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因式分解题型分类

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14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】

14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】

14.3 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)题型2：找公因式2.代数式 15a 3b 3(a−b) ， 5a 2b(b−a) ， −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是（ ）A ．5a 2b(b−a)B ．5a 2b 2(b−a)C ．5ab(b−a)D ．120a 3b 3(b 2−a 2)提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。

注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a 2-3a ； （2）分解因式：3x 2y-6xy 2．m m题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：m2（1）a2-9；（2）25−14题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x2-4x+4．（2）16m2-8mn+n2．（3）4x2+20x+25；7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15（3）x2-7x+12．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块，除阴影A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A 与B 的面积差为S．（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B 的面积；（2）先化简S，再求当m=6，y=1 时S的值；（3）当x取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y应满足什么条件？题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b2=0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由.【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．一、单选题1．同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后，则另一个因式应为（ ）A．x−2y B．x−2y+1C．x−4y+1D．x−2y−12．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）A．a2+a+ 1B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2D．−4−b243．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）A．2560B．490C．70D．495．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )A．-22020B．-2 2021C．22020D．-26．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）A．2B．5C．20D．97．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()A．6B．3C．4D．58．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形二、填空题9．下列因式分解正确的是 （填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=( 2x+1)210．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝ .13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为 ．14．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4＋b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4＝0，则△ABC 的形状是 .15．甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4）；乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为 ．三、解答题16．因式分解：（1）a 3−36a（2）14x 2+xy +y 2（3）(a 2+4)2−16a 217．把下列各式因式分解：（1）x 2（y ﹣2）﹣x （2﹣y ）（2）25（x ﹣y ）2+10（y ﹣x ）+1（3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（4）4m 2﹣n 2﹣4m+1．18．已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．19．给出三个多项式：12x 2+2x ﹣1，12x 2+4x+1，12x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．四、综合题20．已知 a 2−3a +1=0 ，求（1）a 2+1a 2的值。

精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)

精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)

因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a xabx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a xabx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用

初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用

因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三 分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四 拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 方法五 整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六 用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七 用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。

因式分解中考经典题型

因式分解中考经典题型

因式分解中考经典题型因式分解是初中数学中的重要一环，也是中考数学中经常出现的题型之一。

在中考数学中，因式分解通常分为三类：公因式提取、完全平方公式、差平方公式。

下面我们将分别讲解一下这三类题型。

一、公因式提取公因式指的是多项式中所有单项式所能共有的“因子”，如2x+4y中的2是这两项的公因式，a^2 b + ab^2是ab的公因式。

公因式提取就是将多项式中的公因式提取出来，从而达到简化多项式的目的。

举例：1、将4a^3 + 8a^2 + 12a分解因式。

解：首先将这三项提取公因式，得4a(a^2 + 2a + 3)，然后再将a^2 + 2a + 3分解成(a + 1)^2 + 2，因此4a^3 + 8a^2 + 12a = 4a(a + 1)^2 + 8a。

二、完全平方公式完全平方公式是指某一二次式（如a^2+2ab+b^2）可以化为某个线性式（如a+b）的平方。

在解题时，只需要将二次式进行因式分解，然后再利用平方根的性质就可以得到答案。

举例：2、将x^2 + 6x + 9分解因式。

解：x^2 + 6x + 9是一个完全平方的二次式，因为( x + 3 )^2 = x^2 + 6x+ 9 ，所以x^2 + 6x + 9可以化为( x + 3 )^2 。

三、差平方公式差平方公式是指某一二次式(如a^2-b^2)可以化为某个线性式（如a+b）和另一个线性式（如a-b）的乘积。

在解题时，只需要利用差平方公式将二次式进行因式分解，就可以得到答案。

举例：3、将x^2 - 4分解因式。

解：x^2 - 4可以用差平方公式变形为(x + 2)(x - 2)，因此，x^2 - 4的因式分解为(x + 2)(x - 2)。

综上所述，因式分解是中考数学中的重要一环，涉及到公因式提取、完全平方公式和差平方公式三类题型，需要学生们在平时的学习中认真掌握和练习。

二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】 题型一：两根与二次三项式因式分解关系 例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭； 【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式： （1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可． 【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0， 解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可． 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到 答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭， 当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=， 得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。

因式分解的七种常见方法

因式分解的七种常见方法

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方 面考虑。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ax ay ax y
方法 1 提公因式法
具体方法：
1.当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
2.字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2； ＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)
(3)(a－b)2(a＋b)＋(a－b)(a＋b)2. ＝(a－b)(a＋b)[(a－b)＋(a＋b)]＝2a(a－b)(a＋b)
返回
方法 2 公式法
题型1 直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(2)－3x7＋24x5－48x3 ＝－3x3(x4－8x2＋16)
返回
＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
题型3 先局部再整体法
7．把下列各式分解因式：
(1)(x＋3)(x＋4)＋x2－9； ＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)
取每项相同的多项式，多项式的次数取最低的。
3.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，
使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法

因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法

1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。

①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。

（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。

例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

用因式分解法求解一元二次方程 (6种题型)-2023年新九年级数学常见题型(北师大版)(解析版)

用因式分解法求解一元二次方程 (6种题型)-2023年新九年级数学常见题型(北师大版)(解析版)

用因式分解法求解一元二次方程 （6种题型）【知识梳理】一、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 二、常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x −=−．【答案】（1）120x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(30x x = （2）7(3)3(3)x x x −=−①0x = ②30x 7(3)3(3)0x x x −−−=∴120x x ==， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程224x x −=的解为：___________． 【答案】10x =，22x =−【分析】先移项，然后用分解因式法解方程即可．【详解】解：224x x −=，移项得：2240x x +=，分解因式得：()220x x +=，∴20x =或20x +=， 解得：10x =，22x =−． 故答案为：10x =，22x =−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基础知识比较简单，解题的关键是分解因式．题型2利用平方差公式例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【变式】解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=，解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即， ∴ ． 题型4十字相乘法因式分解例4.用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x −+=； （2）2(35)5(35)40x x +−++=；【答案】（1）121x x =， （2）124133x x =−=−，；【解析】（1）2(1(30x x −+=，[(11](0x x −=，解得：121x =−=， （2）2(35)5(35)40x x +−++=351354x x +−+−(351)(354)0x x +−+−=，解得：124133x x =−=−，；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例5.解关于x 的方程（合适的方法 ）： （1）2110464x x −+=； （2）22((1x +=+． 【答案】（1）1218x x ==；（2）1211x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法2(23)0x +=1232x x ==−21()08x −= (1x +=±+108x −= ①1x + ②(1x =−∴1218x x ==； ∴1211x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！ 【变式1】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=； （2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(14)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【变式2】用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =； （2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +−=； （4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠．【答案】（1）1211x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，．【解析】（1）(1x =± （2）20x x −=① 1x +=− ②(1x =− ， (1)0x x −=，解得：1211x x =−=−； 解得：1201x x ==，； （3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程，2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠， (4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x −−−− 解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x −−=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x −−=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>−， ∴{}2max ,35x x x x x −==−−，即2450x x −=，解得：125,1x x ==−（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x −>>，∴{}2max ,35x x x x x −=−=−−，即2250x x −−=，解得：11x =，21x =综上：x 的值是5或1 故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．【变式】在正数范围内定义运算“※”，其规则为2a b a b =+※，则方程()15x x +=※的解是（ ） A ．4x =或1x = B ．2x =C ．1x =或4x =−D ．1x =【答案】D【分析】根据规则可得：()215x x ++=，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：()()2115x x x x +=++=※，得2340x x +−=，得()()410x x +−=，故40x +=或10x −=，解得14x =−（舍去），21x =， 所以，原方程的解为1x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．【答案】3【分析】先通过因式分解法解方程260x x −−=，求出12x x ，，根据新定义的运算规则，12x x ※的值为1x 和2x 中较大的那个数，由此可解．【详解】解：方程260x x −−=，分解因式得：()()320x x −+=，解得：3x =或=2x −， 则()12323x x =−=※※或()233−=※．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 题型7：因式分解综合应用(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题． 【答案】(1)2.69m (2)有可能，理由见解析【分析】（1）根据梯子长度不变进而得出等式求出即可；（2）设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米代入（1）中方程，求出y 的值符合题意． 【详解】（1）解：设A C '的长是m x ，根据题意得出：2222A C B C BC AC ''+=+，2222(0.41)1(0.2)x x ∴++=++，解得： 2.3x =，2.69m AB ∴≈，答：梯子的长是2.69m ； （2）有可能．设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米，则有22(1)(2.5)7.25y y ++−=，解得：1 1.5y =或20y =（舍）∴当梯子顶端从A 处下滑1.5米时，点B 向外也移动1.5米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出关于y 的一元二次方程是解答此题的关键． 【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子39⨯+−，请同学们自己出问题并解答． (1)小磊的问题：若W 代表()22−，代表()31−，计算该式的值；(2)小敏的问题：若398⨯+−=□，W 代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【答案】(1)22 (2)0或1【分析】（1）根据代数式代入值进行计算即可； （2）设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，再进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：原式()()233291=⨯−+−−()3491=⨯+−−22=；（2）解：设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，解得：10a =，21a =，∴求该数为0或1．【点睛】本题考查代数值求值、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数1−，2−，3−______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸：设中间整数为n（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； （2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．【答案】验证：满足；不满足；（1）和为3n ，积为3n n −；（2）1−，0，1（答案不唯一）【分析】先分别计算123−−−和()()()123−⨯−⨯−的值，比较两组值是否相等；再分别计算234++和234⨯⨯的值，比较两组值是否相等即可；（1）设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +，将n 1−，n ，1n +三数相加得其和；将n 1−，n ，1n +三数相乘得其积；（2）令（1）中的和等于积，解方程，求得n 的值，从而可得符合要求的连续整数．【详解】验证：解：1236−−−=−，()()()1236−⨯−⨯−=− ()()()123123∴−−−=−⨯−⨯−1∴−，2−，3−满足这种关系；2349++=，23424⨯⨯=，924≠， 234234∴++≠⨯⨯，∴2，3，4不满足这种关系．延伸：设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +， （1）三个连续整数的和可表示为：()()113−+++=n n n n ，三个连续整数的积可表示为：()()311−⋅⋅+=−n n n n n ，（2）当33=−n n n 时，340−=n n ()()220∴+−=n n n解得：0n =，2n =−或2n =，∴符合要求的一组连续整数为：1−，0，1.【点睛】本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题【答案】D【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：()()2131x x x −=−移项，得2(1)3(1)0x x x −−−=， 因式分解，得()()2310x x −−=，则10x −=或230x −=，解得2131,2x x ==．故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 2．（2023·全国·九年级假期作业）已知20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，则方程()()223230x a x b +++−=的解是（ ）A ．11x =−，2 3.5x =−B ．11x =，2 3.5x =−C ．11x =−，2 3.5x =D ．11x =，2 3.5x =【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得231x +=，234x +=−，解这两个一元一次方程即得方程()()223230x a x b +++−=的解．【详解】解：令23x y +=，∵方程20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，∴方程20y ay b +−=的解是11y =，24y =−，∴对于方程方程()()223230x a x b +++−=而言，231x +=或234x +=−，解得=1x −或 3.5x =−，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程()()22332340m x x +++−=中的23x +当作一个整体，则此方程与²340mx x +−=毫无二致．3．（2023·全国·九年级假期作业）方程29180x x −+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( ) A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．9或15或18【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x 的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：29180x x −+=，(3)(6)0x x −−=，30x −=，60x −=，13x =，26x =，有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为36615++=， 故选：B ．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【答案】C【分析】利用换元法求解即可．【详解】解：设33x m y +=，∵()()3333130x y x y +−++=，∴()()130m m −+=，∴10m −=或30m +=， 解得1m =或3m =−，∴331x y +=或333x y +=−，故选C ．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．【答案】D【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．【详解】解：提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=， 整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，， ∵3548>，∴较小的根是58，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．【答案】B【分析】由2212m m +=可得42210m m −+=，则有21m =，即1m =，然后问题可求解．【详解】解：∵2212m m +=，∴42210m m −+=，解得：21m =，∵0m >， ∴1m =，∴2251254m m −+=−+=；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．（2023·全国·九年级假期作业）实数x 满足方程222()()20x x x x +++−=，则2x x +的值等于（ ） A ．2− B ．1 C ．2−或1 D ．2或1−【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设2x x M +=，则原式变形得220M M +−=，因式分解法解一元二次方程得，22(1)(2)0M M M M +−=−+=， ∴12M =−，21M =，当2M =−时，22x x +=−，变形得，220x x ++=，根据判别式24141270b ac ∆=−=−⨯⨯=−<，无实根；当1M =时，21x x +=，变形得，210x x +−=，根据判别式24141(1)50b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，方程有两个实根；∴21x x +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2−，则另一个根是( ) A ．1 B ．1−C ．3−D ．2【答案】A【分析】将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，再把2k =−代入原方程求解．【详解】解：将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，∴原方程为：220x x +−=，则()2(1)0x x +−=，解得：2x =−或1x =， ∴另一个根为1． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．【答案】D【分析】设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y −+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了()()12345na b n +=⋯，，，，，的展开式的系数规律（其中，字母按a 的降幂排列，b 的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数，有如下结论：①()3322333b a b a a ab b −−+=−； ②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024； ③“杨辉三角”中第20行第3个数为190； ④32993993991+⨯+⨯+的结果是610；⑤当代数式4328243216a a a a ++++的值是1时，实数a 的值是1−或3−，上述结论中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】把()3322333a b a a b ab b +=+++中b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，由此即可判断①；观察并计算可以发现第n 行所有数字之和为2n，由此即可判断②；观察并计算可以发现第n 行（n 大于2）第三个数诶为()12n n −，由此即可判断③；991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，即可判断④；当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，再由4328243216a a a a ++++的值为1，得到()421a +=，解方程即可判断⑤．【详解】解：∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴把上述式子中的b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，∴()3322333b a b a a ab b −−+=−，故①正确；第1行的所有数字之和为11122+==，第2行的所有数字之和为212124++==，第3行的所有数字之和为3133128+++==，第4行的所有数字之和为414641216++++==，……，∴可以得到规律第n 行所有数字之和为2n，∴“杨辉三角”中第9行所有数之和92512=，故②错误；第2行第三个数为()22112⨯−=， 第3行第三个数为()33132⨯−=，第4行第三个数为()44162⨯−=，第5行第三个数为()551102⨯−=，……，∴第n 行（n 大于2）第三个数为()12n n −， ∴“杨辉三角”中第20行第3个数为()202011902−=，故③正确；∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴当991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，故④正确；∵()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，∴当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，∵4328243216a a a a ++++的值为1，∴()421a +=， ∴()221a +=，∴21a +=±， ∴1213a a =−=−，，故⑤正确；故选C ．【点睛】本题主要考查了多项式乘法中得规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．二、填空题11．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，则方程()213a x bx b −+−=必有一根为______． 【答案】6x = 【分析】把()213a x bx b−+−=化为()2(1)130,a xb x −+−−=再结合题意得到15,x −=解出即可．【详解】解：()213a x bx b−+−=，()2(1)130a xb x ∴−+−−=．令1x t −=，则230,at bt +−=∵方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，∴方程230at bt +−=有一根为5t =，()2(1)130a xb x ∴−+−−=有一根为15x −=，15,x ∴−=6.x ∴=故答案为： 6.x =【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 12．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程220x x +−=的解是________． 【答案】122,1x x =−= 【分析】原方程可转化为()()210x x +−=，再化为两个一次方程即可．【详解】解：∵220x x +−=，∴()()210x x +−=，∴20x +=或10x −=， 解得122,1x x =−=．故答案为：122,1x x =−=．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 13．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程()()23121x x =−−的解是________．【答案】12531,x x ==【分析】先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】∵()()23121x x =−−，∴()()231201x x −−−=．∴()()13120x x −−−⎤⎣⎦=⎡．∴10x −=或()3120x −−=，解得12531,x x ==．故答案为：12531,x x ==．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 14．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程2320x x −+=时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案： 方法如下： 2320x x −+=2220x x x −−+= 第①步222x x x −=− 第②步()22x x x −=− 第③步1x = 第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）． 【答案】④ 【分析】由()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，进而判断作答即可．【详解】解：()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，∴第④步错误， 故答案为：④．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．15．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若()()22222340x y x y +−+−=，则22x y +=______．【答案】4【分析】设22t x y =+，则0t >，根据换元法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：设22t x y =+，则0t >，∴原方程可以化为2340t t −−=，解得：4t =或1t =−（舍去）即22x y +=4 故答案为：4．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．16．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x −−−−=，则代数式22020x x −+的值为_______．【答案】2023【分析】设2t x x =−，则原方程转化为关于t 的一元二次方程2230t t −−=，利用因式分解法解该方程即可求得t 的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式0≥，方程有解．【详解】解：设2t x x =−，由原方程，得2230t t −−=，整理，得()()310t t −+=，所以3t =或1t =−．当3t =时，23−=x x ，则220202023x x −+=；当1t =−时，21x x −=−即210x x −+=时，()214110∆=−−⨯⨯<，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．三、解答题17．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程： (1)(2)15x x −=；(2)23680x x +−=（用配方法）； (3)2(2)10(2)210x x +−++=； (4)23520x x −+=；(5)22(2)(1)6x x ++−=． 【答案】(1)15a =，23a =−(2)11x =−，21x =−(3)15=x ，21x = (4)123x =，21x =(5)1x =，2x =【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解； （3）把(2)x +看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便； （5）先整理方程，用公式法比较简便． 【详解】（1）解：(2)15x x −=，整理，得22150a a −−=，(5)(3)0a a ∴−+=．50a ∴−=或30a +=．15a ∴=，23a =−；（2）23680x x +−=（用配方法），移项，得2368x x +=，二次项系数化为1，得2823x x +=，配方，得211213x x ++=，211(1)3x ∴+=．1x ∴+=．11x ∴=−，21x =−；（3）2(2)10(2)210x x +−++=，[(2)7][(2)3]0x x ∴+−+−=，即(5)(1)0x x −−=．50x ∴−=或10x −=．15x ∴=，21x =；（4）23520x x −+=，(32)(1)0x x −−=，320x −=或10x −=，123x ∴=，21x =；（5）22(2)(1)6x x ++−=，方程整理，得22210x x +−=，x ===．1x ∴=，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解决本题的关键．18．（2023·全国·九年级假期作业）已知()()22222150a b a b +++−=，求22a b +的值． 【答案】3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可． 【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +−=，解得：123,5x x ==−，0x >，3x ∴=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．【答案】2x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2211x x x =+−方程两边同乘()()11x x +−， 得()12x x −=，整理得，220x x −−=，∴()()120x x +−=，解得：11x −=，22x =，检验：当=1x −时，()()110x x +−=，=1x −是增根， 当2x =时，()()1130x x +−=≠，∴原方程的解为2x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【答案】,21x −+【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．【详解】2222421121x x x x x x x −−−÷+−−+()()()()222121112x x x x x x x −−=−⋅++−−()21211x x x x −=−++， 2221x x x −+=+ 21x =+解方程220x x +−=得：2x =−或1x =，如果已知分式有意义，必须x 不等于2，1−，1，∵x 为方程220x x +−=的根，∴x 只能为2−，∴当2x =−时，原式2221−+==−．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法． 21．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知数字A 为负数，将其加6得到数字B ，若数字A 与数字B 的积为7，求数字A ．【答案】7A =−【分析】根据题意得()67A A +=，解一元二次方程即可求解．【详解】解：由题意得6A B +=，7A B ⨯=，∴()67A A +=，∴2670A A +−=，即()()710A A +−=， 解得7A =−或1A =，∵数字A 为负数，∴7A =−．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“因式分解法”解一元二次方程是解题的关键．22．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：【答案】(1)1x =，2x =，3x ，4x =；(2)5【分析】（1）设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解关于y 的一元二次方程，然后解关于x 的一元二次方程即可求解；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解得11y =，24y =，当21x x +=即210x x +−=时，解得x = ；当24x x +=即240x x +−=时，解得x ；∴原方程的解为112x −=， 212x −=， 312x −=， 412x −=；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解得15y =，2(2y =−舍去)，225a b +=．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【答案】(1)1x =±(2)114x =−，21x =【分析】（1）设2x y =，则由已知方程得到：2560y y −=+，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x 的一元二次方程；（2）设1x y x +=，则由已知方程得到：260y y +−=，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．【详解】（1）令2x y =∴2560y y −=+∴(6)(1)0y y +−=∴16y =−，21y =∴26x =−（舍去），21x =∴1x =±；（2）令1x y x += ∴610y y −+=∴260y y +−=∴(3)(2)0y y +−=∴13y =−，22y = ∴13x x +=−，12x x += ∴114x =−，21x = 经检验，114x =−，21x =为原方程的解.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．任务：(1)判断：方程2560x x −+= ______ “邻根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知关于x 的一元二次方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，求m 的值．【答案】(1)是(2)0m =或2m =【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到1x m =，21x =−，再根据“邻根方程”的定义得到11m −=−或11+=−m ，然后解关于m 的方程即可．【详解】（1）解方程2560x x −+=得13x =，22x =， 3比2大1，∴方程是“邻根方程”；（2）()210x m x m +++=， ()()10x m x ∴++=， 0x m ∴+=或10x +=，1x m ∴=−，21x =−，方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，11m ∴−−=−或11m −+=−，0m ∴=或2m =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【答案】14x =，214x =m =m =代入方程得22520m m −+=，求出m 的值，再求出x 即可．m ．原方程化为：22520m m −+=，解得：12m =，212m =．当2m =2，解得：14x =；当12m =12=，解得：214x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，会根据题目所描述的换元法求解方程．。

专题4.5 因式分解章末八大题型总结(拔尖篇)(北师大版)(解析版)

专题4.5 因式分解章末八大题型总结(拔尖篇)(北师大版)(解析版)

专题4.5因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】【题型1利用整体思想分解因式】 (1)【题型2利用拆项法分解因式】 (6)【题型3利用添项法分解因式】 (8)【题型4利用因式分解的结果求参数】 (10)【题型5利用因式分解进行有理数的简算】 (12)【题型6利用因式分解探究三角形形状】 (14)【题型7与因式分解有关的探究题】 (16)【题型8因式分解的应用】 (22)【题型1利用整体思想分解因式】【例1】（2024八年级下·山东东营·期中）[阅读材料]因式分解：+2+2++1．解：将“+”看成整体，令+=，则原式=2+2+1=+12．再将“A”还原，原式=++12．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．[问题解决](1)因式分解：1+4−+4−2；(2)因式分解：2−62−6+18+81；(3)证明：若n为正整数，则代数式+1+22+3+1的值一定是某个整数的平方．【答案】(1)1+2−22(2)−34(3)见解析【分析】（1）用换元法设−=，将原式化为1+4+42，再利用完全平方公式得出1+22，再将A还原即可；（2）设2−6=，则原式=+92后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可；（3）先计算+1+2=2+3+2，再利用完全平方公式即可．【详解】（1）解：令−=，原式=1+4+42=1+22=1+2−22；（2）令2−6=，则2−62−6+18+81=+18+81=2+18+81=+92=2−6+92=−34；（3）+1+22+3+1=2+3+22+3+1=2+32+22+3+1=2+3+12，∵n为正整数，∴2+3+1正整数．∴+1+22+3+1=2+3+12，即代数式+1+22+3+1的值一定是某个整数的平方．【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．【变式1-1】（2024八年级下·山西运城·期中）（1）2+2−+22；（2）−−2−+1．【答案】（1）3(+p(−p；（2）(−−1)2．【分析】（1）设=2+s=+2，先利用平方差公式进行因式分解，再将s换回去，计算整式的加减即可得；（2）设=−，先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解，然后将换回去即可得．【详解】解：（1）设=2+s=+2，则原式=2−2=(+p(−p，将s换回去得：原式=(2+++2p2+−(+2p，=(3+3p(−p，=3(+p(−p；（2）设=−，则原式=−2+1，=2−2+1，=(−1)2，将换回去得：原式=(−−1)2．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．【变式1-2】（2024八年级下·福建漳州·期中）(1)因式分解：2−4+12−4+7+9；(2)因式分解：+−2B+−2+B−12；(3)求证：多项式+1+2+3+6+2的值一定是非负数．【答案】(1)（1）−24(2)−121−2(3)见解析【详解】（1）解：解法一：设2−4=，则原式=+1+7+9=2+8+16=+42=2−4+42=−24；方法二：设2+1=，−4=，则原式=+++6+9=+2+6++9=++32=2+1−4+32=2−4+42=−24；（2）解：设+=，B=，则原式=−2−2+−12=2−2B−2+4+2−2+1=2−2B−2+−12=2−2+1++12=−−12=+−B−12=−121−2；（3）解：+1+2+3+6+2=2+7+62+5+6+2，设2+6=，=，则原式=+7+5+2=2+12B+362=+62=2+6+62，∵2+6+62≥0，∴+1+2+3+6+2≥0，∴多项式+1+2+3+6+2的值一定是非负数．【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．【变式1-3】（2024八年级下·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式(2+2p(2+2+2)+1进行因式分解的解题思路：将“2+2”看成一个整体，令2+2=，则原式=o+2)+1=2+2+1=(+1)2．再将“x”还原为“2+2”即可．解题过程如下：解：设2+2=，则原式=+2+1（第一步）=2+2+1（第二步）=(+1)2（第三步）=2+2+12（第四步）．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式2−42−4+8+16进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1−2−3−⋯−2023)×(2+3+⋯+2024)−(1−2−3−⋯−2024)×(2+3+⋯+2023)．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为(+1)4；②(−2)4(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设=1−2−3−⋯−2023，=2+3+⋯+2024，则原式=B−(−2024)(−2024)，整体代入计算即可．【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设2+2=，则原式=+2+1（第一步）=2+2+1（第二步）=(+1)2（第三步）=2+2+12（第四步）=(+1)22=(+1)4．∴最后的结果为(+1)4．②设2−4=，原式=o+8)+16=2+8+16．=(+4)2=2−4+42=(−2)4；（2）设=1−2−3−⋯−2023，=2+3+⋯+2024，则1−2−3−⋯−2023−2024=−2024,2+3+⋯+2023=−2024，+=1+2024=2025，原式=B−(−2024)(−2024)=B−B+2024(+p−20242=2024×2025−20242=2024×(2024+1)−20242=20242+2024−20242=2024．【题型2利用拆项法分解因式】【例2】（2024八年级下·山东济宁·期中）观察下面因式分解的过程：4+3+22+3−3=4+3−2+32+3−3=22+−1+32+−1=2+32+−1上面因式分解过程的第一步把22拆成了−2+32，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：(1)2−2+2+6−8；(2)4−232+1．【答案】(1)+−2−+4(2)2+1+52+1−5【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．（1）将−8拆成1−9，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将−232拆成22−252，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：2−2+2+6−8=2−2+2+6+1−9=2+2+1−2−6+9=+12−−32=+1+−3+1−+3=+−2−+4；（2）解：4−232+1=4+22−252+1=4+22+1−252=2+12−52=2+1+52+1−5．【变式2-1】（2024八年级下·陕西榆林·期中）(1)分解因式：2−6+5；(2)分解因式：2+4B−52．【答案】(1)−1−5(2)+5−【分析】（1）将5拆解成9−4，再根据完全平方公式得−32−22，然后利用平方差公式进一步分解．（2）将−52拆解成42−92，再根据完全平方公式得+22−92，然后利用平方差公式进一步分解．【详解】（1）原式=2−6+9−4=−32−22=−3−2−3+2=−1−5（2）原式=2+4B+42−92=+22−92=+2+3+2−3=+5−【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式2-2】（2024八年级下·黑龙江鸡西·期中）（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)(a－b)【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可；（2）仿照例题方法分解因式即可；【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7=x2﹣6x+9－16=（x－3）2－42=（x－3+4）(x－3－4)=(x+1)(x－7)；（2）a2＋4ab﹣5b2=a2＋4ab+4b2﹣9b2=（a+2b）2－(3b)2=（a+2b+3b）(a+2b－3b)=(a+5b)(a－b)．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．【变式2-3】（2024八年级下·上海嘉定·期中）把多项式4+322+44分解因式．【答案】2+22+B2+22−B【分析】把原式中的第二项的系数3变为4−1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【详解】解：4+322+44=4+422+44−22=2+222−B2=2+22+B2+22−B．【题型3利用添项法分解因式】【例3】（2024八年级下·山西·期中）阅读与思考任务：(1)请根据以上阅读材料补充完整对3+3因式分解的过程．(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求3+3的值．【答案】(1)+2−B+2(2)3+3=32【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式+，整理即可；（2）由（1）可知求出2−B+2的值即可求出3+3的值．将2−B+2变形为+2−3B，再代入+和B的值即得出2−B+2的值，由此即得出结果．【详解】（1）3+3=3+2−2+3=3+2−2−3=+⋅2−+⋅−=+⋅2−−．=+2−B+2；（2）∵2−B+2=+2−3B=22−3×−4=16∴3+3=+2−B+2=2×16=32．【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．【变式3-1】（2024八年级·全国·合肥期中）将下列式子因式分解：4+44【答案】（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）【分析】运用添项法因式分解，根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；【详解】解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；【点睛】本题考查了添项法因式分解，理解完全平方公式和平方差公式是解答关键．【变式3-2】（2024八年级下·甘肃兰州·期中）分解因式：−2−2−4−3．【答案】++1−−3【详解】解：2−2−2−4−3=2−2+1−1−2−4−4−3+4=−12−+22=−1++2−1−−2=++1−−3．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．【变式3-3】（2022·广西柳州·八年级期中）分解多项式5−1的结果是．【答案】−14+3+2++1【分析】直接根据添项方法进行因式分解即可．【详解】解：5−1=5−4+4−3+3−2+2−+−1=4−1+3−1+2−1+−1+−1=−14+3+2++1，故答案为：−14+3+2++1【点睛】本题考查添项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．【题型4利用因式分解的结果求参数】【例4】（2024八年级下·浙江宁波·期中）因为2+2−3=+3−1，这说明多项式2+2−3有一个因式为−1，我们把=1代入此多项式发现=1能使多项式2+2−3的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若+3是多项式2+B+12的一个因式，求的值；(2)若−3和−4是多项式3+B2+12+的两个因式，试求，的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3+B2+12+因式分解．【答案】(1)=7(2)=−7，=0(3)o−3)(−4)【分析】（1）将=−3代入多项式并使多项式等于0，求；（2）将=3和=4分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，求，；（3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解：∵+3是多项式2+B+12的一个因式，∴当=−3时，2+B+12=9−3+12=0，解得=7；（2）∵(−3)和(−4)是多项式3+B2+12+的两个因式，∴33+×32+12×3+=043+×42+12×4+=0，解得=−7=0．∴=−7，=0．（3）解：由（2）得3+B2+12+即为3−72+12，∴3−72+12=o2−7+12)=o−3)(−4)．【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．【变式4-1】（2024八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的二次三项式2−B+可分解为+2−3，则3−的值为．【答案】9【分析】把+2−3展开，求出、的值，计算即可．【详解】解：∵+2−3=2+2−3−6=2−−6，∴2−B+=2−−6，∴=1，=−6，∴3−=3×1−−6=3+6=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．【变式4-2】（2023八年级下·江苏·专题练习）已知多项式4+B+能分解为(2+B+p(2+2−3)，则=，=．【答案】−2；7．【分析】把2+B+2+2−3展开，找到所有z和y的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵2+B+2+2−3=4+B3+B2+23+2B2+2B−32−3B−3=4++23++2−32+2−3−3=4+B+．∴展开式乘积中不含3、2项，∴+2=0+2−3=0，解得：=−2=7．故答案为：−2，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．【变式4-3】（2024八年级下·江苏苏州·期中）已知多项式2+B+36能分解为两个整系数一次式的乘积，则k的值有（）个．A．10B．8C．5D．4【答案】A【分析】设2+B+36能分解成++，根据整式的乘法化简，得到+=s B=36，根据s为整数求解即可．【详解】设2+B+36=++=2+++B，则+=s B=36∴=1=36,=2=18,=3=12,=4=9,=6=6,=−1=−36,=−2=−18,=−3=−12,=−4=−9,=−6=−6∴=+=37,20,15,13,12,−37,−20,−15,−13,−12,共10个故选A【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键．【题型5利用因式分解进行有理数的简算】【例5】（2024八年级下·上海青浦·【答案】2021．【分析】此题考查了因式分解的应用，先设2020=，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用．【详解】解：设2020=，则原式===+1，∴原式=2020+1=2021．【变式5-1】（2024八年级下·重庆·期中）简便计算：(1)9999×10001−100002；(2)999992+199999．【答案】(1)−1(2)10000000000【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式．（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；（2）利用因式分解进行计算，即可解答．【详解】（1）解：原式=10000−1×10000+1−100002=100002−12−100002=−1；（2）解：原式=999992+99999+100000=99999×99999+1+100000=99999×100000+100000=100000×99999+1=100000×100000=10000000000．【变式5-2】（2024八年级下·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（）A．999×1001=1000−1×1000+1=10002−1B．802−160×78+782=80−782 C．257−512=514−512=51252−1D．1992=200−12=2002−1【答案】D【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．【详解】解：A、999×1001=1000−1×1000+1=10002−1，选项正确，不符合题意；B、802−160×78+782=80−782，选项正确，不符合题意；C、257−512=514−512=51252−1，选项正确，不符合题意；D、1992=200−12=2002−2×200×1+1，选项错误，符合题意．故选：D．【变式5-3】（2024八年级下·四川遂宁·期中）已知=999999，=1110990，那么、的大小关系为（）A．>B．<C．=D．不确定【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，以及积的乘方逆用，根据作差法比较两个数的大小即可．【详解】解：−=999999−1110990=999−1110×99999=999−11×999999=999×1−11999=−10×999999<0，∴<．故选：B．【题型6利用因式分解探究三角形形状】（2024八年级下·山东泰安·阶段练习）已知s s为三角形三边，且满足2+2+2−B−B−B=0.【例6】试说明该三角形是等边三角形．【答案】见解析【分析】可将题目所给的关于、、的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而可判断出△B的形状．【详解】解：∵2+2+2−B−B−B=0，∴22+22+22−2B−2B−2B=0，∴(2−2B+2)+(2−2B+2)+(2−2B+2)=0，∴(−p2+(−p2+(−p2=0，∴−=0，−=0，−=0，∴==，∴△B为等边三角形．【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答．【变式6-1】（2024八年级下·福建福州·期中）已知△B的三边a，b，c满足−+−=0，则△B 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先提取公因式，得到−−=0，进而得出−=0或−=0，即可判断△B的形状．【详解】解：∵−+−=0，∴−−−=−−=0，∴−=0或−=0，∴=或=，∴△B的形状为等腰三角形，故选：B．【变式6-2】（2024八年级下·四川内江·阶段练习）若a、b、c是△B的三边，且满足2+B−B−B=0，2+B−B−B=0，则△B的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】D【分析】根据2+B−B−B=0，2+B−B−B=0，分别提取公因式即可得到(+p(−p=0，(+p(−p=0，再根据+≠0，+≠0，得到−=0，−=0，据此即可判定该三角形的形状．【详解】解：∵2+B−B−B=0，2+B−B−B=0，∴(+p(−p=0，(+p(−p=0，又∵、b、c是△B的三边，∴+≠0，+≠0，∴−=0，−=0，∴=，=，∴==，∴该三角形是等边三角形，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解【变式6-3】（2024八年级下·重庆北碚·期中）已知△B三边长、、满足32+2B=32+2B，试判定△B的形状．【答案】△B为等腰三角形．【分析】根据分组分解法对式子进行因式分解，即可判断．此题考查了因式分解的应用、等腰三角形的定义等知识，利用因式分解对原式进行变形是解题的关键．【详解】解：∵32+2B=32+2B，∴32+2B−32−2B=0，∴3+−+2−=0，∴−3+3+2=0∵a，b，c是△B的三边长，∴3+3+2≠0，∴−=0∴=∴△B为等腰三角形．【题型7与因式分解有关的探究题】【例7】（2024八年级下·山东淄博·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为16=52−32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22−12，5=32−22，7=42−32，9=52−42，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为+1，，其中≥1，且为整数．则(+1)2−2=(+1+p(+1−p=2+1．(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；(2)继续探究，他们发现8=32−12，12=42−22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：4o≥2，且为整数）均为智慧数请证明他们的猜想；(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．【答案】(1)奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8(2)见解析(3)第2023个智慧数是2700，2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674）【分析】（1）由小明的探究可得，2+1(≥1，且为整数）是除1外，所有的奇数．根据探究可求得11、15的智慧分解；（2）借助小明的探究思路，可证猜想；（3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数．【详解】（1）解：∵(+1)2−2=(+1+p(+1−p=2+1(≥1，且为整数），∴智慧数是除1外所有的奇数，(5+1)2−52=62−52=(6+5)(6−5)=11，(7+1)2−72=82−72=(8+7)(8−7)=15，故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8；（2）证明：设≥2，且为整数，∵8=32−12=(2+1)2−(2−1)2=(2+1+2−1)(2+1−2+1)，12=42−22=(3+1)2−(3−1)2=(3+1+3−1)(3+1−3+1)，∴(+1)2−(−1)2=(+1+−1)(+1−+1)=4，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4o≥2且为整数）均为智慧数；（3）解：据探究得，智慧数是奇数时≥1，且为整数，智慧数是4的倍数时，≥2且为整数，∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，(2023−1)÷3=674，4×(674+1)=2700，∴第2023个智慧数是2700，∵2700能被4整除，∴2700=6762−6742=(676+674)(676−674)．【点睛】本题考查了对因式分解的推理，掌握对因式分解的反推是本题的关键．【变式7-1】（2024八年级下·吉林长春·期中）探究题:(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：2+6+9=__________；2−4+4=________；42−20+25=________；(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62=4×1×9；(−4)2=4×1×4；(−20)2=4×4×25；归纳猜想：若多项式B2+B+o>0,>0)是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为_____________________．(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．(4)解决问题：若多项式(+1)2−(2+6)+(+6)是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．【答案】(1)+32；−22；2−52(2)2=4B(3)见解析(4)=3【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；（2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想2=4B；（3）可用完全平方公式进行验证；（4）多项式ax2＋bx＋c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可列[−（2n＋6）]2＝4（n＋1）（n＋6），进而求出n的值．【详解】（1）解：2+6+9=+32；2−4+4=−22；42−20+25=2−52．故答案为：+32；−22；2−52．（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：2=4B．故答案为：2=4B．（3）验证结论：可用x2＋4x＋4，验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，∴2=4B．（4）根据题意可得：−2＋62＝4＋1＋642+24+36=42+7+642+24+36=42+28+244=12=3【点睛】本题主要考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的理解和应用，综合性较强．【变式7-2】（2024八年级下·湖南长沙·期中）阅读理解并填空：(1)为了求代数式2+2+3的值，我们必须知道x的值．若=1，则这个代数式的值为________﹔若=2，则这个代数式的值为_______；……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．(2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：2+2+3=2+2+1+2=+12+2，因为+12是非负数，所以这个代数式的最小值是______，此时相应的x的值是______．(3)求代数式−2−6+12的最大值，并写出相应的x的值．(4)试探究关于x、y的代数式52−4B+2+6+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6，11(2)2，−1(3)代数式−2−6+12的最大值是21，相应的x的值是−3(4)代数式52−4B+2+6+25有最小值是16，相应的=−3，=−6【分析】（1）把=1和=2分别代入代数式2+2+3中，再进行计算即可得出答案；（2）根据非负数的性质即可得出答案；（3）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；（4）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质求出最小值及此时x、y的值．【详解】（1）解：把=1代入2+2+3中，得：12+2+3=6；若=2，则这个代数式的值为22+2×2+3=11；故答案为：6，11；（2）解：根据题意可得：2+2+3=2+2+1+2=+12+2，∵+12是非负数，∴这个代数式2+2+3的最小值是2，相应的x的值是−1；故答案为：2，−1；（3）解：根据题意得：∴−2−6+12=−+32+21，∴代数式−2−6+12的最大值是21，相应的x的值是−3；（4）解：代数式52−4B+2+6+25有最小值是16，相应的=−3，=−6，理由如下：52−4B+2+6+25=42−4B+2+2+6+9+16=2−2++32+16，∵2−2及+32都是非负数，当2−=0，+3=0时，代数式有最小值是16，相应的=−3，=−6．【点睛】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．【变式7-3】（2024八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在学习《因式分解》）时，邹老师给同学们发了很多硬纸片(×的正方形A，×的正方形B，×的长方形C．(1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明2+B可以分解为______；(2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上(3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果．【答案】(1)o+p；(2)2+3B+22=(+2p(+p；(3)2+5B+42=(+4p(+p或2+4B+42=(+2p2．【分析】（1）根据这个图形的面积有直接求和间接求两种方法，即可写出分解因式的结果．（2）先画出图形，再根据面积法写出分解因式的结果．（3）先画出图形，再根据面积法写出分解因式的结果．【详解】（1）由图知长方形的面积还可表示为o+p，因此2+B可以分解为o+p．故答案为：o+p（2）如图1张A，2张B和3张C可拼成一个长方形，由此得2+3B+22=(+2p(+p．故答案为：(+2p(+p．（3）如图，用1张A，4张B，5张C可拼成一个长方形，由此可得2+5B+42=(+4p(+p．如图，用1张A，4张B，4张C可拼成一个正方形，由此可得2+4B+42=(+2p2．故答案为：2+5B+42=(+4p(+p或2+4B+42=(+2p2．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用面积法写出一个多项式因式分解的结果，能够正确的列出等式是解题的关键．【题型8因式分解的应用】【例8】（2024八年级下·湖北恩施·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式4−4，因式分解的结果是−+2+2，若取= 9，=9，则各个因式的值是：−=0，+=18，2+2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式3−B2，取=52，=28，用上述方法产生的密码不可能是（）A．528024B．522824C．248052D．522480【答案】B【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．【详解】解：∵3−B2=2−2=+−，∵=52，=28，则各个因式的值为=52，+=80，−=24，∴产生的密码不可能是522824，故选：B．【变式8-1】（2024八年级下·湖南湘西·期中）如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地，已知2+B2=240，则这个长方形场地的面积为（）平方米．A．32B．24C．16D．12【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用．由题意得+=10，再由已知变形得到B=24，即可求解．【详解】解：由题意得+=202=10（米），2+B2=240，∴B+=240，解得B=24，∴个长方形场地的面积为24平方米．故选：B．【变式8-2】（2024八年级下·吉林·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为vm的大正方形，2块是边长为vm的小正方形，5块长是vm，宽为vm的相同的小长方形，且>(1)观察图形，可以发现代数式22+5B+22可以因式分解为；(2)若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm．①求+的值；②求图中空白部分的面积．【答案】(1)+2+2(2)①5；②20cm2【分析】本题考查了因式分解的应用．（1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案；（2）①根据长方形的周长是23+3=30即可得出+的值；②由图可得空白部分的面积是5B，故我们可以根据第一步中求出的+的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积．【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：22+5B+22cm2，长方形的长是2+cm，宽是+2cm，由此可得：22+5B+22=+2+2，故答案为：+2+2；（2）解：①根据长方形的周长为30cm，可得：22+++2=30，23+3=30，6+=30，+=5．答：+的值为5．②空白部分的面积为5Bcm2，根据②得：+=5，∵阴影部分的面积为34cm2，且阴影部分的面积表示为22+22，故2+2=17，∵+2−2B=2+2，∴52−2B=17，∴B=4，∴5B=20．答：空白部分的面积为20cm2．【变式8-3】（2024八年级下·福建泉州·期中）【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：；(2)【问题解决】若要用这四种长方体拼成一个棱长为+2的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出3−3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与2分别是两个大小不同正方体的棱长，且3−83=−24−4B，当−2为整数时，求B的值．【答案】(1)+·b=B2+3；(2)②号长方体需要6个，③号长方体需要12个，+23=3+32·2+3b22+23=3+62+12B2+83，(3)B=0.3．【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可；（2）根据题中的给定的长方体组合把+23计算即可；（3）先把3−3因式分解，然后据此分解3−83=3−23=−22+2B+22=−22+2B+42=−24−4B即可；此题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用几何体的体积进行因式分解及数形结合思想的应用．【详解】（1）根据题意可知：+·b=B2+3，故答案为：+·b=B2+3；（2）②号长方体需要6个，③号长方体需要12个，+23=3+32·2+3b22+23=3+62+12B2+83；（3）由题意得：3−3=−2+B+2，由上可知：3−83=3−23=−22+2B+22=−22+2B+42=−24−4B，∴−22+2B+42−4+4B=0，整理得：−22+6B+42−4=0，∵且与2两个大小不同正方体的棱长，∴−2≠0，∴2+6B+42−4=0，则−22=4−10B，∵−2为整数，则4−10B为平方数，∴4−10B=1，∴B=0.3．。

专题07 因式分解压轴四大类型(原卷版)

专题07 因式分解压轴四大类型(原卷版)

专题07 因式分解压轴四大类型题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解题型二：十字相乘法因式分解题型三：分组分解法题型四：因式分解的应用题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解【典例1】（2023秋•西城区期末）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【变式1-1】（2023春•鼓楼区校级期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【变式1-2】（2023春•皇姑区校级期中）因式分解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）2x2﹣12xy+18y2．【变式1-3】（2022秋•渑池县期末）因式分解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3；（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）．题型二：十字相乘法因式分解【典例2】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：a2﹣13a+36＝．【变式2-1】（2023秋•璧山区期末）因式分解a2+a﹣6的结果是．【变式2-2】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝．【变式2-3】（2023秋•河北区校级期末）把多项式x2﹣2x﹣35因式分解为．题型三：分组分解法【典例3】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【变式3-1】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．【变式3-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：（1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b；（2）x2﹣y2﹣ax+ay．【变式3-3】（2023秋•武都区期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．题型四：因式分解的应用【典例4】（2023秋•钢城区期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）．（2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．结合以上材料解决下面的问题：（1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是；（2）分解因式：x2﹣8x+15；（3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？【变式4-1】（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+＝3×；第3个：4+＝4×…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．【变式4-2】（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．【变式4-3】（2023春•罗湖区校级期中）阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+m）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x2﹣y2+2x﹣2y；（2）知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若m、n、p为非零实数，且（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），求证：2p＝m+n．一．选择题（共8小题）1．（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．102．（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15D．163．（2023秋•洪山区期末）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（）A．9B．7C．0D．﹣94．（2023秋•商水县期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，则m3n﹣mn3的值为（）A．±300B．±84C．±48D．±12 5．（2023秋•海安市期末）已知xy＝4，则x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（）A．﹣9B．﹣2C．0D．26．（2023秋•宣化区期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b）B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）7．（2023秋•鲅鱼圈区期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57B．120C．﹣39D．﹣150 8．（2023秋•东兴区校级期中）已知，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．0B．C．2D．3二．填空题（共5小题）9．（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC 的形状是．10．（2023秋•通山县期末）已知：x2﹣x＝1，则x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是．11．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为．12．（2022秋•东莞市校级期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是．13．（2022秋•芝罘区期末）计算：20232﹣2023×2022＝．三．解答题（共3小题）14．（2023秋•梨树县期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．15．（2023秋•东辽县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？。

公式法分解因式经典练习题分类汇编

公式法分解因式经典练习题分类汇编

【基础知识】公式法分解因式（1）平方差公式： a 2－b 2＝ .（2）完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝ . a 2－2ab ＋b 2＝ .（3）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+.（4）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++.【题型1】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)4x 2－y 2； (2)－16＋a 2b 2； (3)x 2100－25y 2； (4)(x ＋2y)2－(x －y)2.【变式训练】 1.分解因式(1)4a 2－y 2； (2)x 2y 4－49； (3)4a 2－(3b －c)2； (4)(x ＋y)2－4x 2； (5)x 4－16；(6)(4x －3y)2－25y 2 (7)25(a ＋b)2－4(a －b)2； (8)9x 2－(2x －y)2；(9)(a ＋b)4－(a －b)4；(10)(2x ＋y)2－(x －2y)2； (11)9(a ＋b)2－16(a －b)2； (12)9(3a ＋2b)2－25(a －2b)2．2.分解因式(1)a 3－9a ； (2)3x 2－12； (3)8m 3－2m ； （4）12 m 2n 2-8； （5）31a 2b 2-3.(6)3m(2x －y)2－3mn 2； (7)(a －b)b 2－4(a －b)； (8)x ²-y ²-3x-3y ； (9)a 2（a-b ）+b 2（b-a ）.【题型2】完全平方式已知x 2＋kxy ＋16y 2是一个完全平方式，则k 的值是 .【变式训练】1.下列式子为完全平方式的是( )A.a 2＋ab ＋b 2B.a 2＋2a ＋2C.a 2－2b ＋b 2D.a 2＋2a ＋12.若9a 2＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是（ ）A.±4B.±2C.3D.4或23.已知a 2x 2±2x＋b 2是完全平方式，且a ，b 都不为零，则a 与b 的关系为（ ）A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数C.相等的数D.任意有理数4.下列各式能组成完全平方式的个数是 .①x 6－31128x ②x 8+4x 4+4 ③3m 2+2m+3 ④m 2－2m+4 5.若x 2＋8x ＋k 是完全平方式，则k ＝ .6.若x 2＋mx ＋9是完全平方式，则m 的值是 .【题型3】利用完全平方公式分解因式分解因式： (1)a 2+4a ＋4； (2)x 2＋4y 2－4xy ； (3)9+12a ＋4a 2； (4)a 2－2a ＋1.【变式训练】1.因式分解：(1)4x 2＋y 2－4xy ； (2)9－12a ＋4a 2； (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9.2.分解因式：（1）ab2-4ab+4a；（2）-3x+12x-12；（3）4x2-8x+4；(4)2a3－8a2＋8a； (5)－2x2y＋12xy－18y； (6)3x2－6x＋3； (7)－4a2＋24a－36.(8)2a3b－8a2b＋8ab； (9)4x3y-24x2y+39xy； (10)-3x2y+6xy-3y； (11)4a2b2＋24ab+36.3.分解因式(1)x(x－1)－3x＋4； (2)(x－2y)2＋8xy；（3）（2a+b）2-4ab；（4）（x-y）2-z2+4xy；(5)ab(ab+2)+2ab＋4； (6)(x+2y)2-8xy；（7）（x-y）2+4xy；（8）（2a-b）2-c2+8ab.。

专题07因式分解(4个知识点13种题型)(解析版)

专题07因式分解(4个知识点13种题型)(解析版)

专题07因式分解（4个知识点13种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解知识点2.公式法因式分解知识点3.十字相乘法法因式分解知识点4.分组分解法法因式分解【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）题型4.用提公因式法分解因式的简单应用题型5.利用平方差公式分解因式题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式题型7.完全平方式题型8.利用完全平方公式分解因式题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式题型10.十字相乘法题型11.十字相乘法的灵活应用题型12.利用分组分解法分解因式题型13.分组分解法的灵活应用【方法三】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．知识点2.公式法因式分解1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．知识点4.十字相乘法法因式分解十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p ,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．知识点5.分组分解法法因式分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn +++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而：()()()()a m n b m n m n a b +++=++．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念1．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．2．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）3．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．4．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．5．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．6．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）7．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．8．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝．【分析】首先把式子变形为：a（a﹣b）﹣b（a﹣b），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2．故答案为：（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．9．（2022秋•浦东新区校级期中）2m（a﹣c）﹣5（a﹣c）．【分析】直接提取公因式a﹣c即可．【解答】解：原式＝（a﹣c）（2m﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．10．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．11．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．题型4.用提公因式法分解因式的简单应用12．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型5.利用平方差公式分解因式13．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2﹣＝．【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：x2﹣＝（x+）（x﹣）．故答案为：（x+）（x﹣）．【点评】本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．14．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：x4﹣16＝．【分析】利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进行两次分解．【解答】解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：﹣（a+b）2+1＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：原式＝[1﹣（a+b）][1+（a+b）]＝（1﹣a﹣b）（1+a+b）．故答案为：（1﹣a﹣b）（1+a+b）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．16．（2022•黄浦区校级二模）分解因式：x2﹣4y2＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．17．（2022秋•上海期末）分解因式：9a2﹣25（a+b）2．【分析】根据平方差公式因式分解即可．【解答】解：9a2﹣25（a+b）2＝[3a﹣5（a+b）][3a+5（a+b）]＝（﹣2a﹣5b）（8a+5b）＝﹣（2a+5b）（8a+5b）．【点评】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【分析】直接利用平方差公式分解因式．【解答】解：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【点评】本题考查了因式分解﹣公式法：掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式19．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：4x2﹣16＝．【分析】先提取公因式4，再对剩余项x2﹣4利用平方差公式继续进行因式分解．【解答】解：4x2﹣16，＝4（x2﹣4），＝4（x+2）（x﹣2）．故答案为：4（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．20．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a（a+b）2﹣27ab2．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3a[（a+b）2﹣9b2]＝3a（a+b+3b）（a+b﹣3b）＝3a（a+4b）（a﹣2b）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．题型7.完全平方式21．（2022秋•青浦区校级期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的（）A．x2+x+1B．x2﹣2x﹣1C．x2+2x+4D．x2﹣x+【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．【解答】解：A．x2+x+1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；B．x2﹣2x﹣1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项B不符合题意；C．x2+2x+4，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C不符合题意；D．x2﹣x+＝（x﹣）2，能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．题型8.利用完全平方公式分解因式22．（2022秋•黄浦区期中）因式分解：（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题的关键．23．（2022秋•长宁区校级期中）（m+n）2+6（m2﹣n2）+9（m﹣n）2．【分析】首先利用平方差公式分解m2﹣n2，观察发现此题代数式符合完全平方公式，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（m+n）2+6（m﹣n）（m+n）+9（m﹣n）2，＝[（m+n）+3（m﹣n）]2，＝（4m﹣2n）2，＝4（2m﹣n）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．24．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：m（m﹣4）+4．【分析】先运用单项式乘以多项式法则将括号展开，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：m（m﹣4）+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式（a2±2ab+b2＝（a±b）2）是解答本题的关键．题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式25．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：原式＝（m2﹣4m+4）＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．26．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式．【解答】解：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2＝﹣3x（x2+2xy+y2）＝﹣3x（x+y）2．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a2+12ab+12b2．【分析】先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】解：3a2+12ab+12b2＝3（a2+4ab+4b2）＝3（a+2b）2．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．题型10.十字相乘法28．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：2x2﹣6x﹣8＝．【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1），故答案为：2（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．29．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．【分析】由十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：x2﹣7xy﹣18y2＝（x﹣9y）（x+2y）．故答案是：（x﹣9y）（x+2y）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．30．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：2x2+6xy+4y2＝2（x2+3xy+2y2）＝2（x+2y）（x+y）．【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）分解因式：ax4﹣14ax2﹣32a．【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a＝a（x4﹣14x2﹣32）＝a（x2+2）（x2﹣16）＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9＝（a2﹣a+1）2﹣9＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．33．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）＝3（x﹣5）（x+2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键．34．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．35．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键．36．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．【解答】解：根据十字相乘法，（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．题型11.十字相乘法的灵活应用37．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0B．10C．12D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．38．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7B．2C．﹣2D．﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．39．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．40．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．41．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解答】解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式．题型12.利用分组分解法分解因式42．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可．【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy＝（xy+x+1）（xy+y+1）．【点评】本题考查了分组法进行因式分解，熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键．43．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【分析】首先重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确分组是解题关键．44．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；（2）用提公因式法和十字相乘法解答．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．【点评】本题考查了因式分解，熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键．45．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．46．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．【分析】先分成两组，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣16＝（a﹣3b）2﹣42＝（a﹣3b+4）（a﹣3b﹣4）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．47．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）＝（c﹣3d）（2a+b）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．48．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．【分析】利用分组分解法，将﹣4a2﹣1+4a分为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）＝b2﹣（2a﹣1）2＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键．49．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．【分析】直接将原式分组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4+4y2﹣4xy＝x2+4y2﹣4xy﹣4＝（x﹣2y）2﹣4＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．50．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．【分析】先分组再利用平方差公式．【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2＝（m﹣1）2﹣4n2＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．51．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）＝（x+3y）（x+6y﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．题型13.分组分解法的灵活应用52．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．【分析】根据x2﹣x﹣3＝0，得出x2＝x+3，代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x3﹣2x2﹣2x+2022＝x（x+3）﹣2x2﹣2x+2022＝﹣x2+x+2022＝﹣（x2﹣x﹣3）+2019＝2019，故答案为：2019．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．53．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【分析】根据已知条件得到a2﹣a＝1，将要求的代数式化简得到a（a2+a）﹣a2﹣2a+6，两次代入求解即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键．【方法三】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据平方差公式逐项分析即可．【详解】解：A.()()x y x y +-22x y =-，故能用平方差公式计算；B.()()x y x y +-+22y x =-，故能用平方差公式计算；C.()()x y x y -+-222()2x y x xy y =--=-+-，故不能用平方差公式计算；D.()()x y x y -+--22x y =-，故能用平方差公式计算；故选：C ．【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是()2222a b a ab b ±=±+；平方差公式是()()22a b a b a b +-=-．二、填空题三、解答题【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．【详解】解：224691x y y +--()224961x y y =--+()22431x y --=()()231231x y x y =+--+．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解．22．（2022秋·上海·七年级阶段练习）因式分解：221218a b ab b -+【答案】22(3)b a -．【分析】先提公因式2b ，再利用完全平方公式即可【详解】解：原式()2269=-+b a a 22(3)=-b a ．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键23．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：()()2222225225m n m n ---【答案】()()()2221m n m n m n +-+【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【详解】原式()()2222222252255225m n m n m n m n =-+---+()()22227733m n m n =-+()()222221m n m n =-+()()()2221m n m n m n =+-+【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．24．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：()()2280x y y x ----【答案】()()810x y x y ---+【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】()()2280x y y x ----。

八年级因式分解经典题型

八年级因式分解经典题型

八年级因式分解经典题型一、因式分解的概念与方法回顾。

1. 因式分解的定义。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2. 因式分解的方法。

- 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

例如：ma + mb+mc=m(a + b + c)。

- 公式法。

- 平方差公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 完全平方公式：a^2±2ab + b^2=(a± b)^2。

二、经典题型及解析。

1. 分解因式x^3-2x^2+x- 解析：首先观察多项式各项都有公因式x，先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)。

然后对括号内的式子x^2-2x + 1，可以发现它是一个完全平方形式，即(x -1)^2。

所以原式分解因式的结果为x(x - 1)^2。

2. 分解因式9x^2-16y^2- 解析：这个式子符合平方差公式a^2-b^2的形式，其中a = 3x，b=4y。

根据平方差公式可得(3x + 4y)(3x-4y)。

3. 分解因式4x^2+12xy+9y^2- 解析：观察式子，它符合完全平方公式a^2+2ab + b^2的形式，这里a =2x，b = 3y。

所以原式分解因式的结果为(2x+3y)^2。

4. 分解因式x^4-1- 解析：可先利用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，这里a=x^2，b = 1，得到(x^2+1)(x^2-1)。

而x^2-1还可以继续利用平方差公式分解为(x + 1)(x - 1)，所以最终结果为(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。

5. 分解因式2x^2-8- 解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，然后x^2-4可以利用平方差公式分解为(x + 2)(x - 2)，所以原式分解因式的结果为2(x + 2)(x - 2)。

因式分解常见题型

因式分解常见题型

因式分解常见题型因式分解是代数学中的重要内容，常见于中学数学课程中。

在因式分解中，我们将一个多项式表达式分解成几个较简单的乘积形式，这样可以更容易地进行运算和研究。

常见的因式分解题型包括以下几种：1. 提取公因式：这是最基本的因式分解题型，通过提取多项式中的公因子，将其分解为一个公因子与剩余部分的乘积形式。

例如，对于多项式3x + 6y，我们可以提取公因子3，得到3(x + 2y)。

2. 完全平方差公式：这个公式常用于分解二次多项式。

根据公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，我们可以将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积形式。

例如，对于多项式x^2 - 4，可以分解为(x + 2)(x - 2)。

3. 三项式的平方差公式：类似于完全平方差公式，这个公式适用于分解三项式。

根据公式a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)，我们可以将一个立方多项式分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积形式。

4. 分组分解法：当一个多项式无法通过提取公因式或应用常见公式进行因式分解时，可以尝试使用分组分解法。

这种方法通常适用于多项式含有四个或更多项的情况。

通过将多项式中的项进行分组，然后将每个组的项分别因式分解，并尝试得到一个公因子，最后将各个组的公因子相乘即可得到多项式的因式分解。

5. 二次三项式分解：对于一个二次三项式，也可以通过配方法进行因式分解。

配方法即将多项式中的第一项与最后一项相乘，然后找出一个合适的常数将其分解成两个一次多项式的乘积形式。

除了上述常见的因式分解题型，还有一些特殊的因式分解方法，如欧拉恒等式、差平方公式等，可以根据具体情况进行运用。

因式分解在代数学中扮演着重要的角色，不仅可以简化多项式的表达形式，还可以帮助我们更好地理解多项式的性质和特点。

因此，对于学生来说，掌握因式分解的方法和技巧是非常重要的。

在解题时，要善于观察多项式的结构和特征，并选择合适的方法进行因式分解，从而解决问题。

(完整版)因式分解题型分类解析

(完整版)因式分解题型分类解析

因式分解一、因式分解的概念：因式分解(分解因式）：把一个多项式化为几个整式（ )的形式。

二、因式分解的方法：1、提公因式法：（1）公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。

（3)注意：①提取完公因式后,看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项；②提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底"；③如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

2、公式法：运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:①平方差公式: a2－b2＝②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2＝3、十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=特点：(1）二次项系数是1；（2)常数项是两个数的乘积；(3）一次项系数是常数项的两因数的和。

一、按知识点：题型一： 概念的理解：例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是？请说出理由.（1）、()ay ax y x a +=+ （2)、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、222)1(12xx x x +=++ (5）、a a a a ••=223题型二: 提公因式法:例2、（1)1+++b a ab （2）、m m m 2616423-+-（3）)3(2)3(a a m -+- (4）32)(2)(6b a a b a ---题型三： 完全平方公式：例4、（1）49142+-a （2)412---m m（3)22)()(2c b c b a a ++++ （4）22363y xy x -+-题型四： 平方差公式：例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）①22b a -- ②2242b a - ③422--y x ④1922+-b a ⑤22)()(x y y x -+- ⑥14-x题型五:十字相乘法：（4）36152+-a a (5）542-+x x (6)22-+x x二、按解题技巧:技巧一 :符号变换例：(m+n ）(x-y)+(m-n)(y —x ） 分解因式:-a 2-2ab-b 2技巧二 ：系数变换例：分解因式 4x 2—12xy+9y 2分解因式221439xy y x ++技巧三 ：指数变换例：分解因式x 4—y 4 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4技巧四： 展开变换例：a （a+2）+b(b+2)+2ab 分解因式x(x-1)-y(y-1)技巧五 ：添项变换技巧六 :分组分解法（1)分组后能直接提公因式：例:分解因式：bn bm an am +++ 分解因式bx by ay ax -+-5102(2)分组后能直接运用公式：例：分解因式:ay ax y x ++-22 分解因式：2222c b ab a -+-因式分解在计算中的应用：计算212122+-++-++-+656543432222…+201020092010200920092008200920082222+-++-应用扩展：因式分解在解方程与等式变换中的应用:解方程0)2753)(3555()2653)(3555(=++-++x x x x因式分解题型总结：题型一：求未知数1. 若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____.2.若23(2)(5)x x a x x ++=-+则a =_____。

因式分解 (全类型)

因式分解 (全类型)

因式分解（全类型）1.提公因式法公因式的概念:多项式中的每一项都含有的公共的因式,叫做这个多项式的公因式.确定公因式概括为“三定”①定系数:找各项系数的最大公因数②定字母:找各项的相同字母③定指数:找各项相同字母的最低次数————————————————————题型一：公因式为单项式例题：-2x4y3+4x3y2-8xy2①系数：三个单项式的系数分别为-2，+4，-8，最大公因数为-2（当第一项是负数时可以提负号）②字母：三个单项式的相同字母为xy③字母的指数：相同字母的最低次数xy²所以公因式为-2xy²提公因式得：-2xy2(x3y-2x2+4)————————————————————题型二：公因式为多项式例题：2b(a-b)²+3a(b-a)²公因式为(a-b)²提公因式得：(a-b)²(2b+3a)————————————————————2.公式法题型一：直接用公式法例题：(x²+y²)²-4x²y²利用平方差公式进行因式分解解：原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²-2xy)=(x+y)²(x-y)²例题：(x²十6x)²+18(x²+6x)十81利用完全平方公式进行因式分解解：原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(x+3)4————————————————————题型二：先提取，再公式例题：-3x7+24x5-48x3解：原式=-3x3(x4-8x2+16)=-3x3(x2-4)2=-3x3(x+2)2(x-2)2————————————————————题型三：先局部，再整体例题：9x²-16-(x+3)(3x+4)解：原式=(3x+4)(3x-4)-(x+3)(3x+4)=(3x+4)[(3x-4)-(x+3)]=(3x+4)(2x-7)————————————————————题型四：先展开，再分解例题：4x(y-x)-y²解:原式=4xy-4x²-y²=-(4x²-4xy+y²)=-(2x-y)²————————————————————3.分组分解法例题：x²-2xy+y²-9解:原式=(x-y)²-9=(x-y+3)(x-y-3)————————————————————4.拆项，添项法例题：x4+4解原式=x4+4+4x2-4x2=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2-2x)(x2+2+2x)————————————————————5.整体法题型一例题：a(x+y-z)-b(z-x-y)-c(x-z+y)解:原式=a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y-z)=(x+y-z)(a+b-c)————————————————————题型二例题：(x+y)²-4(x+y-1)解:原式=(x+y)²-4(x+y)+4=(x+y-2)²————————————————————题型三ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)————————————————————题型四x²-y²-4x+6y-5解:原式=(x²-4x+4)-(y²-6y+9)=(x-2)²-(y-3)²=[(x-2)+(y-3)][(x-2)-(y-3)]=(x+y-5)(x-y+1)————————————————————6.换元法例题：(a²+2a-2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m-2)(m+4)+9=m²+4m-2m-8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a+1)²————————————————————7.十字相乘法公式:x²十(p十q)x十pq=(x+p)(x十q)例题：x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.————————————————————【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。

《因式分解》常见题型例析

《因式分解》常见题型例析
《因式分解》常见题型例析
因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，
是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常
见题型介绍如下。
题型一：分解因式的意义
此类考题多数以选择题的形式出现。解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。
例 1 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
此其周长为 10m+50。
练习：已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且 x>0,y>0,求该正方形的周长。答案：
12x+8y。
题型九、利用因式分解求解实际问题
此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目的是为了计
算简便，再将有关条件代入简洁求解。
例 11、已知电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当 R1=12.9, R2=18.5 U 的值。
例 7、已知：x+y=1,求 1 x 2 xy 1 y 2 的值。
2
2
解析：本题无法直接求出字母 x、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中
含有已知条件式，再将其整体代入求解。因 1 x 2 xy 1 y 2 = 1 （x+y）2，所以将 x+y=1
2
2
2
代入该式得： 1 x 2 xy 1 y 2 = 1
环，问所需钢筋有多少？（π取 3.14）答案：6.28m
题型十、求解数字规律探索问题
求解此类题，应注意观察题目的特点，进行深入地分析、对比、归纳，必要时可将已知
条件进行变形，并充分应用有关公式找到其规律。（如本考点例 12 ）

因式分解培优题型归纳总结完美

因式分解培优题型归纳总结完美

因式分解题型归纳总结知识梳理一、因式分解得定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．二、因式分解常见形式：三、因式分解基本方法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如：()2+4+6=2+2+3ma mb mc m a b c把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体．②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．平方差公式：()()a b a b a b 22+-=-完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+；()a b a ab b 222-=-2+ 立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+ ；()a b a a b ab b 33223-=-3+3- 大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++--- n 次方差公式：1221()()nnn n n n a b a b aa b ab b -----=-++++（n 为正整数） n 次方差差公式：1221()()nnn n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇数）③分组分解法一般地，分组分解大致分为三步：i ．将原式的项适当分组；ii ．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 四、十字相乘法五、双十字相乘法双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：对于形如Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F 的多项式的因式分解，基本步骤是： （1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y 的项的交叉之积的和等于原多项式中含y 的一次项Ey ，同时这两个因数与含x 的项的交叉之积的和等于原多项式中含x 的一次项Dx ． 六、换元法如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式． （1）整体换元（2）和积换元 七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解． 八、拆项和添项法1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项． 九、待定系数法将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式．然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法，其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法． 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．即，如果n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b -1-21-1-21-1-210-1-210+++++=+++++恒成立，那么n n a b =，n n a b -1-1=，…，a b 11=，a b 00=．待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 十、余数定理与因式定理法1、余数定理：多项式f （x ）除以x －c ，所得的余数为f （c ）．2、因式定理：若多项式f （x ）有一个因式x －c ，则f （c ）＝0；反之，若f （c ）＝0，则x－a 必为多项式f （x ）的一个因式．3、整数系数多项式f （x ）＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的两个性质：性质1：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ＝1，且它有因式x －p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数．例如x 2－2x －8的首项系数是1，它有因式x ＋2和x －1，－2和4都是常数项－8的约数． 性质2：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ≠1，且它有因式p x q -（pq为整数），那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数． 例如，6x 3＋x 2－1的首项系数a n ＝6不为1，它有因式12x -，不难看出分母2是a n ＝6的约数，分子1是常数项－1的约数．例如：分解因式：x x 3-3+2．观察可知，当x =1时，x x 3-3+2=0，则()x x x A 3-3+2=-1，其中A 为整式，即()x -1是多项式x x 3-3+2的一个因式．若要确定整式A ，则可用大除法．x x x x x x x x x x x x x x 2323222+-2-1+0⋅-3+2--3--2+2-2+2∴()()()()()()()x x x x x x x x x x 322-3+2=-1+-2=-1-1+2=-1+2．题型一 因式分解的定义例题1： 下列因式分解正确的是（ ） A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2 B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3解析：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解三

因式分解三

因式分解（三）【学习目标】学习换元法，因式定理，待定系数【专题简介】把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式.在数学求根作图方面有很广泛的应用.因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显.基本的分解方法有：①提公因式；②公式法；③十字相乘常见分解技巧有：①主元法；②换元法；③拆添法；④双十字相乘法高端分解方法有：①因式定理；②待定系数；③轮换对称【专题分类】1.换元法：__________________________________________________________2. 因式定理：__________________________________________________________3. 待定系数：__________________________________________________________题型一：换元法基础夯实【例1】分解因式：(x＋1)4＋(x＋3)4－272【练1】分解因式：a4＋44＋(a－4)4【例2】分解因式：(a－c)2－4(a－b)(b－c)【练2】分解因式：(x2＋xy＋y2)2－4xy(x2＋y2)【例3】分解因式：(a＋b－2ab)(a＋b－2)＋(1－ab)2【练3】分解因式：xy(xy＋1)＋(xy＋3)－2(x＋y＋12)－(x＋y－1)2【例4】分解因式：x4＋x3－4x2＋x＋1【练4】分解因式：a4＋2a3b＋3a2b2＋2ab3＋b4题型二因式定理因式定理：如果x＝a时，多项式a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值为为，x－a是该多项式的一个因式.特别的，如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么－1一定是它的根.多项式有理根的性质：有理根pcq的分子p是常数项a0的因数，分母q是首项系数a n的因数.基础夯实【例5】分解因式：⑴x3＋4x2－5 ⑵x3＋6x2＋11x＋6【练】5分解因式：⑴x3－x2＋2 ⑵x3＋8x－3强化挑战【例6】分解因式：3x3－5x2＋x＋1【练6】分解因式：2x3－x2－5x－2【例7】分解因式：6x4＋5x3＋3x2－3x－2【练7】分解因式：⑴2x4＋x3＋7x2＋4x－4 ⑵x4＋2x3－3x2－4x＋4 【例8】分解因式：x3－9x2y＋26xy2－24y3【练8】分解因式：⑴3x3－5x2y＋xy2＋y3⑵6x3－5x2y－3xy2＋2y3【例9】分解因式：x3＋px2＋px＋p－1【练9】分解因式：(a－1)x3－ax2－(a－3)x＋(a－2)【例10】分解因式：x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc【练10】分解因式：⑴8x3＋4(a＋b＋c)x2＋2(ab＋bc＋ac)x＋abc⑵(l＋m)x3＋(3l＋2m－n)x2＋(2l－m－3n)x－2(m＋n)题型三待定系数法知识点睛特定系数法：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项系数相等.即，如果a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…a1x1＋a0＝b n x n＋b n－1x n－1＋b n－2x n－2＋…b1x1＋b0恒成立，那么a n＝b n，a n－1＝b n－1，…a1＝b1，a0＝b0.特定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解.基础夯实【例11】用待定系数法分解因式：x2＋5x＋6【练11】用待定系数法分解因式：x4－3x－2【例12】关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋43y－24可分解为两个一次因式的乘积，则m的值是_________.【练12】设px3＋mx2＋nx＋y是x的一次式的完全平方式，求证3mr＝n2.练习：1.用待定系数法分解因式：2x4－x3＋6x2－x＋62. 分解因式：x4＋x3＋2x2－x＋33.k为________时，多项式x2－2xy＋ky2＋3x－5y＋2能分解为两个一次因式的积.4. 分解因式：x3－53x2－113x－15.多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，求ab的值.6.多项式x2＋axy＋by2－5x＋y＋6的一个因式是x＋y－2，试确定a＋b的值.7. 分解因式：x4＋3x3－4x2－8x＋88. 分解因式：－24y3＋26y2－9y＋19. 分解因式：9x4－3x3＋7x2－3x－210.已知x2＋x－2与2x－1分别是多项式ax3＋bx2＋cx－5及多项式ax3＋bx2＋cx－2516的因式，求a，b，c。

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《因式分解》知识演练分解因式【考点演练】1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为 1、bx ax b a x -=-)(2、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-3、)1)(1(12-+=-x x x4、c b a x c bx ax ++=++)(5、12a 2b =3a ·4ab6、(x +3）（x －3）=x 2－97、4x 2+8x －1=4x (x +2)－1 8、21ax －21ay =21a (x －y ) 9、(a +3)(a -3)=a 2-910、x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 11、x 2+1=x (x +x1) 12、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________.提公因式法【考点演练】1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。

2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a -3、下列各式分解正确的是（ ）A 、)34(391222xy xyz y x xyz -=-B 、)1(333322+-=+-a a y y ay y aC 、)(2z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 4、下列各式的因式分解中正确的是（ ）A 、 -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )B 、9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy )C 、3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b )D 、21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ）A 、22)()(y x x y -=- B 、)(b a b a +-=-- C 、33)()(a b b a --=- D 、)(n m n m +-=+- 6、m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）A 、(a -2)(m 2+m )B 、(a -2)(m 2-m )C 、 m (a -2)(m -1)D 、m (a -2)(m+1)7、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ） A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p8、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 ; 9、若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是 10、把下列各式分解因式（1）222axy y x a - （2）5335y x y x +- （3）23)(10)(5x y y x -+-（4）)3()3(2a a -+- （5）c ab ab abc 249714+-- （6）228168ay axy ax -+-（7）32)(12)(18b a b a b ---； （8）mn(m －n)－m(n －m) （9）a 2(x -y )+b 2(y -x )运用公式法—平方差公式 【考点演练】1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是____________________。

1、22)(b a-+ 2、mn m2052- 3、22y x--4、92+-x5、-a 2+b 26、-x 2-y 27、49x 2y 2-z 28、16m 4-25n 2p 29、42+-m 10、22y x -- 11、122-y x 12、()()22a m a m +--2、分解因式=-942x ____________________;分解因式14-x 得____________________。

3、把下列各式分解因式（1）4m 2-9n 2； （2）9(m+n)2-16(m-n)2； （4）9（a+b ）2－（a-b ）2;（5）4416n m -； （6）522m m - （7）3123x x -运用公式法—完全平方公式 【考点演练】1、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是(1)、412m m ++ (2)、22-y 2y x x + (3)、224914b ab a ++ (4)、 2444x x ++(5)、－x 2－2x －1 (6)、x 2+4y 2 (7)、2242b ab a +- (8)、4142+-m m(9)、269y y +- (10)、2244x ax a +-- (11)、2412x x ++- 2、分解因式=+-442x x ____________________。

=++224124n mn m()()49142++-+y x y x =____________________。

=++-+9)(6)(2b a b a ________________.3、如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A 、15B 、 ±5C 、30D ±30 4、如果2216y mxy x ++是完全平方式，则m=__ ____. 4a 2-20a+m 是完全平方式，那么m= __ ____. 5、把下列各式分解因式1、4224817216b b a a +-2、xy y x 81622-+3、254624+-x x4、-3ma 3+6ma 2-12ma5、25)(10)(2++++y x y x6、(x 2-6x)2+18(x 2-6x)+817、()()110252+-+-x y y x8、20)3(8)3(222-+-+a a a a 9、 21222++x x 10、;223x x x +-十字相乘法分解因式【考点演练】1、x 2 + 3x + 22、x 2 - 2x - 33、x 2 + 12x - 134、x 2 - 4x + 35、x 2 - x - 66、 x 2 + 6x - 77、x 2 + 2x - 38、 x 2 - 5x - 6第二章《因式分解》训练1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=-- B ．21(1)(1)a a a -=+- C ．2(1)(1)1x x x +-=- D ．2223(1)2a a a -+=-+2.下列各式的公因式是a 的是（ ）A ．5ax ay ++B ．246ma ma +C ．2510a ab +D ．24a a ma -+3.一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x y - Ｂ．2(2)x y -- C ．2(2)x y -- D ．2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ） Ａ．40Ｂ．40±Ｃ．20Ｄ．20±6、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（ ）A 、p q --1B 、p q -C 、q p -+1D 、p q -+17、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ） A 、－15 B 、－2 C 、8 D 、28、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ） Ａ、32(1)x x x x -=-Ｂ、2222()x xy y x y -+=- Ｃ、22()x y xy xy x y -=-Ｄ、22()()x y x y x y -=-+9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b10、下列多项式的分解因式，正确的是（ ）A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y aC 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 11、下列各式不能．．继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、22a a + 13、如果。

，则=+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x 14、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= ．15、若＝，，则b a b b a ==+-+-0122216、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.17、若a 2+2a+b 2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________. 18.（2009年北京市）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C ()2x x y + D ()2x x y -19.（2009年长沙）因式分解：224a a -= ． （2009威海）分解因式：（x+3）2 - (x+3) ___________．20.已知正方形的面积是9x 2+6xy+y 2平方单位，则正方形的边长是___________ 21.利用因式分解简便计算下列各式：（1）、×+× （2）、20082-16×2008+64（3）××4 （4）、（5）、32004-32003 （6）、（-2）101+（-2）10022、先分解因式，再求值：21,34,416922-==++y x y xy x 其中.23、先分解因式，再求值：已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。

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