第二节 微积分基本公式

x x0
x
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说明:
1)定理 2: 连续函数 f (x) 一定有原函数, 函数
( x)
x
f (t)dt
就是f(x)的一个原函数.
a
2) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
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3) 其他变限积分求导
d ( x) f (t )d t f [ ( x)]( x)
设f ( x)
2 sin
x
1
1
t
2
dt
,
求f
(
x
).
解
f ( x)
sin 2
x
1
1
t
2dt
f ( x)
1 1 sin2 x
(sinx)
cos x 1 sin2 x
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例3
设f ( x)
x
2
e
t
dt
,
求f
(
x
).
x3
解
f (x) 0 etdt x2 etdt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
所以 lim x0
1 e t 2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
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例5 确定常数 a , b , c 的值, 使
解 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
第五章
第二节 微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 四、小结
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一、问题的提出 (v(t)和s(t)的关系)
例 设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t)
是时间间隔[T1,T2 ]上t的一个连续函数,且v(t) 0,
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动的路程为
T2 v(t)dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1 ).
其中 s(t) v(t)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
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二、积分上限函数及其导数
设f (x)在[a,b]上可积, 则对任一点 x [a,b],
的增量. （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题—— 不定积分与定积分两者之间的内在联系。
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
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例6 设 f ( x)在[0,1]上连续, 且 f ( x) 1. 证明
x
2x 0 f (t )dt 1
在 [0,1]上只有一个解.
证
令 F(x) 2x
x
f (t)dt 1,
0
因为 f ( x) 1, 所以F ( x) 2 f ( x) 0,
从而F ( x)在[0,1]上为单调增加函数,
由于 F (0) 1 0,
1
1
F (1) 1 0 f (t)dt 0 [1 f (t)]dt 0,
所以F ( x) 0,即原方程在[0,1]上只有一个解.
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例7
证明
只要证
F( x) 0
在
内为单调递增函数 .
x
x
证
x f ( x)0 f (t)d t f ( x)0 t f (t (t)dt f ( x) (a x b)
dx
dx a
从而 ( x)是f ( x)在[a, b]上的一个原函数.
xx
证 因为 ( x x)
f (t)dt
a
( x x) ( x)
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( x x) ( x)
y
y f (x)
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
( x) f ( )
x x
定积分性质8 O a
x
•
x
•
xb
x
x f (t)dt f ( )x 在x与x x之间.
f ( ) x
积分中值定理
因f ( x)在[a, b]上连续,而x 0时, x.
故 ( x) lim lim f ( ) f ( x)
x3
0
x3 etdt x2 etdt
0
0
f ( x) d x2 etdt d x3 etdt
dx 0
dx 0
e x2 2x e x3 3 x 2
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例4
1 et2dt
求 lim x0
cos x
x2
.
0型
0
解
此为0 型未定式,使用洛必达法则. 0
因为 d 1et2dt d cos x et2dt
x
0
f
(t )d t
2
x
f ( x)0 ( x t) f (t)d t f ( x) ( x ) f ( ) x 0
x
0
f
(t )d t
2
x
0
f
(t)dt 2
(0
x)
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三、牛顿 – 莱布尼茨公式 （微积分基本公式）
定理3
函数 , 则 b f ( x)dx F (b) F (a). ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) a
证 根据定理 1,
的一个原函数，故
x
F(x) a f (t)dt C
x
因此 a f (t)dt F(x) F(a)
得
记作
记作
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b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a
)
F
(
x )ba
注 微积分基本公式表明：
(1) 一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它在该区间上的任意一个原函数在区间[a, b]上
y
y f (x)
x
( x)
(x) f (x)dx a
x
Oa x
bx
(x) a f (t)dt
注 一定要分清函数的自变量x与积分变量t.
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积分上限函数
(x)
x
f (t)dt
a
由积分的性质：
b
f (x)d x
a f (x) d x, 有
a
b
b
x
x f (t)dt b f (t)dt ,
dx a
d
dx
(x) (x)
f
(t )d t
d dx
a
f (t)dt
(x)
(x)
a f (t )d t
f [( x)]( x) f [ ( x)] ( x)
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例1 设f ( x)
x 0
t
2
t t
dt 1
,求f
(
x).
解
f ( x)
x x2 x 1
例2
所以，我们只需讨论积分上限函数.
b f (t)dt 称为积分下限函数. x
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下面讨论积分上限函数的可导性:
定理1 (原函数存在定理) 设f ( x) C[a, b],
则积分上限函数 ( x)
x
f (t)dt
a
是[a, b]上的可导函数, 且对上限的导数等于
被积 函数在上限处的值.即