两项a k , a l (k > l ) ．使得a n(I) 若a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；= k ．a l(II) 若a = 2n -1(n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (III) 若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n } 为等比数列.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.【解析】PBPQy Py Q PB PQ y Py QQa 2 a a ma 【分析】(I) 根据定义验证，即可判断；(II) 根据定义逐一验证，即可判断；a 2 (III) 解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a 3 = 2，最后，用数学归纳法证明数a 1列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1, a 2 , a 3 成等比数列，之后证得a 1, a 2 , a 3, a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.a 29 【详解】(Ⅰ)Q a = 2, a = 3, 3 = ∉ Z ∴{a } 不具有性质①； 2 3 n2a 2 a 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N *, i > j , i = 2(2i - j )-1, 2i - j ∈ N * ∴ i = a∴{a }具有性质①； a j a ja 22i - j nQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1,l = n - 2, k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a } 具有性质②；n nl(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设N 0 = max {n | a n < 0} ，第一种情况：若 N 0 = 1，即a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 <，由①可知：存在m 1 ，满足a a 2 = 2 < 0 ，存在m 2 ，满足aa 2 = 3 < 0 ， m 1 m 21 1a 2 a 2由 N 0 = 1可知 2= 3 ，从而a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立. a 1 a 1a 2第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数m ，满足a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知：m ≤ N ，0 012 2另一方面， a m = N 0> N 0 = aa a N 0 ，由数列 单调性可知： m > N 0 ，1N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.aaa 1a 1 1 1a 综上可得，数列中的项数同号.a 2 其次，证明a 3 = 2：a 1利用性质②：取n = 3 ，此时a 32= k (k > l ) ， a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3) 项成等比数列，不妨设a s= a q s -1(1 ≤ s ≤ k ) ，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 情况类似）由①可得：存在整数m ，满足 a a2= k = a q k > a，且a = a q k ≥ a（*）a k -1a 2 am 1 k +1由②得：存在 s > t ，满足： a = s = a ⋅ s > a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， k +1 a s a ss -1t t22s -t - - 由 a = a q (1 ≤ s ≤ k ) 可得： a = s= a q 1 > a = a q k 1 （**）s 1 k +1 1 k 1t 由（**）和（*）式可得： a q k ≥ a q 2s -t -1 > a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1， 注意到 s , t , k 均为整数，故k = 2s - t -1， 代入（**）式，从而a= a q k .k +11总上可得，数列{a }的通项公式为： a = a q n -1 .nn1即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：m1 kaa 1 4 1 4 1 4 1 4 1 首先利用性质②：取n = 3 ，此时 a 3由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，2= k (k > l ) ， a l而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1即 a , a , a 成等比数列，不妨设a = a q , a = a q 2(q > 1) ，1232 13 1a 2 a 2q 4然后利用性质①：取i = 3, j = 2 ，则a = 3 = 1 = a q 3 ， a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明a = a q 3，否则，由数列的单调性可知 a < a q 3 ，在性质②中，取n = 4 ，则a a 2 = k = a a k > a，从而k < 4 ，4 a k a kl l与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4a 2a 2= k ，a l若 k = 3, l = 2 ，则： a = k = a q 3，与假设矛盾；1la 2 若 k = 3, l = 1，则： a = k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 1 1la 2若 k = 2, l = 1 ，则： a = k = a q 2= a ，与数列的单调性矛盾；1 3l即不存在满足题意的正整数 k , l ，可见a < a q 3 不成立，从而a = a q 3，同理可得：a = a q 4 , a = a q 5 , ，从而数列{a } 为等比数列，5161n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n } 为等比数列.m 14a 4 a 4a【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。
2020年北京市高考数学试卷(pdf详细解析版)
的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外 切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π的近似值。按照阿尔卡西的 方法， π 的近似值的表达方式是
（A） 3n(sin 30 tan 30)
n
n
答案： (0, )
解析：要使
x
1
1
有意义，则有
x
1
0
，即
x
1
，要使
ln
x
有意义，则
x
0
，所以函数的定义域是
(0,
)
（12）已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的右焦点的坐标为________； C 的焦点到其渐近线的距离是________． 63
答案：（3，0）， 3
解析：设双曲线的焦距为 2c，则有 c2 6 3 9 ，故 c=3，则 C 的右焦点的坐标为（3，0）.易知 C 的焦点到其渐
（7）设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ，P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 做 PQ ⊥ l 于 Q ，则线段 FQ
的垂直平分线
（A）经过点 O
（B）经过点 P
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（C）平行于直线 OP
答案：B
（D）垂直于直线 OP
解析：如图，连接 PF，由抛物线的定义可知， PF PQ ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P，故选 B
（5）已知半径为 1 的圆经过点 (3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（A）4 （C）6 答案：A
（B）5 （D）7
解析：由已知，圆心在以点 A(3, 4) 为圆心，1 为半径为圆上，当圆心在下图点 B 位置时，圆心到原点的距离最 小，所以圆心到原点的距离的最小值为 OB OA 1 32 42 1 5 1 4 ，选 A
2020年北京文科数学试卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷）数学（文科）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的）1.若集合 A={x |−5< x <2},B={x |−3< x <3}，则 A∩B= （）A.{x |−3< x <2}B.{x |−5< x <2}C.{x |−3< x <3}D.{x |−5< x <3}2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=23.下列函数中为偶函数的是（）A.y=x²sinxB.y=x²cosxC.Y=|ln x|D.y=2x4.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）A.90B.100C.180D.300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43005.执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A.3B.4C.5D.66.设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a//b”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A.1B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.28.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A.6升B.8升C.10升D.12升第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9.复数i（1+i）的实数为 .10.2-3,123,log25三个数中最大数的是 .11.在△ABC中，a=3,b=错误!未找到引用源。
2020年高考数学真题-北京卷答案
参考答案一、选择题.1.【答案】D【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D.2.【答案】B【解析】由题意得12z i =+，∴2iz i =-.故选B.3.【答案】C【解析】)52-展开式的通项公式为()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得1r =，则2x 的系数为()()11522510C -=-⨯=-.故选C.4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭D.5.【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，∴圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心,1为半径的圆，∴||1||OC OM +≥5==，∴||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A.6.【答案】D【解析】∵()21xf x x =--，∴()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.∴不等式()0f x >的解集为()(),01,-∞+∞ .故选D.7.【答案】B【解析】如图所示，线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.8.【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，通项公式为()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，∵123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，50T <，∴()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，∴数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.∴数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选B.9.【答案】C【解析】（1）当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数,则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数,则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦（2）当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，∴存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．∴“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C.10【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn ︒，∴单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ︒，其周长为3012tan n n︒，∴303012sin 12tan303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选A.二、填空题.11【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，∴0x >,故答案为(0,)+∞.12【答案】(1)()3,0.【解析】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，∴双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+.故答案为()3,0;3.13【答案】(1)5；(2)1-.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，∴()22215PD =-+= ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .故答案为5；1-.14【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】∵()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1sin f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，∴()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.15【答案】①②③【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，∴甲的斜率的相反数比乙的大，∴甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，当甲企业在[]12,t t 这段时间内时，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，∴甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，都已达标；③正确；故答案为①②③.三、解答题16【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【解析】（Ⅰ）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，∴11//AB C D 且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，∴1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.17【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）3sin 2C =,63S =；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）7sin 4C =,1574S =.【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=2222cos a b c bc A =+- ,∴2221(11)72(11)7()7a a a =-+--⋅⋅-,∴8a =.（Ⅱ）2143cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得873sin sin sin sin 2437a c C A C C=∴=∴=113sin (118)863222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈ ，∴223757sin 1cos ,sin 1cos 816A AB B =-==-=,由正弦定理得：116sin sin 3757816a b a aa A B -=∴=∴=（Ⅱ）sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A=+=+918161684=+=11sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=.18【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；（Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p <.【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，∴3人中恰有2人支持方案一概率为2121311313((1()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <19【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）∵()212f x x =-，∴()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，∴切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，∵()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，∴()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果相同)，则()423241441144(2444t t S t t t t t++==++，∴()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，∴()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，∴2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.20【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1.【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆方程为22182x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得()222448x k x ++=，即()()222241326480k x k x k +++-=，则2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-，可得()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得()()222142Q k x y x -++=+.显然0P Q y y <，且PQPB y PQy =，注意到()1212442122P Q x x y y k x x ⎛⎫+++=-++ ⎪++⎝⎭()()()()()()()12211242422122x x x x k x x +++++=-+⨯++，而()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，∴0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.21【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详解解析；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）∵2*(2)1*,,,2,2i j i ja i j N i j i j N a --∀∈>=-∈，∴22i i j ja a a -=，∴{}n a 具有性质①；∵2*(2)11,3,1,2,22k l n k n la n N n k n l n a a ---∀∈≥∃=-=-===，∴{}n a 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k la a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a q s k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为11n n a a q-=.即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kkk la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设()22131,1a a q a a qq ==>，利用性质①取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q===，即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>，满足24k l a a a =，若3,2k l ==，则：2341k la a a q a ==，与假设矛盾；若3,1k l ==，则：243411k la a a q a q a ==>，与假设矛盾；若2,1k l ==，则：22413k la a a q a a ===，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，同理可得：455161,,a a q a a q == ，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.。
高中-数学-高考-2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}2、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）．A. 12i +B. 2i -+C. 12i -D. 2i --3、在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）．A. 5-B. 5C. 10-D. 104、某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A. 6B. 6+C. 12+D. 12+5、已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A. 4B. 5C. 6D. 76、已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞7、设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8、在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9、已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10、2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11、函数1()ln 1f x x x =++的定义域是______． 12、已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为______；C 的焦点到其渐近线的距离是______．13、已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =______；PB PD ⋅=______．14、若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为______． 15、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．【题文】求证：1//BC 平面1AD E ；【题文】求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17、在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件①这两个条件中选择一个作为己知，求：条件一：17,cos 7c A ==-； 条件二：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分． 【题文】a 的值：【题文】sin C 和ABC 的面积．18、某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．【题文】分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； 【题文】从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；【题文】将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明） 19、已知函数2()12f x x =-．【题文】求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；【题文】设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20、已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．【题文】求椭圆C 的方程：【题文】过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 21、已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：（①）①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =； （①）对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．【题文】若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由； 【题文】若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质①，说明理由；【题文】若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质①，证明：{}n a 为等比数列．答案第1页，共14页参考答案1、【答案】D【分析】根据交集定义直接得结果． 【解答】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，选：D ． 2、【答案】B【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果． 【解答】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-． 选：B ． 3、【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可．【解答】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-． 选：C ． 4、【答案】D【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可．【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭选：D ．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． （3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 5、【答案】A【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案． 【解答】设圆心(),C x y1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 选：A ． 6、【答案】D【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果． 【解答】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >．所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞． 选：D ． 7、【答案】B【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解．【解答】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义答案第3页，共14页可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P ． 选：B ． 8、【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项．【解答】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈， 由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=． 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T ． 选：B ． 9、【答案】C【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断． 【解答】（1）当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； （2）当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件．选：C ． 10、【答案】A【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果．【解答】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 选：A ．第二部分（非选择题共110分） 11、【答案】(0,)+∞【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果． 【解答】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞12、【答案】（1）.()3,0（2）【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离． 【解答】在双曲线C中，a =b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为2y x =±，即0x =， 所以，双曲线C=故答案为：()3,013、【答案】（1）2）.1-【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，答案第5页，共14页求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值． 【解答】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-．1-． 14、【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，2=，即可解出． 【解答】因为()()()cos sin sin 1cos f xx x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=． 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）．15、【答案】①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【解答】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,tt t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③ 16、(1)【答案】证明见解答；【分析】证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； 【解答】如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；(2)【答案】23． 【分析】以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值． 【解答】以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、答案第7页，共14页()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-．11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅． 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23． 17、(1)【答案】选择条件一：8；选择条件二：6【分析】选择条件一：根据余弦定理直接求解，选择条件二：先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果 【解答】选择条件一：17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=选择条件二：19cos ,cos ,(0,)816A B A Bπ==∈，sin816AB ∴====由正弦定理得：6sin sina ba A B === (2)【答案】选择条件一：sin C =，S = 选择条件二：sin 4C =，4S =． 【分析】选择条件一：先根据三角函数同角关系求得sin A ，再根据正弦定理求sin C ，最后根据三角形面积公式求结果；选择条件二：根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果． 【解答】选择条件一：1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sinsin sin sin2a cCA C C==∴=11sin(118)822S ba C==-⨯=选择条件二91sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A=+=+=⨯+=11sin(116)62244S ba C==-⨯⨯=18、(1)【答案】该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；【分析】根据频率估计概率，即得结果；【解答】该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；(2)【答案】1336，【分析】先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；【解答】3人中恰有2人支持方案一分两种情况，一：仅有两个男生支持方案一，二：仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C-+-=；(3)【答案】1p p<【分析】先求0p，再根据频率估计概率1p，即得大小．【解答】01p p<19、(1)【答案】2130x y+-=，【分析】根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；【解答】因为()212f x x=-，所以()2f x x'=-，设切点为()00,12x x-，则22x-=-，即1x=，所以切点为()1,11，答案第9页，共14页由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=． (2)【答案】32．【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值． 【解答】显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==． 20、(1)【答案】22182x y +=；【分析】由题意得到关于a ，b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；【解答】设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=．(2)【答案】1．【分析】首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ，NA 的方程确定点P ，Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值．【解答】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++． 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+．很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-．答案第11页，共14页从而1PQPB y BQy ==． 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21、(1)【答案】详见解答；【分析】根据定义验证，即可判断； 【解答】{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(2)【答案】详解解析；【分析】根据定义逐一验证，即可判断；【解答】{}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①； {}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质①；(3)【答案】证明详见解答．【分析】解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可．解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证．【解答】解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立．第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立． 同理可证得数列中的项数恒为负数． 综上可得，数列中的项数同号．其次，证明2231a a a =：利用性质①：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*） 由①得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta a a a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，答案第13页，共14页代入（**）式，从而11kk a a q +=．总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=．即数列{}n a 为等比数列． 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质①：取3n =，此时23()kla a k l a =>， 由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质①中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===， 下面我们用反证法来证明451a a q ，否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质①中，取5n =，则25k kkk l la a a a a a a ==>，从而5k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25kl a a a =，即由①可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q ----===， 若214k l --=，则451a a q ，与假设矛盾；若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q ．同理可得：566171,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列．由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数． 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,含答案)(2)
绝密★启用并使用完毕2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B =I （ ）（A ）{0} （B ）{1,0}- （C ）{0,1} （D ）{1,0,1}-（2）设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）（A ）ac bc > （B ）11a b < （C ）22a b > （D ）33a b > （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）（A ）1y x = (B) x y e -= （C ）21y x =-+ (D) lg ||y x =（4）在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（5）在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（ ） （A ）15 （B ）59（C ）53 （D ）1 （6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1（B ）23（C ）1321（D ）610987 （7）双曲线221y x m -=的离心率大于2的充分必要条件是（ ）（A ）12m >（B ）1m ≥ （C ）1m > （D ）2m >（8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）（A ）3个 （B ）4个（C ）5个 （D ）6个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分。
2020年北京市高考数学试卷【word版本试题;可编辑;含答案】
2020年北京市高考数学试卷一、选择题1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=()A.{−1,0,1}B.{0,1}C.{−1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=()A.1+2iB.−2+iC.1−2iD.−2−i3.在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线异于O的一点，过P做PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{a n}中，a1=−9，a5=−1，记T n=a1a2⋯a n(n=1,2,…)，则数列{T n}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α=kπ+(−1)kβ"是“sinα=sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方式是() A.3n(sin30∘n+tan30∘n) B.6n(sin30∘n+tan30∘n)C.3n(sin60∘n+tan60∘n) D.6n(sin60∘n+tan60∘n)二、填空题11.函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是________.12.已知双曲线C:x26−y23=1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________.13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →=12(AB →+AC →)，则|PD →|=________；PB →⋅PD →=________.14.若函数f(x)=sin (x +φ)+cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f (t )，用−f (b )−f (a )b−a的大小评价在[a,b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④甲企业在[0, t 1]，[t 1, t 2]，[t 2, t 3]这三段时间中，在[0, t 1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________.三、解答题16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点． (1)求证：BC 1//平面AD 1E ；(2)求直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值．。
北京市2020〖人教版〗高考数学试卷文科 (2)
北京市2020年〖人教版〗高考数学试卷文科一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2iB．2iC．﹣2D．23．（5分）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知cosx=，则cos2x=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．p∧￢qC．￢p∧qD．￢p∧￢q6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3B．x＞4C．x≤4D．x≤57．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5B．5，5C．3，7D．5，79．（5分）设f（x）=若f（a）=f（a+1），则f（）=（）A．2B．4C．6D．810．（5分）若函数e x f（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（）A．f（x）=2﹣x B．f（x）=x2C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则f（919）=．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．三、解答题16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求A和a．18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1=b n b n+1，求数列的前n项和T n．20．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N 是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N 分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
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2020年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =
（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或
（2）复数12i =2i
+- （A ）i （B ）1+i （C ）i -（D ）1i -
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A ）8
（B ）9
（C ）27
（D ）36
（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是
（A ）11y x =-（B ）cos y x =（C ）ln(1)y x =+（D ）2x y -= （5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为
（A ）1 （B ）2 （C ）2（D ）22
（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A ）15（B ）25（C ）825（D ）925
（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为
（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛
成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a −1 b 65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛（B ）5号学生进入30秒跳绳决赛
（C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.
（10）函数()(2)1
x f x x x =≥-的最大值为_________. （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
(12) 已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为,0），则a =_______；b =_____________.
(13)在△ABC 中，23A π∠=，c ，则b c
=_________. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和.
（16）（本小题13分）
已知函数f （x ）=2sin ωx cos ωx +cos 2ωx （ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？
（II ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥
（I ）求证：DC PAC ⊥平面；
（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；
(III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；
（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数()32
.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；
（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.。