图论二分图最大匹配算法
图论算法之KM算法
bool find(int i) {
S[i]=1;
for (int j=1;j<=n;j++) if (!T[j]) {
if (Lx[i]+Ly[j]==w[i][j]) {
T[j]=1;
if (!match[j] || find(match[j])) {
match[j]=i;
return true;
X
-a
Y
+a
void update(){
int a=INF_INT; for (int i=1;i<=n;i++) if (S[i]){
for (int j=1;j<=n;j++) if (!T[j]) a=min(l(x)+l(y)-w[i][j]);
} for (int i=1;i<=n;i++){
如何判断是否存3488 Tour
求一个方案，使得一个图能够被一个或者多个环 做覆盖，每个点只能属于一个环，使得所有环的 权值和最佳。。。
拆点
• 一个玄学。。。 HDU 2853 Assignment
已给出一个匹配，最达到最大匹配需要改变 几次原有的匹配。
让所有的权值都扩大100倍，然后再让原有的 匹配的权值+1 int ans=KM()； 最大值 ans/100; 改变次数 n-ans%100;
}
}
w[i][j]);
else slack[j]=min(slack[j],Lx[i]+Ly[j]-
}
return false;
}
void update() {
int a=INF_INT;
图论：二分图多重匹配
图论：⼆分图多重匹配使⽤最⼤流和费⽤流解决⼆分图的多重匹配之前编辑的忘存了好⽓啊。
本来打算学完⼆分图的乱七⼋糟的匹配之后再去接触⽹络流的，提前撞到了之前我们说的⼆分图最⼤匹配和⼆分图最⼤权匹配有⼀个特点，那就是没个点只能与⼀条边相匹配如果规定⼀个点要与L条边相匹配，这样的问题就是⼆分图的多重匹配问题然后根据边是否带权重，⼜可以分为⼆分图最⼤多重匹配和⼆分图最⼤权多重匹配（⼆分图多重最佳完美匹配）⾸先给出⼆分图多重最⼤匹配的做法：在原图上建⽴源点S和汇点T，S向每个X⽅点连⼀条容量为该X⽅点L值的边，每个Y⽅点向T连⼀条容量为该Y⽅点L值的边原来⼆分图中各边在新的⽹络中仍存在，容量为1（若该边可以使⽤多次则容量⼤于1），求该⽹络的最⼤流，就是该⼆分图多重最⼤匹配的值然后给出⼆分图多重最优匹配（⼆分图多重最⼤权匹配）的做法：在原图上建⽴源点S和汇点T，S向每个X⽅点连⼀条容量为该X⽅点L值、费⽤为0的边，每个Y⽅点向T连⼀条容量为该Y⽅点L值、费⽤为0的边原来⼆分图中各边在新的⽹络中仍存在，容量为1（若该边可以使⽤多次则容量⼤于1），费⽤为该边的权值。
求该⽹络的最⼤费⽤最⼤流，就是该⼆分图多重最优匹配的值这道题⾥⾯，⼀共有X⽅点这么多的电影，每个电影需要拍摄多少天就是对应的X⽅点L值，然后每⼀天是⼀个Y⽅点，由于每⼀天只能拍摄⼀部电影，所有Y⽅点的L值均为1下⾯介绍⼀下实现：int n,sum,cnt,ans;int g[maxn],cur[maxn];int str[25][10];struct Edge{int u,v,next,cap,flow;}e[maxm];这⾥⾯的cur数组是g数组的临时数组str⽤来保存每⼀个电影可以在哪⼀天拍摄Edge是⽹络流图⾥⾯的边void addedge(int u,int v,int c){e[++cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].cap=c;e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;e[++cnt].u=v;e[cnt].v=u;e[cnt].cap=0;e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;}建图的时候，注意怎么赋值的接下来根据题意建图：for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=7;j++)scanf("%d",&str[i][j]);scanf("%d%d",&d,&w);sum+=d;addedge(0,i,d); //容量为需要多少天for(int j=1;j<=7;j++)for(int k=0;k<w;k++)if(str[i][j]) addedge(i,20+k*7+j,1);}for(int i=21;i<=370;i++) addedge(i,371,1);ans=maxflow(0,371);0为源点，371为汇点sum最后进⾏⼀个统计，和源点出发的最⼤流量进⾏⽐较，如果相等，说明电影排的开然后是求最⼤流的⼀个板⼦int maxflow(int st,int ed){int flowsum=0;while(bfs(st,ed)){memcpy(cur,g,sizeof(g));flowsum+=dfs(st,ed,INF);//cout<<"#"<<flowsum<<" ";}return flowsum;}具体的DFS和BFS这⾥不作为重点，以后再说下⾯给出完整的实现：1 #include<cstdio>2 #include<cstring>3 #include<algorithm>4using namespace std;5const int INF=1000000000;6const int maxn=1005;7const int maxm=20005;8int n,sum,cnt,ans;9int g[maxn],cur[maxn];10int str[25][10];11struct Edge{int u,v,next,cap,flow;}e[maxm];12void addedge(int u,int v,int c)13 {14 e[++cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].cap=c;15 e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;1617 e[++cnt].u=v;e[cnt].v=u;e[cnt].cap=0;18 e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;19 }20int q[maxn],vis[maxn],d[maxn];21bool bfs(int st,int ed)22 {23 memset(q,0,sizeof(q));24 memset(vis,0,sizeof(vis));25 memset(d,-1,sizeof(d));26 vis[st]=1;d[st]=0;27int h=0,t=1;28 q[t]=st;29while(h!=t)30 {31 h=h%maxn+1;32int u=q[h];33for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)34 {35if(!vis[e[tmp].v]&&e[tmp].cap>e[tmp].flow)36 {37 vis[e[tmp].v]=1;38 d[e[tmp].v]=d[u]+1;39if(e[tmp].v==ed) return true;40 t=t%maxn+1;41 q[t]=e[tmp].v;42 }43 }44 }45return false;46 }47int getpair(int x)48 {49if(x%2==0)50return x-1;51else return x+1;52 }53int dfs(int x,int ed,int a)54 {55if(x==ed||a==0) return a;56int flow=0,f;57for(int tmp=cur[x];tmp;tmp=e[tmp].next)58 {59if(d[e[tmp].v]==d[x]+1&&(f=dfs(e[tmp].v,ed,min(a,e[tmp].cap-e[tmp].flow)))>0)60 {61 e[tmp].flow+=f;62 e[getpair(tmp)].flow-=f;63 a-=f;64 flow+=f;65if(a==0) break;66 }67 }68return flow;69 }70int maxflow(int st,int ed)71 {72int flowsum=0;73while(bfs(st,ed))74 {75 memcpy(cur,g,sizeof(g));76 flowsum+=dfs(st,ed,INF);77//cout<<"#"<<flowsum<<" ";78 }79return flowsum;8081 }82void init()83 {84 sum=cnt=0;85 memset(g,0,sizeof(g));86 }87int main()88 {89int T,d,w;90 scanf("%d",&T);91while(T--)92 {93 init();94 scanf("%d",&n);95for(int i=1;i<=n;i++)96 {97for(int j=1;j<=7;j++)98 scanf("%d",&str[i][j]);99 scanf("%d%d",&d,&w);100 sum+=d;101 addedge(0,i,d); //容量为需要多少天102for(int j=1;j<=7;j++)103for(int k=0;k<w;k++)104if(str[i][j]) addedge(i,20+k*7+j,1);105 }106for(int i=21;i<=370;i++) addedge(i,371,1);107 ans=maxflow(0,371);108if(ans==sum) printf("Yes\n");109else printf("No\n");110 }111return0;112 }据说这是典型的最⼤流题⽬，然⽽为了强⾏安利⼀波⼆分图的多重匹配，就不说成那个了。
二分图理论
*7.5 二部图及匹配7.5.1二部图在许多实际问题中常用到二部图，本节先介绍二部图的基本概念和主要结论，然后介绍它的一个重要应用—匹配。
定义7.5.1 若无向图,G V E =的顶点集V 能分成两个子集1V 和2V ，满足（1）12V V V =，12V V φ=；（2）(,)e u v E ∀=∈，均有1u V ∈，2v V ∈。
则称G 为二部图或偶图(Bipartite Graph 或Bigraph)，1V 和2V 称为互补顶点子集，常记为12,,G V V E =。
如果1V 中每个顶点都与2V 中所有顶点邻接，则称G 为完全二部图或完全偶图(Complete Bipartite Graph)，并记为,r s K ，其中12,r V s V ==。
由定义可知，二部图是无自回路的图。
图7-55中，(),(),(),(),()a b c d e 都是二部图，其中(),(),(),()b c d e 是完全二部图1,32,32,43,3,,,K K K K 。
图7-55二部图示例显然，在完全二部图中,r s K 中，顶点数n r s =+，边数m rs =。
一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。
有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如图7-56中()a 可改画成图()b ，图()c 可改画成图()d 。
可以看出，它们仍是二部图。
图7-56二部图示例定理7.5.1 无向图,G E =为二部图的充分必要条件为G 中所有回路的长度均为偶数。
证明 先证必要性。
设G 是具有互补节点子集1V 和2V 的二部图。
121(,,,,)k v v v v 是G 中任一长度为k 的回路，不妨设11v V ∈，则211m v V +∈，22m v V ∈，所以k 必为偶数，不然，不存在边1(,)k v v 。
再证充分性。
设G 是连通图，否则对G 的每个连通分支进行证明。
算法学习：图论之二分图的最优匹配(KM算法)
二分图的最优匹配（KM算法）KM算法用来解决最大权匹配问题：在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。
基本原理该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。
设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。
在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
KM算法的正确性基于以下定理：若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。
因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。
所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。
如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。
这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。
现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。
也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。
程序设计竞赛常用算法
程序设计竞赛常用算法1.排序算法：排序是一个基本的算法问题，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。
这些排序算法有各自的优势和适用场景，需要根据具体问题需求选择合适的算法。
2.图论算法：图论是程序设计竞赛中经常出现的重要领域。
常见的图论算法有深度优先（DFS）、广度优先（BFS）、Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、拓扑排序、最小生成树等。
这些算法可以用于解决最短路径、连通性、最大流最小割等问题。
3.动态规划：动态规划是一种常用于解决优化问题的算法。
该算法通过将问题分解成子问题，并记录子问题的解来求解原问题的最优解。
常见的动态规划算法有背包问题、最长公共子序列（LCS）、最大子序列和等。
4.字符串处理算法：字符串处理是程序设计竞赛中常见的问题。
常见的字符串处理算法有KMP算法、哈希算法、字符串匹配等。
这些算法可以用于解决模式匹配、字符串、字符统计等问题。
5.数学算法：数学算法在程序设计竞赛中也经常被使用。
常见的数学算法有质因数分解、素数筛、快速乘法、高精度计算等。
这些算法可以用于解决数论、计算几何、概率等问题。
6.图形算法：图形算法主要用于处理图像和几何图形。
常见的图形算法有扫描线算法、凸包算法、几何运算等。
这些算法可以用于解决图像处理、三维建模等问题。
7.树和图的遍历算法：树和图的遍历算法是程序设计竞赛中常用的算法之一、常见的树和图的遍历算法有先序遍历、中序遍历、后序遍历、深度优先（DFS）、广度优先（BFS）等。
这些算法可以用于解决树和图的构建、路径等问题。
8.最大匹配和最小割算法：最大匹配算法用于求解二分图的最大匹配问题，常见的算法有匈牙利算法。
最小割算法用于求解图的最小割问题，常见的算法有Ford-Fulkerson算法。
这些算法可以用于解决网络流和二分图匹配等问题。
9.贪心算法：贪心算法是一种常用于优化问题的算法。
该算法通过每一步选择局部最优解来达到全局最优解。
数学建模-二分图匹配
解题思路：本题是一道典型的二分图最大匹配 题。采用匈牙利算法。本题的构图是这样的， 左右两边的x和y，分别是x学生，y课程。那么 已知哪些学生可以学哪些课，也就是在x的点 和 y的点之间首先连上线。求xy的最大匹配。如果 有P个学生做了课代表，那么就是P门课程都有 课代表了。
例题1 Courses（hdu1006）
X学生
1 2 3
Y课程
1 2 3
样例 3
（1）建图
3 3 1 2 3 2 1 2 1 1
例题1 Courses（hdu1006）
X学生
1 2 3
Y课程
1 2 3
X学生
1 2 3
Y课程
1 2 3 连接 x1-y1 x2-y2 得到此 匹配， 匹配数 为2.
（1）建图
（2）
例题1 Courses（hdu1006）
（5）
（4）
例题1 Courses（hdu1006）
X学生
1
2 3
Y课程
1
2 3 1 2 3 1 2 3
1
2 3
1
2 3
（1）
1 2 1 2 1 2
（2）
1 2
（3）
3
3
3
3
（4）
（5）
#include<iostream> int link[303][303]; int used[303],mathy[303]; using namespace std; int P,N; int find(int x) {//x学生可以匹配到某课程 么 //可以返回1，不可以返回0 … } int MMG() { //计算最大匹配数， 调用了find … } int main( ) {int x,y,i,j; int cases; scanf("%d",&cases);
二分图匹配(匈牙利算法)
KM算法
对于任意的G和M,可行顶标都是存在的: l(x) = maxw(x,y) l(y) = 0 欲求完全二分图的最佳匹配,只要用匈牙利算法求 其相等子图的完备匹配;问题是当标号之后的Gl无 完备匹配时怎么办?1957年(居然比匈牙利算法 早???),Kuhn和Munkras给出了一个解决该问 题的有效算法,用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对 应的相等子图之最大匹配逐次增广,最后出现完备 匹配.
例题3 打猎 猎人要在n*n的格子里打鸟,他可以在某一行 中打一枪,这样此行中的所有鸟都被打掉, 也可以在某一列中打,这样此列中的所有鸟 都打掉.问至少打几枪,才能打光所有的鸟? 建图:二分图的X部为每一行,Y部为每一列, 如果(i,j)有一只鸟,那么连接X部的i与Y部的j. 该二分图的最大匹配数则是最少要打的枪数.
1 2 3 4 5
1 2 5 3 4
1
2
3
4
由于每条边表示一个空地,有冲 突的空地之间必有公共顶点,所 以问题转化为二部图的最大匹配 问题.
1 2Leabharlann 34例题1 Place the Robots(ZOJ) 小结
比较前面的两个模型:模型一过于简单,没有给问 题的求解带来任何便利;模型二则充分抓住了问题的内 在联系,巧妙地建立了二部图模型.为什么会产生这种 截然不同的结果呢?其一是由于对问题分析的角度不同: 模型一以空地为点,模型二以空地为边;其二是由于对 原型中要素的选取有差异:模型一对要素的选取不充分, 模型二则保留了原型中"棋盘"这个重要的性质.由此 可见,对要素的选取,是图论建模中至关重要的一步.
例题4 最小路径覆盖 一个不含圈的有向图G中,G的一个路径覆盖 是一个其结点不相交的路径集合P,图中的每 一个结点仅包含于P中的某一条路径.路径可 以从任意结点开始和结束,且长度也为任意 值,包括0.请你求任意一个不含圈的有向图 G的最小路径覆盖数. 理清一个关系:最小路径覆盖数=G的定点 数-最小路径覆盖中的边数
maxcardinality用法举例
maxcardinality用法举例简介在图论中，最大基数匹配（m ax ca rd in al i ty）是一个重要的概念，它用于描述无向图中的最大匹配问题。
本文将结合实例，介绍m a xc ar di na li ty的基本概念、算法和应用。
基本概念最大基数匹配是指在一个无向图中，找到最大的匹配集合，使得集合中的边数最多。
匹配的定义是指图中某些边的集合，其中任意两条边都不相邻。
在应用场景中，图的节点可以表示为两个集合A和B，边表示A中的元素与B中元素之间的关联关系。
最大基数匹配的目标是找到A和B之间的最佳关联，以最大化匹配的边数。
算法介绍在求解最大基数匹配问题时，常用的算法包括二分图最大基数匹配算法和增广路径算法。
1.二分图最大基数匹配算法：-步骤1：初始化一个空的匹配集合。
-步骤2：从A中的每个元素开始，不断寻找增广路径（即可以扩展匹配的路径）。
-步骤3：如果找到增广路径，则更新匹配集合。
-步骤4：重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
-步骤5：输出最大基数匹配结果。
2.增广路径算法：-步骤1：初始化一个空的匹配集合。
-步骤2：从A中的每个元素开始，不断寻找增广路径。
-步骤3：在增广路径中，奇数次访问A中的元素，偶数次访问B中的元素。
-步骤4：如果找到增广路径，则更新匹配集合。
-步骤5：重复步骤2和步骤4，直到无法找到增广路径为止。
-步骤6：输出最大基数匹配结果。
实例分析假设有一个电视节目策划团队，需要将每个员工分配到不同的节目中。
员工集合A包括编剧、导演和演员，节目集合B包括电视剧、电影和综艺节目。
他们之间的关联关系如下：-编剧与电视剧、电影存在关联；-导演与电视剧、综艺节目存在关联；-演员与电影、综艺节目存在关联。
我们的目标是找到最佳的分配方案，使得每个员工只参与一个节目，并且最大化分配的数量。
采用ma xc ar din a li ty算法可以解决这个问题。
步骤1：初始化空的匹配集合开始时，我们先将匹配集合置空。
konig定理的证明
konig定理的证明Konig定理是图论中的一个重要定理，它提供了关于二分图最大匹配和最小顶点覆盖之间的关系。
下面是Konig定理的一个证明概述：假设G为一个二分图，我们要证明最大匹配的大小等于最小顶点覆盖的大小。
1.定义最大匹配：假设M是G的一个最大匹配，即M是G中边数最多的子图，且没有两条边有共同的顶点。
2.定义交错路径：假设存在一条从未匹配顶点u开始，经过一系列的交替匹配和未匹配边，最终到达另一个未匹配顶点v的路径。
这样的路径称为交错路径。
3.定理的第一部分：证明最大匹配的大小不小于最小顶点覆盖的大小。
o假设M是最大匹配，令U是M中的顶点集合，V是G中所有与U不相邻的顶点集合。
显然，U和V是G的一个顶点覆盖，即每条边都至少有一个端点在U或V中。
o假设存在一个更小的顶点覆盖W，使得|W| <|U|。
那么我们可以从W中选择不在U中的顶点，再加上M中未匹配的边的两个端点，得到一个更大的匹配，这与M是最大匹配矛盾。
o因此，最大匹配的大小不小于最小顶点覆盖的大小。
4.定理的第二部分：证明最大匹配的大小不大于最小顶点覆盖的大小。
o假设M是最大匹配，令U是M中的顶点集合，V是G中所有与U不相邻的顶点集合。
显然，U和V是G的一个顶点覆盖，即每条边都至少有一个端点在U或V中。
o假设存在一个更小的顶点覆盖W，使得|W| >|U|。
那么我们可以从W中选择不在U中的顶点，再加上M中未匹配的边的两个端点，得到一个更大的匹配，这与M是最大匹配矛盾。
o因此，最大匹配的大小不大于最小顶点覆盖的大小。
综上所述，我们证明了Konig定理的两个部分：最大匹配的大小等于最小顶点覆盖的大小。
匈牙利规则
匈牙利规则
"匈牙利规则"通常指的是在图论中解决二分图匹配问题的一个算法，也称为匈牙利算法或Kőnig算法。
这个算法由匈牙利数学家Dénes Kőnig在1925年提出，用于寻找二分图中的最大匹配。
二分图是一种特殊的图，其顶点可以分成两个不相交的集合，并且图中的每条边都连接这两个集合中的一个顶点。
匈牙利算法的步骤如下：
1. 选择一个未匹配的顶点u from U，U是图中的一半顶点集合。
2. 对于u的每个邻接顶点v from V，如果v尚未匹配，则将其标记为未使用的。
3. 如果u的所有邻接顶点都已被使用，则算法结束，当前匹配是最大匹配。
4. 如果存在一个未使用的顶点v，则将v与u匹配，并转步骤1。
5. 如果u的所有邻接顶点都已被使用，但不是都与u匹配，选择一个与u匹配的顶点w，并找出通过u和w形成的未使用的环。
在这个环上，交替取消匹配的边，直到找到一个未匹配的顶点x。
6. 选择x的一个未使用的邻接顶点y，并取消u与y的匹配。
7. 匹配x和y，并转步骤1。
这个算法可以找到二分图中最大的匹配，并且在实现上相对高效。
它在理论计算机科学和组合优化中有着广泛的应用，例如在网络流问题、调度问题以及一些经济和生物信息学问题中。
图论及其应用—典型图
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
利用图论解决优化问题
利用图论解决优化问题
图论是一种数学领域，研究的对象是图。
图是由节点和边构成的一种数学结构，可以用来描述不同事物之间的关系。
在实际应用中，图论被广泛应用于解决各种优化问题。
一、最短路径问题
最短路径问题是图论中的经典问题之一。
通过图论的方法，可以很容易地找到两个节点之间最短路径的长度。
这在现实生活中经常用于规划交通路线、通讯网络等方面。
二、最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个连通加权图中找到一个权值最小的生成树。
利用图论的方法，可以高效解决这个问题，从而在一些应用中节省资源和成本。
三、网络流问题
网络流问题是指在网络中找到从源点到汇点的最大流量。
通过图论中流网络的模型，可以有效地解决网络流问题，这在交通调度、物流运输等领域有着重要的应用。
四、最大匹配问题
最大匹配问题是指在一个二分图中找到最大的匹配数。
图论提供了有效的算法来解决最大匹配问题，这在稳定婚姻问题、任务分配等方面有着广泛应用。
五、旅行商问题
旅行商问题是一个著名的优化问题，即求解访问所有节点一次并回到起点的最短路径。
通过图论的技术，可以找到最优解，帮助旅行商节省时间和成本。
总的来说，图论在解决优化问题方面有着重要的作用。
通过构建合适的图模型，并应用相关算法，可以高效地解决各种优化问题，为现实生活中的决策提供科学依据。
希望未来能有更多的研究和应用将图论与优化问题相结合，为人类社会的发展贡献力量。
最佳分配算法
最佳分配算法
最佳分配算法是一种优化问题的解决方法，主要应用于资源分配、任务调度等领域。
其目的是通过合理的分配方式，使得资源得到最大的利用，同时达到最优的效果。
在最佳分配算法中，首先需要确定资源和任务的需求情况，以及资源和任务之间的关联关系。
然后，通过建立数学模型，将资源和任务映射到一个优化问题空间中，以便进行进一步的处理和分析。
最常用的最佳分配算法是匈牙利算法。
匈牙利算法是一种基于图论的算法，可以用来解决二分图最大匹配问题。
该算法通过不断寻找增广路径，最终找到二分图的最大匹配。
除匈牙利算法外，还有其他一些最佳分配算法，如线性规划、动态规划、遗传算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和问题。
总之，最佳分配算法是一种十分重要的算法，可以在资源分配、任务调度等领域发挥重要作用。
通过不断的研究和应用，可以进一步提高算法的精度和效率，为实现最优效果提供更好的保障。
- 1 -。
离散数学--第7章 图论-5(匹配)
MM’
其中回路包含相同数目的M边和M’边。由|M’|>|M|, 必 存在M’边开始， M‘边终止的M交互道路，即M-可增广 道路，矛盾！
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
例] 从匹配M={(v6,v7)}开始，求下图的最大匹 配
11
(a)
(b)
系统地检查不饱和点出发有无可增 广道路，如，v1出发有可增广道路 v1,v7v6,v8(可画以v1为根的交互树)， 由此得到匹配(a), v2出发没有，v3出 发存在v3v4，可得更大匹配(b), 其他 点出发不存在可增广道路，故(b)是 最大匹配。
交错路为一条 M可增广路。
例
v1 v6 v2 v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路 P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。 匹配，P称为M 可扩路。 增广路
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v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
i 1,...,k
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7.5 .1 匹配的基本概念
e2 e6 e1
5
最大匹配： {e1,e5 ,e6} e7
e4 e3 匹配数：3
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
[M交错路] 设G和M如上所述，G的一条M交错路 指G中一条路，其中的边在M和 EM 中交错出现 。
路是由属于M的匹配边和不属于M的非匹配边交替出现组成
图论引导笔记第八章匹配与分解
图论引导笔记第⼋章匹配与分解8.1 匹配定义：1、（边的集合）独⽴的：G.E的⼀个⼦集，且该集合中的任意两条边不相邻接。
称边独⽴集。
2、匹配（matching）：图G的⼀个独⽴集。
3、匹配（match）：⼆部图的两个部集的点集之间的⼀种映射关系，该映射关系满⾜于所连接的边是⼀个匹配（matching）*以下考虑的是⼆部图G，他的两个集部是U和W，且|U|≤|W|，X是U的⾮空⼦集4、（⾮空点集的）邻域：集合中所有顶点邻域的并。
设集合为X，记作N（X）5、（集部是）友好的：对于集部U，他的任意⾮空⼦集X，都有|N(X)|≥|X|。
（翻译⼀下就是说，在这个部⾥任意取⼀部分点都能形成匹配）6、互异代表元系：有⼀串⾮空有限集合{S1,S2,…,Sn}，存在n个不同的元素{x1,x2,…,xn}使得xi∈Si,则这串{xi}称为互异代表元系。
（⽽不是指；仅仅这个集合有别的集合没有。
显然，|∪{Si}|≥n）7、（⼆分图）交错路：⼀条属于匹配的边和⼀条不属于匹配的边交错构成的路。
8、（任意分图）最⼤匹配：具有最⼤基数的匹配, 对于n阶⼆分图，最⼤匹配数不会超过floor(n/2)9、完美匹配：（此处讨论⼆分图）G的阶数为偶数，匹配基数等于n/2，G中任意顶点均能通过M匹配到G中另⼀个顶点。
完美匹配也必定是最⼤匹配。
使⽤：完美匹配要求图的⼀个集部是友好的和边有关的加<'>,和点有关的不加。
11、边独⽴数：G 中边独⽴集的最⼤基数。
记作β'(G)。
阶为n的图存在完美匹配当且仅当n为偶数且β'(G)=n/2.12、覆盖：顶点与其关联边，互为彼此的覆盖。
13、边覆盖：覆盖G所有点的边的集合，称为是G的⼀个边覆盖。
14、边覆盖数：G中所有边覆盖最⼩的基数，记作α'(G)，当且仅当G不包含孤⽴点的时候有定义。
15、最⼩边覆盖：具有最⼩边覆盖基数的边覆盖。
边覆盖/独⽴有关的⼀些性质：对于整数n≥3，1≤r≤s，边覆盖数有：α'(Cn)=α'(Kn)=ceiling(n/2); α'(K_r,s)=s边独⽴数有：β'(Cn)=β'(Kn)=floor(n/2); β'(K_r,s)=r所以：α'(Cn)+β'(Cn)= α'(Kn)+β'(Kn)=n; α'(K_r,s)+ β'(K_r,s)=r =s+r以上性质很显然可以看出来。
二部图完美匹配计数与禁位排列
二部图完美匹配计数与禁位排列
图论中的二部图可以建模公司求职、资源分配、时间分配、人员择偶等问题,是一个非常有用的图论建模工具。
本文主要研究了二部图的完美匹配问题,对于求解一般二部图的最大匹配问题已经有经典的理论及算法,而求解出一个二部图的所有完美匹配目前还没有太多的研究。
事实上,经典的算法只能求解出一个完美匹配,而求出所有的最优分配,就能为决策者提供多种分配方案,这将会更有意义。
本文通过将该问题转化为禁位排列问题,并且都转化为0-1矩阵的一种自定义的了禁位排列的个数和二部图的完美匹配个数。
通过类比行列式计算研究了per运算的初行列变换性质以及按行展开性质,得到per(A)值的计算方法,从而得到了两个部集顶点个数相等的一般二部图的完美匹配计数公式和生成算法。
按照这种方法,在文中计算了几类重要计数问题的结果,其中三正则循环二部图G(n)的完美匹配个数为Fn+Fn+2个。
此外,文中还研究了错位排列的两种推广,完全有向图中不含k圈的1-因子计数和不含k-不动点的排列计数。
通过排列的圈表示方法,采用生成函数方法推导出了完全有向图中不含k圈的1-因子计数公式和不含k-不动点排列的指数生成函数,从而得到了它们的计数公式以及递推公式。
当k为素数时,不含k阶不动点排列的排列个数递推式为。
证明hall定理四种方法
（原创实用版4篇）编制人员:_______________审核人员:_______________审批人员:_______________编制单位:_______________编制时间:____年___月___日序言下面是本店铺为大家精心编写的4篇《证明hall定理四种方法》，供大家借鉴与参考。
下载后，可根据实际需要进行调整和使用，希望能够帮助到大家，谢射!（4篇）《证明hall定理四种方法》篇1Hall 定理是关于二分图匹配问题的一个重要定理，它指出了在满足一定条件下，二分图中的最大匹配数等于最小点覆盖数。
以下是四种证明 Hall 定理的方法：1. 基于匈牙利算法的证明方法：匈牙利算法是一种用于解决二分图匹配问题的算法，它可以在 $O(n^2)$ 的时间内找到最大匹配数。
匈牙利算法的证明可以基于矩阵的奇偶性和网络流的观点进行。
2. 基于最大流的证明方法：最大流是指在二分图中找到从源节点到汇节点的最大流量。
最大流的证明方法可以基于网络流的观点进行，它需要构造一个流量网络，并使用最大流算法来求解最大匹配数。
3. 基于最小点覆盖数的证明方法：最小点覆盖数是指在二分图中，需要至少选择多少个点才能覆盖所有的边。
最小点覆盖数的证明方法可以基于图论中的覆盖问题进行，它需要构造一个点覆盖数网络，并使用最小点覆盖数算法来求解最大匹配数。
4. 基于线性规划的证明方法：线性规划是一种用于解决优化问题的算法，它可以用于求解二分图匹配问题。
线性规划的证明方法可以基于数学规划的观点进行，它需要构造一个线性规划模型，并使用线性规划算法来求解最大匹配数。
《证明hall定理四种方法》篇2Hall 定理是二分图匹配问题中的重要定理，它指出了在二分图中，如果存在一个匹配，使得每个节点的度数都不超过它的度数上限，那么这个匹配是可以扩展成一个完美匹配的。
目前共有四种证明方法，分别是：1. 基于最大流的证明方法：该方法通过将二分图转换成最大流问题，并利用最大流的性质来证明 Hall 定理。
《图论课件第五章匹配与因子分解》课件
二、因子分解
2.1 定义
因子分解是将图进行拆分，使得每个因子都是图的 一个子图。
2.2 贪心算法
贪心算法用于在因子分解时选择边或顶点。
2.3 DAG上的匈牙利算法
用于在有向无环图上寻找因子分解的算法。
2.4 Tutte定理
用于判断一个图是否存在完美匹配。
三、应用实例
1
3.1 二分图最大匹配的应用
《图论课件第五章匹配与 因子分解》PPT课件
图论课件第五章匹配与因子分解
一、匹配
1.1 定义
匹配指的是图中的一组边，这些边不相交并且 没有公共顶点。
1.3 最大匹配
最大匹配是图中包含边数最多的匹配。
1.2 匹配的分类
分类包括完美匹配、最大匹配和最小匹配。
1.4 匈牙利算法
匈牙利算法用于寻找二分图的最大匹配。
应用于任务分配、婚姻匹配等场景。
3.2 带权二分图匹配的应用
2
应用于资源分配、工作调度等场景。
3
3.3 双倍经验的关卡通关问题
使用匹配算法解决游戏中的关卡设计问
3.4 理发店问题
4
题。
利用匹配算法解决顾客理发需要和理发 师时间安排的问题。
四、参考资料
4.1 书籍
《图论导论》、《算法导论》等
4.3 网站
Grap h Alg orithm s, Grap h Theo ry Online等
4.2 论文
Graph Matching Alg orithm s: A C om prehensive C om parison
4.4 其他资源
相关研究报告、课程讲义等
二分图最大匹配：匈牙利算法的python实现
⼆分图最⼤匹配：匈⽛利算法的python实现⼆分图匹配是很常见的算法问题，⼀般⽤匈⽛利算法解决⼆分图最⼤匹配问题，但是⽬前⽹上绝⼤多数都是C/C++实现版本，没有python版本，于是就⽤python实现了⼀下深度优先的匈⽛利算法，本⽂使⽤的是递归的⽅式以便于理解，然⽽迭代的⽅式会更好，各位可以⾃⾏实现。
1、⼆分图、最⼤匹配什么是⼆分图：⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。
设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。
什么是匹配：把上图想象成3位⼯⼈和4种⼯作，连线代表⼯⼈愿意从事某项⼯作，但最终1个⼯⼈只能做⼀种⼯作，最终的配对结果连线就是⼀个匹配。
匹配可以是空。
什么是最⼤匹配：在愿意从事的基础上，能够最多配成⼏对。
现在要⽤匈⽛利算法找出最多能发展⼏对。
[color=green][size=medium]匈⽛利算法是解决寻找⼆分图最⼤匹配的。
更多⼆分图最⼤匹配的图解可以参考 /5576502/1297344以下是代码，为了图省事使⽤了类，实际上并不需要这样M=[]class DFS_hungary():def__init__(self, nx, ny, edge, cx, cy, visited):self.nx, self.ny=nx, nyself.edge = edgeself.cx, self.cy=cx,cyself.visited=visiteddef max_match(self):res=0for i in self.nx:if self.cx[i]==-1:for key in self.ny: # 将visited置0表⽰未访问过self.visited[key]=0res+=self.path(i)return resdef path(self, u):for v in self.ny:if self.edge[u][v] and (not self.visited[v]):self.visited[v]=1if self.cy[v]==-1:self.cx[u] = vself.cy[v] = uM.append((u,v))return 1else:M.remove((self.cy[v], v))if self.path(self.cy[v]):self.cx[u] = vself.cy[v] = uM.append((u, v))return 1return 0ok，接着测试⼀下：if__name__ == '__main__':nx, ny = ['A', 'B', 'C', 'D'], ['E', 'F', 'G', 'H']edge = {'A':{'E': 1, 'F': 0, 'G': 1, 'H':0}, 'B':{'E': 0, 'F': 1, 'G': 0, 'H':1}, 'C':{'E': 1, 'F': 0, 'G': 0, 'H':1}, 'D':{'E': 0, 'F': 0, 'G': 1, 'H':0}} # 1 表⽰可以匹配， 0 表⽰不能匹配cx, cy = {'A':-1,'B':-1,'C':-1,'D':-1}, {'E':-1,'F':-1,'G':-1,'H':-1}visited = {'E': 0, 'F': 0, 'G': 0,'H':0}print DFS_hungary(nx, ny, edge, cx, cy, visited).max_match()结果为4，是正确的。
二分图及匹配算法
Chapter 3
二分图最佳匹配
-二分图最佳匹配-
定义：图G中权值和最大的完全匹配。
Kuhn－Munkras算法：该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标） 来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标 为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法 执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。 KM算法的正确性基于以下定理： 若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等 子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 KM算法流程： (1)初始化可行顶标的值； (2)用匈牙利算法寻找完备匹配； 这样做是O（n^4）的
-稳定婚姻问题-
Байду номын сангаас
求婚拒绝算法（Gale-Shapley算法/延迟认可算法）： 先对所有男生进行单身标记，称其为单身狗男。当存在单身狗男时，进行 以下操作：
①选择一位单身狗男在所有尚未拒绝她的女生中选择一位被他排名最优先 的女神；
②女神将正在追求她的单身狗男与其现任进行比较，选择其中排名优先的 男生作为其男友，即若单身狗男优于现任，则现任被抛弃为前任；否则保 留其男友，拒绝单身狗男。 ③若某男生被其女友抛弃，则重新变成单身狗男，至①重复。
Chapter 5
稳定婚姻问题
-稳定婚姻问题-
你们班上有n位男生和n位女生，每个人对异性都有一个排序，表示对他们 的爱恋程度。现在你的任务是使他们凑成CP，使他们的爱情坚不可摧！ 满足一下条件的爱情不是坚不可摧的： 男生u和女生v不是CP，但他们爱恋对方的程度都大于爱恋现任 的程度。 因为这样男生u和女生v会抛下已经是CP的那个她/他，另外组成一对。于 是乎多出了两位前任，这样就会让人再也无法相信爱情了！ 怎么能避免悲剧的发生呢？
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二分图最大匹配算法
令G = （X,*,Y）是一个二分图，其中，X = {x1,x2,...xm}, Y = {y1,y2,...yn}。
令M为G中的任一个匹配。
1）讲X的所有不与M的边关联的顶点标上（@），并称所有的顶点为未被扫描的。
转到2）。
2）如果在上一步没有新的标记加到X的顶点上，则停止。
否则转到3）。
3）当存在X被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的X的顶点，比如，xi,用(xi)标记Y的所有顶点，这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到xi .现在，顶点xi 是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到4）。
4）如果在步骤3）没有新的标记被标到Y的顶点上，则停止。
否则，转到5）。
5）当存在Y被标记但未被扫描的顶点时，选择Y的一个被标记但未被扫描的顶点，比如yi，用(yi)标记X的顶点，这些顶点被属于M且尚未标记的边连到yi.现在，顶点yi是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到2）。
也可以叙述为：
[ZZ]匈牙利算法
关键在于匈牙利算法的递归过程中有很多重复计算的节点，而且这种重复无法避免，他不能向动态规划一样找到一个“序”将递归改为递推。
算法中的几个术语说明：
1。
二部图：
如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y，且满足X∪Y = V, X∩Y=Φ，则G称为二
部图；
图G的边集用E(G)表示，点集用V(G)表示。
2。
匹配：
设M是E(G)的一个子集，如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个匹配。
M中的
—条边的两个端点叫做在M是配对的。
3。
饱和与非饱和：
若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M-饱和的，否则称v 是M-不
饱和的。
4。
交互道：
若M是二分图G＝(V,E)的一个匹配。
设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。
5。
可增广道路：
若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。
显然，一条边的两端点非饱和，则这条边也是可增广道路。
6。
最大匹配：
如果M是一匹配，而不存在其它匹配M'，使得|M'|>|M|，则称M是最大匹配。
其中|M|表
示
匹配M的边数。
7。
对称差：
A，B是两个集合，定义
A⊕B = (A∪B)\(A∩B)
则A⊕B称为A和B的对称差。
定理：M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。
Hall定理：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于
X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有：|T(A)| >= |A|
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，其基本步骤为：
1。
任给初始匹配M；
2。
若X已饱和则结束，否则进行第3步；
3。
在X中找到一个非饱和顶点x0，作
V1 ← {x0}, V2 ← Φ
4。
若T(V1) = V2则因为无法匹配而停止，否则任选一点y ∈T(V1)\V2；
5。
若y已饱和则转6，否则做一条从x0 →y的可增广道路P，M←M⊕E(P)，转2；
6。
由于y已饱和，所以M中有一条边(y,z)，作V1 ← V1 ∪{z}, V2 ← V2 ∪{y}，转4；。