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常州市高三上学期期末考试数学

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江苏省常州市届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

江苏省常州市届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

7． 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料．从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取 2
8．
瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．
已知实数
x
，
y
满足约束条件
x y ≥3，

y
≤
x ≤ 3，
3，
则 z 5 x2 y2 的最大值为
9． 若曲线 C1 ： y 3x4 ax3 6x2 与曲线 C2 ： y ex 在 x 1 处的切线互相垂直，则实数 a
2． 若 1 mi 1 ni （ m， n R ，i 为虚数单位），则 mn 的值为 ▲ ． i
3．
已知双曲线 x2 a2

y2 4
( xi

x)2 ，其中
1(a 0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，则 a 的值为
4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有 80 名，50 名．现用分层抽 样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了 24 名，则
参考公式：
样本数据
常州市教育学会学生学业水平监测
x1 ， x2 ，…
， xn 的方差 s2
高三数学Ⅰ试题

1 n
n
i1
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
1． 设集合 A x x2 1， x R， B x 0 ≤≤x 2，则 A B = ▲ ．
字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．设向量 m (a, c) ，

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常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ,2x ,… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2． 若1i1i im n +=+(m n ∈R ，，i 为虚数单位）,则mn 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=,则a 的值为 ▲ ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5． 某市连续5天测得空气中PM2。

5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为▲ ．10．给出下列命题：（1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,等比数列{}n a 中,11a =，343a ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．12．已知函数f （x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c -=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+,则PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n ∥,c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅=,4cos 5A =，求cos C 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ; (3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2)若p ，q 为互不相等的正整数,且等差数列{}n b 满足pa b p =，qa b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FBCE A1A 1B 1C （第16题）江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word 版含答案(word 版可编辑修改)18．（本小题满分16分）圆在平面直角坐标系xOy 中，椭线为直线l ，动E :22221(0)x y a b ab+=>>的右准椭圆于A ，B 两直线y kx m =+(00)k m <>，交点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率)，且OQ =．(1）求椭圆E 的标准方程;（2)如果OP 是OM ，OQ 的等比中项,那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件)与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++;②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2)求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（第18题）(1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间;（3)当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图,等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点(1,1)，求实数a 的值．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知点3,)6P ，直线:cos()224l +=，求点P 到直线l 的距离．D ．选修4-5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中,已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ,PB 的中点，PO ⊥AB ,连结CD ．(1)若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2)若二面角A －PB－C ，求PA ．23．（本小题满分10分)设集合A ,B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集,且B 也不是A 的子集．ABCDOP（第22题）（1)若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对（A ,B ）的个数;(2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ，B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31。

(完整版)常州市届高三上学期期末考试数学试题

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常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ． 3．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ▲ ． 4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c-=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+ ，则PQ的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ；（3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC-的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列FBCE A 1A 1B 1C （第16题）rb{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m=+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（第18题）（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos(4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A －PB －CPA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A不是B 的子集，且B 也不是AABCDOP（第22题）的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 155．31.6（写成1585也对） 6．p7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p 12．12(log 9,4) 13．4 14．-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin 2sin 2A C =． ………………………………………………2分∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=，从而A C =（舍）或2A C p+=．∴2B p=． ………………………………4分在Rt △ABC 中，tan a A c ==6A p =． …………………………………6分（2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，cos B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B=-+=-+=431553-+⨯=． …………………………………14分16．证明：（1）连结1A C ．∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AA C C 是矩形， ∴点F 在1A C 上，且为1A C 的中点．在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1A C 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分（2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ．………………………………8分∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分（3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，， 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩…………………4分∴21n a n =-．……………………………………………………………6分（2）p ，q 为正整数， 由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分18． 解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e ，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21be aa c=，化简，得1b =．………2分∵OQ =，∴22a c a =2a =．由22212a b c b a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，， 解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+，从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分所以直线OM 的方程15y x k=-．由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551Pk x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅，从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+．……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2mk=-，满足△0>． ……………15分∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分（注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得18u =-，28(50,51)u =+．……………7分当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分列表：x(0,1)1(1,)+∞()f x '+0 -()f x ↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分(2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．Al t h（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x ==①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；…………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--．∵1a b <<，∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为112a b -+-，所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）．………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得1t =（舍），1t =+，列表：t(1,1+(1)+∞()h t '-+()h t ↘↗所以，()h t 在(1,1+单调减，在(1)+∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ． 从而A A AD BC=．∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：点P 的直角坐标为，…………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=，………………………………………8分从而点P 到直线l …………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分=(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ．∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且OA OB OC===． ……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz-．（1）2PA a=，PO=．(0,,0)A，,0)B，,0,0)C，)P，D．…………4分从而(0,)PA=，，()CD=．∵cos,PA CDPA CDPA CD⋅<>===∴异面直线PA与CD．……………………………6分（2）设PO h=，则(0,0,)P h．∵PO⊥O C，OC⊥AB，∴OC⊥平面P AB．从而,0,0)OC=是平面PAB的一个法向量．不妨设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=，∵(0,)PB h=-，,0)BC=-，，0,0.n PBn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴,.hzx y==⎪⎩不妨令x=1，则y=1，z n=． ………………………8分OC nOC n⋅==，化简，得2223h a=．∴PA===．…………………………………10分23．解：（1）110；………………………………………………………………3分（2）集合M有2n个子集，不同的有序集合对(A,B)有2(21)n n-个．若A⊂≠B，并设B中含有*(1,)k k n k∈N≤≤个元素，则满足A⊂≠B的有序集合对 (A ,B ) 有1(21)232nn nk kkkkn n nnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个 ． …………………6分同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n nn---=+-⨯………………………………………………10分。

江苏省常州中学2024年数学高三第一学期期末教学质量检测试题含解析

江苏省常州中学2024年数学高三第一学期期末教学质量检测试题含解析

江苏省常州中学2024年数学高三第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．192．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->3．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．356．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35B ．25C ．4D ．57．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,48．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直9．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D 311．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．412．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市高三上学期期末学业水平监测数学试题含解析

江苏省常州市高三上学期期末学业水平监测数学试题含解析

常州市教育学会学业水平监测高三数学 2020.1一、填空题：1、已知集合{}{}21,0,1,|0A B x x =-=>，则A ∩B ＝ 答案：｛－1，1｝解析：B ＝｛x ｜x ＜0或x ＞0｝，所以，A ∩B ＝｛－1，1｝ 2、若复数z 满足1,z i i ⋅=-则z 的实部为 答案：－1 解析：1(1)11i i iz i i --===---，所以，实部为－1。

3、右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是答案.10解析：第1步：S ＝1，i ＝3；第2步：S ＝1＋32＝10，i ＝4＞3，退出循环，输出S ＝10。

4、函数21x y =-的定义域是 答案：［0，＋∞）解析：由二次根式的意义，有：210x-≥， 即0212x≥=，所以，0x ≥5、已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是 答案：2解析：平均数为：19，方差为：21(41014)5s =++++＝2 6、某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 答案：710解析：该同学“选到文科类选修课程”的可能有：112232C C C +＝7，任选2门课程，所有可能为：25C ＝10，所以，所求概率为：710 7、已知函数231,0,1(),0,x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩ 则((8))f f =答案：－15解析：(8)f ＝223338(2)-=-＝－4，((8))(4)f f f =-＝－158、函数3sin(2),[0,]3y x x ππ=+∈取得最大值时自变量x 的值为答案：12π 解析：因为0x π≤≤， 所以，72333x πππ≤+≤，则1sin(2)13x π-≤+≤， 当232x ππ+=，即x =12π时，函数y 取得最大值。

9、等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a = 答案：64解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，2344,2,a a a 成等差数列，所以，32444a a a =+，即2344q q q =+，解得：q ＝2，所以，6171a a a q =＝6410、已知cos 22cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，则tan 2α=答案：－22解析：cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2cos αα=，即tan α＝222tan tan 21tan ααα=-＝－2211、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A,过A 做x轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B,若2OB a =，则C 的离心率为 答案：2解析：显然OA ＝a ， 双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨设过A 做x 轴的垂线与by x a=交于B ， 则B 点坐标为（a ，b ），即AB ＝b ， 在直角三角形OAB 中，OB 2＝OA 2＋AB 2， 即4a 2＝a 2＋b 2，解得：3b a =，所以，离心率为：221c b e a a==+＝212、已知函数()lg(2),f x x =-互不相等的实数,a b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为答案：14解析：如下图，由()()f a f b =，－lg(2)a -＝lg(2)b -， 即lg(2)(2)a b --＝0， 所以，(2)(2)1a b --=，4a b +＝(2)4(2)102(2)4(2)10a b a b -+-+≥-⨯-+＝14，当54,2a b ==时取等号。

江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考公式：圆锥的体积公式：1=3V Sh 圆锥，其中S 是圆锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.若集合{2,0,1}A =-，2{1}B x x =>，则集合AB = ▲ .2命题“[0,1]x ∃∈，210x -≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）. 3.若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z = ▲ .4.若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ .6.函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1，2，⋅⋅⋅，6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ .7.已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ .8.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ .9.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10x y ++=与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ .10.已知实数x ，y 满足0,220,240,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则x y +的取值范围是 ▲ .11.已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ .12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ，B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲ .13.在ABC ∆中，5AB =， 7AC =，3BC =，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足1()4BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为 ▲ ． 14.已知ABC ∆中，3AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos +b C c B c =， （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值.16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.（1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和的AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：//QF BC . 17.已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作'AB .（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求'AB 扫过的图形面积； （2）若3OA =米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，13OAA π∠=，且110AA =米.t 秒时，小明在地面上的影子长度记为()f t （单位:米），求()f t 的表达式与最小值.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点A是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ，N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点.已知AM MN ⊥，且243OA OM b ⋅=.（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POE S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程. 19.已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n N ∈.数列{}n b 满足22*11()n n n n n a a b n N a a +++=∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b *(,)s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q .20.已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.常州市教育学会学业水平监测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵421A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，求：（1）实数a 的值；（2）矩阵A 的特征向量. C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为sin()24πρθ+=直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长.D.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，求证:3322a b ab a b+≥+【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.23.记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯+（2n ≥且*n N ∈）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T .（1）求n S ；（2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数,,a b c 的值； （3）对（2）中的实数,,a b c 用数字归纳法证明：对任意2n ≥且*n N ∈，2n nT an bn cS =++都成立.常州市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、填空题1. {2}-2.真3.14. 25.76.567.39. 10.[2,8] 11.1e 12.34π 13.525[,]84二、解答题15.解：（1sin cos C B c =+sin cos sin sin B C B C C ==，ABC ∆中，sin 0C >cos 1s B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<， 66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11tan tan A C +=cos cos sin sin A C A C +=cos sin sin cos sin sin A C A C A C +sin()sin sin A C A C +=sin()sin sin B A Cπ-=sin sin sin B A C=所以，211sin 1tan tan sin sin B A C B B +====.16.（1）证明：PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ，BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =， 所以BD OP ⊥， 又PCOP P =，PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF 平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .17.解：（1）由题意//AB OM ，则' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =， 小明在地面上的身影'AB 扫过的图形是圆环，其面积为226327πππ⨯-⨯=（平方米）； （2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由(1)知000'12A B AB OB OM ==，所以 000()'f t A B OA ===化简得()f t =010t <≤，()f t =32t =时，()f t 的最答：()f t =010t <≤，当32t =（秒）时，()f t（米）. 18.解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220cx ax b a ++=，解得1x a =-，222ab x c=-所以22M ab x c =-(,0)a ∈-， M A OA OM x x ⋅=22243ab a b c ==，2234c a =，所以2e =；（2）由（1）2(,)33M b --，右准线方程为3x =， 直线MN的方程为y =，所以)P ，12POF P S OF y ∆=⋅2==2AMN AOM S S ∆∆==22M OA y b ⨯==，所以221033b a +=，22033b =，所以b =a = 椭圆C 的标准方程为22182x y +=.19.解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，21(+1)S n n n nS ++-1(2)(1)2(1)n n n S n S n +=+-+++， 即2(1)n n S ++=1(22)(1)2(1)n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列. 又1a a =，则22n a n a =-+.方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n nS S n n+=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-. 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故*22()n a n a n N =-+∈.故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列.（2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<≤+. 考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x-=-=>，所以1y x x =+在(1,)+∞上递增，因此1422(2)n n e e a a <+≤++，从而n b =. 因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n N ∈都有n c ∈，明显0q >.若1q >，当1log q n ≥+有111n n n c c q--=>≥，不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn ≥+有11n n c c q -=≤1n -≤故1q =.20.解：（1）当0a =时，ln ()xf x x=，定义域为(0,)+∞， 312ln '()xf x-=，令'()0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值. （2）312ln '()()axxf x x a +-=+，由题意'()0f x ≥对(0,)x a ∈-恒成立.(0,)x a ∈-，3()0x a ∴+<，∴12ln 0ax x+-≤对(0,)x a ∈-恒成立， ∴2ln a x x x ≤-对(0,)x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，(0,)x a ∈-，则'()2ln 1g x x =+， ①若120a e-<-≤，即120a e->≥-，则'()2ln 10g x x =+<对(0,)x a ∈-恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0,)a -上单调递减，则2()ln()()a a a a ≤----，0ln()a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去； ②若12a e -->，即12a e-<-，令'()2ln 10g x x =+=，得12x e-=，当120x e -<<时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12ex a -<<-时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，12min [()]()g x g e -=111122222ln()2ee ee ----=⋅-=-，122a e -∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，2ln ()(1)x f x x =-，312ln '()(1)x x xf x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，(0,1)x ∈，则'()12(ln 1)h x x =-+2ln 1x =--，令'()0h x =，得12x e -=，①当121e x -≤<时，'()0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，12()(0,21]h x e -∈-，312ln '()0(1)x x x f x x x --∴=<-恒成立，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≤.②当120x e -<≤时，'()0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，11112222()12ln()h e ee e ----∴=--⋅12210e -=->又2222()12ln()h e ee e ----=--⋅2510e =-<， ∴存在唯一120(0,)x e -∈，使得0()0h x =，0'()0f x ∴=，当00x x <<时，0'()0f x >，2ln ()(1)xf x x ∴=-单调递增，当12x x e-<≤时，0'()0f x <，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0,)x 单调递增，在0(,1)x 上单调递减， ∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值.0000()12ln 0h x x x x =--=，0001ln 2x x x -∴=， 0020ln ()(1)x f x x ∴=-200011112(1)2()22x x x ==---，又120(0,2)x e -∈，201112()(,0)222x ∴--∈-，0201()2112()22f x x ∴=<---.常州市教育学会学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21.A.解：记NBC ∆外接圆为O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅，又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN =B.解：（1）由题意4201a =，即420a -=，解得2a =； （2）42021λλ--=--，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得10λ=，25λ=10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C.解：曲线C ：22(1)4x y -+=，直线l ：20x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l的距离为d ==MN ===D.证明：0a >，0b >，不妨设0a b ≥>，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a +≥+，所以51515151222222222222a ab b a b b a a b a b++≥=++22.解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形，ξ的可能取值为：0，3π，2π，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；3πξ=时，有342420⨯+⨯=种；2πξ=时，有246+=种；（1）21(0)2814P ξ===； （2）4165()3287P πξ+===，63()22814P πξ===， 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：根据上表，()0143721484E ξπ=⨯+⨯+⨯=. 23.解：（1）12!n nS n ++⋅⋅⋅+==12(1)!n n +-. （2）2223T S =，23116T S =，4472T S =， 则34221193671692a b c a b c a b c ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩解得14a =，112b =-，16c =-，（3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设n k =（*k N ∈，且2k ≥）时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由1()(1)()2f x x x =+⨯+⨯⋅11()()1x x k k ⋅⋅⨯+⨯++ 1[(1)()2x x =+⨯+⨯11()]()1x x kk ⋅⋅⋅⨯+⨯++ 211()()!1k k S x T x x k k =+++⋅⋅⋅++ 知111k k T S k +=++2111112[1()](1)!14126k k T k k k k +=+---+， 所以11k k T S ++=2111112[1()](1)!14126112!k k k k k k k ++---+=++⎛⎫ ⎪⎝⎭232(1)212k k k k k --+++(35)12k k +=， 又2111(1)(1)4126k k +-+-(35)12k k +=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n N ∈，都有2nnT an bn c S =++成立.。

江苏省常州市数学高三上学期理数期末考试试卷

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江苏省常州市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数则（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·上饶模拟) 已知直线平面，则“直线”是“ ”的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心（，）C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg4. （2分） (2018高三上·凌源期末) “直线的倾斜角大于”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2018高三上·凌源期末) 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高三上·凌源期末) 已知正项等比数列满足，且，则数列的前9项和为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高三上·凌源期末) 记表示不超过的最大整数，如 .执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分） (2018高三上·凌源期末) 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点且倾斜角为的直线与拋物线交于两点，若，垂足分别为，则的面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·凌源期末) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高三上·凌源期末) 已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018高三上·凌源期末) 已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高三上·凌源期末) 已知关于的不等式的解集中只有两个整数，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）在由CCTV﹣3举办的歌唱比赛中，由l2位评委现场给每位歌手打分，然后将去掉其中的一个最高分和一个最低分之后的其余分数的平均数作为该歌手的最后得分．已知12位评委给某位歌手打出的分数是：9.6，9.2，9.4，9.3，9.7，9.6，9.2，9.3，9.2，9.5，9.4，9.5，那么这位歌手的最后得分是________．14. （2分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．15. （1分） (2018高三上·凌源期末) 已知实数满足则的最小值为________．16. （1分） (2018高三上·凌源期末) 已知数列满足，若，则数列的首项的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2015高二上·潮州期末) 已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0及命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a=0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18. （5分）(2020·鄂尔多斯模拟) 中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：方案：由三部分组成（表一）底薪150元工作时间6元/小时行走路程11元/公里方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费；（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：（表二）行走路程（公里）人数510154525（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资（单位：元）与日行走路程（单位：公里）的函数关系（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从，共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自的概率；②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？19. （10分） (2018高三上·凌源期末) 已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.（1）求证: ；（2）若平面，且，求的值.20. （10分） (2018高三上·凌源期末) 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，且 .（1）求椭圆的方程；（2）若点与点关于轴对称，且直线与轴交于点，求面积的最大值.21. （10分） (2018高三上·凌源期末) 已知函数 .（1）求函数的单调增区间；（2）设，若，对任意成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2018高三上·凌源期末) 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若曲线与曲线交于两点，为曲线上的动点，求面积的最大值.23. （10分） (2018高三上·凌源期末) 选修4-5:不等式选讲已知 .（1）求不等式的解集；（2）若，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题(解析版)

2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题(解析版)

2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x =>，则A B =I ______.【答案】{}1,1-求出集合B ，即可得出A B I 【详解】∵集合{}2|0B x x => ∴集合{}|0B x x =≠ ∵集合{}1,0,1A =- ∴{}1,1A B ⋂=- 故答案为：{}1,1-.本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．若复数z 满足1z i i ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的实部为______. 【答案】-1设z a bi =+，再代入已知等式中计算解得a ，b 的值，即可求出z 的实部. 【详解】 设z a bi =+ ∵1z i i ⋅=- ∴()1a bi i i +⋅=- ∴1b ai i -+=- ∴1b =-，1a =- 故答案为：1-.本题考查了复数的运算法则、虚部与实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．下图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是______.【答案】10由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】经过第一次循环得到结果为1S =，3i =此时不满足判断框的条件； 经过第二次循环得到结果为21310S =+=，5i =此时满足判断框的条件. 执行输出S ，即输出10． 故答案为：10.本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题． 4．函数()21x f x =-________．【答案】[)0,+∞由题意得210x -≥，解不等式求出x 的范围后可得函数的定义域． 【详解】由题意得210x -≥， 解得0x ≥，∴函数()f x 的定义域为[)0,+∞． 故答案为[)0,+∞．已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果． 5．已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是______. 【答案】2先求出该组数据的平均值，再根据方差的公式计算即可.【详解】一组数据17，18，19，20，21的平均数为1718192021195x ++++==∴该组数据的方差为：()()()()222221719181902019211925S -+-++-+-==故答案为：2.本题考查方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______. 【答案】710先求出基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率． 【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数()231,01,0x x x x f x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩，则()()8f f =______.【答案】15-先求出()23884f =-=-,则()()()84f f f =-，由此能求出答案.【详解】∵函数()231,01,0x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩∴()23884f =-=- ∴()()()1184415ff f =-==--- 故答案为： 15-.本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈取得最大值时自变量x 的值为______. 【答案】12π令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈，再根据[]0,x π∈，即可确定自变量x 的值. 【详解】 令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈.∵[]0,x π∈ ∴12x π=故答案为：12π.本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______. 【答案】64根据题意设等比数列{}n a 的公比为q ，再根据24a ，32a ，4a 成等差数列结合等比数列的通项公式，即可求出q 的值，从而可求出17a a 的值. 【详解】设等比数列的公比为()0q q ≠. ∵24a ，32a ，4a 成等差数列24344a a a +=∴3211144a q a q a q +=∴∵11a = ∴3244q q q += ∵0q ≠ ∴2q =∴266171264a a a q === 故答案为：64.本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．已知cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=tan2α=______.【答案】-利用诱导公式化简三角函数式求得tan α的值，再利用二倍角的正切公式，求得结果． 【详解】∵sin tan co cos 2cos s πααααα=⎛⎫- ⎪⎝==⎭∴22tan tan 21tan ααα===--故答案为：-.本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若2=OB a ，则C 的离心率为______. 【答案】2求出右顶点A ，以及双曲线的渐近线方程，令x a =，求得B 的坐标，由两点的距离公式和离心率公式，可得所求值． 【详解】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A∴(,0)A a ，且双曲线的渐近线方程为by x a=±根据渐近线方程的对称性，设其中一条渐近线为0bx ay -=. ∵过点A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ∴(,)B a b ∵2=OB a∴2OB c a === ∴2ce a== 故答案为：2.本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为______. 【答案】14由对数的运算性质可得(2)(2)1a b --=，2b >，再把4a b +转化为14(2)102b b +-+-，借助于基本不等式即可求解. 【详解】∵函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b = ∴()()lg 2lg 2a b -=-，即()()lg 2lg 20a b -+-=，且2b >. ∴(2)(2)1a b --= ∴122a b =+-∴114424(2)10101422a b b b b b +=++=+-+≥=--，当且仅当52b =时取等号. ∴4a b +的最小值为14. 故答案为：14.本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦根据题意，求得圆C 的圆心与半径，求出以点()0,1为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则圆C 与圆()2214x y +-=有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】∵圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=∴()()221x a y a -+-=，其圆心(),C a a ，半径1r =.∵点P 到点()0,1的距离为2 ∴P 点的轨迹为:22(1)4x y +-= ∵P 又在22()()1x a y a -+-=上∴圆C 与圆()2214x y +-=有交点，即2121-≤≤+.0a ≤≤或1a ≤≤∴实数a 的取值范围是11,01,22⎡⎤⎡+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦.本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14．在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =u u u r u u u r，且对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立，则cos ABC ∠=______.【答案】51326根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =u u u r u u u r.设2AD t =，则3AC t =.∵AD AB BD -=u u u r u u u r u u u r∴对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=，如图所示. ∵3A π∠=∴24AB AD t ==，323BD AD t == ∴2213BC BD DC t =+=.∴222513cos 226AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯ 故答案为：513.本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应用，属于综合题．二、解答题15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，cos 3B =. （1）若3A π=，求sin C 的值；（2）若b =c 的值.【答案】（1（2）c =（1）在ABC ∆中，sin 0B >，可得sin B =再根据()sin sin sin 3C A B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即可求出sin C ；（2）由余弦定理可得：2222cos b a ac B c =-+，即可推出(03c c ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，从而求得c 的值. 【详解】（1）在ABC ∆中，0B π<<，则sin 0B >，因为cos B =sin 3B ===. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()()()sin sin sin C A B A B π=-+=+，所以sin sin sin cos cos sin 333C B B B πππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭12==（2）由余弦定理得2222cos b a ac B c =-+，则2212c c =-，所以2103c --=，(03c c ⎛+= ⎝⎭，因为03c +>，所以0c =，即c =. 本题主要考查余弦定理，根据条件建立边角关系是解决本题的关键.解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点.求证：（1）//MN 平面PBC ； （2）PC AM ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ，利用三角形的中位线性质可证//EM FN ，EM FN =，可证四边形EMNF 是平行四边形，可证//MN EF ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//MN 平面PBC ；（2）利用线面垂直的性质可证PA CD ⊥，又AD CD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证CD ⊥平面PAD ，可证CD AM ⊥，又证AM PD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面PCD ，进而利用线面垂直的性质可证PC AM ⊥． 【详解】证明：（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ， 三角形PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点，所以//EM CD ，12EM CD =；三角形ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点，所以//FN AB ，12FN AB =，因为四边形ABCD 是矩形，所以//AB CD ，AB CD =， 从而//EM FN ，EM FN =，所以四边形EMNF 是平行四边形.所以//MN EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又因为PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为AP AD =，M 为PD 的中点，所以AM PD ⊥， 又因为PD CD D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD .又PC ⊂平面PCD ，所以PC AM ⊥.本题主要考查了三角形的中位线性质，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆A ：()2221x y -+=上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知132AM AN =-u u u u r u u ur ，求直线1F M 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）34-（1）由题意知a ，c 的值，及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的标准方程； （2）设M ，N 的坐标，设直线AM 的方程，由向量的关系可得A ，M ，N 三点关系，直线AM 与圆联立求出N 的坐标，直线与椭圆联立求出M 的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线1F M 的斜率． 【详解】（1）圆A ：()2221x y -+=的圆心()2,0A ，半径1r =，与x 轴交点坐标为()1,0，()3,0，点2F 在圆A ：()2221x y -+=上，所以()21,0F ，从而2a =，1c =，所以b ===C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题，设点()11,M x y ，102x <<，10y <；点()22,N x y ，20x >，20y >.则()112,AM x y =-u u u u r ，()222,AN x y =-u u u r，由2AM AN =-u u u u r u u ur 知点A ，M ，N 共线.直线AM 的斜率存在，可设为()0k k >，则直线AM 的方程为()2y k x =-，由()()22221y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得221x k y ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，或221x k y ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，所以22211N k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭， 由()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +-+-=，解得20x y =⎧⎨=⎩，或22286341234k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以2228612,3434k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，代入2AM AN =-u u u u r u u u r得2222286122,,3434211k k k k k k ⎫⎛⎫---=-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， ()()224952510kk -+=，又0k >，得32k =，所以31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()11,0F -，可得直线1F M 的斜率为()332114-=---. 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．18．请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为102cm 的正方形硬纸片（如图1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图2中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图2所示），设正四棱锥P EFGH -的底面边长为()x cm .（1）若要求包装盒侧面积S 不小于275cm ，求x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积()3V cm最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的容积.【答案】（1）510x ≤<（2）当8x cm =时，包装盒容积V )31285cm （1）结合已知可建立侧面积关于FG x =的函数关系，然后由侧面积S 不小于275cm ，可建立关于x 的不等式，即可求得x 的取值范围； （2）先利用x 表示出()3V cm 的函数关系，结合导数可求其最大值．【详解】（1）在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP ， 因为ABCD 是边长为102cm 的正方形，所以()10OB cm =，由FG x =，得2x OM =，102xPM BM ==-， 因为PM OM >，即1022x x->，所以010x <<.因为2142102022x S FG PM x x x ⎛⎫=⨯⋅=-=- ⎪⎝⎭， 由22075x x -≥，得515x ≤≤，所以510x ≤<. 答：x 的取值范围是510x ≤<.（2）因为在Rt OMP ∆中，222OM OP PM +=，所以22221022x x OP PM OM ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10010x =- 2111001033V FG OP x x =⋅=-451100103x x =-010x <<，设()4510010x f x x =-，010x <<，所以()()3434005050'8x x x f x x =-=-，令()'0f x =，得8x =或0x =（舍去）. 列表得，x()0,88()8,10()'f x+-()f xZ极大值]所以当8x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值， 所以当8x =时，V 1285. 答：当8x cm =时，包装盒容积V 最大为)312853cm . 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解极值及最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()222123e a e+-<<- （1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e ee e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； ③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e +-<<-.本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20．设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L ，当*n N ∈且m n ≤时，都有n n A B L -≤，则称数列{}n A ，{}n B 是“(),m L 接近的”.已知无穷等比数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且()1112n n n n n S b b b b ++-=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）求证：对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”；（3）给定正整数()5m m ≥，数列1na 禳镲睚镲铪，{}2n b k +（其中k ∈R ）是“(),m L 接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k （均用m 表示）.（参考数据：ln 20.69≈）【答案】（1）12n n a =（2）证明见解析（3）L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==，可求得首项和公比，进而求得通项；（2）只需证明()211n n a a -+≤成立，即可得证；（3）由题设可求得n b n =，根据定义进而得到2222n n L n k L n ≤-+-≤+-对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立，再构造函数求解即可．【详解】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==得211841a q a q ==，解得112a q ==，故12n na =. （2）()2111124n nn na a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22113113224224n n ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对任意正整数m ，当*n N ∈，且m n ≤时，有1110222m n <≤≤， 则211313122444n ⎛⎫-+<+= ⎪⎝⎭，即()211n n a a -+≤成立，故对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”.（3）由()1112n n n n n S b b b b ++-=，得到()1112n n n n n S b b b b ++-=，且1,0n n b b +≠，从而10n n b b +-≠，于是()112n n n n n b b S b b ++=-.当1n =时，()121212b b S b b =-，11b =，解得22b =，当2n ≥时，()()1111122n n n nn n n n n n n b b b b b S S b b b b +--+-=-=---，又0n b ≠，整理得112n n n b b b +-+=，所以11n n n n b b b b +--=-，因此数列{}n b 为等差数列. 又因为11b =，22b =，则数列{}n b 的公差为1，故n b n =. 根据条件，对于给定正整数()5m m ≥，当*n N ∈且m n ≤时，都有()()2212n n nb k n k L a -+=-+≤成立， 即2222n n L n k L n ≤-+-≤+-①对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立.考察函数()22xf x x =-，()'2ln 22x f x x =-，令()2ln 22xg x x =-，则()()2'2ln 22x g x =-，当5x >时，()'0g x >，所以()g x 在[)5,+∞上是增函数.又因为()552ln 2100g =->，所以当5x >时，()0g x >，即()'0f x >，所以()f x 在[)5,+∞上是增函数.注意到()11f =，()()240f f ==，()31f =-，()57f =， 故当1,2,3,n m =⋅⋅⋅时，22n L n -+-的最大值为22m L m -+-，22n L n +-的最小值为1L -.欲使满足①的实数k 存在，必有221mL m L --≤+-，即2212m m L -+≥，因此L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=.本题考查数列与函数的综合运用，考查根据递推关系求数列通项及利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题． 21．已知点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6. （1）写出矩阵A 的逆矩阵；（2）求+a b 的值.【答案】（1）1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（2）2a b += （1）设矩阵A 的逆矩阵为11111a cd b A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，列方程求出A 的逆矩阵；（2）根据题意可得 46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得出146a A b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而求出a ，b 的值和+a b 的值. 【详解】（1）设阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为11111a c d b A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦.∴111111113130240241a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1111232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩∴1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6，所以46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1a =，1b =，得2a b +=.所以1324412616112a A b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 所以1a =，1b =，得2a b +=.本题考查了矩阵的逆矩阵和矩阵变换问题，也考查了计算求解能力，是中档题． 22．求圆心在极轴上，且过极点与点6P π⎛⎫⎪⎝⎭的圆的极坐标方程.【答案】4cos ρθ=设圆的极坐标方程是2cos r ρθ=，根据点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，解得r 的值，从而求得圆的极坐标方程. 【详解】因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2cos r ρθ=.又因为点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，所以2cos6r π=，解得2r =.因此所求圆的极坐标方程是4cos ρθ=.本题主要考查圆的极坐标方程的求法，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23．求函数y =的最小值.【答案】最小值为2.先求出函数y =的定义域，再将函数化简到)14y =+，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数y =的定义域为[)0,+∞10>.21419-+=)1442=+-≥=， 1=，即4x =时取到“=”.所以当4x =时，函数y =的最小值为2.本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.24．批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中优等品的个数. （1）求取出的3个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X . 【答案】（1）6571000（2）详见解析 （1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，()()334310.31000P A =-=，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的3个样品中有优等品的概率；（2）()3,0.3X B :，写出随机变量X 的分布列，即可求得数学期望()E X . 【详解】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，()()334310.31000P A =-=，所以()()3436571110001000P A P A =-=-=，答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000.（2）()3,0.3X B :，()()330.310.3kk k P X k C -==-，0,1,2,3k =，随机变量X 的分布如下表：()3434411892790123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 25．设集合{}1,2A =，{}1110|333,0,1,,2,,n n n n n i A t t a a a a a A i n --==⋅+⋅++⋅+∈=L L 其中，*n N ∈.（1）求1A 中所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数；（2）求证：能将集合()*2,n A n n N≥∈分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,s s B b b b b =L 和{}123,,,,l l C c c c c =L ，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++L L 成立.【答案】（1）1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +（2）证明见解析 （1）根据题意求出1A ，代入即可；（2）利用数学归纳法证明，当2n =时，显然成立，假设2n k =≥，*k N ∈时，结论成立，即2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑，当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ，证明即可. 【详解】（1）{}110|3,,0,1i A t t a a a A i ==⋅+∈=其中{}4,5,7,8=， 所以1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +. （2）取2n s l ==，下面用数学归纳法进行证明. ①当2n =时，{}213,14,16,17,22,23,25,26A =，取113b =，217b =，323b =，425b =，114c =，216c =，322c =，426c =，有1234123478b b b b c c c c +++=+++=，且22222222123412341612b b b bc c c c +++=+++=成立.②假设当n k =，*k N ∈且2k ≥时，结论成立，有2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑成立.当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ， {}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ，此时12k B +，12k C +无公共元素，且11122k k k B C A +++=U .有()()221111323k k k k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()221111323k kk k iii i c b ++===+++⋅∑∑，且()()22221111323kkk k i i i i b c ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323k kkkk k k k k i i i i i i i i b c b c ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，()()22221111323kkk k i i i i c b ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323k kkkk k k k k i i i i i i i i c b c b ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，由归纳假设知2121kki i i i b c ===∑∑，且212221kkii i i b c ===∑∑，所以()()()()2222222211111111323323kkkkk k k k i i i i i i i i b c c b ++++====+++⋅=+++⋅∑∑∑∑，即当1n k =+时也成立；综上可得：能将集合n A ，2n ≥分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,s s B b b b b =L 和{}123,,,,l l C c c c c =L ，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++L L 成立. 本题主要考查数学归纳法的应用，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是：（1）验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。

【精选高中试题】江苏省常州市高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

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常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考公式：圆锥的体积公式：1=3V Sh 圆锥，其中S 是圆锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.若集合{2,0,1}A =-，2{1}B x x =>，则集合AB = ▲ .2命题“[0,1]x ∃∈，210x -≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）. 3.若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z = ▲ .4.若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲.6.函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1，2，⋅⋅⋅，6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ .7.已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ .8.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ .9.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10x y ++=与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ .10.已知实数x ，y 满足0,220,240,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则x y +的取值范围是 ▲ .11.已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ .12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ，B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲.13.在ABC ∆中，5AB =， 7AC =，3BC =，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足1()4BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为 ▲ ． 14.已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，Csin cos +C c B c =， （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值. 16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.（1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和的AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：//QF BC . 17.已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作'AB .（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求'AB 扫过的图形面积； （2）若3OA =米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，13OAA π∠=，且110AA =米.t 秒时，小明在地面上的影子长度记为()f t （单位:米），求()f t 的表达式与最小值.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ，N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点.已知AM MN ⊥，且243OA OM b ⋅=.（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POE S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程. 19.已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n N ∈.数列{}n b满足*)n b n N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b *(,)s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q . 20.已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.常州市教育学会学业水平监测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值.B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵421A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，求： （1）实数a 的值；（2）矩阵A 的特征向量. C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长. D.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，求证:3322a b a b+≥+【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.23.记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯+（2n ≥且*n N ∈）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T . （1）求n S ； （2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数,,a b c 的值； （3）对（2）中的实数,,a b c 用数字归纳法证明：对任意2n ≥且*n N ∈，2nnT an bn c S =++都成立.常州市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、填空题1. {2}-2.真3.14. 25.76.567.310.[2,8] 11.1e 12.34π 13.525[,]84二、解答题15.解：（1sin cos C B c =+sin cos sin sin B C B C C ==，ABC ∆中，sin 0C >cos 1s B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<， 66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11tan tan A C +=cos cos sin sin A C A C +=cos sin sin cos sin sin A C A C A C +sin()sin sin A C A C +=sin()sin sin B A Cπ-=sin sin sin B A C=所以，211sin 1tan tan sin sin 32B AC B B +====.16.（1）证明：PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ，BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =， 所以BD OP ⊥， 又PCOP P =，PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .17.解：（1）由题意//AB OM ，则' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影'AB 扫过的图形是圆环，其面积为226327πππ⨯-⨯=（平方米）； （2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由(1)知000'12A B AB OB OM ==，所以 000()'f t A B OA ===化简得()f t =010t <≤，()f t =32t =时，()f t的最小值为答：()f t =010t <≤，当32t =（秒）时，()f t. 18.解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得1x a =-，222ab x c =-所以22M ab x c =-(,0)a ∈-， M A OA OM x x ⋅=22243ab a b c ==，2234c a =，所以2e =；（2）由（1）2(,)33M b --，右准线方程为3x =， 直线MN的方程为y =，所以(,)33P ， 12POF P S OF y ∆=⋅2==2AMN AOM S S ∆∆==22M OA y b ⨯==，所以22103a +=2203b =，所以b =a =椭圆C 的标准方程为22182x y +=.19.解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，21(+1)S n n n nS ++-1(2)(1)2(1)n n n S n S n +=+-+++， 即2(1)n n S ++=1(22)(1)2(1)n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列. 又1a a =，则22n a n a =-+.方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n nS S n n+=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列，因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-. 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故*22()n a n a n N =-+∈.故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列. （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<≤+. 考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x -=-=>，所以1y x x =+在(1,)+∞上递增，因此1422(2)n n e e a a <+≤++，从而n b =∈. 因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n N ∈都有n c ∈，明显0q >.若1q >，当1log q n ≥+有111n n n c c q--=>≥，不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn ≥+有11n n c c q -=≤1n -≤故1q =.20.解：（1）当0a =时，ln ()xf x x=，定义域为(0,)+∞， 312ln '()xf x-=，令'()0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值. （2）312ln '()()axxf x x a +-=+，由题意'()0f x ≥对(0,)x a ∈-恒成立. (0,)x a ∈-，3()0x a ∴+<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0,)x a ∈-恒成立， ∴2ln a x x x ≤-对(0,)x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，(0,)x a ∈-，则'()2ln 1g x x =+， ①若120a e-<-≤，即120a e->≥-，则'()2ln 10g x x =+<对(0,)x a ∈-恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0,)a -上单调递减，则2()ln()()a a a a ≤----，0ln()a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去； ②若12a e -->，即12a e-<-，令'()2ln 10g x x =+=，得12x e-=，当120x e -<<时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12ex a -<<-时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，12min [()]()g x g e -=111122222ln()2ee ee ----=⋅-=-，122a e-∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，2ln ()(1)x f x x =-，312ln '()(1)x x xf x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，(0,1)x ∈，则'()12(ln 1)h x x =-+2ln 1x =--，令'()0h x =，得12x e -=， ①当121ex -≤<时，'()0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，12()(0,21]h x e -∈-， 312ln '()0(1)x x x f x x x --∴=<-恒成立，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≤. ②当120x e -<≤时，'()0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，11112222()12ln()h e ee e ----∴=--⋅12210e-=->又2222()12ln()h e ee e ----=--⋅2510e=-<， ∴存在唯一12(0,)x e -∈，使得0()0h x =，0'()0f x ∴=，当00x x <<时，0'()0f x >，2ln ()(1)xf x x ∴=-单调递增，当12x x e-<≤时，0'()0f x <，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0,)x 单调递增，在0(,1)x 上单调递减， ∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值.0000()12ln 0h x x x x =--=，0001ln 2x x x -∴=， 0020ln ()(1)x f x x ∴=-200011112(1)2()22x x x ==---，又120(0,2)x e -∈，201112()(,0)222x ∴--∈-，0201()2112()22f x x ∴=<---.常州市教育学会学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21.A.解：记NBC ∆外接圆为O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN =. B.解：（1）由题意4201a =，即420a -=，解得2a =； （2）42021λλ--=--，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得10λ=，25λ=10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C.解：曲线C ：22(1)4x y -+=，直线l ：20x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为2d ==MN ===D.证明：0a >，0b >，不妨设0a b ≥>，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a +≥+，所以51515151222222222222a ab b a b b a a b a b++≥=++22.解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形，ξ的可能取值为：0，3π，2π，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；3πξ=时，有342420⨯+⨯=种；2πξ=时，有246+=种；（1）21(0)2814P ξ===； （2）4165()3287P πξ+===，63()22814P πξ===， 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：根据上表，15329()0143721484E ππξπ=⨯+⨯+⨯=. 23.解：（1）12!n nS n ++⋅⋅⋅+==12(1)!n n +-. （2）2223T S =，23116T S =，4472T S =， 则34221193671692a b c a b c a b c ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩解得14a =，112b =-，16c =-，（3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设n k =（*k N ∈，且2k ≥）时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由1()(1)()2f x x x =+⨯+⨯⋅11()()1x x k k ⋅⋅⨯+⨯++ 1[(1)()2x x =+⨯+⨯11()]()1x x kk ⋅⋅⋅⨯+⨯++ 211()()!1k k S x T x x k k =+++⋅⋅⋅++ 知111k k T S k +=++2111112[1()](1)!14126k k T k k k k +=+---+， 所以11k k T S ++=2111112[1()](1)!14126112!k k k k k k k ++---+=++⎛⎫ ⎪⎝⎭232(1)212k k k k k --+++(35)12k k +=， 又2111(1)(1)4126k k +-+-(35)12k k +=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n N ∈，都有2nnT an bn c S =++成立.。

2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题含解析

2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题含解析

2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-3．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -4．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1206．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 7．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．78．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+11．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．212．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江苏省常州市教育学会高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省常州市教育学会高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省常州市教育学会高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ＝0}，B ＝{x |lnx ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，1]B ．[0，1）C ．（﹣∞，1]D ．[0，1]2．在复平面内，复数z =−12+√32i 对应的向量为OA →，复数z +1对应的向量为OB →，那么向量AB →对应的复数是（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3iD ．−√3i3．已知实数a ，b 满足等式lga ＝lnb ，下列三个关系式中可能成立的个数为（ ） ①a ＜b ＜1；②1＜a ＜b ；③a ＝b ． A ．0B ．1C ．2D ．34．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是（ ） A ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的充分条件D ．“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件5．已知扇形AOB 的半径为5，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA →=（5，0），OB →=（4，3），弧AB 的中点为C ，则OC →=（ ）A ．(92，32)B ．(3√102，√102)C ．（4，2）D ．(2√5，√5)6．已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A 到平面PBC 的距离是（ ） A ．3√2B ．√6C ．3D ．3√327．已知定义在R 上的函数f （x ）的导数为f ′（x ），f （1）＝e ，且对任意的x 满足f '（x ）﹣f （x ）＜e x ，则不等式f （x ）＞xe x 的解集是（ ）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1+d2＝（）A．2B．4C．6D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符三合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n（n≥4），其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k+1（k＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有（）A．极差B．平均数C．中位数D．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ（单位：℃）与时间t（单位：h）近似地满足函数关系θ＝A sinωt+B（A＞0，B＞0，0＜ω＜12），其中0≤t≤24．已知当天开始计时（t＝0）时的温度为25℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19℃，则（）A．ω=π12B．当天下午3：00温度最高C．温度为28℃是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22℃11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动（包括端点），下列说法正确的有（）A．存在点P，使得CP⊥平面A1DBB．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°C．PC+PD的最小值为2√3D．以P为球心，P A为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是2√2 3π12．关于函数f(x)=2x+1√x+1，下列说法正确的有（）A．函数f（x）的图象关于点(−12，0)对称B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则t=√5D．若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线的标准方程为x2k−4+y2k−5=1，则该双曲线的焦距是．14．已知函数f（x）={−a−x2+3x，x＜0，|log3x|−2，x＞0，若f[f(13)]=a，则实数a的值为．15．如图，以等腰直角三角形BA0A1的直角边BA1为斜边，在△BA0A1外侧作等腰直角三角形BA1A2，以边BA0的中点O1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A0A1；再以等腰直角三角形BA1A2的直角边BA2为斜边，在△BA1A2外侧作等腰直角三角形BA2A3，以边BA的中点O2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A1A2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i﹣1A1的直角顶点A i首次落到线段BA0上，作出相应的圆弧后结束．若BA0＝4，则i＝，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角α﹣1﹣β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2+cn+c，c∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，2a m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N（6，σ2），其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．（1）求σ；（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布X～N（μ，σ2）来说，通过Z=X1−μσ转化为标准正态分布Z～N（0，1），从而查标准正态分布表得到P（X＜X1）＝Φ（Z）．可供查阅的（部分）标准正态分布表Φ（Z）19．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高为h ，已知B =π3．（1）若b =√3h ，求ca的值；（2）若c ﹣a ＝h ，求sin A −√3cos A 的值．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ＝AD ，PD ＝2√3，M 是AB 的中点，N 是线段PC 上一点，且MN ∥平面P AD ，MN ⊥PC ． （1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）求平面MNC 与平面PBD 所成的二面角的正弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝me x +cos x +n ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ． （1）讨论函数f （x ）在[﹣π，+∞）上的单调性；（2）当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥3sin x ﹣ax 恒成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，P （2a ，0）．（1）若点A ，B 关于原点对称，且F A ⊥FB ，求e 的取值范围；（2）若点A ，B 关于x 轴对称，直线P A 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知e =12，求OM →⋅ON →的取值范围．2023-2024学年江苏省常州市教育学会高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ＝0}，B ＝{x |lnx ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，1]B ．[0，1）C ．（﹣∞，1]D ．[0，1]解：由A 中方程变形得：x （x ﹣1）＝0，解得：x ＝0或x ＝1，即A ＝{0，1}， 由B 中不等式变形得：lnx ＜0＝ln 1，即0＜x ＜1， ∴B ＝（0，1），则A ∪B ＝[0，1]， 故选：D ．2．在复平面内，复数z =−12+√32i 对应的向量为OA →，复数z +1对应的向量为OB →，那么向量AB →对应的复数是（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3iD ．−√3i解：复数z =−12+√32i 对应的向量OA →=（−12，√32），复数z +1=12+√32i 对应的向量OB →=（12，√32），向量AB →=OB →−OA →=（1，0）对应的复数是1． 故选：A ．3．已知实数a ，b 满足等式lga ＝lnb ，下列三个关系式中可能成立的个数为（ ） ①a ＜b ＜1；②1＜a ＜b ；③a ＝b ． A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一个坐标系中画出函数y ＝lgx 与y ＝lnx 的图象，如图所示：由图象可知，当lga ＝lnb ＞0时，a ＞b ＞1， 当lga ＝lnb ＝0时，a ＝b ＝1， 当lga ＝lnb ＜0时，0＜a ＜b ＜1， 所以可能成立的是①③． 故选：C ．4．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是（ ） A ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的充分条件 D ．“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件解：A ，c ＝0时不成立， B ，a ＝b 能推出ac 2＝bc 2，正确， C ，c ＝0时不成立， D ，c ＝0时不成立． 故选：B ．5．已知扇形AOB 的半径为5，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA →=（5，0），OB →=（4，3），弧AB 的中点为C ，则OC →=（ ）A ．(92，32)B ．(3√102，√102)C ．（4，2）D ．(2√5，√5)解：因为OA →=(5，0)，OB →=(4，3)，所以A （5，0），B （4，3）， 所以cos ∠BOA =OA →⋅OB→|OA →||OB →|=45，令∠BOA ＝θ， 因为C 是弧AB 的中点，所以∠COA =θ2，又因为点C 在第一象限，所以cos θ2＞0，sin θ2＞0，所以cos 2θ2=1+cosθ2=910，cos θ2=3√1010， sin 2θ2=1−cosθ2=110，sin θ2=√1010， 令C （x ，y ），则{cos θ2=x 5=3√1010sin θ2=y 5=√1010， 所以C(3√102，√102)，即OC →=(3√102，√102)．故选：B ．6．已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A 到平面PBC 的距离是（ ） A ．3√2B ．√6C ．3D ．3√32解：如图所示，设正三角形ABC 的中心为E ， 连接PE ，AE ，延长AE 交BC 于点F ，则PE ⊥平面ABC ，且F 为BC 中点，连接PF ，则易得BC ⊥平面P AF ， 从而可得平面PBC ⊥平面P AF ，在平面P AF 内过A 作AH ⊥PF 于点H ， 则AH ⊥平面PBC ，故AH 即为所求，设底面正三角形的边长为a ，则BF ＝CF =a2，AF =√32a ，AE =√33a ，又P A ＝3，∴PE =√9−a 23，PF =√9−a 24， ∴正三棱锥P ﹣ABC 的体积为：V =13×12×a 2×√32×√9−a 23=a 212×√27−a 2=16√a 22⋅a 22⋅(27−a 2)≤16√[a 22+a 22+(27−a 2)3]3=92，当且仅当a 22=27−a 2，即a 2＝18时，等号成立，此时AH=AF×PEPF=√32a×√9−a23√9−a24=√a2(27−a2)√36−a2=√18×(27−18)√36−18=3，∴当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC的距离是3．故选：C．7．已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）＝e，且对任意的x满足f'（x）﹣f（x）＜e x，则不等式f（x）＞xe x的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）解：令g（x）=f(x)e x−x，g′（x）=f′(x)e x−e x f(x)(e x)2−1=f′(x)−f(x)−e xe x，因为对任意的x满足f'（x）﹣f（x）＜e x，所以g′（x）=f′(x)−f(x)−e xe x＜0，所以g（x）在R上单调递减，又f（1）＝e，所以g（1）=f(1)e−1＝0，不等式f（x）＞xe x等价于g（x）＞0，即g（x）＞g（1），所以x＜1．故选：A．8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1+d2＝（）A．2B．4C．6D．8解：设|AH|＝2a，以AH的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（a，0），C（4+a，0），直线l：x＝﹣a，以A为焦点的抛物线的方程为y2＝4ax，点P，Q既在圆C上，又在抛物线上，联立{y2=4ax(x−4−a)2+y2=16，可得x2﹣（8﹣2a）x+（4+a）2﹣16＝0，则x P+x Q＝8﹣2a，又d1+d2＝x P+x Q+2a＝8﹣2a+2a＝8．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符三合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n（n≥4），其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k+1（k＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有（）A．极差B．平均数C．中位数D．标准差解：一组样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4），其中x1＜0＜x n，不妨设极差为x m﹣x k，则由y k＝2x k+1（k＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1、y2、⋯、y n的极差为y m﹣y k＝2（x m﹣x k），因为x1≠x n，所以y m﹣y k≠x m﹣x k，选项A错误；对于B，设样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4）的平均数为x，即x=1n（x1+x2+...+x n），故样本数据y1、y2、⋯、y n的平均数为：y=1n（y1+y2+...+y n）=1n[（2x1+1）+（2x2+1）+...+（2x n+1）]=2n（x1+x2+...+x n）+n＝2x+1，由y=2x+1=x知，根据平均数的定义得：当x=−1时，两组样本数据的平均数相等，选项B正确；对于C，当n＝2m﹣1（m∈N*）时，样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4）的中位数为x m，由中位数的性质得：样本数据y1、y2、⋯、y n的中位数为y m＝2x m+1，同理可知当x m＝﹣1时，中位数相等，当n＝2m（m∈N*）时，样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4）的中位数为x m+x m+12，由中位数的性质得：样本数据y1、y2、⋯、y n的中位数为：y m +y m+12=(2x m +1)+(2x m+1+1)2=2×x m +x m+12+1， 同理可知当x m +x m+12=−1时，两组数据的中位数相等，选项C 正确；对于D ：设样本数据x 1、x 2、⋯、x n （n ≥4）的标准差为s x ， 由方差和标准差的性质得：样本数据y 1、y 2、⋯、y n 的标准差为s y ， 则：s y ＝4s x ，∵x 1＜0＜x n ，∴s y ≠0，s x ≠0， ∴两组样本数据的标准差不可能相等，故D 错误． 所以选BC ．10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ（单位：℃）与时间t （单位：h ）近似地满足函数关系θ＝A sin ωt +B （A ＞0，B ＞0，0＜ω＜12），其中0≤t ≤24．已知当天开始计时（t ＝0）时的温度为25℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19℃，则（ ） A ．ω=π12B ．当天下午3：00温度最高C ．温度为28℃是当天晚上7：00D ．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22℃ 解：由题意知，T ＝24，所以ω=2πT =π12，选项A 正确； t ＝0时，对应上午9点，θ＝B ＝25；凌晨3点，对应t ＝﹣6，θ＝﹣A +B ＝19，解得A ＝6，B ＝25； 所以下午3点，对应t ＝6，θ取得最大值为θ＝A +B ； 即当天下午3：00温度最高，选项B 正确；所以θ＝6sin （π12t ）+25；令θ＝28，得sin （π12t ）=12，解得π12t =π6或5π6，所以t ＝2或10，t ＝2时，对应为上午11点，t ＝10时，对应为晚上7点，选项C 错误； 令θ≤22，得sin （π12t ）≤−12，解得−5π6+2k π≤π12t ≤−π6+2k π，k ∈Z ；所以﹣10+24k ≤t ≤﹣2+24k ，k ∈Z ，k ＝0时，得﹣10≤t ≤﹣2，对应时间为当天晚上23：00到第二天清晨7：00，选项D 正确． 故选：ABD ．11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ）A ．存在点P ，使得CP ⊥平面A 1DBB ．不存在点P ，使得直线C 1P 与平面A 1DB 所成的角为30°C ．PC +PD 的最小值为2√3D ．以P 为球心，P A 为半径的球体积最小时，被正方形ADD 1A 1截得的弧长是2√23π解：由题，建立如图所示的空间直角坐标系，BP →=λBD 1→，则P （2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），对于A ，AC 1⊥面A 1BD ，AC 1→=(−2，2，2)是平面A 1BD 一个法向量，假设CP ⊥面A 1DB ，则CP →=(2−2λ，−2λ，2λ)与（﹣2，2，2）共线矛盾，假设不成立，故A 错；对于B ，若存在P ，C 1P 与A 1DB 所成角为30°，则∠AC 1P =60°，〈C 1A →，C 1P →〉=60°，∴12=C 1A →⋅C 1P→|C 1A →||C 1P →|=2√3√(2−2λ)2+4λ2+(2λ−2)2λ=−4+√21610＞1不满足条件， 假设不成立，故B 对； 对于C，PC +PD =√(2−2λ)2+(−2λ)2+(2λ)2+√(2−2λ)2+(2−2λ)2+(2λ)2=2√3(√(λ−13)2+29+√(λ−23)2+29)．√(λ−13)2+29+√(λ−23)2+29表示P （λ，0）与E(23，√23)，F(13，−√23)距离之和，PE +PF ≥qEF =1，PC +PD ≥2√3，C 对；对于D ，PA =√(−2λ)2+(2−2λ)2+(2λ)2=√12λ2−8λ+4，λ=13时P A 最小，P(43，43，23)，PA =2√63，N(43，0，23)， 球与面ADD 1A 1交于Q ，Q 在以N 为圆心，2√23为半径的圆上， 在正方形ADD 1A 1内轨迹为半圆，长度=12⋅2π⋅2√23π=2√23π，故D 对．故选：BCD ． 12．关于函数f(x)=2x+1√x +1，下列说法正确的有（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−12，0)对称B ．函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减C ．若方程f （x ）＝t 恰有一个实数根，则t =√5D ．若∀x ∈R ，都有f （x ）＞m ，则m ≤﹣2 解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，函数f(x)=2x+1√x +1，f （﹣1﹣x ）=−1−2x√x +2x+2，f （x ）≠﹣f （﹣1﹣x ）， 则f （x ）的图象不关于点（−12，0）对称，A 错误；对于B ，f ′（x ）=2√x 2+1−(2x+1)2x 2√x +1x 2+1=2(x 2+1)−x(2x+1)(x +1)√x +1=2−x(x +1)(√x +1)，在区间（﹣∞，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 在区间（2，+∞）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，B 正确； 对于C ，f(x)=2x+1√x +1=0，解可得x =−12，当t ＝0时，方程f （x ）＝t 恰有一个实数根，C 错误； 对于D ，当x ＞−12时，f （x ）＞0，当x ＜−12时，f （x ）＜0，此时f （x ）=2√x 2+x 4+14√x 2+1，又由x 2+1﹣（x 2+x 4+14）=3−x4＞0，则f （x ）=2√x 2+x 4+14√x +1−2，则有f （x ）＞﹣2，故若∀x ∈R ，都有f （x ）＞m ，则m ≤﹣2，D 正确． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知双曲线的标准方程为x 2k−4+y 2k−5=1，则该双曲线的焦距是 2 ． 解：∵双曲线的标准方程为x 2k−4+y 2k−5=1，又k ﹣4＞k ﹣5，∴双曲线的标准方程为：x 2k−4−y 25−k=1，可得a 2＝k ﹣4，b 2＝5﹣k ． ∴c 2＝a 2+b 2＝1．故该双曲线的焦距是2c ＝2． 故答案为：2．14．已知函数f （x ）={−a −x 2+3x ，x ＜0，|log 3x|−2，x ＞0，若f[f(13)]=a ，则实数a 的值为 ﹣2 ．解：∵函数f （x ）={−a −x 2+3x ，x ＜0|log 3x|−2，x ＞0，∴f （13）＝|log 313|﹣2＝1﹣2＝﹣1，∴f [f （13）]＝f （﹣1）＝﹣a ﹣1﹣3＝a ，解得a ＝﹣2．故答案为：﹣2．15．如图，以等腰直角三角形BA 0A 1的直角边BA 1为斜边，在△BA 0A 1外侧作等腰直角三角形BA 1A 2，以边BA 0的中点O 1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 0A 1；再以等腰直角三角形BA 1A 2的直角边BA 2为斜边，在△BA 1A 2外侧作等腰直角三角形BA 2A 3，以边BA 的中点O 2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 1A 2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i ﹣1A 1的直角顶点A i 首次落到线段BA 0上，作出相应的圆弧后结束．若BA 0＝4，则i ＝ 8 ，所有圆弧的总长度为7(2+√2)16π ．解：根据题意，每进行一次操作，线段BA i 以B 为圆心，逆时针方向旋转45°， 又由360°＝45°×8，故第8次操作后，直角三角形BA i ﹣1A 1的直角顶点A i 首次落到线段BA 0上，故i ＝8， 8次操作中，设第n 次操作得到的弧的弧长为a n （1≤n ≤8）， 第一次操作时，圆弧的半径为2，易得a 1=90×π×2180=π， 以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的√22，则弧长变为上一次操作的√22，故数列{a n}是首项为π，公比为√22的等比数列，故圆弧的总长度l＝a1+a2+……+a8=a1(1−q8)1−q=7(2+√2)16π．故答案为：8；7(2+√2)16π．16．已知二面角α﹣1﹣β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是2√6±√28．解：如图，过l上一点Q作QE⊥l交m于点E，QF⊥l交n于点F，设PQ=√3x，∴QE＝x，QF=√3x，EF=√x2+(√3x)2−2x⋅√3x⋅12=√4x2−√3x2，cos∠EPF=4x 2+6x2−4x2+√3x22⋅2x⋅6x=2√6+√28，如图，设PQ=√3x，∴QF=√3x，PF=√6x，QE＝x，PE＝2x，∠EQF＝120°，EF=√x2+3x2−2⋅x⋅√3x⋅(−12)=√4x2+√3x2，cos∠EPF=4x 2+6x2−4x2−√3x22⋅2x⋅√6x=6−√34√6=2√6−√28，故答案为：2√6±√28．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2+cn+c，c∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，2a m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．解：（1）因为S n＝n2+cn+c，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+cn+c﹣（n﹣1）2﹣c（n﹣1）﹣c＝2n+c﹣1，当n＝1时，a1＝1+2c符合上式，所以1+c＝1+2c，即c＝0，故a n＝2n+c﹣1＝2n﹣1；（2）由（1）得，a m＝2m﹣1，令0＜2n﹣1≤22m﹣1，则1≤n≤1+22m−12=22m﹣2+12，则1≤n≤22m﹣2，所以b m＝22m﹣2，即b n＝4n﹣1．18．（12分）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N（6，σ2），其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．（1）求σ；（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布X～N（μ，σ2）来说，通过Z=X1−μσ转化为标准正态分布Z～N（0，1），从而查标准正态分布表得到P（X＜X1）＝Φ（Z）．可供查阅的（部分）标准正态分布表Φ（Z）解：（1）因为1145000=0.0228，所以P（X≥6.04）＝1﹣P（X＜6.04）＝1﹣Φ（6.04−6σ）＝0.0228，所以Φ（6.04−6σ）＝0.9772，所以6.04−6σ=2，解得σ＝0.02；（2）因为P（5.95＜X＜6.05）＝P（X＜6.05）﹣[1﹣P（X＞5.95）]＝P（X＜6.05）+P（X＞5.95）﹣1＝Φ（6.05−60.02）+Φ（6−5.950.02）﹣1＝2Φ（2.5）﹣1＝2×0.9938﹣1＝0.9876，且5000×（1﹣0.9876）＝62，所以这批金属棒中不合格的金属棒约有62根．19．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC边上的高为h，已知B=π3．（1）若b=√3h，求ca的值；（2）若c﹣a＝h，求sin A−√3cos A的值．解：（1）由等面积法得12acsin60°=12bℎ，且b=√3ℎ，从而b2=32ac①，又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，b2＝a2+c2﹣ac②，由①，②可得a2+c2−52ac=0，所以a＝2c或a=12c，即ca=2或12；（2）sinA−√3cosA=2(12sinA−√32cosA)=2sin(A−π3)．令A−π3=t，则A=π3+t，C=2π3−A=π3−t．由12acsin60°=12bℎ得ℎ=√3ac2b，而c﹣a＝h，则c−a=√3ac2b，由正弦定理得（2R sin C﹣2R sin A）•2•2R sin B=√3•2R sin A•2R sin C，所以有sin C﹣sin A＝sin C•sin A．所以有sin(π3−t)−sin(π3+t)=sin(π3−t)sin(π3+t)，所以−2cos π3sint=sin2π3cos2t−cos2π3sin2t，即−sint=34cos2t−14sin2t，所以4sin2t﹣4sin t﹣3＝0，所以sint=−12或sint=32（舍）．所以sinA−√3cosA=2sint=−1．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，P A＝AD，PD＝2√3，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面P AD，MN⊥PC．（1）求证：CD⊥平面P AD；（2）求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．（1）证明：过点N作NG∥CD，交PD于点G，连接AG，MN，则A，M，N，G四点共面，因为MN∥平面P AD，MN⊂平面AMNG，平面AMNG∩平面P AD＝AG，所以MN∥AG，又NG∥CD∥AM，所以四边形AMNG是平行四边形，所以NG＝AB=12 CD，所以N，G分别是PC，PD的中点，因为P A＝AD，所以AG⊥PD，因为MN∥AG，MN⊥PC，所以AG⊥PC，又PD∩PC＝P，PD、PC⊂平面PCD，所以AG⊥平面PCD，因为CD⊂平面PCD，所以AG⊥CD，因为AD⊥CD，且AG∩AD＝A，AG、AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD．（2）解：由（1）知CD⊥平面P AD，故以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x ，y 轴，作Dz ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，过点P 作PQ ⊥AD 于点Q ， 因为P A ＝AD ＝2，PD ＝2√3， 所以∠P AD ＝120°，在Rt △P AQ 中，∠P AQ ＝180°﹣∠P AD ＝60°，P A ＝2， 所以PQ =√3，AQ ＝1，所以P （3，0，√3），B （2，2，0），C （0，2，0），D （0，0，0），M （2，1，0），N （32，1，√32），所以MN →=（−12，0，√32），CM →=（2，﹣1，0），DB →=（2，2，0），DP →=（3，0，√3），设平面MNC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅MN →=−12x +√32z =0m →⋅CM →=2x −y =0， 取z ＝1，则x =√3，y ＝2√3，所以m →=（√3，2√3，1），设平面PBD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅DB →=2a +2b =0n →⋅DP →=3a +√3c =0，取a ＝﹣1，则b ＝1，c =√3，所以n →=（﹣1，1，√3）， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−√3+2√3+√33+12+1×√5=√1510，故平面MNC 与平面PBD 所成的二面角的正弦值为√1−(1510)2=√8510．21．（12分）已知函数f （x ）＝me x +cos x +n ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ． （1）讨论函数f （x ）在[﹣π，+∞）上的单调性；（2）当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥3sin x ﹣ax 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为f ′（x ）＝me x ﹣sin x ， 所以f ′（0）＝m ﹣1， 又f （0）＝1+m +n ＝0， 所以m ＝1，n ＝﹣2， 所以f （x ）＝e x +cos x ﹣2， 所以f ′（x ）＝e x ﹣sin x ， 当﹣π≤x ≤0时，e x ＞0，sin x ≤0， 所以f ′（x ）＝e x ﹣sin x ＞0，当x ＞0时，e x ＞1，sin x ≤1， 所以f ′（x ）＝e x ﹣sin x ＞0，所以f ′（x ）在[﹣π，+∞）上恒成立， 所以f （x ）在[﹣π，+∞）上单调递增．（2）“当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥3sin x ﹣ax 恒成立” 等价于“e x ﹣3sin x +cos x ﹣2+ax ≥0在[0，+∞）上恒成立”， 设g （x ）＝e x ﹣3sin x +cos x ﹣2+ax ，x ∈[0，+∞）， 则g ′（x ）＝e x ﹣3cos x ﹣sin x +a ，设h （x ）＝g ′（x ），则h ′（x ）＝e x +3sin x ﹣cos x ， 当x ∈[0，π）时，由于sin x ≥0，e x ≥1，cos x ≤1， 所以h ′（x ）≥0，当x ∈[π，+∞）时，由于e x ≥e π＞23＝8，3sin x ﹣cos x ≥−√10， 所以h ′（x ）＞0，综上所述，h （x ）＝g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g ′（0）＝a ﹣2，若a ≥2，则g ′（x ）≥g ′（0）≥0， 所以g （x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g （0）＝0，符合题意， 若a ＜2，则g ′（0）＜0，所以必存在正实数x 0满足g ′（x 0）＝0，所以g （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， 又g （0）＝0，所以g （x 0）＜0，不符合题意， 所以实数a 的取值范围为[2，+∞）．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，P （2a ，0）．（1）若点A ，B 关于原点对称，且F A ⊥FB ，求e 的取值范围；（2）若点A ，B 关于x 轴对称，直线P A 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知e =12，求OM →⋅ON →的取值范围．解：（1）设A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），F （﹣c ，0）（c ＞0）， 所以FA →=（x 0+c ，y 0），FB →=（﹣x 0+c ，﹣y 0），由F A ⊥FB 可得FA →•FB →=c 2−x 02−y 02=0，点A （x 0，y 0）在椭圆C 上可得x 02a 2+y 02b 2=1，两式联立后消去y 0，可得x 02=a 2(b 2−c 2)b 2−a 2， 由于0≤x 02＜a 2，则{ a 2(b 2−c 2)b 2−a 2≥0a 2(b 2−c 2)b 2−a2＜a 2，化简得{b 2−c 2≤0a 2−c 2＞0，解得√22≤e ＜1， 所以e 的取值范围[√22，1）．（2）由题意可得直线P A 的斜率存在， 所以设直线P A 的方程y ＝k （x ﹣2a ）， 由e =12得a ＝2c ，所以b =√a 2−c 2=√3c ，所以直线P A 的方程为y ＝k （x ﹣4c ）， 设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （x 1，﹣y 1）， 所以直线BD 的方程为y ﹣y 2=y 2+y 1x 2−x 1（x ﹣x 2）， 令y ＝0，则x ＝x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1=x 2y 1+x 1y 2y 2+y 1=x 2k(x 1−4c)+x 1k(x 2−4c)k(x 1−4c)+k(x 2−4c)=2x 1x 2−4c(x 1+x 2)x 1+x 2−8c，由{y =k(x −4c)x 24c 2+y 23c 2=1，得（3+4k 2）x 2﹣32ck 2x +64k 2c 2﹣12c 2＝0， 所以{ Δ=(−32ck 2)2−4(3+4k 2)(64k 2c 2−12c 2)＞0x 1+x 2=32ck23+4k 2x 1x 2=64k 2c 2−12c 23+4k2，所以x =2x 1x 2−4c(x 1+x 2)x 1+x 2−8c=2×64k2c 2−12c 23+4k 2−4c×32ck23+4k232ck23+4k2−8c =c ，所以c ＝1，第21页（共21页） 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，若直线MN 与x 轴重合，则OM →•ON →=（2，0）•（﹣2，0）＝﹣4，若直线MN 与x 轴不重合，设直线MN 的方程为x ＝my +1，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 则OM →•ON →=x 3x 4+y 3y 4＝（my 3+1）（my 4+1）+y 3y 4＝（m 2+1）y 3y 4+m （y 3+y 4）+1， 由{x =my +13x 2+4y 2=12，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 所以{ Δ=(6m)2−4(4+3m 2)⋅(−9)＞0y 3+y 4=−6m 4+3m 2y 3y 4=−94+3m 2， 所以OM →•ON →=（m 2+1）（−94+3m 2）−6m 24+3m 2+1=−12m 2−54+3m 2=114+3m 2−4， 由于m 2≥0，则0＜114+3m 2≤114， 所以OM →•ON →∈（﹣4，−54]， 综上所述，OM →•ON →的取值范围为[﹣4，−54]．。

江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题含解析

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江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．2132．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．124．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1036．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2109．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．310．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．55B ．35C ．79D ．23512．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题2021年 1月参照公式：样本数据 x1， x2，， x n的方差 s2 1 n( x i x)2，其中 x = 1nx i．n i1n i1一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．设会集A x x21，x R ，B x 0 ≤ x ≤2，那么 AI B =▲．2．假设1 mi1 ni 〔 m，n R ， i 为虚数单位〕，那么 mn 的值为▲．i223．双曲线x2y1(a0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，那么 a 的值为▲．a44．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名， 50名．现用分层抽样的方法在这130 名学生中抽取一个样本，在高一年级学生中抽取了24名，那么在高二年级学生中应抽取的人数为▲．5．某市连续 5 天测得空气中PM2.5 〔直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物〕的数据〔单位：mg / m3〕分别为115，125， 132， 128，125，那么该组数据的方差为▲．6．函数 y2sin 2 x3cos 2 x4的最小正周期为▲．7．5瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取 2 瓶，那么所取 2瓶中最少有一瓶是果汁类饮料的概率为▲．x≥ ，y 38．实数 x ，y满足拘束条件y ≤3，那么z5x2y2的最大值为▲．x ≤ ，39．假设曲线 C1： y3x4ax3 6 x2与曲线 C2： y e x在x 1 处的切线互相垂直，那么实数a 的值为▲．10．给出以下命题：（1〕假设两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必然平行于另一个平面；（2〕假设两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线必然垂直于另一个平面；（3〕假设两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线必然平行于另一个平面；（4〕假设两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线必然垂直于另一个平面．那么其中所有真命题的序号为▲．p pa n中， a1133，假设数列a n的前 202111． q,，等比数列， a4tan 3q 669项的和为 0，那么q的值为▲．1x12．函数 f(x)＝, x， 2))f (k ) ，那么实数 k 的取值范围为20 假设 f ( f ( ▲ ．2，(x1) , x ≥13．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设 tan A 7tan B ，a 2b 23 ，那么 cc▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆 O ： x 2 y 2 16 ，点 P(1,2) ，M ，N 为圆 O 上不同样的uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur两点，且满足 PM PN 0．假设 PQ PM PN ，那么 PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定地域 内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值 14 分〕 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为ur r(cos C,cos A) ．a ，b ，c ．设向量 m ( a, c) ， n ur r3a ，求角 A ；〔 1〕假设 m ∥ n ， cur r4，求 cosC 的值．〔 2〕假设 m n 3b sin B ， cos A516．〔本小题总分值 14 分〕A 1A如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中， AB ⊥BC ，E ，F 分别是 A 1B ， AC 1 的中点． E 〔 1〕求证： EF ∥平面 ABC ；FB 1B〔 2〕求证：平面 AEF ⊥平面 AA 1B 1B ；〔 3〕假设 A 1A 2 AB 2 BC 2a ，求三棱锥F ABC的体积．C 1C〔第 16 题〕17．〔本小题总分值 14 分〕设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ， S 3 a 5 ， S 5 25 ．〔 1〕求数列 { a n } 的通项公式；〔 2〕假设 p ， q 为互不相等的正整数，且等差数列{ b n } 满足 b a p p ， b a q q ，求数列 { b n }的前 n 项和 T n ． y18．〔本小题总分值 16分〕lBP在平面直角坐标系xOy 中，椭圆MQOxA 〔第 18 题〕22E:xa2yb 21(a b0) 的右准线为直线l，动直线y kx m (k0， m0) 交椭圆于A，B 两点，线段AB 的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l 于P，Q 两点，如图．假设A，圆 E 的右极点，上极点时，点Q 的纵坐标为1〔其中e 为椭圆的离心率〕，e且OQ5OM ．〔 1〕求椭圆 E 的标准方程；〔 2〕若是 OP 是 OM ， OQ 的等比中项，那么m 可否为常数？假设是，求出该常数；假设不k是，请说明原由．19．〔本小题总分值16 分〕几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．该店每个月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产本钱为34 元，该店的月总本钱由两局部组成：第一局部是月销售产品的生产本钱，第二局部是其他固定支出20000 元．假设该产品的月销售量 t ( x) 〔件〕与销售价格x 〔元/件〕〔 x N〕之间满足以下关系：①当34 ≤ x ≤ 60时，t( x)a( x5) 2 10050；②当 60≤ x ≤ 70 时，t( x)100x7600．设该店月利润为 M 〔元〕，月利润=月销售总数－月总本钱．（1〕求M关于销售价格 x 的函数关系式；（2〕求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．20．〔本小题总分值16 分〕a函数 f ( x) ln x x，a R ．x（1〕当a 0时，求函数f (x)的极大值；（2〕求函数f ( x)的单调区间；〔 3〕当a1时，设函数 g( x) f ( x1)x1a，假设实数 b 满足： b a 且x1g b g(a) ， g (b)2g a b，求证： 4 b 5 ．b12常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ〔附加题〕2021年 1月21．【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做两题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．．．．．．．题卡指定地域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图，等腰梯形 ABCD内接于⊙O，AB∥ CD．过B A点 A 作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E．求证：∠ DAE=∠ BAC.OC D E B．选修 4—2：矩阵与变换〔第 21-A 题〕直线 l : ax y 0 在矩阵A01 对应的变换作用下获取直线l ，假设直线 l过点12〔 1, 1〕，求实数a 的值．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点p)，直线l:r cos(p) 2 2，求点 P 到直线 l 的距离．P(2 3,q4 6D．选修 4—5：不等式选讲x ≥1，y≥1，求证：x2y xy21≤x2 y2x y ．【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定地域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题总分值10 分)如图，三棱锥P－ ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥ BC， AC=BC=2a，点O， D分别是 AB， PB 的中点， PO⊥ AB，连结 CD．〔 1〕假设PA2a ，求异面直线PA 与 CD 所成角的余弦值的大小；P〔 2〕假设二面角 A－ PB－ C 的余弦值的大小为5 ，求D 5PA．OA B 23．〔本小题总分值10 分〕设会集 A， B 是非空会集 M 的两个不同样子集，满足： AC 不是 B 的子集，且 B 也不是 A〔第 22 题〕的子集．〔 1〕假设 M= { a1, a2, a3, a4}，直接写出所有不同样的有序会集对( A,B) 的个数；〔 2〕假设 M= { a1, a2, a3, ,a n}，求所有不同样的有序会集对( A,B) 的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参照答案及评分标准一、填空 ：本大 共 14 小 ，每小 5 分，共 70 分1． 0,12 ． 13． 14．155．31.6 〔写成158也 〕6． p 7． 75108．19 ．110．〔 1〕〔 2〕11． p12． (log 1 9,4)13． 414．3 352 3e9 2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ．ur rc cosC ．由正弦定理，得sin AcosA sinCcosC ．15．解：〔 1〕∵ m ∥ n ，∴ a cosA化 ，得 sin2 A sin2C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∵ A,C(0,p ) ，∴ 2A 2C 或2A 2C p ，从而 A C 〔舍〕或 ACp．∴ Bp ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分22在 Rt △ABC 中， tan A a 3 ， A p ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分ur rc363b cos B ，∴ a cosC ccosA 3b sin B ．〔 2〕∵ m n由正弦定理，得 sin A cosC sin C cos A 3sin 2 B ，从而 sin( A C )3sin 2 B ．∵ A B Cp ，∴ sin( AC )sin B ． 从而 sin B1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分3∵ cos A 40 ， A (0,p ) ，∴ A(0, p) ， sin A3 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525∵ sin AsinB ，∴ a b ，从而 AB ， B 角， cosB2 2 ． ⋯⋯⋯ 12 分3∴ cos Ccos( A B) cos Acos B sin Asin B= 42 23 1 3 8 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分535 3 1516． 明：〔 1〕 A 1 C ．∵直三棱柱 A 1 B 1C 1 ABC 中， AA 1C 1C 是矩形， ∴点 F 在 A 1 C 上，且A 1 C 的中点．在△ A 1BC 中，∵ E ， F 分 是 A 1B ， A 1C 的中点， ∴ EF ∥BC ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又∵ BC平面 ABC， EF平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分〔 2〕∵直三棱柱A1B1C1ABC 中， B1 B平面 ABC，∴ B1 B BC．∵ EF∥ BC， AB⊥ BC，∴ AB⊥EF， B1 B EF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵ B1BI AB B ，∴ EF⊥平面 ABB1 A1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分∵ EF平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分〔 3〕V111S⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分F ABC A ABC ABC1V123AA23=111 a 22a a．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分232617．解：〔 1〕由，得3a13d a14d，解得a11,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分5a110d，d 2.25∴ a n2n 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕p，q正整数，由〔 1〕得 a p2p 1 ， a q2q1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分一步由，得b2 p 1p ， b2q 1q ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵ { b n } 是等差数列，p q ，∴{ b n}的公差d q p 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2q 2 p2由b2 b 1b1(2 p 2) d p ，得 b1 1 ．23n ．∴ T n nb1n( n1)d n4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分218．解：当 A， B 两点分是 E 的右点和上点，A(a,0) ， B(0, b) ， M ( a,b) ．2221 b∵ Q( a,1)，∴由 O， M， Q 三点共，得e2，化，得 b 1 ．⋯⋯⋯2分ac e aca 2∵ OQ5OM ，∴c5，化，得2a5c．a2a2b2c2，a25,由 b1，解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分c2 4.2a5c，2〔 1〕 E 的 准方程xy2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分5 12〔 2〕把 ykx m(k0,m 0) ，代入xy 21 ，得5(5k 2 1)x 2 10mkx 5m 2 50 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分当△0 ， 5k 2m 21 0 ， x M5mk ， y Mm，5k22115k从而点 M(5mk , m ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5k 22 11 5k所以直 OM 的方程 y1x ．5ky1 ，25k x225k12 分由 2得 x P． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5k 2x2 1，15y∵ OP 是 OM ，OQ 的等比中 ，∴OP 2 OM OQ ，2x Mx Q 25mk．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分从而 x P2(5k 2 1)由 25k225mk ，得 m2k ，从而m2 ， 足△0 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分5k 212(5k 2 1)k∴m常数2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分k19．解：〔 1〕当 x60 ， t(60) 1600 ，代入 t(x)a( x 5)2 10050 ，解得 a 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴ M ( x)( 2 x 220x10000)( x 34) 20000,34 ≤ x 60, x Ν ,( 100x7600)( x 34)20000,60≤ x ≤ 70, xΝ .即 M ( x)2 x3 48x 2 10680x 360000,34 ≤ x 60, x Ν , ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分100 x21100 x 278400,60 ≤ x ≤ 70, x Ν .〔注：写到上一步，不扣分． 〕〔 2〕 g (u )( 2u 2 20u10000)( u 34) 20000 ， 34 ≤ u60 ， u R ，g (u )6(u 2 16u 1780) ．令 g (u ) 0 ，解得 u 1 8 2 461 〔舍去〕， u 2 82 461 (50,51) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分当 34 u 50 ， g (u ) 0 ， g(u) 增；当 51 u60 ， g (u) 0 ， g (u ) 减． ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分∵ x Ν，M(50) 44000 ， M (51) 44226 ，∴ M ( x) 的最大44226．⋯⋯⋯ 12 分当 60 ≤ x ≤ 70 ， M (x) 100( x 2 110 x 2584) 20000 减，故此 M (x) 的最大 M (60)216000 ．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分上所述，当x 51 ，月利 M ( x) 有最大 44226元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分答： 打印店店月利 最大44226元，此 品的 售价格51元/件． ⋯⋯ 16 分20．解：函数 f ( x) 的定 域 (0,) ．〔 1〕当 a0 ， f ( x)ln x x ， f( x)11 ，令 f (x)0 得 x 1．⋯⋯⋯1分x列表：x (0,1)1(1,)f (x) +f (x)↗极大↘所以 f (x) 的极大 f (1)1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分(2) f ( x)1 1ax 2x axx 22．x令 f ( x)0 ，得2x a0 ， 1 4a ． x〔ⅰ〕当 a ≤1 ， f ( x) ≤ 0 ，所以 f ( x) 减区 (0,)； ⋯⋯⋯⋯ 5分4〔ⅱ〕当 a1，由 f ( x)0 得 x 1 11 4a , x2 1 1 4a ，422①假设1 a 0 ， x 1 x 20 ，4由 f (x) 0 ，得 0 x x 2 ， xx 1 ；由 f ( x) 0 ，得 x 2 x x 1 ．所以，f ( x) 的 减区 (0, 1 1 4a ) ，( 11 4a ,) ， 增区22( 1 14a , 1 1 4a ) ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分22②假设 a 0 ，由〔 1〕知 f (x) 增区 (0,1) ， 减区(1,) ；③假设 a 0 ， x 10 x 2 ，由 f (x) 0 ，得 xx 1 ；由 f ( x) 0 ，得 0 x x 1 ．f ( x) 的 减区 (11 4a , ) ， 增区 (0,11 4a) ． ⋯⋯ 9 分22上所述：当 a ≤1， f ( x) 的 减区(0,) ；4当1 a 0 ， f (x) 的 减区 (0, 11 4a ) ， ( 11 4a , ) ，422增区 (11 4a , 11 4a ) ；22当 a ≥ 0， f ( x)减 区(11 4a , )，增区2(0, 11 4 a ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2〔 3〕 g( x)ln( x 1) 〔 x 1 〕．b) g ( a) 得 ln1 ln( a 1) ．由 g(b1b 1∵ 1a b ， ∴ b 1 a 1(舍)，或 ( a 1)(b 1)1 ．∵ 1 ( a 1)(b 1) (b 1)2，∴ b2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由 g( b)2g (a b) 得，2ln(b1)a b1)1[( a 1) (b1)] ，(*)2 ln(2 2 ln2因a1 b 1 ≥ ( a 1)(b 1)=1 ，2所以〔 * 〕式可化 ln( b1) 2ln 1[( a1) (b 1)] ，2即1 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯b 1 [ 〔b〕 ．2b 11 ]令 b1 t(t1) ， t[ 1 (t1)]2，整理，得 t 4 4t 3 2t 2 1 0 ，2t从而 (t1)(t 33t2t 1) 0 ，即 t 33t2t 1 0 ．12 分14 分h(t )t33t2t 1,t 1 ． h (t ) 3t26t 1 ， 令 h ( t)0 得 t12 3〔舍〕，3t 12 3，列表：3t2 32 3(1,1) (1, )33 h ( t)+h(t )↘ ↗所以， h(t ) 在 (1,123) 减，在(1 2 3 ,) 增，又因 h(3) 0, h(4) 0 ，33所以 3 t 4，从而 4 b 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ〔附加题〕参照答案21、【做】在A、 B、C、 D 四小中只能做两，每小10 分，共20 分．．．．．．．A．修 4— 1：几何明明：∵ ABCD是等腰梯形， AB∥ CD，∴ AD=BC．??从而 AD BC ．∴∠ ACD=∠ BAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵ AE的切，∴∠EAD=∠ACD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴∠ DAE=∠BAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．修 4—2：矩与解： P(x, y) 直l上任意一点，在矩 A 的下直 l 上点P ( x , y )，x01x ，y12y化，得x 2 x y ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分y x .代入 ax y 0 ，整理，得(2 a1)x ay 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分将点〔 1, 1〕代入上述方程，解得a=- 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分C．修 4— 4：坐系与参数方程解：点 P 的直角坐(3, 3) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分直 l 的一般方程 x y 40 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分33426 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分从而点 P 到直 l 的距离22D．修 4— 5：不等式明：左- 右 = ( y y2 )x2( y21)x y 1 (1 y)[ yx2(1 y) x 1] ⋯⋯⋯ 4 分= (1 y)( xy1)( x 1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∵x≥1，y≥1，∴ 1 y ≤0, xy 1 ≥0, x 1≥0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分从而左 - 右≤ 0，∴ x2 y xy2 1 ≤x2 y2x y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【必做】第22 、第 23 ，每10 分，共 20 分．22．解：OC．∵平面 PAB⊥平面 ABC， PO⊥ AB，∴ PO⊥平面 ABC．从而 PO⊥AB， PO⊥ OC．∵ AC=BC，点 O是 AB 的中点，∴OC⊥AB．且zOA OB OC2a．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分P如，建立空直角坐系O xyz ．D〔1〕PA2a， PO2a ．O B A(0,2a,0) ， B(0,2a,0) ， C(2a,0,0)，A y2 a ,2a CP(0,0,2a)， D(0,) ．⋯⋯⋯⋯ 4 分x22uuur(0， 2a,2a)uuur( 2a，2a,2a)．从而 PA， CD22uuur uuur uuur uuur2a23∵ cosPA CDPA,CD uuur uuur2a3a，PA CD3∴异面直 PA 与 CD 所成角的余弦的大小3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3〔 2〕PO h ，P(0,0, h)．∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．uuur(2a,0,0) 是平面 PAB的一个法向量．从而 OC不如 平面 PBC 的一个法向量r ( x, y, z) ， nuuuruuurr uuur0,2ay hz,(0， 2 a, (2a ，2a,0) ， nPB∵ PBh) ， BCruuur0.∴y.n BCx不如令 x=1， y=1， zr 2a) ． 8 分2a， n (1,1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯hhuuur r由，得5 OC n2a，化 ，得 h22 a 2．uuur r5OC n2a22a 23h 2∴ PAPO 2 OA 22 a 2 2a 2 2 6 a ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3323．解：〔 1〕110；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分〔2〕会集 M 有 2n 个子集，不同样的有序会集( A,B) 有 2n (2 n 1) 个．假设 A B ，并 B 中含有≤ ≤ n, k N *) 个元素， 足A B的有序k(1 kn C n k (2 knC n k 2knC n k 3n2n 个 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯会集 (A,B) 有1)6 分k 1kk 0同理， 足 BA 的有序会集 ( A,B) 有 3n 2n 个．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分故足条件的 有序集合( A,B)的个数2n (2 n 1) 2(3n 2n ) 4n 2n 2 3n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。

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（2） p ， q 为正整数， 由（1）得 ap 2 p 1， aq 2q 1． …………………8 分
进一步由已知，得 b2 p1 p ， b2q1 q ． ………………………………………10 分
∵{bn} 是等差数列，
p
q
，∴{bn} 的公差
d
q 2q
p 2p
1 2
．
………………12 分
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22． (本小题满分 10 分)
如图，三棱锥 P－ABC 中，已知平面 PAB⊥平面 ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点 O，D 分
别是 AB，PB 的中点，PO⊥AB，连结 CD．
（1）若 PA 2a ，求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦
值的大小；
2
13．4 14． 3 3 5
二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）∵ m∥ n ，∴ a cos A c cos C ．由正弦定理，得 sin Acos A sin C cos C ．
化简，得 sin 2A sin 2C ．
由 b2b1 b1 (2 p 2)d p ，得 b1 1．
∴ Tn
2． 若 1 mi 1 ni （ m， n R ，i 为虚数单位），则 mn 的值为 ▲ ． i
3．
已知双曲线 x2 a2
y2 4
1(a 0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，则 a 的值为
▲
．
4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有 80 名，50 名．现用分层抽
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) ln x x a ， a R ． x

江苏省常州市届高三上学期期末考试数学试题-word版word版含答案

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江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合，则 .2.已知，若是纯虚数（其中为虚数单位），则 .3.某单位有老人20人，中年人120人，青年人100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为的样本，已知青年人抽取的人数为10人，则 .4.双曲线的右焦点与左准线之间的距离是 .5．函数的定义域为 .6.执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值 .7.满足等式的值为 .8.设为等差数列的前项和，若，则 .9.男队有号码1,2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为 . 10.以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为 .11.在中，是的外心，若，则的取值范围为 .12.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，若是椭圆与抛物线的公共点,且直线经过焦点F，则该椭圆的离心率为 .13.在中，角的对边分别为，若，则 .14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）在中，角的对边分别为，若（1）若，求的值；（2）若，求的值.16.（本题满分14分）在中，所有棱长均相等，且为的中点，求证：（1）平面；（2）.17.（本题满分14分）已知圆与椭圆的一个公共点为为椭圆E的右焦点，直线与圆相切于点.（1）求的值及椭圆的方程；（2）过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线？18.（本题满分16分）某辆汽车以千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，且.（1）若汽车以千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使每小时的油耗不超过9升，求的取值范围；（2）求该汽车行驶千米的油耗的最小值.19.（本题满分16分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的单调区间；（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；（3）若，当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围（其中e是自然对数的底数，）.20.（本题满分16分）已知数列满足（1）若是等差数列，，且，求公差的取值集合；（2）若成的比数列，公比是大于1的整数，且，求正整数的最小值；（3）若成等差数列，且，求正整数k的最小值及k取最小值时公差d的值.江苏省常州教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ试题（附加题）21【选做题】在A,B,C,D四个小题中只能选择两题，每小题10分，共计20分.A.选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA,切点为A,连接OP与圆O交于点C,过点C作圆O 作AP的垂线，垂足为D,若求CD的长.B.选修4—2：矩阵与变换已知绝阵，列向量，若，直接写出，并求出.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆被射线（为常数，且）所截得的弦长为，求的值.D.选修4-5：不等式选讲已知，且，求的最小值.22.（本小题10分）如图，以正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中为中点，正四棱锥的底面边长为，高为，且有（1）求的值；（2）求二面角的余弦值.23.（本小题满分10分）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.（1）根据恒等式两边（其中）的系数相同，直接写出一个恒等式；（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：，其中是指不超过的最大整数.。

2022-2023学年江苏省常州市高三数学第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年江苏省常州市高三数学第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3，C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．1133．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．194．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =± 6．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．77．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3 8．已知下列命题： ①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 9．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ）A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15 10．复数12i i --的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 12．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市2022届高三上学期期末考试 数学 Word版含答案

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2021～2022学年高三年级期末试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2022．1一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ln x －2＜0}，则A ∩B ＝( ) A. ∅ B. {1} C. {2} D. {1，2}2. 已知a ，b 是平面内两个向量，且a ≠0，则“b ＝0”是“|a|＝|a ＋b|”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 函数f (x )＝sin 2x ＋tan x 的最小正周期是( )A. π4B. π2C. πD. 2π 4. 已知随机变量X ～B (6，p )，Y ～N (μ，σ2)，且P (Y ≥2)＝12，E (X )＝E (Y )，则p ＝( )A. 12B. 13C. 14D. 165. 已知点A (2，22)，B (1，－3)是圆C ：x 2＋y 2＝10上两点，动点P 从A 出发，沿着圆周按逆时针方向走到B ，其路径长度的最小值为( )A.104π B. 3104π C. 5104π D. 7104π 6. 已知(1－x )2 021＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 021x 2 021，则系数a 0，a 1，…，a 2 021中最小的是( ) A. a 0 B. a 1 010 C. a 1 011 D. a 2 0217. 小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买一个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款)，月利率为r .按复利计算，则小李每个月应还( )A. ar （1＋r ）11（1＋r ）11－1元B. ar （1＋r ）12（1＋r ）12－1元C. a （1＋r ）1111元D. a （1＋r ）1212元8. 已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ＞0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ＞0，则下列说法正确的是( )A. f (5π6)＜－f (7π6)＜－f (－π6)B. －f (7π6)＜f (5π6)＜－f (－π6)C. －f (－π6)＜－f (7π6)＜f (5π6)D. －f (－π6)＜f (5π6)＜－f (7π6)二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为( )A. A 34 ×A 12B. A 24 ×A 24C. A 24 ×(A 12 )2D. C 14 ×A 23 ＋C 24 ×(A 22 )210. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，使a n ＝－12的n 可以是( )A. 2 019B. 2 021C. 2 022D. 2 02311. 已知函数f (x )＝ln (x －π4)＋sin x ＋cos x ，下列说法正确的有( )A. 函数f (x )是周期函数B. 函数f (x )有唯一零点C. 函数f (x )有无数个极值点D. 函数f (x )在(π4，3π4)上不是单调函数12. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为3a ，点M 是棱BC 上的定点，且BM ＝2CM .点P 是棱C 1D 1上的动点，则下列说法正确的是( )A. 当PC 1＝23a 时，△P AM 是直角三角形B. 四棱锥A 1P AM 的体积最小值为32a 3C. 存在点P ，使得直线BD 1⊥平面P AMD. 对任意点P ，都有直线BB 1∥平面P AM三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知复数z 满足等式z i ＋2iz ＝0，i 是虚数单位，则z 的模|z |＝________．14. 已知α为第四象限角，且tan (α－π3)＝32，则sin α＝________．15. 已知定义域都是R 的两个不同的函数f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g (x )，且g ′(x )＝f (x ).写出一个符合条件的函数f (x )的解析式：f (x )＝________．16. 已知抛物线C 1：y 2＝2px的焦点与双曲线C 2：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的右焦点F 重合，抛物线C 1的准线与双曲线C 2的渐近线交于点A ，B .若△F AB 是直角三角形，则p ＝________，双曲线C 2的离心率e ＝________．四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)某型号机床的使用年数x 和维护费y 有下表所示的统计资料：x /年 2 3 4 5 6 y /万年2.03.56.06.57.0在线性回归方程y＝a＋b x中，b＝∑ni＝1x i y i－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a＝y－b x，其中x，y为样本平均值．(1) 求x，y的线性回归方程；(2) 某厂该型号的一台机床已经使用了8年，现决定当维护费达到15万元时，更换机床，请估计到第11年结束，是否需要更换机床？已知数列{a n }的前n 项和S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .19.(本小题满分12分)已知在四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝13，CD ＝AD ，且cos B ＝17，∠BAD ＝2∠BCD .(1) 求∠BCA ； (2) 求AD .如图，在四棱锥BP ACQ 中，BC ⊥平面P AB ，且在四边形P ACQ 中，PQ ∥AC ，∠P AC ＝π2，二面角BAPQ 的大小为π3，且AP ＝AB ＝PQ ＝1. (1) 求证：平面P ACQ ⊥平面ABC ；(2) 求直线BQ 与平面P ACQ 所成角的正弦值．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －x a (x ＞0)，其中a ＞1.(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2) 当a ≥e(e 为自然对数的底数)时，求函数f (x )的零点个数，并说明理由．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点坐标为F (－2，0)，离心率e ＝12.点A 是椭圆上位于x 轴上方的一点，点B (1，0)，直线AF ，AB 分别交椭圆于异于A 的点M ，N .(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线MN 平行于x 轴，求点A 的横坐标．2021～2022学年高三年级期末试卷(常州)数学参考答案及评分标准1. D2. A3. B4. B5. C6. C7. A8. D9. ACD 10. AD 11. CD 12. AB 13. 2 14. －3211415. e －x (答案不唯一) 16. 5517. 解：(1) x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.0＋3.5＋6.0＋6.5＋7.05＝5.0，∑n i ＝1x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90，∑n i ＝1x i y i ＝2×2.0＋3×3.5＋4×6.0＋5×6.5＋6×7.0＝113.0.(4分)b＝∑ni ＝1x i y i －nx ·y ∑ni ＝1x 2i－nx 2＝113－5×4×5.090－5×42＝1.3，a ＝y －b x ＝5.0－1.3×4＝－0.2， 所以x ，y 的线性回归方程是y ＝1.3x －0.2.(7分)(2) 当x ＝11时，y ＝1.3×11－0.2＝14.1＜15， 所以，估计到第11年底，不需要更换机床．(10分) 18. 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝（1＋1）（1＋2）2 ＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（n ＋1）（n ＋2）2 －（n －1＋1）（n －1＋2）2 ＝n ＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n ≥2，3，n ＝1.(5分)(2) 当n ≥2时，1a n a n ＋1 ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2 ，(7分)T n ＝1a 1a 2 ＋1a 2a 3 ＋…＋1a n a n ＋1 ＝13×3 ＋(13 －14 )＋…＋(1n ＋1 －1n ＋2)＝49 －1n ＋2 .(10分)当n ＝1时，T 1＝1a 1a 2 ＝19 也符合．综上可得，T n ＝49 －1n ＋2.(12分)19. 解：(1) 在△ABC 中，AB ＝7，BC ＝13，cos B ＝17 ，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos B ＝72＋132－2×7×13×17＝8 3 ，所以cos ∠BCA ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC·BC ＝192＋169－492×83×13 ＝32 .(3分)因为△ABC 中，0＜∠BCA ＜π，所以∠BCA ＝π6 .(5分)(2) 因为CD ＝AD ，所以∠ACD ＝∠CAD. 设∠ACD ＝∠CAD ＝α，因为∠BAD ＝2∠BCD ，所以∠BAC ＋α＝2(∠BCA ＋α)，则α＝∠BAC －2∠BCA ＝(π－B －∠BCA)－2∠BCA ＝π2 －B.(7分)在△ACD 中，由正弦定理，得AD sin α ＝ACsin （π－2α） ，所以AD ＝AC sin αsin 2α ＝AC sin α2sin αcos α ＝AC2cos α .因为cos B ＝17，且0＜B ＜π，所以cos α＝cos (π2 －B)＝sin B ＝1－cos 2B ＝1－149 ＝437， 所以AD ＝832×437＝7.(12分) 20. (1) 证明：因为BC ⊥平面PAB ，PA ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥BC ，PA ⊥BC. 因为∠PAC ＝π2，所以PA ⊥AC.又BC ∩AC ＝C ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC. 因为PA ⊂平面PACQ ，所以平面PACQ ⊥平面ABC.(5分) (2) 解：由(1)知，PA ⊥平面ABC ，从而PA ⊥AB ，PA ⊥AC ， 所以∠BAC 为二面角BAPQ 的平面角，因为二面角BAPQ 的大小为π3 ，所以∠BAC ＝π3.(7分)(解法1)如图①在△ABC 中，过点B 作AC 的垂线BD ，垂足为D ，连DQ.因为平面PACQ ⊥平面ABC ，平面PACQ ∩平面ABC ＝AC ，BD ⊥AC ，BD ⊂平面ABC ， 所以BD ⊥平面PACQ ，所以BD ⊥QD ，且直线BQ 与平面PACQ 所成角的平面角为∠BQD. 在△ABC 中，AB ⊥BC ，∠BAC ＝π3 ，AB ＝1，BD 为边AC 上的高，所以BD ＝32 ，AD ＝12.在梯形PADQ 中，PQ ∥AD ，∠PAC ＝π2 ，AP ＝PQ ＝1，AD ＝12 ，所以QD ＝52 .在△BQD 中，sin ∠BQD ＝BD BQ ＝BDBD 2＋QD 2＝3234＋54＝64 ，所以直线BQ 与平面PACQ 所成角的正弦值为64.(12分) 图①图②(解法2)在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线AD ，以{AD → ，AC → ，AP →}为正交基底建立如图②，所示的空间直角坐标系Axyz ，则点B(32 ，12，0)，Q(0，1，1)，从而BQ →＝(－32 ，12，1). 因为平面PACQ 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，设直线BQ 与平面P ACQ 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈BQ →，n 〉|＝|BQ →·n |BQ →||n ||＝|－3234＋14＋1×1|＝64， 所以直线BQ 与平面P ACQ 所成角的正弦值为64.(12分) 21. 解：(1) f (x )＝a x －x a ，f ′(x )＝a x ln a －ax a －1， 因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝a ln a －a ＝0，解得a ＝e.(3分) (2) 当x ＞0时，a x －x a ＝0⇔ln x x －ln a a ＝0，令h (x )＝ln x x －ln aa ，h (a )＝0.(4分)h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：当x ＝e 时，h (x )的极大值为h (e)＝1e －ln aa.(7分)① 当a ＝e 时，函数h (x )有且只有1个零点a ＝e.此时，函数f (x )有且只有1个零点．(8分)② 当a ＞e 时，函数h (x )在(e ，＋∞)内有且只有1个零点a ，且h (e)＞h (a )＝0； 因为0＜1a ＜e ，h (1a )＝ln1a 1a－ln a a ＝－a ln a －ln aa＜0，又函数h (x )在区间(0，e)上单调递增，且函数h (x )的图象在区间(0，e)上是连续不间断的曲线， 所以h (x )在区间(0，e)内有且只有1个零点． 此时，函数f (x )有且只有2个零点．(11分)综上可得，当a ＝e 时，函数f (x )有且只有1个零点； 当a ＞e 时，函数h (x )有且只有2个零点．(12分)22. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点坐标为F (－2，0)，离心率e ＝12，所以c ＝2，c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.(3分)(2) 设A (x 0，y 0)，y 0＞0，① 若直线AF 的斜率不存在，则x 0＝－2，所以y 0＝3，且M (－2，－3)， 因为直线MN 平行于x 轴，由椭圆对称性可得N (2，－3)， 此时k AB ＝0－31－（－2）＝－1，k NB ＝0－（－3）1－2＝－3，不符合题意，舍去；(4分)② 若直线AF 的斜率存在，此时k AF ＝y 0－0x 0－（－2）＝y 0x 0＋2，直线AF 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x＋2)，联立直线AF 的方程与椭圆C 的方程，有⎩⎨⎧y ＝y 0x 0＋2（x ＋2），x 216＋y 212＝1，所以3x 2＋4y 20 （x 0＋2）2(x ＋2)2－48＝0，则[3＋4y 20 （x 0＋2）2]x 2＋16y 20 （x 0＋2）2＋16y 20 （x 0＋2）2－48＝0，所以x M ＝16y 20（x 0＋2）2－483＋4y 20（x 0＋2）2×1x 0＝16y 20 －48（x 0＋2）23（x 0＋2）2＋4y 2×1x 0＝4（48－3x 20 ）－48（x 20 ＋4x 0＋4）48＋12x 0＋12×1x 0＝－5x 0－16x 0＋5，y M ＝y 0x 0＋2(－5x 0－16x 0＋5＋2)＝y 0x 0＋2×－3x 0－6x 0＋5＝－3y 0x 0＋5.(8分)因为直线MN 平行于x 轴，由椭圆对称性可得N (5x 0＋16x 0＋5，－3y 0x 0＋5)，(9分)又点N 在直线AB 上，所以y N －0x N －1＝y 0－0x 0－1，即－3y 0x 0＋55x 0＋16x 0＋5－1＝y 0x 0－1.因为y 0＞0，所以－35x 0＋16－（x 0＋5）＝1x 0－1，解得x 0＝－87，所以点A 的横坐标为－87.(12分)。

江苏省常州市孝都中学高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省常州市孝都中学高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省常州市孝都中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是 [答] ( )．A ．4B ． 5C ． 6D ． 7参考答案：A2. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案： B 略3. （5分）设x∈R，则“x＜1”是“log （2x ﹣1）＞0”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】： 简易逻辑．【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．解：由log （2x ﹣1）＞0得0＜2x ﹣1＜1，解得＜x ＜1，则“x＜1”是“log （2x ﹣1）＞0”的必要不充分条件，故选：B【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．4. 若集合，，则集合等于（ ） A. B.C.D.参考答案： D5. 函数y=|log 3x|的图象与直线l 1：y=m 从左至右分别交于点A ，B ，与直线从左至右分别交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【分析】依题意可求得A ，B ，C ，D 的横坐标值，得==，利用基本不等式可求最小值．【解答】解：在同一坐标系中作出y=m，y=（m＞0），y=|log3x|的图象，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由|log3x|=m，得x1=3﹣m，x2=3m，由log3x|=，得x3=，x4=．依照题意得==，又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥，当且仅当（2m+1）=，即m=时取“=”号，∴的最小值为27，故选B．6. 为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入A.B. C.D.参考答案：B7. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣8参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i=0，x=1，y=1，不满足条件i＞3，y=2，x=﹣1，i=1，不满足条件i＞3，y=1，x=﹣2，i=2，不满足条件i＞3，y=﹣1，x=﹣1，i=3，不满足条件i＞3，y=﹣2，x=1，i=4，满足条件i＞3，退出循环，输出x+y的值为﹣1．故选：B．8. 已知，则tan2α=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】二倍角的正切．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解：∵，∴，化简得4sin2α=3cos2α，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9. 函数在区间[1，2]上为减函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C10. 给出两个命题：：的充要条件是为非负实数；：奇函数的图像一定关于原点对称，则假命题是A．或Ｂ．且C．﹁且D．﹁或参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=___________．参考答案：略12. 在等比数列{an}中，若，则＝．参考答案：13. 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，则实数的取值范围是______________.参考答案：14. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是．参考答案：将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0，a1=3a 2，e 1?e 2==1，解得e 2=．故答案为：．15. 设，其中实数满足，则的最大值是参考答案：8略16. 在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．参考答案：17. 已知点A(，)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，点M、N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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常州市高三上学期期末考试数学数学〔满分160分，考试时间120分钟〕2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，1}，则A∩B＝Ｗ.2. 已知复数z满足z〔1＋i〕＝1－i〔i是虚数单位〕，则复数z＝Ｗ.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x，9.2，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x＝Ｗ.4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出y的值为1，则输入的实数x的值为Ｗ.Read xIf x≥1 Theny←x2－2x－2Elsey←x＋1 x－1End IfPrint y〔第4题〕5. 函数y＝的定义域为Ｗ.6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为Ｗ.7.已知双曲线C：－＝1〔a>0，b>0〕的离心率为2，直线x＋y＋2＝0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为Ｗ.〔第8题〕8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上〔如图〕，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为Ｗ.9. 已知正数x，y满足x＋＝1，则＋的最小值为Ｗ.10. 若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex〔e是自然对数的底数〕相切，则实数k＝Ｗ.11.已知函数f〔x〕＝sin〔ωx＋φ〕〔ω>0，φ∈R〕是偶函数，点〔1，0〕是函数y＝f〔x〕图象的对称中心，则ω最小值为Ｗ.12.已知平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB 于点D.若||＝，则||＝Ｗ.13.过原点的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为Ｗ.14.若数列{an}，{bn}满足bn＝an＋1＋〔－1〕nan〔n∈N*〕，且数列的前n项和为n2.已知数列{an－n}的前2 018项和为1，则数列{an}的首项a1＝Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 〔本小题满分14分〕如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别是棱AB，CC1的中点.求证：〔1〕 CM∥平面AB1N；〔2〕平面A1BN⊥平面AA1B1B.16. 〔本小题满分14分〕在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－bcsin A＋c2＝a2.〔1〕求角A的大小；〔2〕若tan Btan C＝3，且a＝2，求△ABC的周长.17. 〔本小题满分14分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：＋＝1的焦点在椭圆C2：＋＝1上，其中a>b>0，且点〔，〕是椭圆C1，C2位于第一象限的交点.〔1〕求椭圆C1，C2的标准方程；〔2〕过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知＝，求直线l的斜率.18. 〔本小题满分16分〕某公园要设计如图①所示的景观窗格〔其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图②所示的多边形ABCDEFGH〕，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝1.6 m，两根竖轴CH＝DG＝1.2 m，记景观窗格的外框〔图②实线部分，轴和边框的粗细忽略不计〕总长度为l m.〔1〕若∠ABC＝，且两根横轴之间的距离为0.6 m，求景观窗格的外框总长度；〔2〕由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m，当景观窗格的面积〔多边形ABCDEFGH的面积〕最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度.19. 〔本小题满分16分〕已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.〔1〕求证：{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；〔2〕数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，请说明理由.20. 〔本小题满分16分〕已知函数m〔x〕＝x2，函数n〔x〕＝aln x＋1〔a∈R〕.〔1〕若a＝2，求曲线y＝n〔x〕在点〔1，n〔1〕〕处的切线方程；〔2〕若函数f〔x〕＝m〔x〕－n〔x〕有且只有一个零点，求实数a的取值范围；〔3〕若函数g〔x〕＝n〔x〕－1＋ex－ex≥0对x∈[1，＋∞〕恒成立，求实数a的取值范围.〔e是自然对数的底数，e≈2.718 28…〕2019届高三模拟考试试卷〔八〕数学附加题〔满分40分，考试时间30分钟〕21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. 〔选修42：矩阵与变换〕已知点〔1，2〕在矩阵A＝对应的变换作用下得到点〔7，6〕.求：〔1〕矩阵A；〔2〕矩阵A的特征值及对应的特征向量.B. 〔选修44：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin〔θ＋〕，求直线l被曲线C所截的弦长.C. 〔选修45：不等式选讲〕已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥＋＋.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP＝2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB＝，点M是棱PC的中点.〔1〕求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；〔2〕求二面角APBC的余弦值.23.是否存在实数a，b，c，使得等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n〔n＋2〕〔n＋4〕＝〔an2＋bn＋c〕对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由.2019届高三模拟考试试卷〔八〕〔常州〕数学参考答案及评分标准1. {1}2. －i3. 9.54. 35. 〔0，e]6.7. y ＝±x8.9. 4 10. e2 11. 12.13. y ＝±x 14. 3215. 证明：〔1〕 令AB1交A1B 于点O ，连结OM ，ON ，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA 1B1B 是平行四边形，所以O 为AB1的中点.因为M 为AB 的中点，所以OM ∥BB1，且OM ＝BB1.因为N 为CC1的中点，CN ＝CC1，所以OM ＝CN ，且OM ∥CN ，所以四边形CMON 是平行四边形，〔5分〕所以CM ∥ON.又ON ⊂平面AB1N ，CM ⊄平面AB1N ，所以CM ∥平面AB1N.〔7分〕〔2〕 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以BB1⊥CM.〔9分〕 又CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB.又由〔1〕知CM ∥ON ，所以ON ⊥AB ，ON ⊥BB1.因为AB∩BB1＝B ，AB ，BB1⊂平面AA1B1B ，所以ON ⊥平面AA1B1B.〔12分〕又ON ⊂平面A1BN ，所以平面A1BN ⊥平面AA1B1B.〔14分〕16. 解：〔1〕 由余弦定理得a2＝b2－2bccos A ＋c2，又b2－bcsin A ＋c2＝a2，所以b2－2bccos A ＋c2＝b2－bcsin A ＋c2，即2bccos A ＝bcsin A.〔3分〕从而sin A ＝cos A ，若cos A ＝0，则sin A ＝0，与sin2A ＋cos2A ＝1矛盾，所以cos A≠0，所以tan A ＝.又A ∈〔0，π〕，所以A ＝.〔7分〕〔2〕 ＝tan 〔B ＋C 〕＝tan 〔π－A 〕＝tan ＝－.〔9分〕又tan Btan C ＝3，所以tan B ＋tan C ＝－×〔－2〕＝2，解得tan B ＝tan C ＝.〔11分〕又B ，C ∈〔0，π〕，所以B ＝C ＝.因为A ＝，所以△ABC 是正三角形.由a ＝2得△ABC 的周长为6.〔14分〕17. 解：〔1〕 椭圆C1：＋＝1的焦点坐标为〔±c ，0〕，代入椭圆C2的方程得＝1，点〔，〕的坐标代入椭圆C1，C2的方程得C1：＋＝1，所以解得a2＝2，b2＝c2＝1.〔3分〕所以椭圆C1，C2的标准方程分别为＋y2＝1，＋x2＝1.〔5分〕〔2〕由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A 〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，P 〔0，m 〕，联立消去y 得＋x2＝1，即〔1＋〕x2＋kmx ＋－1＝0，Δ＝k2m2－4〔1＋〕〔－1〕＝0，即k2＋2－m2＝0.〔7分〕联立消去y 得＋〔kx ＋m 〕2＝1，即〔＋k2〕x2＋2kmx ＋m2－1＝0.因为直线l 与椭圆C1相交，有Δ＝4k2m2－4〔＋k2〕〔m2－1〕＝4〔k2－m2＋〕＞0 〔*〕， x1，2＝.〔9分〕 因为＝，即〔x1，y1－m 〕＝〔x2，y2－m 〕，有5x1＝3x2，所以5＝3－2km －4（k2－12m2＋12）2（12＋k2） 或5＝3，化简得km ＝4或km ＝－4，即k2m2＝16〔k2－m2＋〕.〔12分〕因为k2＋2－m2＝0，解得或符合〔*〕式，所以直线l 的斜率为±或±2.〔14分〕18. 解：〔1〕 记CH 与AF ，BE 的交点为M ，N ，在△BCN 中，由∠ABC ＝可得∠CBN ＝，其中CN ＝HM ＝〔1.2－0.6〕＝0.3〔m 〕，所以BC ＝＝＝〔m 〕，BN ＝＝＝〔m 〕.〔2分〕所以CD ＝BE －2BN ＝1.6－＝，则AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC＝1.2＋＋＝〔m〕.〔5分〕答：景观窗格的外框总长度为〔m〕.〔6分〕〔2〕 AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC≤5，设∠CBN＝α，α∈〔0，〕，BC＝r，则CN＝rsin α，BN＝rcos α，所以AB＝CH－2CN＝1.2－2rsin α，CD＝BE－2BN＝1.6－2rcos α，所以2〔1.2－2rsin α〕＋2〔1.6－2rcos α〕＋4r≤5，即4r〔sin α＋cos α－1〕≥.〔8分〕设景观窗格的面积为S，有S＝1.2×1.6－2r2sin αcos α≤－[当且仅当4r〔sin α＋cos α－1〕＝时取等号].〔9分〕令t＝sin α＋cos α∈〔1，]，则sin αcos α＝.所以S≤－＝－〔1＋〕，其中1＋≥1＋〔当且仅当t＝，即α＝时取等号〕.〔12分〕所以S≤－〔1＋〕≤－〔1＋〕＝－〔3＋2〕＝－，即S≤－[当且仅当4r〔sin α＋cos α－1〕＝且α＝时，取等号]，所以当且仅当r＝且α＝时，S取到最大值.〔15分〕答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC＝且BC＝ m.〔16分〕19. 〔1〕证明：由an＋1＋3an＋4＝0得an＋1＋1＝－3〔an＋1〕，n∈N*.〔2分〕其中a1＝1，所以a1＋1＝2≠0，可得an＋1≠0，n∈N*.〔4分〕所以＝－3，n∈N*，所以{an＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列.〔6分〕所以an＋1＝2〔－3〕n－1，则数列{an}的通项公式an＝2〔－3〕n－1，n∈N*.〔8分〕〔2〕解：若数列{an}中存在三项am，an，ak〔m＜n＜k〕符合题意，其中k－n，k－m，n－m都是正整数，〔9分〕分以下三种情形：① am位于中间，则2am＝an＋ak，即2[2〔－3〕m－1－1]＝2〔－3〕n－1－1＋2〔－3〕k－1－1，所以2〔－3〕m＝〔－3〕n＋〔－3〕k，两边同时除以〔－3〕m，得2＝〔－3〕n－m＋〔－3〕k－m 是3的倍数，舍去；② an位于中间，则2an＝am＋ak，即2[2〔－3〕n－1－1]＝2〔－3〕m－1－1＋2〔－3〕k－1－1，所以2〔－3〕n＝〔－3〕m＋〔－3〕k，两边同时除以〔－3〕m，得2〔－3〕n－m＝1＋〔－3〕k－m，即1＝2〔－3〕n－m－〔－3〕k－m是3的倍数，舍去；③ ak位于中间，则2ak＝am＋an，即2[2〔－3〕k－1－1]＝2〔－3〕m－1－1＋2〔－3〕n－1－1，所以2〔－3〕k＝〔－3〕m＋〔－3〕n，两边同时除以〔－3〕m，得2〔－3〕k－m＝1＋〔－3〕n－m，即1＝2〔－3〕k－m－〔－3〕n－m是3的倍数，舍去.〔15分〕综上可得，数列{an}中不存在三项满足题意.〔16分〕20. 解：〔1〕当a＝2时，n〔x〕＝2ln x＋1，∴ n′〔x〕＝，∴ n′〔1〕＝2.又n〔1〕＝1，∴切线的方程为y－1＝2〔x－1〕，即y＝2x－1.〔3分〕〔2〕 f〔x〕＝x2－aln x－1，定义域为〔0，＋∞〕，其图象是一条不间断的曲线.f′〔x〕＝2x－＝，①若a≤0，则f′〔x〕＞0对x∈〔0，＋∞〕恒成立，∴ y＝f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递增.又f〔1〕＝0，∴ y＝f〔x〕在〔0，＋∞〕上只有一个零点，符合题意.②若a＞0，令f′〔x〕＝0，得x＝或x＝－〔舍去〕.x (0，a2)a2(a2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值f(a 2)1°若＞令F1〔a〕＝a2－aln a－1，a≥2，则F′1〔a〕＝2a－ln a－1，令F2〔a〕＝2a－ln a－1，则F′2〔a〕＝2－＞0对a∈[2，＋∞〕恒成立，∴ F2〔a〕＝2a－ln a－1在[2，＋∞〕上单调递增，∴ F2〔a〕≥F2〔2〕＝3－ln 2＞0，即F′1〔a〕>0对a∈[2，＋∞〕恒成立，∴ F1〔a〕＝a2－aln a－1在[2，＋∞〕上单调递增，∴ F1〔a〕≥F1〔2〕＝3－2ln 2>0，即f〔a〕＞0.∵ f〔〕＜0，且函数f〔x〕在〔，＋∞〕上单调递增，∴函数f〔x〕在〔，＋∞〕上有且只有一个零点.而函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，且有一个零点x＝1，故函数f〔x〕在〔0，＋∞〕上有两个零点，不符题意，舍去.2°若＝1，即a＝2，则函数f〔x〕在〔0，1〕上单调递减，∴ f〔x〕＞f〔1〕＝0，函数f〔x〕在〔1，＋∞〕上单调递增，∴ f〔x〕＞f〔1〕＝0，故函数f〔x〕在〔0，＋∞〕上有且只有一个零点，适合题意.3°若＜1，即0＜a＜2，此时0＜e－＜e0＝1，0＜＜1.∵函数f〔x〕在〔，＋∞〕上单调递增，∴ f〔〕＜f〔1〕＝0.又f〔e－〕＝e－＞0，∴函数f〔x〕在〔0，1〕内必有零点，又1是函数f〔x〕的零点，故不符题意，舍去.〔9分〕综上，a≤0或a＝2.〔10分〕〔3〕当x≥1时，g〔x〕＝aln x＋ex－ex.令G〔x〕＝ex－ex，x≥1，则G′〔x〕＝ex－e≥0对x∈[1，＋∞〕恒成立，∴函数y＝G〔x〕在[1，＋∞〕上单调递增，∴ G〔x〕≥G〔1〕＝0.①若a≥0，则当x≥1时，ln x≥0，∴ g〔x〕＝aln x＋ex－ex≥0恒成立，符合题意.〔11分〕②若a＜0，g′〔x〕＝＋ex－e，令H〔x〕＝＋ex－e，x≥1，则H′〔x〕＝ex－＞0恒成立，∴ H〔x〕＝＋ex－e在[1，＋∞〕上单调递增，且H〔1〕＝a＜0.∵ a＜0，∴ 1－a＞1，∴ G〔1－a〕＞G〔1〕＝0，即e1－a＞e〔1－a〕.〔12分〕∴ H〔1－a〕＝＋e1－a－e＞＋e－ea－e＝－ea＝＋〔1－a〕－2－〔e－1〕a.∵ a＜0，1－a＞1，∴＋〔1－a〕＞2，〔e－1〕a＜0，∴ H〔1－a〕＞0.∵ H〔x〕＝＋ex－e在[1，＋∞〕上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，且H〔1〕＝a＜0，∴存在唯一的x0∈〔1，1－a〕，使H〔x0〕＝0，即g′〔x0〕＝0，当x∈〔1，x0〕时，g′〔x〕＜0，∴函数y＝g〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，此时g〔x〕＜g〔1〕＝0，不符合题意，舍去.〔15分〕综上，a≥0.〔16分〕2019届高三模拟考试试卷〔八〕〔常州〕数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：〔1〕由题意＝，即解得所以A＝.〔3分〕〔2〕 f〔λ〕＝＝〔λ－1〕〔λ－2〕－6＝λ2－3λ－4，令f〔λ〕＝0，得λ2－3λ－4＝0，解得λ1＝－1，λ2＝4.〔5分〕当λ1＝－1时，取所以属于λ1＝－1的一个特征向量为；当λ2＝4时，取所以属于λ2＝4的一个特征向量为.〔9分〕故矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4，对应的特征向量为，.〔10分〕B. 解：直线l的普通方程为x－y－1＝0，曲线C的直角坐标方程〔x－1〕2＋〔y－1〕2＝2，〔4分〕所以曲线C是圆心为C〔1，1〕，半径r＝的圆.〔6分〕所以圆心C〔1，1〕到直线l的距离为d＝＝.〔8分〕所以直线l被曲线C所截的弦长为2＝2＝.〔10分〕C. 证明：因为a＞0，b＞0，由柯西不等式可得〔a＋b＋1〕〔b＋1＋a〕≥〔＋＋〕2，当且仅当＝＝时取等号，所以〔a＋b＋1〕2≥〔＋＋〕2.因为a＋b＋1＞0，＋＋＞0，所以a＋b＋1≥＋＋.〔10分〕22. 解：〔1〕记直线AM与平面PAB所成角为α，A〔0，－1，0〕，B〔1，0，0〕，C〔0，1，0〕，P〔0，0，2〕，M〔0，，1〕，则＝〔1，1，0〕，＝〔0，－1，－2〕，＝〔0，，1〕.设平面PAB的法向量为n＝〔x，y，z〕，所以即取n＝〔2，－2，1〕；所以sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝，〔5分〕即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为.〔6分〕〔2〕设平面PBC的法向量n1＝〔x，y，z〕，＝〔－1，1，0〕，＝〔1，0，－2〕.由即取n1＝〔2，2，1〕，所以cos〈n，n1〉＝＝＝.〔9分〕由图可知二面角APBC的余弦值为－.〔10分〕23. 解：在1·3·5＋2·4·6＋…＋n〔n＋2〕〔n＋4〕＝〔an2＋bn＋c〕中，令n＝1，得15＝〔a＋b＋c〕；令n＝2，得63＝〔4a＋2b＋c〕；令n＝3，得168＝〔9a＋3b＋c〕，即解得〔3分〕下面用数学归纳法证明：等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n〔n＋2〕〔n＋4〕＝〔n2＋9n＋20〕对于一切正整数n都成立.当n＝1时，等式成立；假设当n＝k时，等式成立，即1·3·5＋2·4·6＋…＋k〔k＋2〕〔k＋4〕＝〔k2＋9k＋20〕.〔4分〕当n＝k＋1时，则1·3·5＋2·4·6＋…＋k〔k＋2〕〔k＋4〕＋〔k＋1〕〔k＋3〕〔k＋5〕＝〔k2＋9k＋20〕＋〔k＋1〕〔k＋3〕〔k＋5〕＝k〔k＋1〕〔k＋4〕〔k＋5〕＋〔k＋1〕〔k＋3〕〔k＋5〕＝〔k＋1〕〔k＋5〕〔k2＋8 k＋12〕＝[〔k＋1＋1〕〔k＋1＋5〕]＝[〔k＋1〕2＋9〔k＋1〕＋20]，即等式对n＝k＋1也成立.〔8分〕综上可得，等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n〔n＋2〕〔n＋4〕＝〔n2＋9n＋20〕对于一切正整数n都成立.所以存在实数a，b，c符合题意，且〔10分〕1，4，8，11－12，15。

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