《概率论与数理统计》袁荫棠_中国人民大学出版社_第二章课后答案

⎧0
x < −1
F (x) = ⎪⎪⎪⎨00..52410652
−1≤ x < 0 0≤ x<1
⎪⎪0.8108 1 ≤ x < 2
⎪⎩1
x≥2
11.
已知ξ~ϕ (x) =
⎪⎧ 1 ⎨2 x
⎪⎩0
0
<
x
<1
,
求ξ的分布函数 F(x),
画出 F(x)的图形.
其它
解: 当 x<0 时: F(x)=0; 当 0≤x<1 时:
ξ
0
1
2
3
4
P
0.2817
0.4696
0.2167
0.031
0.001
6. 一批产品包括 10 件正品, 3 件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定
每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.
解: 每次抽到正品的概率相同, 均为 p=10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率 q=1-p=0.2308
−∞
−∞
0
因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以 P{ξ=0.5}=0,
求 F(x): 当 x<0 时, F(x)=0
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x
0
x
∫ ∫ ∫ | 当 0≤x<1 时, F (x) = ϕ(t)dt = 0dt + 2tdt = t 2 x = x2 0
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概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1 对应于"正面朝上",ξ=0 对应于反面朝上. 则 P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5 . 其分布函数为
⎧0
x<0
F (x) = ⎪⎨0.5 0 ≤ x < 1
次不发生, 因此有
P(ξ=i)=p(1-p)i, (i=0,1,2,…)
9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2 四个值, 相应概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 , 确定常数 c 并 2c 4c 8c 16c
计算 P{ξ<1|ξ≠0}.
解: 根据概率函数的性质有
P{ξ = −1} + P{ξ = 0} + P{ξ = 1} + P{ξ = 2} = 1
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不难算出,
10 P(ξ = 1) = = 0.7692
13
P(ξ
= 2) =
3
11 ⋅ = 0.1953
13 13
P(ξ
= 3) =
3
⋅
2
12 ⋅
= 0.0328
13 13 13
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P(ξ =4)= 3 ⋅ 2 ⋅ 1 =0.0027 13 13 13
x<a
, 它的图形为
x≥a
F(x) 1
0
a
x
4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产
品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数.
解 设ξ取值 1,2,3 代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有
P(ξ=1)=2P(ξ=2)
当 x<0 时, 有
∫ ∫ F(x) =
P(B)
P{ξ ≠ 0)
1
=
P{ξ = −1}
= 2 = 8 = 0.32
P{ξ = −1} + P{ξ = 1} + P{ξ = 2} 1 + 5 + 7 25
2 8 16
10. 写出第 4 题及第 9 题中各随机变量的分布函数. 解: 第 4 题:
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⎧0 x < 1
(2)
2
综和(1),(2)两式解得 A = 1 , B = 1 2π
即 F (x) = 1 + 1 arctg x 2π
P(| ξ |< 1) = P(−1 < ξ < 1) = F (1) − F (−1) = 1 arctg1− 1 arctg −1 =
π
π
=
1 π
⎡π
⎢ ⎣
4
−
⎛ ⎜
−
⎝
π 4
∫ ∫ | +∞
+∞100
P(ξ ≥ 150) = ϕ(x)dx =
dx =
100
x −2+1 +∞ = 100 = 2
150
x2
150
− 2 +1
150 150 3
则 3 个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为
p3 (3)
=
⎛ 2 ⎞3 ⎜⎟ ⎝3⎠
=
8 27
=
0.2963
∫ ∫ ∫ ∫ x
0
x
F (x) = ϕ(t)dt = 0dt +
1
dt
=
x
1
1 −
t 2 dt
=
1
⋅
1
x 1
− +1
t2
−∞
−∞
02 t
02
2
1 − +1
0
2
x = t = x− 0= x
0
F(x)
当 x≥1 时: F(x)=1
综上所述, 最后得
1
⎧0
F
(x)
=
⎪ ⎨
x
⎪⎩1
x<0 0≤ x <1 x ≥1
再由(1)式得
P(ξ=1)=2/3
因此分布律由下表所示
ξ
0
1
P
1/3
2/3
而分布函数为
⎧0 F (x) = ⎪⎨1/ 3
⎪⎩1
x<0 0≤ x<1 x >= 1
3. 如果ξ的概率函数为 P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数 F(x), 画出 F(x)的图形.
解:
⎧0 F (x) = ⎩⎨1
有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为 ni
=
C Ci 4−i 5 15
,
则
P(ξ = 0) = C145 =
4 ⋅3⋅2⋅1
15 ⋅14 ⋅13 ⋅12 7 ⋅13
⋅
=
= 0.2817
C240 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 19 ⋅17
P(ξ
=
1)
=
则ξ服从相应的几何分布, 即有
P(ξ
=
i)
=
pq i
=
10
⋅
⎛ ⎜
3
i−1
⎞ ⎟
(i = 1,2,3,⋯)
13 ⎝13 ⎠
7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数 ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有 3 件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽 时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为 1,2,3,4.
A×12=1, 即 A=1. 则分布函数为
⎧0 F (x) = ⎪⎨x2
⎪⎩1
x<0 0≤ x <1 x ≥1
P(0.3<ξ<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4
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概率密度φ(x)为
ϕ
(x)
=
F
′(
x)
=
⎧2x ⎩⎨0
ξ的分布律如下表所示:
ξ
1
2
3
4
P
0.7692
0.1953
0.0328
0.0027
8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行
调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.
解: 事件ξ=i 说明生产了 i 次正品后第 i+1 次出现废品, 这是 i+1 个独立事件的交(1 次发生 i
(1)
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P(ξ=3)=P(ξ=2)/2
(2)
由概率论性质可知
P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1
(3)
(1),(2)代入(3)得:
2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1
解得 P(ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得
P(ξ=1)=4/7, P(ξ=3)=1/7
C
4 20
20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 2 ⋅1⋅ 2 ⋅1
19 ⋅18 ⋅17
P(ξ
=
3)
=
C
C3 1
5 15
=
4 ⋅3⋅ 2 ⋅1
5 ⋅ 4 ⋅15 2 ⋅ 5
⋅
=
= 0.031
C
4 20
20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 2 ⋅1
19 ⋅17
P(ξ = 4) = C54 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1⋅ 5 = 1 = 0.001 C240 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 19 ⋅ 3 ⋅17
则概率函数为
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P(ξ = i) = 1 ×23−i 7
(i = 1,2,3)
或列表如下:
ξ
1
2
3
P
4/7
2/7
1/7
5. 一批产品 20 个, 其中有 5 个次品, 从这批产品中随意抽取 4 个, 求这 4 个中的次品数ξ的