(完整版)导数单元测试题理及答案
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
高中数学选修第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试
不合要求；综上， 为所求。
20．<1）解法1：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，
∴ ．
解法2：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 <舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
<A） <B） <C） <D）
5．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为< ）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为< ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是< ）
8．已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为< ）A． B． C． D． b5E2RGbCAP
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11．
12．32
13．
14. (1>
三、解答题
15. 解：设长方体的宽为x<m），则长为2x(m>，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′<x）＝0，解得x=0<舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′<x）＞0；当1＜x＜ 时，V′<x）＜0，
17．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点，.求(Ⅰ>求点 的坐标； (Ⅱ>求动点 的轨迹方程. RTCrpUDGiT
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
(完整版)导数的计算练习题及答案
【巩固练习】一、选择题1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ）A ．0B ．―1C ．―60D ．602．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ）A.(0,1)B.()(),10,1-∞-C. ()()1,01,-+∞D.()1,+∞3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ）A.()'23cos 6sin x x x x +=-B. ()'1ln 22ln 2x x x x -=- C. ()'2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4．函数4538y x x =+-的导数是（ ） A ．3543x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ）A. 2B.-2C.94 D.94- 6．设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ）A ．32log tan e x -⋅B ．32log cot e x ⋅C ．32log cos e x -⋅D ．22log cos e x 二、填空题8．曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为________。
9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。
10．31sin x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________，()2sin 25x x '+=⎡⎤⎣⎦____________。
完整版)导数测试题(含答案)
完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。
3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。
4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。
6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。
8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。
9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。
10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。
11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。
13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。
14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。
15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。
16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。
17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。
18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
完整版)导数大题练习带答案
完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。
Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。
+\infty)$。
Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。
m+3]$ 上的最值。
$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。
m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。
Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。
证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。
2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。
Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。
高二数学下册(必修三)导数 单元测试卷及答案解析
高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分） 若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4． 故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4， 设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ， 可得切线的斜率为k =4m 3−4=0， 解得m =1，n =−3.即A(1,−3)． 故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1， 对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件． 故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)， 所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2， 设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ， 则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)， 即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0， 即2a 3−9a 2+4a =0， 则a(a −4)(2a −1)=0， 解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ， 当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ， 当a =0时，对应的直线方程为y =2x ， 故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)， 即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ， 所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立， 所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数， 则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ； （2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号， 此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。
(完整版)导数测试题(含答案)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：选 D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D. 8．“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之 成立．故选 B. 9．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
B．(2,4)
11
11
C．(4，16) 故选 D.
1
D．(2，4)
6．已知函数 f(x)＝x，则 f′(－3)＝( ) 1
A．4 1
B.9 1
C．－4
D．－9
1
1
解析：选 D.∵f′(x)＝－x2，∴f′(－3)＝－9. 7．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
三、解答题 x
17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝1＋x； (3)y＝lgx－ex.
18．已知抛物线 y＝x2＋4 与直线 y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．
1 19．已知函数 f(x)＝3x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解析：令 y′＝(x＋1)ex＝0，得 x＝－1. 当 x<－1 时，y′<0；当 x>－1 时，y′>0.
广州大学附属中学高二第一学期《导数及其应用》单元测试题(理)
《导数及其应用》单元测试题（理科）（满分150分 时间：120分钟 ）一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确） 1．函数()22)(x x f p =的导数是（ ）(A) x x f p 4)(=¢ (B) x x f 24)(p =¢ (C) x x f 28)(p =¢ (D) x x f p 16)(=¢ 2．函数xe x xf -×=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ¢¢>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ¢¢>>，B ．()0()0f x g x ¢¢><，C ．()0()0f x g x ¢¢<>，D ．()0()0f x g x ¢¢<<，4．=-+òdx xx x )111(3221（ ） (A)872ln +(B)872ln - (C)452ln + (D)812ln +5．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e6．设()f x ¢是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x ¢=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）7．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ³，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．328．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+¥，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件二．填空题（本大题共6小题，共30分）9．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.10．将抛物线22x y =和直线1=y 围成的图形绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积等于11．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．12．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ìüíý+îþ的前n 项和的公式是 13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为a ，则a 的取值范围是 14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+¥¥-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+¥上总是单调函数，则a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分） 15．设函数()e e xxf x -=-． （1）证明：()f x 的导数()2f x ¢≥；（2）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．16．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =uuu r uuu r,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求(1)求点A B 、的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程.17．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。
导数及其应用章末检测试题(理)
导数及其应用测试题一:选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f xB ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．下列说法正确的是 ( )A ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极大值B ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极小值C ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极值D ．当f(x 0)为函数f(x)的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 4．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（ ）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛41,8R 的切线方程是（ ）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --=6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（ ）．A ．（-15，76）B ．（15，67）C ．（15，76）D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，9．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43 C.32 D ．π210．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）y x O y xO yx O yxO A ． B ． C ． D ．1- yxO11A ．14 B ．15 C ．16 D ．17二、填空题11．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．12．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3()3(329)1( )30(2322t t t t s则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．13．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．14．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)’＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
导数专项训练及答案
导数专项训练 例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________.2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________.3. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______. 6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+,则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________.7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________.10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x )在它们的交点(1, c )处具有公 共切线,则c 的值是___________.【2】常见函数的导数及复合函数的导数1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1xx +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______.3．函数333()(1)(2)(100)f x x x x =+++在1x =-处的导数值为___________.4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________.5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++的值为 ．6. 设f 1(x )=cos x ,定义)(1x f n +为)(x f n 的导数,即)(' )(1x f x f n n =+,n ∈N *,若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=,则sin A 的值是______.【3】导数与函数的单调性22x xe e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为______. 2. 已知函数()ln ()f x x a R =∈，若任意12[2,3]x x ∈、且12x x >，t =()2121()f x f x x x --,则实数t的取值范围____________.3. 已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a 在x R ∈上有三个零点，则实数a 的取值范是 ．4.设'()f x 和'()g x 分别是f (x )和()g x 的导函数，若'()'()0f x g x ≤在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=3123x ax -与g (x )=x 2+2bx 在开区间(a , b )上单调性相反(a >0)，则b -a 的最大值为 ． 【4】导数与函数的极值、最值1. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ． 2. 已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .3. 已知函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b ,其中a , b R ∈.若函数f (x )仅在x =0处有极值,则a 的取值范围是______________.4. 设曲线(1)x y ax e =-在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点02(,)B x y 处的切 线为2l .若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为____________.5.已知函数f (x )=e x -1, g(x )= -x 2+4x -3若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为______.6. '()f x 是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间[m ，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是__________. 【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造 费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米 建造费用为()3c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r2. 已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y = f(x )在点(1, f(1))处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．3. 已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).4.已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．5.设函数2()1x f x e x ax =---（1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围导数专项练习答案 【1】导数的几何意义及切线方程1. 2；2. y =-2或9x +y -16=03.34； 4. 2e ； 5. 3； 6.201232y x =+; 7. 2； 8. 2； 9. 13a < 10. ()0,3e -11. 4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -1e; 2. 12- 3. 3⨯99! 4. 2x -y -1=0； 5. -1 ; 6. 1;【3】导数与函数的单调性1. (0, 1);2. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭; 3. (-4, 0); 4. 12【4】导数与函数的极值、最值1. 11；2. 2ln2-2；3. 88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 4. 312a ≤≤; 5. []1,3 ; 6.0m ≥[5] 解答题 1. 答案解:(1)由题意可知()23480233r l r l r πππ+=≥,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r c rππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭, 即2216084y r r c rπππ=-+,定义域为{}02x r <≤. (2)2160168y r rc r πππ'=--+,令0y '=,得3202r c =-.令32022r c ==-,得92c =,①当932c <≤时,32022c ≥-,当02r <≤时,0y '<,函数单调递减,∴当2r =时y有最小值;②当92c >时,32022c <-,当32002r c <<-时,0y '<;当3202r c >-时,0y '>, ∴当3202r c =-时y 有最小值. 综上所述,当932c <≤时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时3202r c =-2. 答案()()()()()()()22(2)2ln 0+22110220......5f x ax a x x ax a a f x ax a x x x =-++∞-+-'>=-++=>函数的定义域是，，当时，分()()()()()22212110=0,11..............................................................62ax a x ax f x f x x xx x a -+---''=====⋯⋯⋯令，即所以或分3. 解答4.若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．5. 解答导数专题复习（配详细答案）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
(完整版)导数的计算练习题及答案
【巩固练习】一、选择题1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ）A ．0B ．―1C ．―60D ．602．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ）A.(0,1)B.()(),10,1-∞-C. ()()1,01,-+∞D.()1,+∞3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ）A.()'23cos 6sin x x x x +=-B. ()'1ln 22ln 2x x x x -=- C. ()'2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4．函数4538y x x =+-的导数是（ ） A ．3543x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ）A. 2B.-2C.94 D.94- 6．设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ）A ．32log tan e x -⋅B ．32log cot e x ⋅C ．32log cos e x -⋅D ．22log cos e x 二、填空题8．曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为________。
9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。
10．31sin x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________，()2sin 25x x '+=⎡⎤⎣⎦____________。
选修1-1第三章导数测试题(含详解)1
高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0lim x x →[][]0202)()(x x x f x f --等于A.f ′(x 0)B.f (x 0)C.f (x 0)·f ′(x 0)D.2f (x 0)·f ′(x 0)2.物体运动的方程为s =41t 4－3,则t =5的瞬时速度为A.5B.25C.125D.6253. (2006.安徽高考.理7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或06.已知函数f (x )=x 3－3x 2－9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值D.极小值为－27,无极大值7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为A.932 B.922C.923 D.839.已知f (x )=xx x cos sin sin +,则f ′(4π)等于A.21 B.221C.21 D.－2110.已知函数f (1)=x 2+2xf ′(1),则f (－1)与f (1)的大小关系是 A.f (－1)=f (1) B.f (－1)<f (1) C.f (－1)>f (1)D.无法确定二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)11.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中,斜率最小的切线方程为__________.12.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值,在x =3处有极小值,则a =__________,b =__________.13.函数f (x )=x 3－x 的单调增区间为__________.14. （2006·全国高考I ·理16）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。
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高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题（共7个小题,每小题6分）1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．(),-∞+∞D ．()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A ．193B ．163C ．133D ．1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A ．()4f x x π'=B ．()24f x x π'=C ．()28f x x π'=D ．()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的 条件。
( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题（共3个小题,每小题6分）8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 ．9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = ．10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是 ．三、解答题（共2个小题,每题20分）11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7；当3x =时,取得极小值．试求a 、b 、c 的值及这个极小值．12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解：()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得：39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。
导数的练习题及答案
导数的练习题及答案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
掌握导数的概念对于解决各种数学和物理问题至关重要。
在这篇文章中，我们将给出一些关于导数的练习题及其答案，帮助读者更好地理解和应用导数。
练习题一：求函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数。
解答一：根据导数的定义，我们知道导数可以通过函数的极限来求解。
在这个例子中，我们可以使用直接求导的方法来计算导数。
首先，我们对每一项使用求导法则。
对于 $2x^3$，它的导数是$6x^2$；对于 $-5x^2$，它的导数是 $-10x$；对于 $3x$，它的导数是$3$；对于常数项 $-1$，它的导数是 $0$。
然后，将这些导数相加，得到函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。
所以，$f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$。
接下来，我们求函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处的导数。
将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 3 = 28$。
所以，函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数为 $f'(2) = 28$。
练习题二：求函数 $y = e^x \sin(x)$ 的导数。
解答二：这个问题涉及到两个函数的乘积，所以我们需要使用乘积规则来求解。
首先，我们将函数 $y = e^x \sin(x)$ 分解为两个函数的乘积：$y =u(x) v(x)$，其中 $u(x) = e^x$，$v(x) = \sin(x)$。
然后，我们求出每个函数的导数。
对于 $u(x) = e^x$，它的导数仍然是 $e^x$；对于 $v(x) = \sin(x)$，它的导数是 $\cos(x)$。
根据乘积规则，函数 $y$ 的导数为 $y' = u'v + uv'$。
高中数学选修2第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试(含解析)
高中数学选修2第五章一、单选题1．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为V =πd 36，当d =2dm 时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π42．若点P 是曲线y =lnx ―x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x +y ―6=0的距离的最小值为( )A ．22B ．32C ．522D ．9223．函数f (x )=13a x 3+12a x 2―2ax +2a +1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )A ．―43<a <―13B ．―1<a <―12C ．―2<a <0D ．―65<a <―3164．根据公式sin3α=3sin α―4sin 3α，sin10°的值所在的区间是（ ）A ．(17,16)B ．(16,15)C ．(15,14)D ．(14,13)5．已知函数f (x )=ax +ln a ，g (x )=x +e x ―ln x ，若关于x 的不等式f (x )>g (x )在区间(0，+∞)内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(e ，e 2]B ．(e ，e 22]C ．(e 2，e 3]D ．(e 22，e 33]6．设函数 f (x )=e xx―t (ln x +x +2x ) 恰有两个极值点，则实数 t 的取值范围是（ ）A ．(―∞，12]B ．(12，+∞)C ．(12，e 3)∪(e3，+∞)D ．(―∞，12]∪(e3，+∞)7．已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (―1)=0 ，当 x <0 时， x f ′(x )+f (x )<0 ，则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是（ ） A ．(―∞，―1)∪(0，1)B ．(―1，0)∪(1，+∞)C ．(―∞，―1)∪(―1，0)D ．(0，1)∪(1，+∞)8．函数 f (x )=|x |ex ，方程 [f (x )]2―(m +1)f (x )+1―m =0 有4个不相等实根，则 m 的取值范围是（ ）A ．(e 2―e e 2+e，1)B ．(e 2―e +1e 2+e ，+∞)C ．(e 2―e +1e 2+e ，1)D ．(e 2―e e 2+e，+∞)二、多选题9．对任意的x∈R，函数f(x)=x3＋ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是（ ）A．0≤a≤21B．1≤a≤20C．a<0D．a=21 10．已知函数f(x)=e xx2―x+1，则下列结论正确的是（ ）A．函数f(x)存在极大值和极小值B．函数f(x)不存在最小值与最大值C．当x∈[0，3]时，函数f(x)最大值为eD．当x∈[12，e]时，函数f(x)最小值为e2311．已知函数f(x)=14x 4+12a x2+ax，则下面说法正确的是（ ）A．存在实数a，使f(x)有最小值且最小值小于0B．对任意实数a，f(x)有最小值且最小值不小于0C．存在正实数a和实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增D．对任意负实数a，存在实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增12．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若f(x)={x3e x,x≥0ax2,x<0恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）A．0B．―12018C．―1eD．―12021三、填空题13．函数f(x)=12x―x3在区间[―3，3]的最小值是 .14．设曲线y=e ax+sine在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．15．关于x的方程kx―lnxx =2在区间[1e,e]上有两个实根，则实数k的最小值是 .16．已知函数f(x)=x3―a e x，若函数f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3)，若x3≥3x2，则实数a的取值范围是 .四、解答题17．求下列函数的导数：（1）f(x)=(1+sin x)(1―4x)；（2）f(x)=xx+1―2x.18．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．19．已知函数f (x )=x 3+a x 2+x (a ∈R )（1）若函数f (x )存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若f (x )≥xlnx +x 在(0，+∞)恒成立，求a 的最小值.20．设f n （x ）=x+x 2+…+x n ﹣1，x≥0，n ∈N ，n≥2．（Ⅰ）求f n ′（2）；（Ⅱ）证明：f n （x ）在（0，23）内有且仅有一个零点（记为a n ），且0＜a n ﹣12＜13（23）n ．21．已知函数f （x ）=lnx+a （x 2﹣3x+2），其中a 为参数．（1）当a=0时，求函数f （x ）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x ∈[1，+∞），f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22．设函数 f (x )=1x ―eex ,g (x )=a (x 2―1)―lnx （ a ∈R ， e 为自然对数的底数）.（1）证明：当 x >1 时， f (x )>0 ； （2）讨论 g (x ) 的单调性；（3）若不等式 f (x )<g (x ) 对 x ∈(1,+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围.参考答案1．A2．B解：已知函数y=lnx―x2，可得y′=1x―2x,(x>0)，直线l:x+y―6=0的斜率为-1，令y′=―1,即1x―2x=―1，可得(x―1)(2x+1)=0，因为x>0，可得x=1，则y=―1，即平行于直线l:x+y―6=0且与曲线y=lnx―x2相切的切点坐标为P(1,―1)，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为d=|1―1―6|2=32.3．D。
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高 二 数 学 阶 段 检 测(理)一．选择题（共10题，每题5分）1． 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ）A. 1B. 2C. －1D. 02． 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2） 3．曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A ．34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =- a 4． 由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( )A.16 B. 13 C. 56 D. 235． 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．56． 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．07．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤8．设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如左图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是C. D.9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)10．曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19Ｂ．29 Ｃ．13Ｄ．23二．填空题（共5题，每题5分）11．设f ( x ) = x 3－21x 2－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 .12．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。
13．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．14．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。
15．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．三．解答题16（12分）．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.17（12分）．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.18（12分）．已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++-（1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。
19（12分）.甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t（吨）满足函数关系x =s 元（以下称s 为赔付价格）．（Ⅰ）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0．002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少?20（13分）．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．21（14分）.设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .一．选择题ADBAD DCCDA9、解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．二．填空题 11、m>7 12、4 -1113、答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x >0恒成立， m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1. 14、),32[]2,0[πππ15、答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94. 三．解答题16．解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.17．（Ⅰ）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x .若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，)(x f 在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值.（Ⅱ）解：曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上.设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足0303x x y -=. 因)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .18．解：（1）'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a=-++=--()f x 极小值为(1)2af =-（2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02af =->，()f x 的极小值为2()0f a<，()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133()4()044f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。
19. 解：（Ⅰ）因为赔付价格为S 元／吨，所以乙方的实际年利润为：(0).w st t =≥因为2210001000)w st s s s ==-+， ……………4分 所以当21000()t s=时，w 取得最大值．所以乙方取得最大年利润的年产量21000()t s=吨……………5分2将21000()t s=代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格之间的函数关系式：234100021000v s s ⨯=- ……………………………………7分又23232551000810001000(8000)s v s s s⨯⨯-'=+= 令0v '=，得s=20．当s<20时，0v '>；当s>20时，0v '<，所以s=20时，v 取得最大值．…11分 因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元／吨）时，获最大净收入．…………12分 20．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，． 21. 【答案】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:x (),0-∞0 ()0,ln 2ln 2()ln 2,+∞()f x ' + 0 - 0 + ()f x增极减极增大值小值右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e kϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=--< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。