上海海事大学运筹学通论试卷--2013A

2
3
000
由于检验数σ1、σ2 大于零，P1、P2 有正分量，进入下一步. 计算得 max{σ1, σ2}= max{2, 3}=3，故选取 x2 为入基变量. 又， θ= min{bi/ai2 | ai2 >0}= min{4, 3}=3. 故选取 x5 为出基变量。进行基变换，得到新单纯形表如下：
1. 使用图解法求解下述线性规划问题，得其最优解是（ x1=2, x2=6 ）。
max z = 2x1 + 5x2
装 订
⎧x1 ≤ 4
s.t.
⎪⎪⎨⎪32xx12
≤ 12 + 2x2
≤ 18
min w = 4y1 +12 y2 +18y3
⎪⎩x1, x2 ≥ 0
线
s.t. ⎧⎪⎨2y1y2++32y3y3≥≥25
故选取 x3 为出基变量. 进行基变换，得到新单纯表如下：
cj→
CB
XB
b
2
x1
2
0
x4
8
3
x2
3
cj−zj
23 0 0
0
θi
x1 x2 x3 x4
x5
1 0 1 0 −1/2
0 0 −4 1
[2]
4
0 1 0 0 1/4 12
0 0 −2 0 1/4
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由于检验数σ5 大于零，进入下一步. 选取 x5 为入基变量. 又，θ= min{bi/ai5 | ai5 >0}= min{4, 12}=4. 故选取 x4 为出基变量. 进行基变换，得到新单纯表如下：
D. 若对偶问题无可行解，则其原问题有无界解。
5. 对于产销平衡的运输问题，一定存在（ 最优 ）解。
6. 假设从 A 地到 G 地要铺设一条管道（见下图），连线上的数据表示相应管道的成
本。则从 A 到 G 使总成本最低的一条铺设线路是：（ A→B1→C2→D1→E2→F2→G ）.
------------------------------------------------------------------------------------
甲
乙
丙
A
15
18
22
B
21
25
16
解：甲、乙、丙三个城市的总需求量为 320+250+350=920 万吨，而总供应量为 400+450=850 万吨，因此这是一个“销大于产”的不平衡运输问题。故增加一个虚拟产 地 C，其供应量为 920−850=70 万吨。根据题意，甲城市最大供应量为 320 万吨、必须保 证的供应量为 320−30=290 万吨（即此供应量必须从实际两煤矿 A、B 运出）；乙城市必 须保证的供应量为 250 万吨；丙城市最大供应量为 350 万吨、必须保证的供应量为 270 万吨。故原问题可转化为如下产销平衡的运输问题：
CM
0
M
6
6
7
丙I
丙 II
22
22
0
16
16
0
M
0
0
6
6
甲I
甲 II 乙
丙I
丙 II
A 150
250
400
B
450
C
70
70
290
30
250
270
80
第 5 页 共 10 页
甲I
甲 II 乙
A 15
15
18
B 21
21
25
CM
0
M
7
丙I
丙 II
22
22
0
16
16
M
0
0
甲I
甲 II 乙
丙I
丙 II
A 150
cj→
CB
XB
b
2
x1
4
0
x5
4
3
x2
2
cj−zj
23
0
x1 x2
x3
10
0
0 0 −2
0 1 1/2
0 0 −3/2
0
0 θi
x4
x5
1/4 0
1/2 1
−1/8 0
−1/8 0
因检验数均小于等于零, 故得原问题最优解为 x1=4, x2=2, x3=0, x4=0, x5=4, 对应的最优值 为 2x1+3x2=2×4+3×2=14.
150×15+250×18+140×21+310×16=14650 万元。
评分说明：计算过程可以有多种，但最优解检验、最优解及最优值必须正确。
三、从以下 4 小题中选做 2 题（多选不得分，每小题 10 分，共 20 分）
1. 某公司有 5 台新设备，将有选择地分配给 3 个工厂，所得收益见下表。问每个工 厂各应分配多少台设备，才能使公司获得的总收益最大？（应用动态规划方法求解）
0
4
12kg
该工厂每生产一件产品 I 可获利 2 元，每生产一件产品 II 可获利 3 元，问应如何安排生 产使该工厂获利最多？（建模并应用单纯形法求解）
解：设该工厂在计划期内生产 I、II 两种产品的数量分别为 x1, x2，则根据题意得到 如下线性规划问题
max z=2x1+3x2
⎧x1 + 2x2 ≤ 8
甲I
甲 II 乙
丙I
丙 II
400
40
450
40
70
80
丙 II ui
第 6 页 共 10 页
A 15
(5)
B 21
(5)
C (M−5) 0
vj
15
10
18
(12) (12) 0
(1)
16
16
6
(M−8) (M)
0
−10
18
10
10
从上表可以看出，非基变量的检验数(括号中的数字)均大于 0，故此解是最优解。故最优 调运方案为：从煤矿 A 分别向甲、乙城市供应煤炭 150 万吨、250 万吨，从煤矿 分别 向甲、丙城市供应煤炭 140 万吨、310 万吨，此时最优值（最低总费用）为
0.05 0.10 0.15 0.35 0.25 0.10
二、求解以下各题（共 2 小题，每小题 14 分，共 28 分）。
1. 某工厂在计划期内要安排生产 I、II 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时 及 A、B 两种原材料的消耗如下表所示
设备 原材料 A 原材料 B
I
II
1
2
8 台时
4
0
16kg
fk(sk)=max0≤xk≤sk{pk(xk)+fk+1(sk−xk)}, f4(s4)=0. 当 k=3 时, f3(s3)=max0≤x3≤s3{p3(x3)+f4(s4)}= max0≤x3≤s3{p3(x3)}, 其计算结果如下表 所示(注意 0=s4=s3−x3,即 s3=x3):
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当 k=2 时, f2(s2)=max0≤x2≤s2{p2(x2)+f3(s3)}, 其计算结果如下表所示(注意 s3=s2−x2):
当 k=1 时, s1=5, f1(s1)=max0≤x1≤s1{p1(x1)+f2(s2)}, 其计算结果如下表所示:
按计算表格的顺序反推算, 可得两个最优分配方案: (1) x1*=0, x2*=2, x3*=3. 即第 1 个工厂 分配 0 台设备, 第 2 个工厂分配 2 台设备, 第 3 个工厂分配 3 台设备. (2) x1*=2，x2*=2, x3*=1. 即第 1 个工厂分配 2 台设备, 第 2 个工厂分配 2 台设备, 第 3 个工厂分配 1 台设备.
cj→
2 300
0
θi
CB
XB
b
x1 x2 x3 x4
x5
0
x3
2
[1] 0 1 0 −1/2 2
0
x4
16
4 001
0
4
3
x2
3
0 100
1/4
cj−zj
2 0 0 0 −3/4
由于检验数σ1 大于零，进入下一步.
选取 x1 为入基变量. 又，θ= min{bi/ai1 | ai1 >0}= min{2, 4}=2.
2. 第 1 题中的线性规划问题，其对偶问题是（
⎪⎩ y1, y2 , y3 ≥ 0
）
3. 第 1 题中的线性规划问题，其对偶问题的最优值是（
34
）。
4. 关于对偶问题的下述命题，错误的是（ D ）
A. 若原问题为无界解，则其对偶问题无可行解；
B. 若对偶问题为无界解，则其原问题无可行解；
C. 若原问题有最优解，则其对偶问题也有最优解；
选取 x3, x4, x5 为基变量，对应的基矩阵为单位矩阵，初始基本解为 X(0)=(0, 0, 8, 16, 12)，显然它是基可行解. 作单纯形表如下：
cj→
CB
XB
b
0
x3
8
0
x4
16
0
x5
12
cj−zj
2
3
0 0 0 θi
x1
x2
x3 x4 x5
1
2
1 0 04
4
0
010
0 [4] 0 0 1 3
解：将设备分配问题看成有 3 个阶段的决策问题, 取 k=1, 2, 3, 决策变量 xk 表示分配 给第 k 个工厂的设备台数, 状态变量 sk 表示分配给第 k 至第 3 个工厂的设备台数(当前可 用于分配的设备台数).
状态转移方程为 sk+1=sk−xk, s1=5. 允许决策集合 Dk(sk)={uk | 0≤xk≤sk , xk 为整数}. 阶段指标 pk(xk)表示分配第 k 个工厂设备 xk 台后所获得的收益. 最优值函数 fk(sk)表示以数量为 sk 的设备分配给第 k 到第 3 个工厂所得到的最大收益. 基本递推方程:
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7. 某单人理发馆为等待的顾客准备了 6 把椅子，当 6 把椅子都坐满时，再来的顾客 将不进店而离开。顾客的平均到达率为 3 人/小时，理发平均需要 15 分钟。已计算得知， 系统中有 7 个顾客的概率为 0.037，据此可得有效到达率 λe=（ 2.889 ）.
8. 已知 M/M/c/c/∞型排队模型中，系统状态概率为
丙I
丙 II
A
400
B
450
C
70
70
290
30
250
270
80
甲I
甲 II 乙
A 15
15
18
B 21
21
25
CM
0
M
6
6
7
丙I
丙 II
22
22
0
16
16
0
M
0
0
6
6
甲I
甲 II 乙
丙I
丙 II
A
250
400
B
450
C
70
70
290
30
250
270
80
甲I
甲 II 乙
A 15
15
18
B 21
21
25
从上表可以看出，(C, 甲 II )对应的非基变量的检验数(括号中的数字)小于 0，故初始解 不是最优解。利用闭回路调整法调整如下：
甲I
甲 II 乙
丙I
丙 II
A 150
250
B 140
30
270
10
C
70
甲I
甲 II 乙
丙I
A 150
250
B 140
270
C
30
290
30
250
270
对于上述调整后的解，再应用位势法检验如下：
评分说明：正确写出数学模型，给 3 分。计算过程不完整的，酌情扣分。方法正确但计算出错， 适当给分。
2. 有甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为：320 万吨、250 万吨、350 万吨，由 A、B 两处煤矿负责供应。已知煤炭年供应量分别为：A―400 万吨，B―450 万吨。由煤 矿至各城市的单位运价（万元/万吨）见下表。由于需大于供，经研究平衡决策，甲城市 供应量可减少 0～30 万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于 270 万吨。 试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
--------------------------------------------------------------------------------------
上海海事大学试卷
2013 — 2014 学年第一学期期终考试 《 运筹学通论 》（A 卷）
班级 题目 得分 阅卷人
学号
姓名
总分
一、填空题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）请将正确答案写在括号内。
甲I
甲 II 乙
丙I
丙 II
A 15
15
18
22
22
400
B 21
21
25
16
16
450
CM
0
M
M
0
70
290
30
250
270
80
利用伏格尔法求初始可行解如下：
甲I
甲 II 乙
丙I
丙 II
第 4 页 共 10 页
A 15
15
18
22
22
0
B 21
21
25
16
16
0
CM
0
M
M
0
0
6
6
7
6
16
甲I
甲 II 乙
∑ ⎧
⎪
P0
=
⎪
c
1 (cp)k
⎨
k=0 k !
⎪
⎪ ⎩
Pn
=
(cp)n n!
P0 , 1 ≤
n
≤
c.
据此可得爱尔朗损失公式为（
Pc
=
(cp)c c!
P0
）.
9. 某液化气供应站每天向辖区内用户供应液化气 100 瓶（随时定购均可及时到货）。
已知每天每瓶液化气的存储费为 0.2 元，订购费用为每次 40 元。则该液化气供应站的最
s.t.
⎪⎪⎨⎪44xx12
≤ 16 ≤ 12
⎪⎩x1, x2 ≥ 0
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引入松驰变量 x3，x4，x5，将原问题转化为如下形式
max z= 2x1+3x2+0⋅x3+0⋅x4
⎧x1 + 2x2 + x3 = 8
s.t.
⎪⎪⎨⎪44xx12
+ +
x4 x5
= 16 = 12
⎪⎩x1, x2 , x3, x4 ≥ 0
250
400
B 140
30
270
10
450
C
70
70
290
30
250
270
80
对于上述初始解，应用位势法检验是否为最优解：
甲I
甲 II 乙
A 15
(0)
18
丙I
丙 II ui