高三数学导数专题讲座

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高三数学导数的几何意义ppt课件.ppt

通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣；培养学生合作学习和数学交流的能力。
四. 教学过程
（一）教学流程图（二）教学过程与设计思路
（一）教学流程图
问题系列
几何意义
具体应用
概念建构
复习引入
演练拓
小结
作业
类似“卡通形象” 的教学流程图以 “模块”为基本单元，从新课引入到概念建构，从技能演练到小结作业。层层展开，逐层突破。
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
一. 教材分析（二）重点与难点
教学重点：运用导数的几何意义研究函数教学难点：导数几何意义的推导思路
一. 教材分析
（三）课时安排
导数的几何意义可安排两课时。本节作为第一课时，重在探求曲线上某点处切线的斜率和导数的关系，理解导数的几何意义，体会几何意义在研究函数性质应用中的作用。
学生分组讨论交流，计算切观，易于突破难点；学生在过程中，
点的导数值，自主合作探求可以体会逼近的思想方法。最后的
导数与斜率的关系，教师请证明环节，能够同时从数与形两个学生证明导数就是切线斜率。角度强化学生对导数概念的理解。
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
评价反思
一. 教材分析
（1）教材的地位和作用（2）重点难点（3）课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何意义是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容。

高中数学导数讲义完整版

高中数学导数讲义完整版第一部分导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy ∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。

专题06 导数 6.3导数与函数的极值、最值题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

专题六《导数》讲义6.3导数与函数的极值、最值知识梳理.极值与最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．题型一. 极值、最值的概念1．函数y＝x sin x+cos x的一个极小值点为（）A．x=−π2B．x=π2C．x＝πD．x=3π22．（2017·全国2）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1 3．（2013·全国2）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C ．若x 0是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（﹣∞，x 0）上单调递减D ．若x 0是f （x ）的极值点，则f ′（x 0 ）＝04．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣4x +5在x ＝﹣2处取极值（a ∈R ）．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[﹣3，3]上的最大值．题型二.已知极值、最值求参考点1.利用二次函数根的分布1．若函数f （x ）＝x 3﹣3bx +b 在区间（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是（） A ．（﹣∞，1）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，0）2．已知函数f （x ）=13x 3−12ax 2+x 在区间（12，3）上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞）C ．（2，52）D ．（2，103）考点2.参变分离3．若函数f （x ）=x 33−a 2x 2+x +1在区间（12，3）上有极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．（2，52）B ．[2，52）C ．（2，103） D ．[2，103）4．已知函数f(x)=e xx 2+2klnx −kx ，若x ＝2是函数f （x ）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（） A ．(−∞，e 24] B ．(−∞，e 2]C ．（0，2]D ．[2，+∞）考点3.分类讨论5．已知函数f （x ）＝ax −1x −（a +1）lnx +1在（0，1]上的最大值为3，则实数a ＝． 6．已知函数f(x)=(12x 2−ax)lnx −12x 2+32ax ．（1）讨论函数f （x ）的极值点；（2）若f （x ）极大值大于1，求a 的取值范围．7．已知函数f （x ）＝lnx −a x（a ∈R ）（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）若函数f （x ）在[1，e ]上的最小值为32，求a 的值．考点4.初探隐零点——设而不求，虚设零点8．（2013·湖北）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．f(x1)＞0，f(x2)＞−12B．f(x1)＜0，f(x2)＜−12C．f(x1)＞0，f(x2)＜−12D．f(x1)＜0，f(x2)＞−129．已知f（x）＝（x﹣1）2+alnx在(14，+∞)上恰有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)x2的取值范围为（）A．(−3，12−ln2)B．(12−ln2，1)C．(−∞，12−ln2)D．(12−ln2，34−ln2)10．（2017·全国2）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．课后作业.极值、最值1．若函数f （x ）＝（x 2+ax +3）e x 在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，﹣2]C ．（﹣∞，﹣3）D ．（﹣∞，﹣3]2．已知函数f(x)=xe x −13ax 3−12ax 2有三个极值点，则a 的取值范围是（） A ．（0，e ）B ．(0，1e)C ．（e ，+∞）D ．(1e，+∞)3．已知f （x ）＝e x ，g （x ）＝lnx ，若f （t ）＝g （s ），则当s ﹣t 取得最小值时，f （t ）所在区间是（） A ．（ln 2，1）B ．（12，ln 2）C ．（13，1e）D ．（1e，12）4．已知函数f （x ）＝lnx +x 2﹣ax +a （a ＞0）有两个极值点x 1、x 2（x 1＜x 2），则f （x 1）+f （x 2）的最大值为（） A ．﹣1﹣ln 2B ．1﹣ln 2C ．2﹣ln 2D ．3﹣ln 25．已知函数f(x)=lnx +12ax 2+x ，a ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

高三数学第二轮专题讲座复习：导数的应用问题

值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的
y′的符号，若改变符号，则该点为极
值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为
0 的点处取得，但可
得函数的极值点一定导数为 0
3 可导函数的最值可通过 ( a, b) 内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的
极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的
3 5cos 40a sin2
令 f′ (θ )=0, 得 cosθ= 3 根据问题的实际意义，当 cosθ = 3 时，函数取得最小值，
5
5
此时 sinθ = 4 ,∴ cotθ = 3 ,∴ AC=50－ 40co t θ=20(km), 即供水站建在 A、 D 之间距甲厂
5
4
20 km 处，可使水管费用最省例 3 已知 f (x)=x2+c,且 f［ f(x) ］=f (x2+1)
高三数学第二轮专题讲座复习：导数的应用问题
高考要求
利用导数求函数的极大 (小 )值，求函数在连续区间［ a,b］上的最大最小值，或利用求导
法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简
单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点
本节内容主要是指导考生对这种方法的应用
重难点归纳
1 f(x)在某个区间内可导，若 f′(x)＞ 0,则 f(x)是增函数；若 f′ (x)＜ 0,则 f(x)
2 求函数的极值点应先求导，然后令 y′ =0 得出全部导数为 0 的点， (导数为 0 的点不
一定都是极值点，例如
y=x3,当 x=0 时，导数是 0，但非极值点 )，导数为 0 的点是否是极

高中数学《导数的概念》公开课优秀课件

高中数学《导数的概念》公开课优秀课件标题：高中数学《导数的概念》公开课优秀课件尊敬的各位老师，大家好！今天我们将一起学习高中数学中一个非常重要的概念——导数的概念。

这个概念在微积分学中占据了重要的地位，对于我们理解函数的变化率，以及在科学、工程、经济和计算机科学等领域都有广泛的应用。

一、导数的定义首先，让我们来看看导数的定义。

假设有一个函数f(x)，在某一点x0的附近取一系列的点，这些点的横坐标是x0+Δx。

那么，函数f(x)在点x0的导数就是这一系列点的纵坐标f(x0+Δx)与横坐标之商的极限，记作f'(x0)。

二、导数的几何意义从几何意义上来看，导数表示函数在某一点处的切线的斜率。

当我们把函数在x0附近的点沿着横坐标逐渐移动时，该点的纵坐标会相应地变化，这个变化率就是导数。

三、导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决很多实际问题。

例如，在物理学中，导数被用来描述物体的运动学和动力学问题，如速度和加速度；在经济学中，导数被用来分析成本、收益和价格的变化；在计算机科学中，导数被用来研究图像处理和人工智能的问题。

四、导数的计算导数的计算有很多方法，其中最常见的方法是使用导数的定义。

我们可以根据定义来推导出一些基本的导数公式，如常数函数的导数为0，幂函数的导数与其指数有关，三角函数的导数与其角度有关等。

五、总结与复习今天我们学习了导数的概念和计算方法。

导数是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。

通过学习导数的定义和基本公式，我们可以解决很多实际问题。

六、作业与扩展阅读为了加深对导数概念的理解，请大家完成以下作业：1、复习并熟练掌握导数的基本定义和公式；2、自行寻找并解决一到两个与导数相关的问题（可以从物理、经济或计算机科学等领域寻找）。

同时，我推荐大家阅读《微积分的概念》这本书，作者是著名的数学家Richard Courant。

这本书对微积分的概念有深入且生动的解释，对于我们深入理解导数的概念非常有帮助。

3.1导数的概念及运算课件高三数学一轮复习

×
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；

《高中数学导数讲解》课件

积分
导数是积分的基础，通过求导可以推导出原函数的表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题中起到关键作用，如物理中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼茨在17世纪分别独立发现，为微积分学奠定了基础。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日等数学家进一步发展了导数理论，将其应用于函数研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在物理、工程、经济等领域得到广泛应用，成为解决实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。

高三数学二轮复习专题讲解11 导数中的同构问题

高三数学二轮复习专题讲解第11讲函数与导数—导数中的同构问题专题综述同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化成比较大小,或者解恒成立，求最值等问题.同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两则的结构一致.构造函数，判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式.专题探究探究1：指对跨阶型解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的结构，()f x 即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①ln xx xxe e+=；②ln xx x e e x-=；③ln x xx x e e -=；④()ln ln x x x xe +=；⑤ln ln x e x x x -=. 答题思路：1.直接变形：（1）积型：b b ae aln ≤⇒()ln ln a b x a e b e f x xe ⋅≤⋅⇒=（同左）；ln ln a a e e b b ⇒⋅≤⋅()ln f x x x ⇒=（同右）； ⇒()ln ln ln ln a a b b +≤+⇒()ln f x x x =+（取对数）.说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.（2）商型：b b a e a ln <⇒ln ln a b e e a b <()x e f x x⇒=（同左）； ln ln a ae be b⇒<⇒x x x f ln )(=（同右）； ⇒)ln(ln ln ln b b a a -<-⇒x x x f ln )(-=（取对数）.（3）和差型：b b a e aln ±>±⇒ln ln abe a eb ±>±⇒x e x f x ±=)(（同左）；ln ln a a e e b b ⇒±>+⇒x x x f ln )(±=（同右）.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x ，同加上x 等，再用上述方式变形.常见的有： ①x aeaxln >ln ax axe x x ⇒>；②[]ln 1ln()ln (1)1ln ln(1)1xxx a e a ax a a e a x e a x a->--⇒>--⇒->--ln ln(1)ln ln(1)1ln(1)x a x e x a x x e x --⇒+->-+-=+-；③ln ln ln log (ln )ln ln xx ax a a xa x e x a e x x a>⇒>⇒>；(2022重庆市市辖区模拟)若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (],e -∞C. (],1-∞D. (],2-∞【审题视点】不等式中有指、对数结构，不等式两侧都加上x ，即能出现同构法中的“和差型”.【思维引导】由不等式的结构判断，通过将不等式变形为ln x a e x a x x -+-≥+，符合同构法中的指对同阶模型，或者直接构造含参函数，分类讨论.【规范解析】解：ln x a e x a -+…，ln x a e x a x x -∴+-+…，ln ln x a x e x a e x -∴+-+…设()t f t e t =+，则()10t f t e '=+>∴()f t 在R 上单调递增故ln ln x ax ex a e x -+-+…即()()ln f x a f x -…，即ln x a x -…即ln x x a -…设()ln g x x x =-，则()111x g x x x-'=-=，令()0g x '>，则1x > ∴()g x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递减故()()min 11g x g ==，故1a …故选.C【探究总结】不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度.故要对常见不等关系的结论（专题1.3.8）及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.(2022山东省泰安市一模)已知()2ln 12a f x x x x =++.（1）若函数()()cos sin ln 1g x f x x x x x x =+---在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有1个零点，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()212x aa xef x x ax -=-+-有两个不同的实数解，求a 的取值范围.探究2：双变量型含有同等地位的两个变量12,x x 的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.答题思路：常见的同构类型有：①[]12211121()()()()()()()()g x g x f x f x g x f x g x f x λλλ->-⇒+>+()()()h x g x f x λ⇒=+； ②12121212112212()()()()()()()f x f x k x x f x f x kx kx f x kx f x kx x x -><⇒-<-⇒-<--()()h x f x kx ⇒=-；③1212121212121221()()()()()()f x f x k x x k k k x x f x f x x x x x x x x x --<<⇒->=--1212()()k k f x f x x x ⇒+>+()()k h x f x x⇒=+. (2022江西省萍乡市联考)已知函数()()21ln011x ax f x a x e -=+>--，（1）求函数()f x 的定义域；（2）对1x ∀，21(0,)2x ∈，当21x x >时，都有212111()()11x x f x f x e e -<---成立，求实数a 的取值范围．【审题视点】第（2）问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，不等式转化函数单调性问题.【思维引导】双变量的恒成立不等式，分离变量，不等式变形212111()()11x x f x f x e e -<---，构造函数()h x，由不等式得出函数()h x 的单调性.【规范解析】解：（1）由题意得 20110x ax x e -⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，即2()(1)00a x x ax ⎧-->⎪⎨⎪≠⎩，①当02a <<时，21a >，函数()f x 的定义域为2(,0)(0,1)(,)a-∞+∞；②当2a =时，21a=，函数()f x 的定义域为{|1x x ≠且0}x ≠，③当2a >时，21a<，函数()f x 的定义域为2(,0)(0,)(1,)a -∞+∞；（2）由题意得1x ∀，21(0,)2x ∈，当21x x >时，212111()()11x x f x f x e e -<---设()12()ln 11x ax h x f x e x -=-=--，则()()21h x h x < ()h x ∴在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减设2(1)22()111ax a x a a u x a x x x --+--===+---，即函数()u x 在1(0,)2上是减函数，且1()02u …，2012201120a a a ->⎧⎪⎪-⎪∴⎨⎪-⎪⎪>⎩…，解得24a <…，∴实数a 的取值范围为(2,4].【探究总结】典例2中出现的双边量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确.针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数得出单调性.构造的函数可能是抽象函数，也可能是具体函数，利用函数单调性，解不等式.(2022江苏省苏州市联考)已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意1x ，212[2,)()x x x ∈+∞≠，存在3[1,]2a ∈，使1212()()f x f xm x x ->-成立，则实数m 的取值范围是（）A. (,2]-∞B. (-∞C. 5(,]2-∞D. 11(,]4-∞探究3：同构放缩或同构换元共存型有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法（探究一）先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者本身不等式的结构不特殊，可以先结合常用不等结论（专题1.3.8）放缩，使结构特殊再同构，但要注意取等号的条件等. 常见的放缩模型：（1）利用1x e x ≥+放缩：①ln ln 1x x xxe ex x +=≥++ ；②ln ln 1xx x e e x x x-=≥-+；③ln ln 1n x x n x x e e x n x +=≥++（2）利用xe ex ≥放缩：①ln (ln )xx xxe ee x x +=≥+；②ln ln 1x xx x e x x e-=≥-+；③ln (ln )n x x n x x e e e x n x +=≥+.（3）利用ln 1x x ≤-放缩：①ln ln()1x x x x xe xe +=≤-；②ln ln()1n x n xx n x x e x e +=≤-. （4）利用ln x x e≤放缩：①1ln ln()x x x x xe xe -+=≤；②1ln ln()n x n x x n x x e x e -+=≤.(2022河北省石家庄市联考)已知函数()()1ax f x x ea R -=⋅∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象经过点(1,1)，求证：0x >时，1ln ()0.xf x x e+⋅… 【审题视点】待证明的不等式中有x xe ，ln x x +，容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.【思维引导】第（2）问，求出1a =，显化不等式()1ln 0xf x xe +≥，进行指对变形，换元简化函数. 【规范解析】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为.R 当0a =时，()exf x =，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．当0a ≠时，1111()ee e ()ax ax axf x ax a x a ---'=+=+，令()0f x '>，即1()0a x a+>①当0a <时，1x a <-∴()f x 在区间1(,)a -∞-上单调递增；在区间1(,)a -+∞上单调递减．②当0a >时，1x a >-∴()f x 在区间1(,)a -∞-上单调递减，在区间1(,)a-+∞上单调递增．（2）若函数()f x 的图象经过点(1,1)，则1(1)1a f e -==，得1a =，则111ln ()ln 1ln 1e e exx x x f x x x xe x x x +=++-=+-，设xt xe =，则当0x >时，()0,t ∈+∞ 设()1ln 1g t t t =+-，则()22111t g t t t t-'=-+= 令()0g t '>，则1t >∴()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增∴()()()min 10g x g x g ≥== ∴当0x >时，1ln ()0x f x xe+…恒成立．【探究总结】同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“一致性”，再换元，大大降函数研究的难度.但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或着变形为()()f x g x >的结构，比较最值.(2022江苏省南京市模拟)已知函数()ln f x x ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设1()()x g x exf x -=+，若()0g x …恒成立，求a 的取值范围．专题升华同构思想不仅仅应用于导数部分，整个高中数学中，在方程、不等式、解析几何、数列部分都有体现，本质上是变形，使结构一致，转化为其它知识点求解.①方程中的应用：()()00f a f b ==⎧⎨⎩⇒两式结构相同，转化为,a b 为方程()0f x =的两根；如：若函数()f x m =在区间[],a b 上的值域为(),122a b b a ⎡⎤>≥⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是.思路：由()f x 单调递增⇒()()22a f a bf b ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⇒,a b 为方程()2x f x =的两个根. ②不等式中的应用：不等式两侧化为相同结构，利用函数单调性，比较大小，或解不等式；如：若()[)5533cos sin 7cos sin ,0,2θθθθθπ-<-∈，则θ的取值范围是.思路：()55335353cossin 7cos sin cos 7cos sin 7sin θθθθθθθθ-<-⇒-<-，构造函数()537f x x x =-研究单调性.③解析几何中的应用：如点()()1122,,,A x y B x y 的坐标满足相同的关系式，即01102211y y mx y y mx =-⎧⎨=-⎩则直线AB 的方程为01y y mx =-，或得出两点在同一条曲线上；④数列中的应用：将递推公式变形为关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，如()113121311n n n n a a a a n n n n ++⎛⎫⎛⎫=++⇒+=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，可以构造辅助数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭解题.解题时，针对除变量外完全相同的结构式，要灵活的利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,从而找到解决问题的思路方法.同构法体现了发现、类比、化归等思想,是一种富有创造性的解决问题的方法.同构法为解题提供了突破口,从同构式中挖掘隐含条件,能让数学难题豁然开朗.【答案详解】变式训练1【解答】解：（1）由题意得2()cos sin 2a g x x x x x =+-，(0x ∈，]2π，则()(sin )g x x a x '=-，①当1a …时，sin 0a x -…，()0g x '>∴所以()g x 在(0，]2π单调递增， (0)0g =，故()g x 在(0，]2π上无零点；②当01a <<时，0(0,)2x π∃∈，使得0sin x a =，∴()g x 在0(x ，]2π上单调递减，在0(0,)x 上单调递增，又(0)0g =，2()128a g ππ=-故()()000g x g >= ∴()g x 在区间()00,x 上无零点i ）当21028a g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭即28a π>时，()g x 在(0，]2π上无零点，ii ）当21028a g ππ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭即280a π<…时，()g x 在(0，]2π上有一个零点， ③当0a …时，sin 0a x -<，()0g x '<∴()g x 在(0，]2π上单调递减，()g x 在(0，]2π上无零点，综上所述：当280a π<…时，()g x 在(0，]2π上有一个零点；（2）由2()1(0)2x a a xe f x x ax x -=-+->得x a xe xlnx ax -=+，即x a e lnx a -=+，则有()ln x a x a e e x lnx --+=+，令()h x x lnx =+，0x >，1()10h x x'=+>，∴函数()h x 在(0,)+∞上递增， ∴方程()()x a h e h x -=即为方程x a e x -=即ln a x x =-有2个不同的正实根设()x x lnx ϕ=-，则11()1x x x xϕ-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，当1x >时，()0x ϕ'>，所以函数()x x lnx ϕ=-在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()min x ϕϕ=（1）1=，当0x →时，()x ϕ→+∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，∴当1a >时，方程ln a x x =-有2个不同的正实根综上所述：()1,a ∈+∞.变式训练2【解析】解：令21()()ln 2g x f x mx x a x mx =-=+-，由1212()()f x f x m x x ->-得()1212()0g x g x x x ->-∴()g x 在[2,)+∞递增，[)()2,,0a x g x x m x '∴∀∈+∞=+-≥，即am x x+…恒成立，设()a h x x x =+，[)2,x ∈+∞，3[1,]2a ∈，则()ah x x x=+在[2,)+∞上单调递增，∴11 / 11 min ()(2)22a h x h ==+，故有22a m +…，3[1,]2a ∃∈，使得22a m +…成立，故(2)max 2a m +…，即11.4m …故选：D . 变式训练3【解析】解：（1）由题意得1().f x a x'=- ①当0a …时，()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增;②当0a >时，令()0f x '=得到1x a =，当10x a <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x a>时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减;（2）12()ln x g x e x x ax -=+-，令1x =，则(1)10g a =-…，故1a …，当1a …时，()l 2n 1211()ln 1ln ln 1x x x x g x e x x ax e x x x e x x x ----⎡⎤=--=+--⎦-+⎣-…，设()ln 1h x x x =--，则()111x h x x x-'=-= 令()0h x '>，则1x > ∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增设()[)1,0,x t x e x x =--+∞，则()10x t x e '=-≥∴()t x 在[)0,+∞上单调递增()()00t x t ∴≥=故()ln 1ln 110x x e x x ------≥，即()ln 1ln 110x x x e x x --⎡⎤----≥⎣⎦综上所述：当1a …时，()0g x ≥.()()()min 10h x h x h ∴≥==。

高考数学导数中存在、任意问题的转化策略专题课件-2023届高三数学二轮复习备考

=
=

令′
=
=
′
−

= −

−

= − −

=

= + −

= ++

∴ < +

>

= + −

−

13
双变双函篇
14
考查形式

∀ ∈ ，∀ ∈ 有 ≤
:
参
变
参小
:
变
参

大

参
≤

19
自己转化试一试看
∀ ∈ ，∀ ∈ 有 ≥

≥

∀ ∈ ，∃ ∈ 有 ≥

≥

∃ ∈ ，∀ ∈ 有 ≥

练习1. 已知函数 = − + + ∈ .
（1）求的单调区间；
（2）设 = − ，若对任意的 ∈ , ，均存在 ∈ , ，使得
< ，求的取值范围.

=
° ≠ 时 =
, +∞
5
例2. ∀ ∈ ， < ，求的取值范围.
∃ ∈ ， ≤ − ，求的取值范围.

0,1

∴≤

0, −1
−

∴<
6

第十二讲+导数与函数的极值、最值+课件——2025届高三数学一轮复习

B.f(x)有极小值 f(6)，极大值 f(10)
C.f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(3)和 f(10)
D.f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(10)
图 2-12-2
解析：观察题图可知，当 0＜x＜1 时，g(x)＞0，log3x－1＜0，则 f′(x)＜0；
当 1＜x＜3 时，g(x)＜0，log3x－1＜0，则 f′(x)＞0；当 3＜x＜10 时，g(x)≥0，log3x－1＞0，则 f′(x)≥0；当 x＞10 时，g(x)＜0，log3x－1＞0，则 f′(x)＜0. 综上所述，函数 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，10)上单调递
考点二利用导数求函数的最值 [例 4]已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，请说明理由.
解：(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a). 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝3a. 若 a＞0，则当 x∈(－∞，0)∪3a，＋∞时，f′(x)＞0，当 x∈0，a3 时，f′(x)＜0.故 f(x)在(－∞，0)，a3，＋∞上单调递增，在0，a3上单调递减；
③当 0＜a＜3 时，由(1)知，f(x)在[0，1]上的最小值为 fa3＝－2a73 ＋b＝－1，
最大值为 f(0)＝b 或 f(1)＝2－a＋b. 若最大值为 f(0)＝b＝1，则－2a73＋1＝－1，
解得 a＝33 2，与 0＜a＜3 矛盾；
若最大值为 f(1)＝2－a＋b＝1，又－2a73＋b＝－1，联立解得 a＝3 3或 a＝－3 3或x＋bx2，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝ax＋2bx， ∵f(x)在 x＝1 处取得极值 2， ∴f′(1)＝0 且 f(1)＝2，即ab＋＝22b，＝0，解得ab＝＝2－. 4，此时 f′(x)＝－4x＋4x＝4(x2x－1)，

高三数学导数的几何意义课件

总结词
导数可以用来研究函数的极值和最值问题，是解决这类问题的关键工具。
详细描述
函数的极值点一定是其导数为0的点，即一阶导数为0，二阶导数变号的点。因此，通过求导并分析导数的符号变化，可以找到函数的极值点，并进一步确定函数的最大值和最小值。此外，导数还可以用于研究函数的拐点、凹凸性等问题，是分析函数性质的重要工具。
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链式法则
对于复合函数，其导数为外层函数对内层函数的导数乘以内
层函数对自变量的导数。
指数法则
对于指数函数，其导数为指数函数与底数乘积的导数。
幂函数法则
对于幂函数，其导数为幂函数与指数的乘积的导数。
对数法则
对于对数函数，其导数为1除以函数值的导数。
隐函数的导数计算
参数方程表示法
通过参数方程表示的隐函数，其导数为参数对自变量的导数乘以自变量对参数的导数。
导数在功率和效率问题中的应用
总结词
导数在功率和效率问题中的应用，是研究机器性能的重要手段。
详细描述
在工程学中，功率和效率是衡量机器性能的重要指标。通过导数，我们可以找到机器在不同工作状态下的功率和效率变化规律。例如，在电动机的工作过程中，电机的输出功率和效率是电流i的函数，通过求导数，我们可以得到电机在不同电流下的输出功率和效率。
导数在函数单调性中的应用
总结词
导数的符号决定了函数的单调性，是研究函数单调性的重要工具。
详细描述
如果函数在某个区间内的导数大于0，则该函数在此区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数单调递减。因此，通过分析导数的符号变化，可以确定函数的单调性，并进一步研究函数的极值和最值问题。
导数在极值和最值问题中的应用
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高考冲刺名师讲座(数学)——解析几何、导数

高考冲刺讲座北京四中常毓喜一、解析几何例1设曲线l 的方程为y 4+(2x 2+2)y 2+(x 4-2x 2)=0，则①l 是轴对称图形 ②l 是中心对称图形③22{(,)|1}l x y x y ⊂+≤ ④11{(,)|}22l x y y ⊂-≤≤ 其中真命题是 .例2平面内到点F (0,1)和到直线l :y =-1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C .关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②若点P (x ,y )在曲线C 上,则| y |≤2；③若点P 在曲线C 上,则1≤|PF |≤4. 则所有正确结论的序号是 .例3已知直线1211:,:22l y x l y x =-=，椭圆2222:1x y C a b +=.点P 在C 上，过P 作PM 平行于l 1交l 2于M ，过P 作PN 平行于l 2交l 1于N . 若|MN |为定值，则A. a =2bB. a =3bC. a =4bD.a =5b例4已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，A (a ,0),B (0,b ),O (0,0)，△OAB 的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点,直线P A 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.例5已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点.M 判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.例6双曲线C 的方程为2213y x -=，左右焦点分别为F 1,F 2，过点F 2作一条直线与双曲线C 的右支交于点P ,Q ，使得∠F 1PQ =90°，则△F 1PQ 的内切圆半径是 .例7如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l :y =2x -4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x -1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．例9已知曲线C ：(5-m )x 2+( m -2)y 2=8(m ∈R ).（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y =kx +4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y =1与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.例10已知(01)P ,是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，点P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两点，直线P A 与直线4x =交于点M ，是否存在点A ，使得12ABP ABM S S ∆∆=？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.例11如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,F 为椭圆C 的右焦点,(,0)A a -,||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．例12点A (0,1)是椭圆2221(1)x y a a+=>的一个顶点，是否存在以A 为直角顶点的内接与椭圆的等腰直角三角形？若存在，说明共有几个；若不存在，请说明理由.二、导数一、准确理解导数的概念例1已知函数f (x )的图象如图所示，则下列结论正确的是A ．0<f ′(a )<f ′(a +1)<f (a +1)-f (a )B ．0<f ′(a +1)<f (a +1)-f (a )<f ′(a )C ．0<f ′(a +1)<f ′(a )<f (a +1)-f (a )D ．0<f (a +1)-f (a ) <f ′(a )<f ′(a +1)二、熟练掌握导数的基本应用例2若函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A ．函数f (x )有极大值f (-2),无极小值B ．函数f (x )有极小值f (1),无极大值C ．函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1)D ．函数f (x )有极大值f (1)和极小值f (-2)例3设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ′(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .例4已知函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,若对任意x ∈R , f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为 .例5设定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x R 恒成立,则A ．f (2)>e 2f (0),f (2017)>e 2017f (0)B ．f (2)<e 2f (0),f (2017)>e 2017f (0)C ．f (2)<e 2f (0),f (2017)<e 2017f (0)D ．f (2)>e 2f (0),f (2017)<e 2017f (0)例6已知函数1()2ln ()f x x mx m x =+-∈R ．（Ⅰ）若f (x )在(0,+∞)上为单调递减，求m 的取值范围；（Ⅱ）设0<a <b，求证：ln ln b a b a -<-三、突出转化思想例7已知函数f (x )=x e x -a e x -1，且f /(x )=e.（Ⅰ）求a 的值及f (x )的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f (x )=kx 2-2(k >2)存在两不相等个正实数根x 1, x 2，证明：124||ln ex x ->．例8设a ∈R ，函数2()()x a f x x a -=+．（Ⅰ）若函数f (x )在(0, f (0))处的切线与直线y =3x -2平行，求a 的值；（Ⅱ）若对于定义域内的任意x 1，总存在x 2使得f (x 2)< f (x 1)，求a 的取值范围.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，∈四、充分发挥导数作用例9若对任意的x 1,x 2∈[,2],都有+x 1ln x 1≥−−3成立,则实数a 的取值范围是 .例10设函数f (x )满足22e e ()2()(0),(2)8x x f'x xf x x f x +=>=，试讨论f (x )的极值.例11已知函数f (x )=e x -a ln x -a .（Ⅰ）当a =e 时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于任意a ∈(0,e)，f (x )在区间()e,1a 上有极小值，且极小值大于0.例12已知函数f (x )=e x +x 2-x ,g (x )=x 2+ax +b ，a ,b ∈R ．（Ⅰ）当a =1时，求函数F (x )=f (x )-g (x )的单调区间；（Ⅱ）若f (x )≥g (x )恒成立，求a +b 的最大值．例13已知函数f (x )=(x 2+ax -a )e 1-x , f '(x )是函数f (x )的导数，其中a ∈R ．（Ⅰ）求函数f '(x )的零点；（Ⅱ）证明：a ≥0是函数f (x )存在最小值的充分而不必要条件．四、合理使用重要工具1.e x ≥x +1；2.当x >0时，x -1≥ln x .例14证明: e x >ln(x +2).例15（1）求函数f (x )=1-x ln x -x 的最大值；（2）已知函数ln 1()e xx g x +=(e=2.71828…是自然对数的底数)，设h (x )=(x 2+x )g /(x ),其中g /(x )为g (x )的导函数. 求证：对任意x >0, h (x )<1+e -2.121a x 32x 22x。

高考数学精英备考专题讲座第一讲函数第二节导数与积分(理)

第二节导数与积分导数是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的各省高考试题,导数的考题分两个层次. （1）知识性试题以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向（其中多项式函数一般不超过三次，以e 为底的对数函数较多）.（2）综合性试题导数与不等式、导数与数列常是高考压轴题，同时考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，尤其是分类讨论思想，是近三年来高考命题的热点.难度值一般控制在0.5~0.7之间.考试要求 ⑴了解导数概念的实际背景；⑵理解导数的几何意义；⑶能求简单的复合函数的导数；⑷能用导数研究单调性,会求函数的单调区间；⑸了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件,会求极大值、极小值及闭区间上的最值；⑹会利用导数解决某些实际问题；（7）了解定积分的实际思想、基本思想及概念，了解微积分基本定理. 题型一导数的几何意义、极值理论及单调性质等例题1 给定两个函数32111(),().323m f x x x g x mx +=-=-解决下列问题：（I ）若()f x 在1x =处取得极小值，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于x 的方程()()0f x g x -=有三个不同的根，求m 的取值范围. 点拔:第（I ）小题()f x 在1x =处取得极小值，即知(1)0f '=，能解决函数()f x 所含参数m ，进而求()f x 单调区间.第（Ⅱ）小题是运用导数研究函数单调性求参数的逆向问题,即求导函数的函数值在区间(2,)+∞上恒大于0,进而转化为不等式的恒成立求函数最值.第（Ⅲ）小题可将问题转化为函数()()()h x f x g x =-的图象与x 轴有三个不同的交点,通过导数讨论函数的单调性与极值,利用数形结合求解.解:（I ）因为()f x 在1x =处取得极小值,所以(1)0f m '==.故3211()32f x x x =-.所以2()f x x x '=-.易知函数()f x 单调增区间是(,0)(1,)-∞+∞和;单调递减区间是(0,1).（Ⅱ）由题意可知2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间（2，+∞）为增函数,所以2(1)0x m x -+≥在区间(2,)+∞上恒成立,即1m x +≤恒成立.由于2x >,所以12m +≤,故1m ≤.（Ⅲ）设32111()()(),323m h x f x g x x x mx +=-=-+-故 2()(1)()(1)h x x m x m x m x '=-++=--.令()()(1)0h x x m x '=--=，得1x m x ==或，由（Ⅱ）知1m ≤.①当1m =时，2()(1)0h x x '=-≥，()h x 在R 上是单调递增，显然不合题意. ②当1m <时,(),()h x h x '随x 的变化情况如下表：欲使方程()()0f x g x -=有三个不同的根，即函数()()()h x f x g x =-与x 轴有三个不同的交点，则有3210623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩2(1)(22)01m m m m ⎧---<⇔⎨<⎩，解得1m <综上，m的取值范围是1m <易错点:①本题中在不同区间单调时用“和”,而不能用“⋃”连接.②恒成立问题分离变量m 易错求是1m <.③通过导数讨论函数的单调性与极值,并利用数形结合求解,学生难以掌握.变式与延申1：函数32()(32)f x ax bx c a b x d =++--+的图象如图所示.⑴若函数()f x 在2x =处的切线方程为3110,x y +-=求函数()f x 的解析式；⑵在（1）条件下，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与1()53y f x x m '=++的图象有且只有在三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型二导数与不等式例题2 设函数2()1x f x e x ax =---. (1)若0,a =求()f x 的单调区间;(2)若0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围.点拔:本题主要考查导数与不等式的相关知识,主要涉及利用导数判断函数的单调性,由(1)可得出的不等式1xe x ≥+(此不等式较隐蔽,有时甚至需要构造函数以便产生这样的不等式),是本小题的突破口,然后讨论参数a 的取值对导函数值符号的影响.分类讨论思想在此应用甚为关键.解:(1) 0a =时, ()1,() 1.x x f x e x f x e '=--=-当(,0),()0;x f x '∈-∞<当(0,),()0.x f x '∈+∞> 故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加.(2) ()12x f x e ax '=--.由(1)知1,x e x ≥+当且仅当0x =时等号成立.故()2(12)f x x ax a x '≥-=-,从而当120,a -≥即12a ≤时, ()0f x '≥(0)x ≥,而(0)0f =,于是当0x ≥时, ()0f x ≥.又由1(0x e x x ≥+≠可得1(0x e x x -≥-≠,从而当12a >时,()12(1)x xf x e a e -'<-+-(1)(2),x x x e e e a --=--故当(0,ln 2x a ∈时, ()0f x '<,而(0)0f =,于是当(0,l n 2x a ∈,()0f x <,综合得a 的取值范围为1(,]2-∞. 易错点: ①第(2)小题利用导数求()f x 的最小值,但方程()120x f x e ax '=--=难以求解;②对(1)式提供的不等式1x e x ≥+使用意识较低;③需强化分类讨论思想方法在解决含参不等式中的应用.变式与延申2：已知函数级()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)用a 表示出,b c ;(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围;(3)111n 1ln n n 232n n +++⋅⋅⋅+>≥证明：（+1）+（1）（+1）题型三导数与数列例题3 数列{}()n a n N *∈中，11,n a a a +=是函数322211()(3)332n n n f x x a n x n a x =-++的极值点.（1）当0a =时，求通项n a ；（2）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 点拔:本题导数的使用有如用药的“药引”，由极值的讨论唤出了的数列系列问题.由题明确求数列通项的本质是找递推式,而题中的递推式变化较大，应细致讨论.第(2)问中构造函数,利用导数将不等式的恒成立转化为求函数最值.解:易知'2222()(3)3(3)()n n n n f x x a n x n a x a x n =-++=--,令'2()0, 3n n f x x a x n =得＝，＝ ①23,n a n <若'3()0()n n n x a f x f x <>当时，，单调递增； 2'3,()0()n n n a x n f x f x <<<当时，单调递减；2',()0()n n x n f x f x <>当时，单调递增；故()n f x 在2,x n ＝时取得极小值.②23,1()3n n n a n f x x a >=若仿（）可得，在取得极小值. ③2'3,()0()n n n a n f x f x ≥若＝，无极值.(1)当0a =时,10a =,则2131a <.由①知, 2211a ==.因22332a =<,则由①知,2324a ==.因为233123,a =>则由②知, 43334a a ==⨯,又因为243364,a =>则由②知, 254334a a ==⨯.由此猜想:当3n ≥时,343n n a -=⨯.下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,23n a n >事实上,当3n =时,由前面的讨论知结论成立.假设当(3)n k k =≥时, 23k a k >成立,则由②知,213k k a a k +=>,从而22213(1)3(1)2(2)210k a k k k k k k +-+>-+=-++>,所以213(1)k a k +>+.所以当3n ≥时,23n a n >成立.于是由②知,当3n ≥,13n n a a +=,而34,a =因此343(3)n n a n -=⨯≥(2)存在a ，使数列{}n a 是等比数列.事实上,由②知,若对任意的n ,都有23n a n >,则13n n a a +=,即数列{}n a 是首项为a ,公比为3的等比数列,且13n n a a -=⋅.而要使23nan >,即23na n ⋅>对一切n N *∈都成立,只需23n n a >对一切n N *∈都成立.记23n n n b =，则123141,,,393b b b ===⋅⋅⋅. 令22211,(2ln 3)(2)333x x x x y x x x x '=-<-则y =,因此,当2x ≥时,0y '<,从而函数23xx y =在[2,)+∞上单调递减,故当2n ≥,数列{}n b 单调递减,即数列{}n b 中最大项为2b ,于是当49a >时,必有23n n a >,这说明,当4,9a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, 数列{}n a 是等比数列.当49a =时,可得212244,.34293a a a ====而,由③知,2()f x 无极值,不合题意.当1439a <<,可得1234,3,4,12,,a a a a a a ====⋅⋅⋅数列{}n a 不是等比数列. 当13a =时, 2311,a ==由③知,1()f x 无极值,不合题意.当1,3a <可得1234,1,4,12,,a a a a a ====⋅⋅⋅数列{}n a 不是等比数列. 综上,存在a ，使数列{}n a 是等比数列,且4,9a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭易错点:①多情况的分类讨论;②知识和方法较为综合. 变式与延申3：当正整数8n >时,比较.（本题可将8n >去掉,供思考）题型四导数与积分例题4 （Ⅰ）已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C. （i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为12,S S ，则12S S 为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0),g x ax bx cx d a =+++≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明.点拔:需把握好两点：一是定积分上下限的确定；二是降维思想的应用，寻求上下限变量之间的关系，其他变量全用变量1x 表示.另外本题对运算能力要求，计算时需谨慎，力求每步精确. 解法一（Ⅰ）（i ）由3()f x x x =-得2()31f x x '=-=3(x x ，当(,3x ∈-∞-和()3+∞时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<，因此，(x)f的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(. （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111(31)()y x x x x x =--+-，即2311(31)2y x x x =--，由23113(31)2y x x x y x x⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，得32311(31)2,x x x x x -=--即211()(2)0x x x x -+=，解得1x x =或12x x =-，故212x x =-，进而有1123234111127(32)4x x S x x x x dx x -=-+=⎰，用2x 替代1x ，重复上述计算过程，可得322x x =-和422274S x =，又2120x x =-≠，所以4212704S x =≠，因此12116S S =. （II ）记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等于3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C '与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())Px g x ，线段1223,P P P P 与曲线C '所围成封闭图形的面积分别记为12,S S ，则12S S 为定值；证明：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线()y g x =的对称中心(,())33b bg a a--平移至坐标原点，因而不妨设3(),0g x ax hx x =+≠且，类似（Ⅰ）（ii ）计算可得441121272716,044S ax S ax ⨯==≠，因此12116S S = 解法二(Ⅰ)同解法一（II ）记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等于3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C '与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())Px g x ，线段1223,P P P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为12,S S ，则12S S 为定值；证明：由32(0)y ax bx cx d a =+++≠得c bx ax y ++=23'2，所以曲线C '在点111(,())P x g x 处的切线方程方程为2321111(32)2y ax bx c x ax bx d =++--+，由232111132(32)2y ax bx c x ax bx d y ax bx cx d⎧=++--+⎪⎨=+++⎪⎩，得()3222311113220ax bx ax bx x bx ax +-+++=，化简：得到0)2()(121=++-ax b ax x x ，112b x x x x a ∴==--或，即212bx x a=--，故 123223211111[(32)2]x x S ax bx ax bx x ax bx dx =+-+++⎰=413(3)12ax b a +，用2x 代替1x ，重复上述过程，可得322b x x a =--和4442112333(3)(62)16(3)0121212ax b ax b ax b S a a a+--+===≠ 所以12116S S = 易错点:①本题思维量较小，但由积分公式计算面积，字母计算的整体代换等运算求解能力要求较高，不容易正确；②对曲线()y g x =的对称中心(,())33b bg a a--会有理解障碍，影响化归与转化思想应用.变式与延申4：已知3y ax bx =+通过点(1,2)，与22y x x =-+有一个交点1x ，且0a <,10x >.（1）求3y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S.（2）a ,b 为何值时，S 取得最小值.本节主要考查：（1）求切线方程，讨论单调性，求极值和最值，导数与不等式问题，利用积分计算图形面积.（2）构造函数，证明不等式. 函数含参时，不等式有解或恒成立转化为求函数最值或对参数进行分类讨论. 讨论极值点位置时用到根的分布知识.（3）考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，尤其是分类讨论思想，是近年来高考命题的热点.点评: 导数的思想方法和基本理论能在的许多问题上起到居高临下和化繁为简的作用.备考应注意以下几个方面:(1)导数的意义:变化率和切线的斜率,能够设切点坐标求切线方程.函数的单调区间和函数在某区间单调的区别；(2)导数作为工具使用:如利用单调性求最值、证明不等式、解决数列、解决不等式恒立或方程解等问题；(3)注意各小题之间的承接与提示作用，以及以e 为底的指对数与一次多项式之间的不等关系(如例2中1x e x ≥+)；(4) 积分是大学内容的下放,要求能对公式进行应用,求面积方面问题较多.(5) 注重导数与其他知识的交汇,重点知识重点抓,使常见数学思想方法融会贯通.习题1-21．已知2()3(2),(2)f x x xf f ''=+则则()'0f = .2．已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥ (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，(1)f )处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间.3. 设()y f x =为三次函数,且图像关于原点对称,当12x =时,()f x 的极小值为1-.(1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间;(2)记()()(31)6,g x f x m x '=+-+若()g x 在[0,1]上至少有一个0x ,使得0()0g x =,求实数m 的取值范围.4．已知二次函数2()f x ax bx c =++，直线1:2l x =，直线22:8l y t t =-+ （其中02t ≤≤，t 为常数）；.若直线l 1、l 2与函数()f x 的图象以及2l 、y 轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.（Ⅰ）求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数()S t 的解析式.5．设()()()ln 10x f x x x+=>（I ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式ln(1)x ax +<在(0,)+∞上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求证：1(1)n e n+<，n N *∈（其中e 为自然对数的底数）.。