人工智能的数学基础1

(x ) P (x )( P ) (x ) P (x )( P )
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人工智能的数学基础-1
谓词公式的等价性与永真蕴含
1.P Q P, P Q Q 2.P P Q, Q P Q 3.P, P Q Q 4.P, P Q Q 5.Q, P Q P 6.P Q, Q R P R 7.P Q, P Q, Q R R 8.(x ) P ( x ) P ( y ) 9.( x ) P ( x ) P ( y )
B (x)( P( x) Q( f ( x), b))
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命题逻辑与谓词逻辑
人工智能的数学基础-1
命题
谓词
谓词公式
谓词公式的解释
谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性
谓词公式的等价性与用真蕴含
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人工智能的数学基础-1
谓词公式的永真性、可满足性等
谓词
谓词公式
谓词公式的一些特性
多值逻辑（扩展）
概率论
随机现象
样本空间与随机事件
事件的概率
条件概率
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绪论
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回顾上一节课的内容
什么是人工智能
智能
人工智能
发展简史
人工智能的研究目标及内容
研究目标
基本内容
人工智能的研究途径
符号处理为核心
网络连接为主的
人工智能的研究领域
思考？
征反映出来，也不能把不同事物间的共同特 征表述出来。 例如： 老李是小李的父亲 李白是诗人，杜甫也是诗人。
提示： 通常在编程当中，我们采用什么样的方式来解 决相同特征的问题，
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命题逻辑与谓词逻辑－谓词
谓名词 函数名称
谓词
个体
参变量
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命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式
谓词公式：
单个谓词是合式公式，成为原子谓词公式 若A是合式公式，则┐A也是合式公式 若A，B都是合式公式，则A∧B，A∨B，
A→B，A←→B 若A是合式公式，X是任一个体变元，包含全 称量词和存在量词的也是合式公式
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命题逻辑与谓词逻辑
命题
谓词
谓词公式
谓词公式的一些特性
多值逻辑（扩展）
概率论
随机现象
样本空间与随机事件
事件的概率
条件概率
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人工智能的数学基础-1
命题逻辑与谓词逻辑
命题逻辑与谓词逻辑 命题
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多值逻辑
命题取值只能有三个：真，假，还有一个
（无意义，不能判定：悖论） 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮 脸，我也只给这些人刮脸。命题：理发师给 自己刮脸吗？ http://www.oursci.org/lib/paradox/
非 合取 析取 条件或者蕴含，p→q 双条件：当且仅当


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命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式

量词
全称量词 存在量词 P(x)表示是证书，F(x,y)表示x，y是朋友


( x) P( x) ( x)( y) F ( x, y) ( x)( y) F ( x, y)
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命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式

分析一个谓词公式
(x)( P( x, y) Q( x, y)) R( x, y)
约束变元 自由变元 变元换名原则:同名的约束变元应该统一变成相同的名字，注意约束条件也得修改
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命题逻辑与谓词逻辑
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命题
谓词
谓词公式
谓词公式的解释
谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性
谓词公式的等价性与用真蕴含
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谓词公式的解释




在命题逻辑中，对命题公式中各个命题变元的一次真值指派 成为命题公式的一个解释 形象理解：赋值→函数值 谓词公式的解释： 设D为谓词公式P的个体域，若对P中的个体常量，函数和谓 词按如下规定赋值： （1）为每个个体常量指派D中的一个元素 （2）为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射，其中Dn＝ ｛（x1,x2,…,xn）/x1,x2,…,xn∈D｝ （3）为每个n元谓词指派一个从Dn到｛F,T｝的映射，责成 这些指派为公式P在D上的一个解释。
个体表某个独立存在的事物或者某个抽象的概念 谓名词用于刻画个体的性质、状态或个体间的关系
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命题逻辑与谓词逻辑
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命题
谓词
谓词公式
谓词公式的解释
谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性
谓词公式的等价性与用真蕴含
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谓词公式的等价性与永真蕴含
P规则：推理的任何步骤可以引入的前提
T规则：前面推出的结论，在后续的推理中，
使用 CP规则：从R和前提结合中推出来S，使用 结论R→S 反证法： 这些规则在后续的讨论中，我们在进行相关 介绍。
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谓词公式的等价性与永真蕴含






补余律 P∨！ P ←→ T !P∧ P ←→F 结合律 (P∨Q) ∨ R←→ P∨(Q ∨ R) (P ∧ Q) ∧ R←→ P ∧(Q ∧ R) 连接词化归律 P→Q ←→！P ∨ Q 量词转化律
谓词
谓词公式
谓词公式的解释
谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性
谓词公式的等价性与用真蕴含
谓向逻辑是在命题逻辑基础上发展起来的，命题逻辑可看作是谓词逻辑的一种特殊形式
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命题逻辑与谓词逻辑－命题（1）




什么是命题？ 命题是具有真假意义的语句 命题代表人们进行思维时的一种判断，或者是肯定，或者是否定，只有 这两种情况 例子： 北京是中华人民共和国的首都。 3≤5。 太阳从西边升起。 我今天吃的很饱。 多么美丽的祖国。 我吃的很饱是一个命题。 表示形式用P描述
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命题逻辑与谓词逻辑
命题
谓词
谓词公式
谓词公式的一些特性
多值逻辑（扩展）
概率论
随机现象
样本空间与随机事件
事件的概率
条件概率
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多值逻辑
经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释只有两
个：真和假，0和1。 现实生活中的某些问题不是简单的真和假的 问题，而是存在于真和假之间的某个位置上 （甚至更复杂） 三值逻辑：第三个结论有很多讨论，有人提 出无意义这个值，是为了解决悖论
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人工智能导论
人工智能的数学基础-1 信息学院：韩延彬
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人工智能的数学基础-1
课程进度
人工智能原理与应用
经典 知识 知识 前言 数学 逻辑 表示 表示 绪论 基础 推理 (1) (2) (1)
经典 逻辑 推理 (2)
交换律： P∨Q←→ Q ∨ P, P∧Q←→ Q ∧ P 结合律： (P∨Q) ∨ R←→ P∨(Q ∨ R) (P ∧ Q) ∧ R←→ P ∧(Q ∧ R) 分配律： P∨(Q∧R) ←→ (P∨Q)∧ (P∨ R) P∧(Q ∨ R) ←→ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) 德.摩根律 ！(P ∨Q) ←→ ！P ∧ ! Q ！(P ∧ Q) ←→ ！P ∨ ! Q 双重否定 ！！P ←→P 吸收律 P∨(P∧R) ←→P, P ∧(P ∨ R) ←→P
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谓词公式的解释


例如个体域D＝｛1,2｝，求公式 在D上的某一个解释 解:个体常量 b＝1，f(1)=2,f(2)=1 对谓词指派的真值： P(1)=F,P(2)=T,Q(1,1)=T,Q(2,1)=F 当x=1时 P(1)=F,Q(f(1),1)=Q(2,1)=F P(1)→Q(f(1),1)＝T 同理x=2时，T 当前的解释是的公式B是永真的
永真性：如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解 释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如果P在 每个非空个体域上均永真，则称P在每个非空个体 域上均永真，则称P永真。 可满足性：对于谓词公式P，如果至少存在一个解 释使得公式P在此解释下的真值为T，则称公式P是 可满足的。 不可满足性：如果谓词公式P对于个体域D上的任何 一个解释都取得真值F，则称P在D上是永久假的， 如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永假。
专家系统
机器学习
模式识别
自然语言理解等10
重点：智能、人工智能的定义，研究目标（2），基本内容（5）,人工智能的研究途径（3）
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为什么要研究数学
思维
形式化、符号化
人工智能 研究课题基础
逻辑、概率、模糊
知识的表示与处理中占有重要地位。 因此，在系统学习人工智能的理论与技术之前， 先掌握些有关逻辑、概率论及模糊理论方面的知识是很有必要的。
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命题逻辑与谓词逻辑－谓词
几个概念： 当谓词中的变元都用特定的个体取代时，谓词就具 有一个确定的真值：T 或 F P(x1,x2,…,xn)，其中n是阶数 个体变元的取值范围成为个体域。有限，无限 谓词和函数的联系和区别 个体常量、个体变元、函数统称为“项” 采用谓词有什么样的优点
命题逻辑与谓词逻辑－谓词
老张是教师
Teacher（Zhang）
如果是老李也是教 师，怎么描述
谓名词
个体
Teacher 刻画了 zhang 的职业是教师？
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命题逻辑与谓词逻辑－谓词


5＞3：Greater(5,3)。Greater(3,5)? 谓词的一般形式是： P(x1,x2,…,xn) 谓词名： 个体： 通常情况谓词名用大写表示，而个体用小写表示 谓词的个体，可以是一个常量，也可以是一个变元，还可以 是一个函数 例如： X＜5：Less（x,5） 小王的父亲是教师：Teacher(Father(Wang))

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命题逻辑与谓词逻辑
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命题
谓词
谓词公式
谓词公式的解释
谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性
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谓词公式的等价性与永真蕴含






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命题逻辑与谓词逻辑－命题
语句 真假含义
命题
注意：语句和真假的含义缺一不可
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命题逻辑与谓词逻辑－命题
命题逻辑的局限性？ 面对这样的问题，我们怎样解决？
无法把它所描述的客观事物的结构及逻辑特
经典 经典 逻辑 逻辑 推理 推理 (3) (4)
经典 逻辑 推理 (5)
不确 课程 课程 定推 设计 设计 理 (2) (1) (1)
不确 不确 定推 定推 理 理 (2) (3)
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本节知识框架
人工智能的数学基础(1) 命题逻辑与谓词逻辑
命题

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命题逻辑与谓词逻辑
命题
谓词
谓词公式
谓词公式的解释
谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性
谓词公式的等价性与用真蕴含
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命题逻辑与谓词逻辑－谓词公式

谓词公式：无论是命题逻辑还是谓词逻辑，可以利 用连接词把一些简单的命题连接起来构成一个合命 题，表示一个比较复杂的含义。