高三数学导数专题讲座

芦溪中学2008年复课备考《导数》（文科）专题讲座

一、基础训练：

1． 曲线313y x x =

+在点4

(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ．23

解：曲线32

112,3y x x y x k '=+⇒=+⇒=在点4(1,)3

处的切线方程是42(1)3y x -=-，它与坐标轴的

交点是(31

，0)，(0，－32)，围成的三角形面积为19

，选A 。

2．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，

内单调递增，4

:3

q m ≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

解：()f x 在()-∞+∞，

内单调递增，则()f x '在()-∞+∞，上恒成立。 23400x x m ⇒++≥∆≤⇒从而43m ≥；反之，4

:3

q m ⇒≥()0f x '≥，

()f x ∴在()-∞+∞，内单调递增，选C 。

3．曲线32

242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是___________

解：点(1，-3)在曲线32242y x x x =--+上，故切线的()

'2

11|344|5x x k y x x ====--=-

∴切线方程为()351y x +=--，即520x y +-=

4．已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .

解：令123)('2

-=x x f ＝0，得1x ＝2，2x ＝－2，)3(-f ＝17，f （3）＝－1， f （－2）＝24，

f （2）＝－8，所以，M －m ＝24－（－8）＝32。

二、例题精讲：

例1．设函数3

2

()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2

()f x c <成立，求c 的取值范围。

解：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即

66302

41230a b a b ++

=⎧⎨

++=⎩，． 解得3a =-，4b =．

（2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．

则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，

所以 2

98c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，，．

例2．设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-即3

3

ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c = ∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为

1

6

，因此，'(1)36f a b =+=-∴2a =，12b =-，0c =．

（2）3()212f x x x =-，2'()6126(f x x x x =-=，列表如下：

所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞

（3）∵(1)10f -=，f =-(3)18f =

∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-

例3．已知函数3

21()(2)13

f x ax bx b x =

-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．

（1）证明: 0a >；（2）求z=a+2b 的取值范围。 解：求函数()f x 的导数2

()22f x ax bx b '=-+-．

（1）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．所以

b

a 2 1

2 4

O 4677A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， (42)C ，

(22)B ，

12()()()f x a x x x x '=-- 当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，

由10x x -<，20x x -<得0a >． （2）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即20

2204420b a b b a b b ->⎧⎪

-+-<⎨⎪-+->⎩．

化简得20

3204520b a b a b ->⎧⎪

-+<⎨⎪-+>⎩

．此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：

203204520b a b a b -=-+=-+=，，所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：

46(22)(42)77A B C ⎛⎫

⎪⎝⎭

，，，，，． z 在这三点的值依次为

16687

，，． 所以z 的取值范围为1687⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

例4．设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值。

解：（1）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，

(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．

（2）2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-，22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---． 令()0f x '=，解得3

a

x =

或x a =．由于0a ≠，以下分两种情况讨论． 若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：