1.3装箱问题与背包问题

其在工业生产及日常生活中有广泛的用途， 其应用在实际生活中无处不在，货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分 配、共享资源调度、文件存储都是装箱问题 在实际应用中的体现。所以具有重要的研究 价值。
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编 号为1、…、n的n种物品，体积分别为v1、 v2、…、vn。将这n种物品装到容量都为V的若 干箱子里(更一般的装箱问题还可以要求容量 不是相同的)。约定这n种物品的体积均不超过 V，即对于1≤i ≤ n，有0＜vi≤V。不同的装箱方 案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求 使装尽这n种物品的箱子数要少。
按本例所给数值，取j=0时，因就是前述普通贪婪 算法，已经得到100的结果；取j=1时，共有8种方 案，当用29或23先装入时，可得到54+29+23+1=107 的更好结果；取j=2时，共有28种方案，其中有能 将背包完全装满的结果（43+23+29+14+1=110）。 故知此问题当取k≥2时就可得到最优解。
xij =1表示物品j装入箱 子i ，反之表示物品j未
放入箱子i
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个 物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有 可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所 有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为 此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即 贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放 进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解， 但还是能找到非常好的解。
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 预置已用箱子链为空； 预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
if （已用箱子都不能再放物品i） { 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； box_count++； }
n≤m时，我们只要将机器i的[0,ti]时间区间分配给作业i即 可。
当n＞m时，我们首先将n个作业依其所需的处理时间从大 到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理器。
例 如 ， 设 7 个 独 立 作 业 {1,2,3,4,5,6,7} 由 3 台 机 器 M1,M2,和M3来加工处理。各作业所需的处理时间分别为 {2,14,4,16,6,5,3}。按贪婪算法产生的作业调度如图所示， 所需的加工时间为17。
降序首次适应算法 （FFD）: 先将物体按长度从大到小排序,然后按FF算法对 物体装箱.
不失一般性，对n件物品的体积按从大到小排好序， 即有v1≥v2≥…≥vn，然后按排序结果对物品重新 编号即可。
离线算法：如果算法在开始装箱之前，已经预先 得到了所有物品的信息而一次性的确定装箱策略， 这种算法就被称为离线算法。降序首次适应算法 和降序最佳适应算法是两个重要的离线算法。 这里的降序首次适应算法就是一种贪婪算法。
如果对上述算法作一些改进，可得到更好的结果。 先从n个物体中试着取j个总体积不超过C的装入背包， 剩下的(n-j)个物体则利用贪婪算法尽量往里装。此 j值从零开始逐渐增加，反复进行试探，直至j达到 某预先给定的常数k(0<k<n)，最后从这些结果中取 其最好的一个。如果在试探中能得到一个完全装满 的方案，则此过程就可提前结束。因为从n个物体中 取出j个共有 C种nj方案，此值随着j的增加而增加较 快，但可以证明此改进算法的复杂性为O（knk+1）, 因k是常数，故仍为多项式界的blem）
当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽 可能装满不是一件很容易的事，你往往需 要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一 个很难的组合优化问题，即使用计算机也 是不容易解决的。
装箱问题是一个经典的NP难解问题，这 意味着该问题不存在在多项式时间内求 得精确解的算法（如果P≠NP）,因此对 装箱问题算法的研究指的是对其近似算 法的研究，所谓近似算法即该算法可以 求得与精确解接近的结果,但不一定得到 精确解。
装箱问题在工业生产及日常生活中有广泛的用 途，其应用在实际生活中无处不在，如货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分配、共 享资源调度、文件存储都是装箱问题在实际应用中 的体现。所以具有重要的研究价值。
例2: 多处理器调度问题
设有n个独立的作业{1,2,…,n}，由m台相同的机器进行
加工处理。作业i所需的处理时间为ti。现约定，任何作业 可以在任何一台机器上加工处理，但未完工前不允许中断处
背包问题也是经典的NP-hard组合优化问题之一, 在经济管理、资源分配、投资决策、装载设计等 领域有着重要的应用价值。
设 x j为二进制变量，如果物品j被放入背包，则 x j 1，否则 x j 0 。
背包问题的数学模型描述如下：
n
max c j x j j 1
n
s.t. w j x j W x j {0,1}, j 1,2, , n j 1
适应算法的特点是当处理当前物品，如果有已经打 开的箱子中能够放下这个物品，则不打开新的箱子。
在线算法：如果一个近似装箱算法在执行过程中， 每当一个物品到达时，就立刻决定把该物品放入哪 个箱子中，而不管后序物品如何，这种算法就被称 为在线算法。下次适应算法、首次适应算法等都是 在线算法，其时间复杂度都为O(n) 。
注： 1、算法主要的运算时间是用来对n个元素进行排序， 故其复杂性是O（nlogn）。 2、对于解决0/1背包问题，总得来讲，动态规划比 贪婪算法要好些，可以得到最优解。
最后循环
FF（First Fit－首次适应 ）算法：按照物体 给定的顺序装箱：把物品wi放到第一个箱子 中。 B1 B2 …Bj是当前已经使用过的箱子， 在这些箱子中找一个长度不小于wi且下标最 小的箱子,将放入wi，如果不存在这样的箱子, 则另开一个新箱子Bj+1 , 将wi放入Bj+1中 。
以上算法都称为在线适应算法，
算法流程
(1)输入物品个数n, 背包的容量limitW, 每个物品的 重量wj 和价值cj。 (2)对物品按单位价值从大到小排序。
(3)将排序后的物品依次装入背包。对于当前物品j, 若背包剩余可装重量大于或等于wj , 则 (cj /wj) 将物品j装入背包, 继续考虑下一个物品j+1, 重复步 骤3,否则得到问题的解,输出。
理。任何作业不能拆分成更小的子作业。
多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个
作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。
[分析]这个问题可以看成装箱问题，也是NP完全问题。对
于这一类问题，用贪婪选择策略有时可以设计出较好的近似
算法。采用最长处理时间作业优先的贪婪选择策略可以设计
出解多处理器调度问题的较好的近似算法。按此策略，当
装箱问题的LINGO软件求解
例1 已知30个物品,其中6个长0.51m，6个长 0.27m，6个长0.26m，余下12个长0.23m， 箱子长为1m，问最少需多少个箱子才能把30 个物品全部装进箱子。
见lingo程序
装箱问题的近似求解算法
NF（Next Fit－下次适应）算法：按照物 体给定的顺序装箱：把物品wi放到它第 一个能放进去的箱子中。Bj是具有最大 下标的使用过的箱子，若wi的长度不大 于Bj的剩余长度，则把wi放入Bj，否则 把wi放入一个新的箱子Bj+1，且Bj在以 后的装箱中不再使用。
装箱问题的数学表示如下（ ： 0-1规划模型）
n
min z( y) yi
i 1
n
s.t.
j xij Vyi
j 1
i N {1, , n}
n
xij
1 jN
yi =1表示箱子i装入物品， 反之表示箱子i空着
i 1
yi 0或1 i N xij 0或1 j N
如直接用贪婪算法，将物体由大到小顺次 装入背包，到装不下时再逐个试装更小的一些， 直至试到最小的一个或装满为止。按此处所给 数据，先装入54和45两个，容积尚余11，最后 只能再装入体积为1的一个，总体积达到100， 并不算太满。此方法的好处是节省时间，主要 的运算时间是用来对n个元素进行排序，故其复 杂性是O（nlogn）。
else 将物品i放入箱子j；
}}
装箱问题中最早被研究的是一维装箱问题。随 着研究的深入，人们发现实际生活中更多存在 的是一些带约束的装箱问题，因此也就抽象化 出了，如二维装箱问题（条形装箱问题、剪裁 问题）、三维装箱问题、变容装箱问题、有色 装箱问题、对偶装箱问题等等一系列的带约束 的装箱问题。但是由于这些问题所与生俱来的 复杂性，虽然已经有一些研究成果发表了，但 是其研究还是相当的困难。本文所讨论的还是 一维装箱问题。
问题自身的特性决定了该问题运用贪婪算法可以
得到最优解或较优解。通常这里有三种贪婪准则:
1、价值贪婪准则：从剩余的物品中，选出可以装入 背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大 的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下 一个价值最大的物品，如此继续下去，这种策略不 能保证得到最优解。 2、质量贪婪准则：从剩下的物品中选择可装入背包 的重量最小的物品，在一般情况下也不一定能得到 最优解。 3、价值密度贪婪准则：从剩余物品中选择可装入包 的cj /wj 值最大的物品，即按cj/wj 非递增的次序装 入物品，只要正被考虑的物品装得进就装入背包， 这种策略可能会得到最优解。
当n＞m时，因此算法所需的计算时间复杂度为O(nlogn) 。
例如,一个软件开发小组要在规定时间内完成 一项任务,系统分析员把任务划分成各个子任 务.由于每个子任务要求的花费程序员的时间 不同,不合理的分派将导致各程序员贻误工期. 这就是一个多处理器调度问题的应用。
二、一维0/1背包问题
设有n=8个体积分别为54，45，43，29，23，21， 14，1的物体和一个容积为C=110的背包，问选 择哪几个物体装入背包可以使其装的最满。