等腰三角形和等边三角形
等边三角形和等腰三角形
等边三角形和等腰三角形等边三角形是一种特殊的三角形，其三边长度都相等，内角均为60度。
而等腰三角形则是指两边的长度相等的三角形。
在几何学中，等边三角形和等腰三角形是常见且重要的概念，它们具有一些独特的性质和特点。
本文将分别介绍等边三角形和等腰三角形的定义、性质以及相关的应用。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度均相等的三角形，也是一种特殊的等腰三角形。
等边三角形的特点有：1. 三边长度相等，记为a。
由于三角形的内角和为180度，所以等边三角形的内角均为60度。
2. 等边三角形具有对称性，任意两条边的夹角均为120度。
3. 等边三角形的高、中线、垂线和角平分线均重合，且相等。
4. 等边三角形的面积可以通过公式S = (a^2 * sqrt(3)) / 4来计算，其中a为边长。
等边三角形常见的应用有：1. 在建筑设计中，等边三角形常被用于构建稳定和均衡的结构，如桥梁、建筑立面或装饰图案等。
2. 在计算机图形学中，等边三角形是一种基本的图形元素，常用于绘制各种图形和几何体。
3. 在航空航天领域，等边三角形被广泛应用于构建稳定的飞行器结构和设计飞行轨迹。
二、等腰三角形等腰三角形是指两边的长度相等的三角形，顶角为其他两个角的夹角。
等腰三角形的特点有：1. 两边长度相等，记为a，底边长度记为b。
两底角（顶角的两个对角）相等，记为θ。
2. 等腰三角形的顶角所对的底边被称为底角基线，两个底角在底角基线上的角平分线相交于三角形的高线上。
3. 等腰三角形的高、中线、垂线和角平分线均相等且重合。
4. 由于等腰三角形具有对称性，可以通过副顶角定理得出两个底角对应的两边长度也相等。
等腰三角形常见的应用有：1. 在几何学中，等腰三角形用于证明和推导其他三角形的定理，如相似三角形、勾股定理等。
2. 在地理学中，等腰三角形常被用于计算地球上两地的距离，即根据视线和太阳光线的角度计算出两地的距离。
3. 在艺术设计中，等腰三角形常被用于布局和图案设计，以营造对称、平衡和美感。
等腰三角形、等边三角形
等腰三角形、等边三角形等腰三角形和等边三角形在我们的数学世界中，三角形家族里有两个特殊而又重要的成员，那就是等腰三角形和等边三角形。
它们不仅在数学的理论知识中频繁出现，在实际生活中的应用也随处可见。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形，顾名思义，就是至少有两边相等的三角形。
相等的这两条边叫做腰，另一边则称为底边。
两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等，这是它非常重要的一个性质。
想象一下，我们在建筑设计中，如果要建造一个对称的屋顶，等腰三角形的结构就可能会被运用到。
因为它的对称性，能够让屋顶看起来更加美观和稳定。
在数学题目中，常常会利用等腰三角形的性质来求解角度或者边长。
比如说，已知一个等腰三角形的顶角是 80 度，那么底角就是（180 80）÷ 2 ＝ 50 度。
再来看等腰三角形的“三线合一”性质。
这可是个非常重要的宝贝！等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。
这一性质在解决很多几何问题时都能起到关键作用。
假设我们有一个等腰三角形 ABC，AB ＝ AC，AD 是底边 BC 上的中线。
因为是等腰三角形，所以∠BAD ＝∠CAD，AD 既是∠BAC 的平分线，又垂直于 BC，是底边 BC 上的高。
接下来聊聊等边三角形。
等边三角形，也叫正三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等，并且每个角都是 60 度。
等边三角形可以说是等腰三角形的“进阶版”。
由于它的三条边都相等，所以它同时具有等腰三角形的所有性质。
在生活中，我们常见的交通警示标志，很多都是等边三角形的形状。
因为它的三条边相等，看起来更加规整、醒目，能够有效地引起人们的注意。
从数学角度来看，证明一个三角形是等边三角形也有多种方法。
如果一个三角形的三条边相等，那它肯定是等边三角形；或者三个角都相等的三角形是等边三角形；再或者有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。
我们来做一道小题目感受一下。
等腰、等边三角形
基础一般学生知识点一、等腰三角形1、等腰三角形的定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 3、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形与等腰三角形的性质
等边三角形与等腰三角形的性质等边三角形与等腰三角形是初中数学中的基本概念，它们具有一些特殊的性质和关系。
本文将详细介绍等边三角形和等腰三角形的性质，并探讨它们之间的联系和区别。
一、等边三角形的性质等边三角形是指三条边相等的三角形。
我们可以从以下几个方面来了解等边三角形的性质。
1. 三个内角相等等边三角形的三个内角都是60°，因为等边三角形的三条边相等，而三角形的三个内角的和是180°，所以每个角都是60°。
2. 高度、中线、角平分线相重合等边三角形的高度、中线和角平分线在三个顶点处相交，且重合于一个点。
这个点被称为等边三角形的垂心、重心和内心，它们均位于三角形的重心。
3. 三个角的正弦、余弦、正切值相等等边三角形的三个角的正弦、余弦、正切值都相等，即sin60°=cos60°=tan60°=√3/2。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
接下来我们来看等腰三角形的一些性质。
1. 两个底角相等等腰三角形的两个底角相等，因为两边相等的两个角的对边也相等，根据等边三角形的性质，这两个角都是60°。
2. 高度、中线、角平分线重合或平行于底边等腰三角形的高度、中线和角平分线有两种情况：当顶角大于底角时，这些线段将重合于顶角的顶点；当顶角等于底角时，这些线段将平行于底边。
3. 底角的正弦、余弦、正切值相等等腰三角形的底角的正弦、余弦、正切值都相等，即sinθ=cosθ=tanθ，其中θ表示底角的大小。
三、等边三角形与等腰三角形之间的关系与区别等边三角形与等腰三角形都具有一些共同的性质，但也有一些不同之处。
1. 共同点等边三角形和等腰三角形的顶角都是60°，都具有高度、中线和角平分线重合或平行于底边的性质。
2. 不同点等边三角形的三边相等，而等腰三角形只有两边相等；等边三角形的高度、中线和角平分线都重合于顶点，而等腰三角形的这些线段只有当顶角大于底角时才重合，当顶角等于底角时平行于底边。
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形和等边三角形三角形是几何学中最基本的图形之一，根据边的长度和角的大小可以分为不同类型，其中等腰三角形和等边三角形是两种常见的特殊三角形。
本文将介绍等腰三角形和等边三角形的定义、性质以及一些相关应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得到以下性质：1. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边对应的两个角）是相等的。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，所以其对应的两个角也相等。
2. 一个顶角：等腰三角形只有一个顶角（即不等于底角的角）。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，所以其对应的两个角必然相等，就只能是底角。
等腰三角形的性质使得它在几何学中具有一些特殊的用途和应用。
比如在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以提供平衡感和美观感；在地质勘探中，等腰三角形的性质可以用于测量不可直接测量的距离等。
二、等边三角形的定义和性质等边三角形是指三条边长度均相等的三角形。
根据等边三角形的定义，我们可以得到以下性质：1. 三个内角均为60度：等边三角形的三个内角均相等，且都等于60度。
这是由于等边三角形的三条边长度相等，根据三角形内角和定理可知，三个内角之和为180度，所以每个角都是60度。
2. 三条高（垂直边）相等且相互重合：等边三角形的三条高（即垂直于底边的边）均相等，且相互重合。
这是由于等边三角形的三个内角都是60度，所以三条高形成的三个直角相等，从而高也相等。
等边三角形的性质使得它在几何学和其他领域中具有广泛的应用。
比如在建筑设计中，等边三角形可以提供稳定和均衡的结构；在工程测量中，等边三角形可以用于正方向标志和测量精度的校准等。
综上所述，等腰三角形和等边三角形是两种常见的特殊三角形。
等腰三角形具有两个底角相等和一个顶角的性质；而等边三角形具有三个内角均为60度和三条高相等且相互重合的性质。
这些性质使得它们在几何学和其他领域中具有一些特殊的应用，对于我们理解和应用三角形概念都有一定的帮助。
等边三角形与等腰三角形的性质
等边三角形与等腰三角形的性质等边三角形与等腰三角形是初中数学中重要的概念，它们在几何学中有着独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨等边三角形与等腰三角形的性质，并比较它们之间的异同。
一、等边三角形的性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
下面我们来讨论等边三角形的性质。
1. 三个内角相等对于任意一个等边三角形ABC来说，三个内角∠A、∠B、∠C都是相等的。
因为等边三角形的三条边相等，所以它们相应的内角也必须相等。
2. 每个内角都是60度由于等边三角形的三个内角相等，所以每个内角都是总和的1/3，也就是180度的1/3，即每个内角都是60度。
3. 高度、中线、角平分线重合在等边三角形ABC中，高度、中线和角平分线都彼此重合。
这是因为等边三角形的三边都相等，所以它们的高度、中线和角平分线都经过三角形的垂心。
4. 它的面积和边长的关系等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = （边长^2）× √3 / 4。
也就是说，等边三角形的面积与它的边长的平方成正比。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
下面我们来讨论等腰三角形的性质。
1. 两个底角相等对于任意一个等腰三角形ABC来说，两个底角∠A和∠C都是相等的。
这是因为等腰三角形的两条底边AB和BC相等，所以它们相应的底角也必须相等。
2. 高度和中线在等腰三角形ABC中，高度和中线都经过顶点A。
高度是从顶点A到底边BC的垂直距离，中线是连接底边中点M和顶点A的线段。
高度和中线都经过顶点A是等腰三角形的独特性质。
3. 角平分线在等腰三角形ABC中，角平分线OX也经过顶点A，并且把∠BAC平分为两个相等的角。
这是因为等腰三角形的两个底角∠A和∠C相等，所以它们的角平分线OX必须经过顶点A。
4. 对称轴等腰三角形ABC的高度、中线和角平分线都是对称轴。
这意味着如果我们按照这些对称轴折叠等腰三角形，就可以得到三条边彼此重合。
三、等边三角形与等腰三角形的异同等边三角形和等腰三角形都是特殊的三角形，在某些性质上有一些共同点，但也存在一些区别。
等腰三角形与等边三角形
B A等腰三角形与等边三角形一、等腰三角形的性质与判定1、概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、性质：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
3、等腰三角形的判定：（1）定义；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。
注意：等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴。
例题讲解例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则它的底角的度数为 ； 例2 等腰三角形的周长为10cm ，一边长为3cm ，则其他两边长分别为_____ ． 例3 已知：如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 边上，且AD ＝AE ．求证：BD ＝CE ．例4 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB=OC 。
（1）上述四个条件中，由哪两个可以判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选出上述条件中的任何一种情形，证明△ABC 是等腰三角形。
例5已知：如图，Rt ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ＝BF ．求证：（1）DE ＝DF ；（2）ΔDEF 为等腰直角三角形．随堂练习一1、如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．（1）∵ΔABC中，AB＝AC，∴∠B＝______．（）（2）∵ΔABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD垂直平分______．（）（3）∵ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝______．（）（4）∵ΔABC中，AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥______．（）2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．3、如图1，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．4、如图2，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．5、如图3，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．图1 图2 图36、已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．7、已知：如图，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．二、等边三角形的性质与判定1、概念：三条边都相等是三角形叫做等边三角形（又称为正三角形）。
等边三角形与等腰三角形
等边三角形与等腰三角形数学中的几何形状有很多种，其中等边三角形和等腰三角形是初中数学中常见的两种形状。
它们具有一些特殊的性质和应用，对于中学生来说是必须掌握的知识点。
本文将从定义、性质和应用三个方面进行详细介绍。
一、等边三角形的定义及性质等边三角形是指三条边都相等的三角形。
我们可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等边三角形。
等边三角形的特点是三个内角都相等，每个内角都是60度，这是因为等边三角形的三条边相等，所以三个内角也必然相等。
等边三角形的性质有以下几点：1. 等边三角形的三个内角都是60度。
2. 等边三角形的三条边相等。
3. 等边三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都重合于同一点，即重心。
4. 等边三角形的面积可以通过公式S = (边长^2 * √3) / 4来计算。
二、等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
我们可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等腰三角形。
等腰三角形的特点是两个底角（底边所对的两个内角）相等，而顶角（顶边所对的内角）则不一定相等。
等腰三角形的性质有以下几点：1. 等腰三角形的两个底角相等。
2. 等腰三角形的两条边相等。
3. 等腰三角形的两条高线、两条中线、两条角平分线都重合于同一点，即重心。
4. 等腰三角形的面积可以通过公式S = (底边长 * 高) / 2来计算。
三、等边三角形和等腰三角形的应用等边三角形和等腰三角形在日常生活和数学问题中有着广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形和等腰三角形是建筑设计中常见的形状，比如等边三角形的稳定性使其成为建筑物的基础结构；等腰三角形的对称性使其成为门窗设计的基础。
2. 地理测量：在地理测量中，等边三角形和等腰三角形可以用来计算地球的形状和大小，以及测量地球上的距离和角度。
3. 数学问题：等边三角形和等腰三角形经常出现在数学问题中，比如求解三角形的面积、角度、边长等。
4. 几何推理：通过等边三角形和等腰三角形的性质，可以进行几何推理，解决一些几何问题，培养学生的逻辑思维和推理能力。
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质一、等腰三角形的性质1.1 定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 两边相等：在等腰三角形中，两个底角相等，两条底边相等。
1.3 底角平分线：在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底角平分线。
1.4 顶角平分线：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边的中线和底角的平分线三线合一。
1.5 面积公式：等腰三角形的面积公式为：S=12absinC，其中 a 和 b 分别为等腰三角形的底边，C 为顶角。
二、等边三角形的性质2.1 定义：等边三角形是指三边相等的三角形。
2.2 内角相等：在等边三角形中，三个内角都相等，每个内角为60∘。
2.3 外角相等：在等边三角形中，每个外角都相等，每个外角为120∘。
2.4 中线相等：在等边三角形中，三条中线相等，且都垂直于对边。
2.5 高线相等：在等边三角形中，三条高线相等，且都垂直于对边。
2.6 面积公式：等边三角形的面积公式为：S=√34a2，其中 a 为等边三角形的边长。
2.7 圆周角定理：在等边三角形中，每个圆周角都等于60∘。
2.8 圆心对称：等边三角形具有圆心对称性，即三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于同一点，称为三角形的垂心。
2.9 稳定性：等边三角形是稳定的，不会因为外力的作用而变形。
总结：等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们具有独特的性质。
通过掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形和等边三角形相关的问题。
习题及方法：1.习题：判断以下三角形是否为等腰三角形。
解答：根据等腰三角形的性质，只需要判断两边是否相等即可。
如果两边相等，则为等腰三角形。
2.习题：已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，求该三角形的面积。
解答：根据等腰三角形的性质，底边上的高也是腰长的垂直平分线。
因此，可以将三角形分成两个直角三角形，每个直角三角形的底边为4cm，高为5cm。
面积公式为S=12×底边×高，所以面积为12×4cm×5cm=10cm2。
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形与等边三角形等腰三角形与等边三角形是几何学中重要的概念，它们在形状和性质上有一定的相似之处，同时也有一些显著的不同之处。
本文将深入探讨等腰三角形与等边三角形的特点，并对它们的应用进行简要介绍。
一、等腰三角形的定义与性质等腰三角形指的是具有两条边相等的三角形。
具体而言，当一个三角形的两条边长度相等时，这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的顶角称为顶角，而两条相等的边称为腰。
等腰三角形的性质如下：1. 两条腰的边长相等；2. 两条腰的夹角等于顶角；3. 等腰三角形的底角（非顶角）相等；4. 等腰三角形的高线（从顶角到底边的垂直线段）是边长相等的腰的中线、角平分线和高线。
二、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。
换言之，当一个三角形的所有边长相等时，这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的性质如下：1. 三条边的边长相等；2. 所有角均为60度；3. 等边三角形的高线、中线、角平分线重合。
三、等腰三角形与等边三角形的区别与联系等腰三角形与等边三角形在性质上存在一定的相似性，但也有一些明显的区别。
首先，等腰三角形和等边三角形的定义不同。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，而等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。
其次，等腰三角形和等边三角形的性质也有所不同。
如前所述，等腰三角形的特点是两条腰边相等，而等边三角形的特点是所有边的边长相等。
然而，等腰三角形和等边三角形也存在联系。
事实上，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，因为等边三角形的两条腰边和底边都相等。
此外，等边三角形的顶角也等于底角，即等边三角形的所有角均为60度，与等腰三角形的底角性质吻合。
四、等腰三角形与等边三角形的应用等腰三角形和等边三角形在几何学中有各自的应用。
等腰三角形常用于解题中的条件定理证明，其性质可用于证明一些关于三角形的问题，如角平分线定理、垂直平分线定理等。
等边三角形常用于构造几何图形，如正六边形、正十二边形等。
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形& 等边三角形课时目标1.理解和掌握等腰三角形和等边三角形的概念，明确等边三角形是特殊的等腰三角形；2.理解和掌握等腰三角形的性质和判定，并熟练应用于证明；3.理解和掌握等边三角形的性质和判定，并熟练应用于证明；知识精要1. 等腰三角形的性质（1）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.（2）三线合一：等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.2.等腰三角形的判定等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形.3. 等边三角形的性质（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形的性质等边三角形全部具有；（2）等边三角形三条边相等，三个内角相等，且每个内角等于60°.4. 等边三角形的判定（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.热身练习1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°2. 如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 95°D. 70°3. 在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为 .4. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°（2题图）（4题图）（5题图）（6题图）5. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：.6. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度.7. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的.（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程.精解名题例1 如图，已知P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC ，求∠BAC 的度数.例2 已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 、F 分别为AB ，BC ，AC 上的点，且BD=CE ，∠DEF=∠B. 求证：△DEF 是等腰三角形.例3 已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，AB ∥CD ，OA=OB ，求证：OC=OD例4 如图，在四边形ABDC 中，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，试判断DC 与AC 的位置关系，并证明你的结论.BQPCAFCBA DEBA OCDA 1 C2例5 如图，点C 为线段AB 上的一点，△ACM ，△BCN 是等边三角形，AN ，MC 相交于点E ，CN 与BM 相交于点F. （1）求证：AN=BM（2）求证：△CEF 为等边三角形巩固练习 一、填空题1. 如果等腰三角形的顶角为30°，那么它的一个底角为 度.2. 如果等腰三角形的一个底角为50°，那么它的顶角为 度.3. 如果一个等腰三角形的周长为25cm ，底边为5cm ，那么一腰长为 cm .4. 如果等腰三角形的周长为30cm ，一腰长10cm ，那么底边长为 cm .5. 等腰三角形的一个外角等于120°，那么这个三角形是 三角形.6. 如果三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角的2倍，那么这个三角是 .7. 如果等腰三角形的顶角为90°，那么它的一个底角是 度. 8. 已知等腰△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，则∠A= 度. 9. 等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为 .10. 如果等腰三角形两边长分别为4和7，则三角形的周长为 .FEMNBCA二、选择题1. 等边三角形的对称轴有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条2. 下列叙述中错误的是（）A．轴对称图形必有对称轴B．轴对称图形至少有一条对称轴C. 关于某直线对称的两个图形必能互相重合D. 两个能够重合的图形必定关于某直线对称.3. 下列叙述中，正确的是（）A. 有一边对应相等的两个等腰三角形全等B. 两个等边三角形全等C. 等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合D. 成轴对称的两个等腰三角形全等.4. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. 20°B. 120°C. 20°或120°D. 36°5. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm三、简答题1. 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①AB DC=，②BE CE=，③B C∠=∠，④BAE CDE∠=∠．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED△是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．BEDAC 图6自我测试一、填空题1. 等腰三角形的周长是20cm ，其中一边长为8cm ，则它的腰长是 .2. 已知等腰三角形的一边长为30cm ，另一边长为7cm ，则这个三角形的周长为 .3. △ABC 中，AB=AC ，∠A=80°，∠B= 度，∠C= 度.4. 等腰三角形的一个内角是100°，则另两个内角的度数为 .5.(1) 因为AB=AC ，∠1=∠2（已知），所以 AD ⊥BC （ ） (2) 因为AB=AC ，AD ⊥BC(已知），所以 BD=CD （ ）21DCBAEC DB AEDCBA(5题图) (8题图) (9题图) 6. 已知等腰三角形的底边长为8cm ，顶角为60°，那么它的周长等于 cm . 7. 等腰三角形的一个外角等于100°，那么这个等腰三角形的顶角是 度. 8. A ，B ，C 在同一直线上，以AB ，BC 为边在同侧分别作等边三角△ABD ，△BCE ，那么△ABE ≌ 依据是（ ）9. 因为∠EBC=∠DCB(已知)，所以 （等角对等边） 10.已知等腰△ABC 的底边BC=8， 3AC BC -=，则腰长AC 的长为 .11.若等腰△的周长为12，腰长为x ，则腰长x 的取值范围是 .12.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为 .12D C BAD CBAE D CB A二、选择题1. 下列四个三角形中是轴对称图形的是（）（1）有两个角为60°的三角形（2）两个角分别为70°和40°的三角形（3）一个角是45°的直角三角形（4）一个外角的平分线平行于它相邻内角的对边的三角形.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 在△ABC中，AB=AC，，∠1=∠2，那么△BDA≌△CDA的判定方法是（）A.S.S.SB.S.A.SC.A.A.SD.A.S.A3. 下列判断正确的是（）A. 有一边对应相等的两个直角三角形全等B. 两个等腰直角三角形全等C. 两个等边三角形全等D. 顶角，底边对应相等的等腰三角形全等三、简答题1. 在△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC求∠B的度数.2. 已知，AB=AC，D，E为线段BE上的点，且AD=AE. 求证：BD=CE.CBADCBA3. △ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内的一点，且OB=OC 求证：AO ⊥BC.4. 在等腰三角形ABC 中，如果AB=AC ，根据下列条件，求各角的度数. （1）有一个角是60°，求另外两个角的度数. （2）有一个角是70°，求另外两个角的度数. （3）有一个角是90°，求另外两个角的度数.5. AB=CB ，∠BAD=∠BCD ，AD 与CD 是否一定相等，为什么？NMDE CBAEDCBA6. 已知AB=AC ，BD ，CE 分别是∠B ，∠C 的平分线，AM ⊥BD 于点M ，AN ⊥CE 于点N ，求证：△AMN 是等腰三角形.7. 已知等边△ABC 的周长为6，BD 是AC 边上的高，E 是BC 的延长线上一点，CD=CE ，求△BDE 的周长.(提示：在R t △BCD 中，222BC DC BD =+)8．如图，已知AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CD.ABCD9．已知，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形（1）旋转△ADE 在图1位置，连接BD 和CE ，说明BD=CE 的理由（2）继续旋转△ADE ，当点D 在AC 上时，画出图形，这时BD 与CE 还相等 吗？为什么？（3）继续旋转△ADE ，当点E 在AB 上时，画出图形，上题的结论是否还成立？ 为什么？EDCBACBACBA。
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形与等边三角形等腰三角形与等边三角形是初中数学中的两个重要概念。
它们具有不同的性质和特点，而且在几何中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、特点和应用等方面进行探讨。
一、等腰三角形的定义与性质：等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
具体而言，对于一个三角形来说，如果它的两个边的边长相等，那么它就是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得到等腰三角形的一个重要性质：等腰三角形的两个底角相等。
这是因为基于等腰三角形的两个边相等，利用三角形内角和定理可以得到这一结论。
这个性质在解决一些几何问题时很有用。
二、等边三角形的定义与性质：等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。
换句话说，对于一个三角形来说，如果它的三个边的边长都相等，那么它就是一个等边三角形。
等边三角形除了所有边长相等外，还具有其他重要性质。
首先，等边三角形的每个内角都是60度。
这是因为利用三角形内角和定理，我们可以得到三个内角之和等于180度，再考虑到三个内角相等，所以每个内角都是60度。
另外，等边三角形的高、中线和角平分线也有特殊性质。
等边三角形的高是边长的根号3除以2，中线和角平分线重合且等于边长的三分之根号3。
三、等腰三角形与等边三角形的区别与联系：等腰三角形和等边三角形在定义和性质上有所区别，但也存在联系。
具体来说，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形是指两边相等，而等边三角形则是三边都相等。
可以说等腰三角形是等边三角形的一种特殊情况，即等边三角形必然也是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
因此，等边三角形的性质比等腰三角形更加特殊和严格。
四、等腰三角形与等边三角形的应用：等腰三角形和等边三角形在几何中具有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，等边三角形常用于绘制等边墙体或正六边形的底面。
在工程中，等腰三角形可以用于制作圆形锥体的模板，通过适当的折叠和连接，可以得到圆锥形的外形。
此外，在解决一些几何问题时，利用等腰三角形和等边三角形的性质可以简化问题的求解过程。
等边三角形与等腰三角形
等边三角形与等腰三角形等边三角形和等腰三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。
它们具有独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用都具有重要意义。
本文将从定义、性质、示例等方面探讨等边三角形与等腰三角形的关系和区别。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。
根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边相等：在等边三角形中，三条边的长度相等，即AB = BC = CA。
2. 三个内角相等：由于等边三角形的三边相等，按照三角形内角和定理可知，等边三角形的三个内角相等，均为60度。
3. 三个外角相等：等边三角形的三个外角相等，均为120度。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为对称轴，可以得到完全相同的图形。
二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
我们可以从以下角度了解等腰三角形的定义和性质：1. 两边相等：在等腰三角形中，两个边的长度相等，即AB = AC。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边所对的角）相等，可表示为∠B = ∠C。
3. 对称轴：等腰三角形中线对称轴是指通过顶点和底边的中点构成的直线。
等腰三角形具有一条中线对称轴。
4. 高度：等腰三角形的高边是底边的中线，高度刚好将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
三、等边三角形和等腰三角形的关系与区别1. 关系：等边三角形是等腰三角形中的一种特殊情况，即所有等边三角形也是等腰三角形，但不是所有等腰三角形都是等边三角形。
2. 区别：等边三角形的三边边长均相等，而等腰三角形只有两边边长相等；等边三角形的三个内角均相等为60度，而等腰三角形两个底角相等；等边三角形具有三个外角均相等为120度，而等腰三角形没有特定的外角性质。
四、示例1. 等边三角形示例：图1展示了一个等边三角形ABC，其中AB = BC = CA。
[图片]2. 等腰三角形示例：图2展示了一个等腰三角形DEF，其中DE = DF，且∠D = ∠E。
等边三角形和等腰三角形
等边三角形和等腰三角形等边三角形和等腰三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。
它们在形状和性质上都有一些相同和不同之处。
本文将分别介绍等边三角形和等腰三角形的定义、性质以及应用。
等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
例如，三条边长度均为a的三角形就是等边三角形。
等边三角形的特点如下：1. 三条边相等：等边三角形的每条边长度都相等，所以它的三个内角也都相等，每个内角都为60度。
2. 三个内角相等：等边三角形的三个内角都是60度，因为三个内角之和为180度，所以每个内角都为60度。
3. 对称性：等边三角形具有三个对称轴，它的每条边都是对称轴。
等边三角形的性质使得它在几何学中具有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，等边三角形常被用于构建稳定和均衡的结构。
等边三角形还经常用于计算三角形的面积和周长，因为它的边长相等，计算较为简单。
接下来我们来讨论等腰三角形。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
例如，如果一个三角形的两边长度均为a，那么它就是等腰三角形。
等腰三角形的特点如下：1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，而第三条边可以不相等。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（与较长边相对的两个内角）相等。
3. 高度相等：等腰三角形的两条边之间的高度（从顶点到底边的垂直距离）相等。
等腰三角形在几何学中也有许多应用。
它们经常出现在测量和绘图中，特别是在勾股定理的证明中。
同时，等腰三角形也常被用于计算三角形的面积和周长。
总结起来，等边三角形和等腰三角形都是特殊的三角形。
等边三角形的三条边相等，三个内角均为60度，而等腰三角形的两条边相等，两个底角相等。
它们都在几何学和应用数学中有广泛的应用。
通过学习这两种特殊三角形，我们可以更好地理解三角形的性质和应用。
在解决几何问题时，我们可以根据三角形的特征来选择合适的方法和定理。
因此，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的概念和性质对于数学学习和应用都是非常重要的。
希望本文对你了解等边三角形和等腰三角形有所帮助，同时也希望你能继续深入学习和探索几何学中的其他内容。
等腰三角形和等边三角形包含关系
等腰三角形和等边三角形包含关系等腰三角形和等边三角形是常见的三角形形状，它们之间存在一定的包含关系。
在这篇文章中，我们将探讨等腰三角形和等边三角形的特点以及它们之间的联系。
一、等腰三角形的特点等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两条相等的边被称为腰，而另一条边被称为底边。
等腰三角形的顶角和底角相等。
这是因为等腰三角形的两边相等，所以两个顶角的对边也相等，根据三角形内角和为180度的性质，顶角和底角必然相等。
二、等边三角形的特点等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
等边三角形具有三个相等的角，每个角都是60度。
由于等边三角形的三条边相等，所以它的三个角也相等。
等边三角形可以看作是等腰三角形的一种特殊情况，即等腰三角形的两个腰都等于底边。
三、等腰三角形和等边三角形的关系等腰三角形是等边三角形的一种特殊情况。
在等腰三角形中，如果两个腰的长度相等，那么这个等腰三角形就是一个等边三角形。
也就是说，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，而等腰三角形可以是等边三角形或非等边三角形。
四、证明等腰三角形和等边三角形的关系我们可以通过证明来进一步说明等腰三角形和等边三角形的关系。
假设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们需要证明这个等腰三角形也是一个等边三角形。
首先，连接线段BC。
由于等腰三角形的两个腰相等，所以线段AB和线段AC相等，即AB=AC。
又因为三角形ABC是等腰三角形，所以角B和角C相等。
根据等腰三角形的定义，我们知道角B和角C是顶角和底角，它们对应的边分别为线段AB和线段AC。
由于两个顶角的对边相等，根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得出线段BC也等于线段AB和线段AC，即BC=AB=AC。
所以，线段AB、AC和BC的长度都相等，这就证明了等腰三角形ABC是一个等边三角形。
等腰三角形和等边三角形之间存在一定的包含关系。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，而等腰三角形可以是等边三角形或非等边三角形。
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形与等边三角形在几何学中，三角形是最基本的几何图形之一。
根据边长和角度的关系，三角形可以分为不同类型，本文将重点讨论等腰三角形和等边三角形。
一、等腰三角形等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
它有以下几个重要特点：1. 两边相等等腰三角形的两条边长度相等，记作AB = AC。
这使得等腰三角形具有一条对称轴，即从顶点到底边的中点绘制的线段为对称轴。
2. 两角相等等腰三角形的两个底角（即顶点两侧的角）大小相等，记作∠B =∠C。
这是由于等边三角形两边相等所决定的。
3. 一角为直角如果等腰三角形的两个底角都等于直角，则等腰三角形会退化为等腰直角三角形。
否则，通过绘制对称轴可以发现，另外两个角的大小也相等。
等腰三角形具有一些重要的应用，例如在建筑设计中，等腰三角形常用于梯形梯级的设计，以保证每个梯级的跨度相等，提供更好的舒适度和安全性。
二、等边三角形等边三角形是指具有三个边相等的三角形。
它具有以下特点：1. 三边相等等边三角形的三条边长度相等，记作AB = BC = AC。
这使得等边三角形具有绝对的对称性，任何一条边都可以作为三角形的底边。
2. 三角度相等等边三角形的三个内角大小均为60度，记作∠A = ∠B = ∠C = 60°。
通过绘制等边三角形的高，可以得到底角的大小。
3. 具有最大的对称性由于等边三角形的所有边和角都相等，因此它具有最大的对称性。
在几何图形中，等边三角形的对称性常常用于设计对称的花纹和图案。
等边三角形也具有广泛的应用，例如在建筑设计中，等边三角形常被用作建筑物的外立面设计，以创造出简洁、稳定和美观的效果。
总结：等腰三角形和等边三角形是两种常见的三角形类型。
等腰三角形具有两边相等的特点，而等边三角形具有三边相等的特点。
它们在几何学和实际应用中都有着重要的地位。
通过研究和了解不同类型的三角形，我们可以更好地理解几何学知识，并在实践中运用它们。
等腰三角形和等边三角形的研究不仅帮助我们更好地理解几何学原理，还有助于培养我们的空间思维能力和解决问题的能力。
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形与等边三角形等腰三角形和等边三角形是几何学中的两个重要概念。
虽然它们都属于三角形，但它们在形状和性质上有着明显的区别。
本文将就等腰三角形和等边三角形的定义、性质以及应用进行详细讨论。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两边长度相等的三角形。
根据定义，等腰三角形的两边也就是两条腰的长度相等，而第三边即底边则可以不相等。
等腰三角形的特点在于它的两个底角（非腰对角）相等。
这是因为等腰三角形的两个腰分别对应两个底边，根据三角形内角和定理可知，两个底角相等。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两个底角相等。
2. 等腰三角形的两条腰相等。
3. 等腰三角形的底边与两腰之间的夹角是一个固定值。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出一些重要的推论：1. 等腰三角形的底边中线与底边相等，且与腰重合。
2. 等腰三角形的高线也等于底边中线。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
1. 锐角等腰三角形可以用于建筑和工程中的角度测量。
2. 钝角等腰三角形用于制作标志和告示牌上的角度设计。
3. 等腰三角形在图形设计中常被用于创造具有对称美感的形状。
四、等边三角形的定义等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
根据定义，等边三角形的三个内角也相等，每个角都是60度。
五、等边三角形的性质1. 等边三角形的三个边相等。
2. 等边三角形的三个内角都是60度。
3. 等边三角形的高、中线、角平分线都重合。
六、等边三角形的应用等边三角形有许多有趣的应用，下面介绍几个常见的例子：1. 等边三角形广泛应用于建筑和设计中，它代表了均衡和稳定。
2. 在科学研究中，等边三角形用于地质勘探、测量和计算等方面。
3. 等边三角形被广泛应用于旗帜和标识中，例如国旗和组织标志。
综上所述，等腰三角形和等边三角形作为几何学中的两个重要概念，它们在形状和性质上有明显的差异。
等腰三角形的两边相等，而等边三角形的三边均相等。
等腰三角形的两个底角相等，而等边三角形的每个内角都是60度。
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形与等边三角形三角形是几何学中最基本的形状之一，其中等腰三角形和等边三角形是最常见的两种类型。
虽然它们在其中的特性和性质上有所不同，但它们对于几何学的研究和应用都具有重要意义。
一、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其中两个相等的边称为腰，而不等边称为底。
等腰三角形的特点如下：1. 两边相等等腰三角形的两腰是相等的，即AB = AC。
这种特性使得等腰三角形在很多问题中都具有对称性，可以简化计算和推导的过程。
2. 两角相等等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等，即∠B = ∠C。
这个性质也可以直接从两边相等所推导出来，因为一个等边角对应一个等边角。
3. 垂直平分线等腰三角形的高线（从顶点引垂线到底边）也是对称轴，它垂直平分底边。
这意味着等腰三角形上的任意一条高线都将底边分成两条相等的线段。
二、等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形，因此它的所有角也是相等的，都是60度。
等边三角形的特点如下：1. 三边相等等边三角形的三条边都是相等的，即AB = AC = BC。
这使得等边三角形在许多问题中更易于计算和推导。
2. 三角度相等等边三角形的所有角都是相等的，即∠A = ∠B = ∠C = 60度。
等边三角形可以看作是一种特殊的等腰三角形，其中腰和底边都相等。
3. 对称性等边三角形具有高度的对称性，它可以以任意边为基准进行旋转或镜像对称。
这个特性使得等边三角形在建筑、设计和艺术等领域中被广泛应用。
三、比较与应用虽然等腰三角形和等边三角形在特性和性质上有所不同，但它们在几何学的研究和实际应用中都扮演着重要角色。
1. 建筑设计等边三角形的对称性使其在建筑设计中应用广泛，例如等边三角形的形状常被用于瓷砖、屋顶和拱门等结构中，以创造美观和稳定的效果。
2. 几何推理等腰三角形的对称性和角度特性使其成为几何推理中常见的图形，通过利用等腰三角形的性质，可以简化计算和证明过程。
3. 三角函数等腰三角形和等边三角形也在三角函数中具有重要地位。
等腰和等边三角形的关系
等腰和等边三角形的关系1. 引言大家好，今天咱们聊聊三角形，尤其是等腰和等边三角形的那些事儿。
三角形可真是个有意思的家伙，形状简单，却蕴含着很多神奇的数学奥秘。
你知道吗？在三角形的大家族里，等腰三角形和等边三角形就像是一对亲密无间的小伙伴，互相依赖，却又各有各的特色。
听起来是不是有点儿像老友记的剧情？那么，咱们就从这两种三角形的特点开始说起吧。
1.1 等腰三角形的特征首先，等腰三角形，顾名思义，就是有两条边长度相等的三角形。
想象一下，你在画图的时候，把两条边画得一样长，这样就能形成一个等腰三角形了。
这种三角形还有一个很酷的特点，就是它的两个底角也是相等的！你可以把它想象成一对情侣，虽然身材不一样，但心灵相通，默契十足。
比如说，你在公园里看到两个小鸟儿站在同一根树枝上，左边那只和右边那只虽然羽毛颜色不同，但站得是那么稳，就像等腰三角形的两条边。
1.2 等边三角形的魅力再来看看等边三角形，它可是三角形界的超级明星！三条边都是一样长，三角形的三个角也都是60度。
你想啊，这种完美的对称感，简直让人想给它打个满分。
等边三角形就像是小朋友们玩耍时搭的小积木，摞得整整齐齐，谁见了都会忍不住多看几眼。
而且，它的稳定性特别好，无论你怎么摆弄，都不会轻易倒下。
就像是个坚强的战士，永远屹立不倒。
2. 等腰和等边三角形的联系那么，等腰和等边三角形到底有什么关系呢？这个问题就像一块儿拼图，有些地方重合，有些地方又不太一样。
首先，任何一个等边三角形都可以被称为等腰三角形。
因为它的三条边都是相等的，自然也就有两条边是相等的，对吧？所以，等边三角形简直就是等腰三角形的“升级版”。
就像是一款游戏，基本玩法是一样的，但道具和装备更厉害。
2.1 生活中的应用说到这里，咱们再来聊聊生活中的应用。
等腰三角形在建筑设计中经常被用到，因为它的稳定性可以让建筑更坚固。
比如，咱们看到的某些桥梁和房屋，都是利用等腰三角形的特性来保持结构的平衡。
而等边三角形呢，常常出现在旗帜、图案设计和艺术作品中。
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形和等边三角形一、等腰三角形的定义和性质1.1 等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两腰相等。
(2)等腰三角形的底角相等。
(3)等腰三角形的底边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等腰三角形的底角小于或等于顶角。
二、等边三角形的定义和性质2.1 等边三角形的定义：等边三角形是指三边都相等的三角形。
2.2 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边相等。
(2)等边三角形的三角相等，都是60度。
(3)等边三角形的各边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)，其中a为边长。
3.1 等腰三角形的判定：(1)如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
3.2 等边三角形的判定：(1)如果一个三角形三边都相等，那么这个三角形是等边三角形。
(2)如果一个三角形的三角都相等，都是60度，那么这个三角形是等边三角形。
四、等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用4.1 等腰三角形的应用：(1)建筑物的设计中，等腰三角形的结构稳定性较好，常用于设计桥梁、塔架等。
(2)几何画板或者绘图工具中，等腰三角形可以用来制作对称图案。
4.2 等边三角形的应用：(1)装饰品设计中，等边三角形的对称性美观，常用于设计各种图案。
(2)几何学中，等边三角形是研究三角形性质的基本模型。
五、等腰三角形和等边三角形的相关定理5.1 等腰三角形的定理：(1)角平分线定理：等腰三角形的角平分线、中线和底边垂直平分线是同一条线。
(2)面积定理：等腰三角形的面积等于底边乘以高线除以2。
5.2 等边三角形的定理：(1)面积定理：等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)。
(2)内切圆定理：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3除以6。
六、等腰三角形和等边三角形的相关问题6.1 等腰三角形的问题：(1)已知等腰三角形的一边长和一角大小，求其它两边的长度和角度大小。
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【随堂测试】
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一、填空题
1．如图（1），△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周
长
为14，BC=6，则AB的长为
【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片 沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕 与AB、AC边分别交于点E、F， 探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸 片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条 件的折叠后的图形．
（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 △OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大 小．
【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点 F，求∠AFB 的度数.
【例2.2】已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝ 24°. 求的度数．
。
2．在△ABC中，∠A=90°，BD为角平分线，DE⊥BC于E，且E恰为
BC中点，则∠ABC等于
。
3．等腰三角形的底边长为5cm，一腰上中线把其周长分成两部分之差
为3cm，则腰长为
。
4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分
类应为
。
5．△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= 。
私塾国际学府学科教师辅导教案
组长审核：
学员编号：
年 级：八年级
课时
数：3课时 学员姓名： 师：刘霞
辅导科目：数学
学科教
授课主题 等腰三角形和等边三角形
教学目的
1、 掌握等腰三角形的性质和判定 2、 会利用等腰三角形的性质和判定解决一些证明题！
教学重点 掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定
授课日期及 时段
MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为
。
10．等腰三角形的周长为24cm，其中一边长为7cm，则另外两条
边为
。
二、解答题
1．如图（5），△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF，求∠EDF的
度数。
2．如图（6），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点， AD=AC，DF⊥AB于D，交BC于F。求证：BD=CF。
（3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相
等（即“等角对等边”）.
类型一：等腰三角形中的分类讨论 【例1.1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【变式1】当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 （1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。
提示：直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等 的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 【变式1】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB
＝∠DBA＝10°， 求∠ACD的度数.
【变式2】如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.
类型二:等腰三角形的操作题 【例1.2】根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，
把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕 迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A 与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想： （2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到 直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的 距离PE=________.
知识点二：等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角
【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD 于M. 求证：AM＝(AB＋AC) ．
【中考链接】（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证 PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH． 又∵，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又 有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
【例2.3】如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD ＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理 由．
【变式】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC 的形状，并说明理由．
【例2.4】如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相 交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．
A B M 图（4） A B C D
F E 图（5） A B D C F 图（6） A B C F E 图（7） A B C F E 图（8） H
3．如图（7），△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线EF 交AB于E，交BC于F。求证：CF=2BF。
4．如图（8），△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF 的交点，且HB=HC。求证：AB=AC。
A B C D E 图（1） D A B C 图（2） A B C D E 图（3） O
路程MP＋PQ＋QN最短?
知识点一：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线
互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角 都等于45°.
都等于60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. （4）含30°的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边
等于斜边的一半.
【例2.1】（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交 于点E，连接BC，求∠AEB的大小；
6．等腰三角形底角的一个外角为100°，则它的顶角为 。
7．如图（2），AB∥CD，AC平分∠DAB，若∠D=136°，则
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∠DCA= 。
8．如图（3），在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D、C、B、E
在一条直线上，且DB=AB，CE=AC，则∠E= ，
∠D= ，∠DAE= 。
9．如图（4），已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，
2014.10.26
13：00——15：00
教学内容
【知识回顾】 1、 线段的垂直平分线有什么性质？ 2、 有关最短路径问题你还记得多少呢？
【经典再现】
将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P 到点Q)；将军从马棚M出发到达
队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择 点P和Q)，可以使得将军走的总
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
【变式2】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的
度数。
【变式3】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为25°，求这个三角形
各个内角的度数。
【变式4】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直 线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。 【变式5】由腰上的中线引起的分类讨论 等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm，求腰长。
类型三：等腰三角形性质判定综合应用 【例1.3】如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，E是AD上一点，且BE
＝AC，延长BE交AC于F. 求证：AF＝EF
【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE ＝EF．
求证：AC＝BF．
【例1.4】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过 点B作BE⊥AD于点E. 求证：BE＝AD.