2018一年级下册奥数一笔画试题

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20181213小学奥数练习卷(知识点：一笔画定理)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：一笔画定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．如图，某展览馆，甲场有2×2个展室，乙场有2×3个展室，丙场有2×4个展室，丁场有2×5个展室，各场内相邻展室之间都有门相通．从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是（）A．甲场B．乙场和丁场C．丙场D．都不能2．如图是小马新家的平面图．新家有6个房间，房间之间有门相通．小马想从某个房间出发，不重复地穿过所有的门走到F房间．那么，他出发的房间是（）房间．A．A B．B C．C D．D3．十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是（）A．欧拉B．高斯C．牛顿4．近年来智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共23小题）5．如图最少笔可以画完．6．请你一笔画出下面的图形（从起点到终点，将依序过点的字母依次填在横线上，写出一种即可）：（起点）→→→→→→→→→→→→（终点）．7．一辆洒水车给一个社区街道洒水，地图如图．你能否设计一条洒水路线，使洒水车不重复地走遍所有街道，再回到出发点？你的答案为：（填“能”或者“不能”）．8．一辆洒水车给如图线段表示街道洒水，不重复、不遗漏地走遍这些街道．请用图中字母标出一种成功的走法：．→→…→．9．如图图形（填“能”或“不能”）一笔不重复得画出．如不能，请在图上添一条线，使它成为一笔画图形（如果能，则不必再填线）10．如图是可以一笔画出的，一共有种不同的一笔画法（起点、终点或顺序只要有一种不同，就算不同的画法）．11．瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，成为后来解析几何的基础．．（判断对错）12．如图的图形（填“可以”或者“不可以”）用一笔画出．如果可以，应从点开始画（若第一个空格填“不可以”，则第二个空格不填；若第二个空格有多个点满足要求，需要将所有的点都写出来）．13．如图，你最少需要笔才能画出这个图形．14．如图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度行进．如果允许选择最短路径的话，能先走遍所有的街道（填“甲”或“乙”）15．如图为一个花园，线段表示花园中供行人行走的小路．园林工人要为花园里的花草浇水．如果要不重复地走遍毎条小路，应该以为入口，以为出口．16．如图一笔画是不可能的，最少添上条连线就可以一笔画成了．17．如图的图形中能不重复地一笔画出的有个．18．如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是厘米．19．有16个点排成的4×4方阵，如图．请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点．20．某花园一套豪宅的房间（包括卫生间，厨房）的平面图如图所示．每相邻两房间都有门相通，问：从某个房间出发，不重复地走完每个房间．（注：在括号里填“能”或“不能”．）21．如图的图形，要求画出的线段不能重复画，那么这个图形最少笔才能画出．22．在3×5的棋盘上，一个棋子每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动．从某些特定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不须回到原来出发的小方格上．在这15个小方格中，则有个小方格可以作为这个棋子的起点．23．从P点出发，一笔画出如图，不许走重复路线，一共有种不同的画法．24．在一个连通图中判断一笔画时，大于个奇数点的图形不能一笔画出．25．判断下面连通图，能一笔画的有．（填写代号）26．从图中的点出发到点结束，可以让你用笔在纸上连续不断且不重复地一笔画出图．27．图能一笔画出来吗？若能，请写出画的先后顺序；若不能，请说明理由．三．解答题（共23小题）28．如图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？29．某花园的小径如右图所示．一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：1→2→3→ (1)如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．30．如图，有一些写有数字的圆圈，请你用线段将水平或竖直方向的相邻圆圈连接起来，使得该图形成为一个连通的图形，要求水平或竖直方向的相邻两个圆圈之间最多只能连2条线段，而且每个圆圈里面的数字表示的是与该圆圈相连接的线段的条数．31．“九点连线”是一道著名的数学题，你能用一笔画4条连续的直线段，把图中所有的9个点都连起来吗？请你在下图画出来．32．用4条直线，一笔画将这12个点连在一起．33．下面是一张地图，从A点到B点，走遍每一条路，不能重复走，应该怎么走？（从A点到B点的线用编号表示）34．在由25个边长为1的正方形组成的5×5的方格网中有3个方格内已经标有3个数3、4、5（如图1所示）．请你用一条封闭的折线沿水平或竖直方向把其余22个方格的中心连接起来，要求这条折线在标有数字的方格的所有邻格（邻格指至少有一个公共边界点的两个方格）内发生拐弯的次数恰好与该数相等．问：这条封闭的折线有多少个拐弯处？（示例图2中折线有10个拐弯处）35．如图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？36．请你将下面的图形改成能一笔画成的图形：37．图中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？38．在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁（见图），它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D．已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？39．如图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？40．下面哪个图形能一笔画出？在下面的□里画“√”41．你能不能笔尖不离开纸面地画出四条直线，使得他们通过下图中的九个点，不重不漏．42．下图是一个游乐场的平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，问出入口应该设在哪里？43．游动物园．1．小明去猴山有条路．2．设计一条能参观所有景点的线路，线路不重复且能回到起点．用彩笔在图上画出来．44．能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次．45．在下面各图形中，加一条或几条线段后，一笔画出每个图形．46．下图是某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（D 与E 两厅除外），并且有一个入口和一个出口．问游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门？如果可以，请指明穿行路线；如果不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办到？47．如图，两条河流的交汇处有两个小岛，有7座桥连接这两个岛及河岸，一个散步者能不能一次走遍这7座桥，而且每座桥恰好经过1次？48．图中哪些图形可以一笔画出，哪些不能？不能一笔画出的图形最少需要画几笔？49．如图是一座博物馆的示意图，游客从入口进入博物馆，是否能找到一条参观路线，每扇门恰好经过一次？50．在图中，哪些图形可以一笔画出？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，某展览馆，甲场有2×2个展室，乙场有2×3个展室，丙场有2×4个展室，丁场有2×5个展室，各场内相邻展室之间都有门相通．从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是（）A．甲场B．乙场和丁场C．丙场D．都不能【分析】如图所示，甲丙情况类似，乙丁情况类似，由图可得结论．【解答】解：如图所示，甲丙情况类似，乙丁情况类似，由图可得从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是乙场和丁场，故选：B．【点评】本题考查一笔画定理，考查数形结合的数学思想，正确画出图形是关键．2．如图是小马新家的平面图．新家有6个房间，房间之间有门相通．小马想从某个房间出发，不重复地穿过所有的门走到F房间．那么，他出发的房间是（）房间．A．A B．B C．C D．D【分析】首先把图片转换成点线图，同时找到奇点个数，如果有0个或者是2个奇点是可以完成一笔画的，2个奇点一个做为起点另一个作为终点即可．【解答】解：依题意可知：把图进行转换成点线图为：奇点个数是2个分别是A，F两个，那么一个是终点，另一个就是起点一笔画问题，奇数点出发奇数点回．所以出发的是A．故选：A．【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键问题是找到对应的奇点个数．问题解决．3．十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是（）A．欧拉B．高斯C．牛顿【分析】根据数学知识可知：18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，这一困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是欧拉；由此解答即可．【解答】解：十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是欧拉；故选：A．【点评】本题属于基础性的数学常识，对于一些数学家和其主要研究成果要知道．4．近年来智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件：即图形是封闭联通的和图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2；据此解答即可．【解答】解：图一有6个奇点，不能一笔画；图二没有奇点，能一笔画；图三有2个奇点，能一笔画；图四有4个奇点，不能一笔画；综上所述，能不重复地一笔画完的图标有2个；故选：B．【点评】本题考查的是笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．二．填空题（共23小题）5．如图最少5笔可以画完．【分析】先数出图形中奇点的个数，共有10个，然后根据“奇点数÷2=笔画数”解答即可．【解答】解：图中共有10个奇点，那么需要的笔画数是：10÷2=5（笔）；答：最少5笔可以画完．故答案为：5．【点评】笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n．6．请你一笔画出下面的图形（从起点到终点，将依序过点的字母依次填在横线上，写出一种即可）：（起点）E→A→B→E→F→G→E→D→G→C→F→B→（终点）．【分析】首先找到题中的奇点是B和E．只有两个奇点可以完成一笔画．一个是起点一个是终点即可．【解答】解：依题意可知：E和B是奇点．故答案为：E→A→B→E→F→G→E→D→G→C→F→B→（终点）．（不唯一）【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键找到题中的奇点，问题解决．7．一辆洒水车给一个社区街道洒水，地图如图．你能否设计一条洒水路线，使洒水车不重复地走遍所有街道，再回到出发点？你的答案为：不能（填“能”或者“不能”）．【分析】由题意，奇点为商场与服装城，其余均为偶点，两个奇点必然一个为起点、一个为终点才能一次不重复的走遍，可得结论．【解答】解：由题意，奇点为商场与服装城，其余均为偶点，两个奇点必然一个为起点、一个为终点才能一次不重复的走遍，所以不能再回到出发点．故答案为：不能．【点评】本题只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点．8．一辆洒水车给如图线段表示街道洒水，不重复、不遗漏地走遍这些街道．请用图中字母标出一种成功的走法：→→→→→→→．．→→…→．【分析】在这题中奇数点是E和A，其他点都是偶数点，从奇数点出发到另一个奇数点结束．【解答】解：→→→→→→→．【点评】走法不唯一，也可以从E点出发到A点结束．9．如图图形不能（填“能”或“不能”）一笔不重复得画出．如不能，请在图上添一条线，使它成为一笔画图形（如果能，则不必再填线）【分析】有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．该图中有 4 个奇点，所以不能一笔画成．【解答】解：有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．该图中有4 个奇点，所以不能一笔画成．添线如上图红色部分（方法不唯一）．故答案为不能【点评】本题考查一笔画问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．10．如图是可以一笔画出的，一共有12种不同的一笔画法（起点、终点或顺序只要有一种不同，就算不同的画法）．【分析】首先分奇点数为2分别是A，B可以完成一笔画，同时A，B一个是起点一个是终点．考虑其中的一个再乘2即可．【解答】解：依题意可知：首先分析奇点数为2分别是A，B．那么先考虑从A﹣B过程．如果是A﹣C﹣B后面就是2种；如果是A﹣D﹣B后面还是有2种；如果是A﹣B后面有2种；所以从A﹣B共6种．那么从B﹣A也是6种共12种．故答案为：12【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键问题是找到起点和终点同时枚举法直接易懂．问题解决．11．瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，成为后来解析几何的基础．×．（判断对错）【分析】瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，由此引导了图论和拓扑学的发展；而不是解析几何的基础，由此求解．【解答】解：瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，由此引导了图论和拓扑学的发展；解析几何是在笛卡尔发表的《几何学》的基础上发展而来的；原题说法错误．故答案为：×．【点评】熟知一些数学常识是解决本题的关键．12．如图的图形可以（填“可以”或者“不可以”）用一笔画出．如果可以，应从N或M点开始画（若第一个空格填“不可以”，则第二个空格不填；若第二个空格有多个点满足要求，需要将所有的点都写出来）．【分析】这幅图上有两个奇点N和M，所以能一笔画，可以从一个奇点开始到另一个奇点结束．【解答】解：如图的图形可以用一笔画出，应从N或M点开始画．故答案为：可以，N或M．【点评】本题考查的是笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．13．如图，你最少需要2笔才能画出这个图形．【分析】笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n．据此解答即可．【解答】解：图中共有4个奇点，那么需要的笔画数是：4÷2=2（笔）；答：最少需要2笔才能画出这个图形．故答案为：2．【点评】本题属于一笔画的规律，关键是正确找到奇点的个数．14．如图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度行进．如果允许选择最短路径的话，甲能先走遍所有的街道（填“甲”或“乙”）【分析】由题意，A，D的节点的个数为奇数，其余点的节点的个数为偶数，所以甲能先走遍所有的街道．【解答】解：由题意，A，D的节点的个数为奇数，其余点的节点的个数为偶数，所以甲能先走遍所有的街道，A为起点，D为终点．故答案为甲．【点评】一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点．15．如图为一个花园，线段表示花园中供行人行走的小路．园林工人要为花园里的花草浇水．如果要不重复地走遍毎条小路，应该以A或G为入口，以G 或A为出口．【分析】图中有2个奇点（A和G），6个偶点，有2个奇点，偶数个偶点，可以一笔完成；根据一笔画定理：奇数进，奇数出即可求解．【解答】解：根据一笔画定理以奇点为入口，奇点为出口所以：A点为入口，G 点为出口或者G点为入口，A点为出口．故答案为：A，G或G，A．【点评】凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点．16．如图一笔画是不可能的，最少添上2条连线就可以一笔画成了．【分析】只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．原图中有6个奇点，把这6个奇点中的4个分成2组，分别加上一条线段变成偶点，就可以一笔画成了．【解答】解：如图，加上2条线段，变成只有2个奇点，就可以一笔画成：故答案为：2．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．17．如图的图形中能不重复地一笔画出的有3个．【分析】根据一笔画的特性，图中都是连通图，与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点，与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点，凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成，凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．【解答】解：第1、3个图，全是偶点，能一笔画出；第2个图，1个奇点；第4个图，2个奇点，能一笔画出；第5个图，4个奇点，所以能不重复地一笔画出的有3个．故答案为3．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图猜能一笔画成，难度适中．18．如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是7厘米．【分析】首先分析能完成一笔画需要有2个奇点或者没有奇点．图中8个奇点变成2个即可．【解答】解：依题意可知：图中有8个奇点，需要去掉三条边剩余2个奇点，无论去掉两条长度为3的和长度为1的，还是去掉长度为5的和两条长度为1的总和都是7．故答案为：7【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键是枚举最短的即可，问题解决．19．有16个点排成的4×4方阵，如图．请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点．【分析】要能一笔完成，需要都是偶点，或者只有两个奇点，只使用横竖无论怎么样都不能够完成，因此使用斜线构造．【解答】解：如下图：【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．20．某花园一套豪宅的房间（包括卫生间，厨房）的平面图如图所示．每相邻两房间都有门相通，问：不能从某个房间出发，不重复地走完每个房间．（注：在括号里填“能”或“不能”．）【分析】能够一笔画成的图形，首先必须要相连，结果不相连就一定不能一笔画成．能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画；先把房间抽象成一个点，然后连线，看一下是否符合一笔画定理即可求解．【解答】解：把每个房间都看成一个点，则这个图形就是：这样图中一共有5个奇点，不能一笔画，也就是不能从某个房间出发，不重复地走完每个房间．故答案为：不能．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．21．如图的图形，要求画出的线段不能重复画，那么这个图形最少5笔才能画出．【分析】数出一共有多少个奇点，奇点数除以2就是需要画的笔数．【解答】解：一共有10个奇点，需要的笔画数是：10÷2=5（笔）；答：这个图形最少笔才能画出．故答案为：5．【点评】对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数．22．在3×5的棋盘上，一个棋子每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动．从某些特定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不须回到原来出发的小方格上．在这15个小方格中，则有8个小方格可以作为这个棋子的起点．【分析】把3×5的图中的格子标号如下：找出每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，不重复的走完全程的路线，进而求解．【解答】解：（1）从四个顶点所在的格子中的任意一个出发，都可以，如从A 格出发：同理从E、K、O都可以作为起点，一共有4个起点；（2）C作为起点，如下图：同理M也可以作为起点，一共有2个起点；（3）I格出发，可以不重复走完全程：同理从G出发也可以走完全程不重复，有2个起点．4+2+2=8（个）；答：有8个小方格可以作为这个棋子的起点．故答案为：8．【点评】本题根据限制条件，找出所有的路线，进而求解．23．从P点出发，一笔画出如图，不许走重复路线，一共有512种不同的画法．【分析】先从其中的一部分进行研究，直接从外圆画有两种画法（左右），直接从内圆有两种画法（左右），直接画内三角接内圆（左右）有两种画法，那么一共有2×2×2=8种方法，三角形的三个角的部分各有8种方法，再根据乘法原理即可求出全部的不同的画法．【解答】解：2×2×2=8（种）8×8×8=512（种）答：一共有512种不同的画法．故答案为：512．【点评】解决本题先找出每一部分不同的画法，再进一步利用乘法原理求解．24．在一个连通图中判断一笔画时，大于2个奇数点的图形不能一笔画出．【分析】一笔画的规律是：（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成．画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图．（2）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点．（3）其他情况的图都不能一笔画出．【解答】解：根据分析可得：在一个连通图中判断一笔画时，大于2个奇数点的图形不能一笔画出．故答案为：2．【点评】本题考查的是一笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．25．判断下面连通图，能一笔画的有a、b、d．（填写代号）【分析】按照一笔画定理，每个部图形只能含有两个奇点活0个奇数点，据此数出各图的奇数点判断即．【解答】解：根据分析可得，图a：奇数点有2个，所以能一笔画，图b：奇数点有2个，所以能一笔画，。

一笔画(奥数)

一笔画【知识要点】1概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2•分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3•规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3 ）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

甲田木全4下面图形能不能一笔画成？这什么?F 列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗?判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画?6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7.将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8•下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁? 该怎么爬?9.为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗?F 图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。

方?10. 、A如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地 DG11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。

16. 一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每条街道，你能帮帮他吗？17. 一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束?18 .你能用一笔画成 4条线段把下图的9个点都连起来吗?12.如图, 重复。

是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游 B求走遍每一条路且不 B13.如图, 是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊, 问：出口、入口应设在哪里?14.黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

小学数学竞赛第五讲一笔画问题

第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）（1）两个点，一条线.每个点都只与一条线相连.（2）三个点.两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.第一组的两个图都能一笔画出来.（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）（1）五个点，五条线.A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.（2）六个点，七条线.（“日”字图）A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.第三组（见下图）（1）四个点，三条线.三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.（2）四个点，六条线.每个点都与三条线相连.（3）五个点，八条线.点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.第三组的三个图形都不能一笔画出来.第四组（见下图）（1）这个图通常叫五角星.五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.（2）由一个圆及一个内接三角形构成.三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.（3）一个正方形和一个内切圆构成.正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.（四条线是两条线段和两条弧线）.第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形.②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。

小学数学《一笔画》练习题(含答案)精选全文

可编辑修改精选全文完整版小学数学《一笔画》练习题（含答案）什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.判断图形能否一笔画的规律：（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．（一）一笔画以及多笔画【例1】观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.(f)(e)(d)JIH G F ED C BAJ K IHGFED CB A分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.[巩固]判断下列图a、图b、图c能否一笔画．E分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右图：FE DCB ADCBA我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.【例3】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH G I KLJ F EDCBA 图b DC HG EFBA图c分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图e 所示．画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图f 所示．画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．图dA BCD EFG H IH GI KLJ F EDCB A 图eDC HG EFBA图f[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.DC BA(2)(1)FEC DB A分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）.图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A 与B ，C 与D （或A 与D ，B 与C ）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC ，添上边AD 与EF.（二）一笔画的实际应用【例5】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?：这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考虑如下两个问题：(1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地?而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b 中，点A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B ，D ，在B ，D 之间连一条线(架一座桥)，如图c ．在图c 中只有点A 和C 两个奇点，那么我们可以以A 为起点，C 为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A →C →A →B →A →D →B →D →C所以，如果在河岸B 与小岛D 之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．（2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A 与C 之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d ．那么A ，B ，C ，D 四个点均为偶点，所以图d 可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后仍回到这个点．其中一种画法为：A →C →A →C →D →A →B →D →B →A这表明：在河岸B 与小岛D 之间架一座桥后，再在小岛A 与河岸C 之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．[巩固]如图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法.EDCBA【例6】有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下：邮局I JHGF E D C B A 邮局邮局【例7】右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门?若能，请找出一条可行路径；若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?分析：我们把展厅A,B,C,D,E 及馆外F 看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F 与A ，B ，C ，D ，E 各展厅相通，这样将点F 与点A ，B ，C ，D ，E 用线连接；展厅A 与展厅B ，C ，D 相通，将点A 与点B ，C ，D 用线连接；展厅B 除与A 相通外，它还与D ，E 展厅相通，将B 与D ，E 连接；除此之外，展厅C ，D 相通，展厅D ，E 相通，将点C ，D 连接，再将点D ，E 连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a 一笔画的问题．可以看出：图a 中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C ，D ，E ，F ，由一笔画的规律可知，图a 不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a 中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇点C ，D ，E ，F 为了把图a 改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E 与F 间的连线，相应的图a 就变成了图b ．在图b 中，除了原来的C 和D 是奇点外，其余点全部是偶点，故图b 可以一笔画．其中一种画法为：C →F →D →E →B →F →A →B →D →A →C →D ．上面的分析表明，如果关闭连接E 、F 两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门．本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．[前铺]右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ FFF F E C D BA EB A分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题.EDC BA图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走. 【例8】已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米?分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为： 800-40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G →F →C →D →G →H →A →B →E →H(如右图)．[注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．【例9】右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C 楼与D 楼之间的P 处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里?分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P 点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P 点出发，最后仍回到P 点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a ：2×2+3=7；图b ：3+4×2=11；图C ：3×3=9；图d ：3+6×2=15．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a ．408080H G F ED C BA804080H GFED CBA图b 图a图d图c在图a 中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P →D →G →D →E →F →G →H →L →H →C →B →L →M →A →B →C →P ，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)．【例10】邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如右图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米?分析：本题仍可以用一笔画图形的方法来解决．在图a 中共有六个奇点E ，F ，G ，H ，I ，J ，把这些奇点配对，每对之间用虚线连接(如图a)，其中要用到D 点，这样图中就没有奇点了，从而可以不重复地走遍所有的街道．由于邮递员李文要重复走一些路段，因此重复走的路越短越好，即添上去的重复线段的总长度越短越好．在图a 中H 与E 之间有重叠，这样势必会增加李文所走路程的长度，应作调整．经调整后，将重叠部分去掉便得图b ．在图b 的圈形闭路IHGJI 中，I ，J ，G ，H 各点没有连线时是奇点，连线后变成偶点，增加长度为50×2=100千米．而如果连IJ 和HG ，增加的长度仅为10×2=20，由此可知图b 需继续作调整，改成图c ，这种连接方法是最好的，它使李文行走的路线最短．根据以上分析，为了保证添上去的线段之和最短，应遵循下面的两条原则：(1)连线不能有重叠的线段；(2)在每一个圈形闭路上，连线长度之和不能超过这个闭路总圈长的一半．经过分析可以知道，图c 的连接方法能使邮递员李文行走路线最短，而且能保证李文从邮局出发又回到邮局．这时他的行走路线为：邮局→A →I →J →I →H →G →H →E →D →F →D →G →J →B →C →D →E →邮局他行走的全程为： (50+15)×4+20×4+10×6+20×2=440(千米)．图a图b图c[小结]本题中采用的方法叫做“奇偶点图上作业法”，用这种方法来确定最短路线比较简便实用．此方法可以用下面的口诀来描述：画出路线图，确定奇偶点；奇点对对连，连线不重叠；闭路添连线.不得过半圈．[巩固]右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A 出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K 是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC 这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个.容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF 、IJ 、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.1. （例1）判断下列各图能否一笔画．图aG I H F ECD BA图bF ED CBA分析：图a 中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A →F →B →G →C →H →D →E →H →l →→F →G →l →E →A ．图b 中A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c 中，只有A,C 为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A →D →E →C →H →N →G →M →F →A →B →C ．2. （例3）下列各图至少要用几笔画完？分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔.3.（例6）右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A.上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A.4.（例7）一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？分析：清洁车走的路径为： ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA. 即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如下图.最短路线全程为28公里.5.（例10）一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最短的投递路线，并求出全程是多少？分析：邮递员的投递路线如下图，即：路线为：ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIMOJIJA.最短路线的全程为39+9=48.。

一笔画习题附答案24题-小学数学

1. 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？2. 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务.3. 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．4. 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？5. 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？J O I HG FED CBA（1）（2）（3）6. 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？7. 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？8. 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？9. 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？E CDB A 乙甲10.下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？11.邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？12.观察下面的图，看各至少用几笔画成？13.在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？14.有16个点排成的44方阵。

如图，请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点IH GFEDCBA（1）AEDHCFGB（2）（3）15. 一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？16. 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？17. 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．18. 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问AGBF CHDEAF图aH图c你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？19. 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．20. 如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从A 处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用分．21. 某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．ABG FCH D EA22.18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？23.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？24.一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？参考答案：1. 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I2. 3种颜色，不能3. a 能，a 能，c 能4. 图1能因为图中全是偶点；图2能因为图中全是偶点；图3不能因为有4个奇点。

一笔画(奥数)

一笔画【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？A4下面图形能不能一笔画成？这什么？5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。

11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。

12．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。

13．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？14．黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。

哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？19．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？20．如图，在一个六面体的顶点A和B处各有一只蜗牛，它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C点。

小学奥数—奇妙的一笔画

4-1-5.奇妙的一笔画
知识点拨
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用 n 笔画成．
【例 17】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．
A
E
D
G
H
B
C
F
【例 18】如图所示，某小区花园的道路为一个长 480 米，宽 200 米的长方形；一个边长为 260 米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷 A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从 A 处离开．如果
【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？
【例 21】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？

小学奥数奇妙的一笔画

所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成．【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画．N MLKFDECBA图bODCBAGFECBA【例 3】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？例题精讲奇妙的一笔画【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？【例 9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 10】观察下面的图，看各至少用几笔画成？【例 11】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IFCA图aHGIK LJCADCHGFBA图c【例12】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【例 13】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A【例 14】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？【例 15】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【例 16】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例 17】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？。

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奇妙的一笔画例题精讲所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成．【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【解析】奇点：J D H F偶点：A E B C G I【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画．【解析】图a能，因为有2个奇点，图b不能，因为图形不是连通的，图c能，因为因为图中全是奇点【例 3】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？【解析】图1能因为图中全是偶点，图2能因为图中全是偶点，图3不能因为有4个奇点．【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【解析】第1个能，2、3不能【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【解析】不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出．【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【解析】可以．【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？【解析】要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F和I点．【例 9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-【例 10】观察下面的图，看各至少用几笔画成？【解析】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，图(3)能一笔画出．【例 11】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出．图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出．一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．【例 12】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B中有4个奇点显然不能一笔画出．【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【解析】能【例 13】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【解析】将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【解析】不能【例 14】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？【解析】8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A－B－G－H－A－D－C－F－E－D总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？【解析】最多34厘米【例 15】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅的平面图就抽象成为一个连通的图形，求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即①、④、③和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，可行路线如下图：B【例 16】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图【例 17】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？【解析】图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30 千米．走法参考右下图(走法不唯一)．。

小学奥数4-1-5 奇妙的一笔画.专项练习及答案解析

因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。

小学奥数知识讲解之一笔画问题

第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。

经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。

图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。

图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。

通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。

由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。

相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。

再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。

而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。

这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。

例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C AD C。

图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。

要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。

经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。

解图（1）、（2）可以一笔画。

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。

如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。

如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。

例【3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。

小学奥数：奇妙的一笔画.专项练习

所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【例 2】同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务.例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【例 3】判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．图aNML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA【例 4】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？（1）（2）（3）【例 5】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例 6】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A【例 7】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙甲【例 8】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【例 9】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？IHGFEDC BA【例 10】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 11】观察下面的图，看各至少用几笔画成？（1）A ED HCF GB （2）（3）【例 12】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例 13】有16个点排成的44 方阵。

小学奥数教程-奇妙的一笔画 (含答案)

因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。

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所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成．【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画．图a【例 3】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？奇妙的一笔画【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？【例 9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 10】观察下面的图，看各至少用几笔画成？【例 11】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．F图aF ED图bH图c【例 12】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【例 13】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？ECDB A【例 14】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？【例 15】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【例 16】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例 17】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？。

一年级奥数暑期-005一笔画

一年级创新思维署期班讲义：
第五讲应用题
姓名：
【例1】右面的各个小图都是由点和线组成的，请你仔细观察后请你将每个点连接的直线的条数标在相应的点的旁边。

【例2】下列图形中，那些能够一笔画，那些图形不能一笔画：
【例3】下列各图形，至少能够用几笔可以将它画完。

【例4】下列各图形，至少添上几笔，就能使整个图形一笔画完。

【例5】右图是一个公园的平面图，如果一位游客想走遍公
园的每一条路，并且不重复走，问这位游客应该从公园的那
个大门进去，那个大门出来?
练习
1．观察下面各图形，自己试试看，那个能一笔画成。

仔细观察能一笔画成的图形的特点。

2．判断一下下面的图形是否能一笔画，为什么？
3．
4．下面这些字母中，哪些能一笔画出？请你描出起点和终点。

5．下面各图中是否有能一笔画出的？
6．请一笔画出下列图形
7．下列图形至少用几笔画成？。

小学奥数-一笔画

A. B.
来源：2014·乐乐课堂·练习
难度：简单
类型：选择题
答案：A
40．小燕子从邮局出发送快件，下图是街道布局图．请添加1条路线，使小燕子可以不重复地走完所有的路．下面满足要求的选项是哪个？（红色的粗线表示添加的路线）
A. B.
来源：2014·乐乐课堂·练习
难度：简单
类型：选择题
答案：B
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A. B.
来源：2014·乐乐课堂·练习
难度：简单
类型：选择题
答案：B
45．在一个公园的湖里，有4个小岛，它们之间共有4座桥．如果游客想一次不重复地走完所有的桥，应该从哪个岛出发？
A.岛C或岛DB.岛A或岛DC.岛B或岛CD.岛A、岛B、岛C或岛D
来源：2014·乐乐课堂·练习
难度：简单
类型：选择题
41．添加1条线，使下图能一笔画成．下面满足要求的选项是哪个？（红色的粗线表示添加的线）
A. B.
来源：2014·乐乐课堂·练习
难度：简单
类型：选择题
答案：A
42．下图是乡间的一条小河，上面建有A、B、C、D、E、F、G七座桥．将实物图画成点线图．下列选项中正确的是哪个？
A. B.
来源：2014·乐乐课堂·练习
来源：2014·乐乐课堂·练习
难度：简单
类型：选择题
答案：C
38．下图最少需要几笔画完成？
A.2B.1C.3
来源：2014·乐乐课堂·练习
难度：简单
类型：选择题
答案：A
39．炜炜沿着路跑步，下图是跑步路线布局图．请添加1条路线，使炜炜可以不重复地跑完所有的路．下面满足要求的选项是哪个？（红色的粗线表示添加的路线）

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20181213小学奥数练习卷(知识点：一笔画定理)含答案解析

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