导数在解决实际问题中的应用.

导数在解决实际问题中的应用
导数在解决实际问题中的应用研究导数用到的主要工具是极限，其研究对象是函数——即导数主要是用极限的方法研究函数的，本文主要从基本概念入手条分缕析地介绍与之相关的知识与基本方法，对学习认识导数有现实的可行性。

一、 导数的背景
1、瞬时速度
设物体的运动规律是)(t s s =，则物体在t 到t t ∆+这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(.如果t ∆无限地趋近于零时,t
s ∆∆无限地趋近于某个常数a ,就说当t ∆趋近于零时, t
s ∆∆的极限为a ,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度 2、切线的斜率
已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，点P ),(),,(00000y y x x Q y x ∆+∆+是曲线C 上的两点。

当点Q 沿着曲线逐渐向P 点接近时，割线PQ 绕着点P 转动。

当点Q 沿着曲线无限接近于点P ，即x ∆趋向于零时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

此时割线PQ 的斜率x y k PQ ∆∆=
无限趋近于PT 的斜率k 。

就说当x ∆趋向于零时，割线PQ 的斜率x y k PQ ∆∆=
的极限为k 。

3、边际问题
设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C=C （q ）.当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比q
q C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00来刻画。

如果q ∆无限趋近于零时，q
C ∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本，它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A.
二、 导数的概念
1、对于函数)(x f y =.如果自变量x 在0x 处有增量x ∆,那么函数y 相应的有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆.比值
x y ∆∆就叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率,即x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00.如果当0→∆x 时,x y ∆∆有极限,我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导,并且把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数 ,记作)(0'x f 或0|'x x y =,
即x
x f x x f x f x x x y ∆-∆+==→∆→∆∆∆)()()(00000'lim lim 2、如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点处都可导,就说)(x f 在开区间),(b a 内可导,这时,对于开区间),(b a 内每一个确定的值0x ,都对应着一个确定的导数)(0'x f ,这样就在开区间),(b a 内构成了一个新的函数,我们把这个新的函数叫做)(x f 在区间),(b a 内的导函数,记作
)('x f 或'y (需要指明自变量x 时记作'x y ),即x
x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()(lim lim 00' 导函数也简称导数.
3、用定义求导数的方法：
（1）求函数的增量)()(x f x x f y -∆+=∆；
（2）求平均变化率x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； （3）取极限，得导数x
y x f x ∆∆=→∆lim 0')(. 4、深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别和联系
函数在一点0x 处的导数)(0'x f 是一个常数，不是变量；
导函数是一个新的函数；
函数在一点0x 处的导数)(0'x f 就是导函数)('
x f 在点0x x =处的函数值，即0|)()('0'x x x f x f ==.
5、导数的几何义意：函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0'x f ，就是曲线)(x f y =在点P （)(,00x f x ）处的切线的斜率,即)(tan 0'x f k ==α.相应的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-.
三、 多项式函数的导数
１、常用的导数公式：
'C ＝０（Ｃ为常数）；
1/)(-=n n nx x （*∈N n ）
２、导数的运算法则：
如果)(),(x g x f 有导数，那么
)()()]()(['''x g x f x g x f ±=±
)()]([''x f C x F C ⋅=⋅
法则可以推广到任意有限个有导数的函数。

五、导数的综合应用
１、单调性
设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导．
（１） 如果恒有,0)('>x f 则函数)(x f 在),(b a 内为增函数；
（２） 如果恒有,0)('<x f 则函数)(x f 在),(b a 内为减函数；
（３） 如果恒有,0)('=x f 则函数)(x f 在),(b a 内为常数；
求可导函数单调区间的一般步骤：
（１） 确定函数)(x f 的定义域．
（２） 求)('x f ，令0)('=x f ，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
（３） 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根，按
由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义域分成若干个小区间；
（４） 确定)('x f 在各个小区间内的符号，根据)('
x f 在各个小区间内的符号，判断
函数在每个相应小区间内的增减性． 0)('>x f （或<0）只是函数)(x f 在某个区间单调递增（或递减）的充分而不必要条件．
２、函数的极值
（１） 可导函数极值的概念
设函数)(x f 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <（或
)()(0x f x f >）则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值）
，记作))((),(00x f y x f y ==极小值极大值或．其中点0x 叫做)(x f 的极值点，极大值与极小值统称为极值．
（２） 判断可导函数极值的其本方法
设函数)(x f y =在点0x 及其附近可导，且0)(0'=x f ．
①如果)('x f 的符号在点0x 的左右由正变负，则)(0x f 为函数)(x f 的极大值；
②如果)('x f 的符号在点0x 的左右由负变正，则)(0x f 为函数)(x f 的极小值； ③如果)('x f 的符号在点0x 的左右不变号，则)(0x f 不是函数)(x f 的极值． 极值是一个局部性的概念．
可导函数)(x f 在极值点处的导数为０，但导数为０的点是该点为极值点的必要而不充分条件，故使导数为０的点是否是极值点，需要判断此点左右的导数值符号，若左右导数值异号，才是极值点．极值点是区间内部的点，不会是区间的端点．需要注意不可导点可能是极值点．
３、函数的最值
（１） 函数最值的概念
可导函数)(x f 在闭区间],[b a 上所有点（包括端点b a ,）处的函数值中的最大（或最小）值，叫做函数)(x f 的最大（或最小）值。

（２） 求函数最值的方法
① 求)(x f y =在),(b a 内的极值；
② 将)(x f y =的各极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的
一个为最小值。

极值与最值的区别和联系
（１） 极值是一个局部性的概念．函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在
局部对函数值的比较；函数的最值是一个整体性概念。

函数的最值表示函
数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较。

（２） 函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者
考查函数在区间内的单调性。

（３） 如果函数在区间),(b a 内只有一个极，那么极大值就是最大值，极小值就
是最小值。

（４） 可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数
3x y =在0=x 处导数为零，但0=x 不是极值点。